电路理论第8章

第8 章正弦稳态电路分析谭丹华中科技大学电气与电子工程学院8.1正弦量8.1. 1正弦量的三要素波形i (t )=I m cos(ωt +φ)i +_uφI mi(t)=I m cos(ωt+φ)waveformT ωti(2)角频率(Angular Frequency ) ω(3)初相位(Initial Phase Angle ) φ(1)幅值(Amplitude (or maximum value ))I m 12f ,2fT Tπωπ===T ：周期f ：频率工频：f =50Hz ，ω=2πf =314rad/sωt+ϕ=相位Phase Angle反映正弦量变化快慢。

反映正弦量的计时起点。

反映正弦量的大小。

iφ>00通常:|φ| ≤πψ=π/20φ=-π/20φ=008.1 正弦量的三要素tiφ<0t(3) 初相位(Initial Phase Angle ) φφI mi(t)=I m cos(ωt+φ)waveformT ωti同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。

注意8.2 同频率正弦量的相位差设u (t )=U m cos(ωt +φu ）ϕ = (ω t +φu )-(ω t +φi )等于初相位之差规定：ωtu , iuiφuϕi (t )=I m cos(ωt +φi )1.同频率正弦量的相位差：ϕ = φu -φi180ϕ≤°ϕ >0，u 超前i ，或i 滞后u (u 比i 先到达最大值)。

ϕ <0，i 超前u ，或u 滞后i (i 比u 先到达最大值)。

2. 两同频率正弦量的超前、滞后关系：φi8.1.3 周期性电流、电压的有效值1.周期电流、电压有效值定义R直流I 2()d TW Ri t t=∫2W RI T=物理意义R交流i∫=Ttt i TI 02defd )(1均方根值∫=Ttt u TU 02defd )(1电流的有效值：电压的有效值：2. 正弦电流、电压的有效值m m 1 22U U U U==或8.2.0 相量-复数运算(P178)1.复数的表示形式zyReIm xOφr(cos jsin )z r =φ+φj z x y=+j e z r φ==∠φz r 22z r x y=+＝arctan y xφ=cos x r =φsin y r =φ代数式指数式极坐标式三角函数式j e (cos jsin )j z r r r x yφ==φ+φ=∠φ=+模相除角相减z 1-z 28.2.0 相量-复数运算(P178)2. 复数运算①加减运算——采用代数式z 1±z 2=(x 1 ±y 2)+ j (x 1±y 2)z 1z 2ReImO ()i 1211221212z z r r r r ϕϕϕϕ=∠∠=∠+1111122222z r r ()z r r ϕϕϕϕ∠==∠−∠-z 2z 1ReImOz 1+z 2z 2模相乘角相加②乘除运算——采用极坐标式z 1-z 28.2.0 相量-复数运算(P178)j 111-e z r r φ==∠φ2. 复数运算③倒数运算④共轭运算z x jy∗=−3. 用相量表示正弦量的基础——欧拉公式cos sin j e j φ=φ+φcos Re ,sin Im j j e e φφ⎡⎤⎡⎤φ=φ=⎣⎦⎣⎦8.2.1 正弦量与相量的对应关系(P179)1. 问题的提出例:+_+_u s1u s2+_u s ()()V,=s1u t 2202sin 314t 试求：u s (t)及其有效值U S .解: 根据KVL()()()=−s s1s2u t u t u t ()()°=−−2202sin 314t 2202sin 314t 120()(()())°°⎡⎤=−−⎣⎦2202sin 314t sin 314t cos120cos 314t sin120()()°°⎡⎤=+⎣⎦2202sin 314t cos30cos 314t sin30()(V)°=+3802Sin 314t 30()()V°=−s2u t 2202sin 314t 120V∴=U 380u 3= u 1 +u 2ωtu , iu 1u 2O8.2.1 正弦量与相量的对应关系同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。

因此采用变换的思想正弦量复数结论u 1u 1+u 2 →u 3u 2ωωω角频率U 1m U 2mU 3m 最大值(幅值)φ1φ2φ3初相位复常数－相量8.2.1 正弦量与相量的对应关系针对正弦量造一个复函数j()()et m F t U ω+φ=正弦量u (t )对应复数F (t )的实部j()()cos()Re[e ]t m m u t U t U ω+φ=ω+φ=cos()j sin()m m U t U t =ω+φ+ω+φ2. 正弦量的相量表示()cos()m u t U t =ω+φj j ()Re[e e ]tm u t U φω=j j ()Re[e ]Re[2e ]t t m u t U U ωω= ＝令，上式可写为j e m m m U U U φ=∠φ ＝mU U ＝2且8.2.1 正弦量与相量的对应关系任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。

j ()cos( ) et m m u t U t U ω=ω+φ↔ 2. 正弦量的相量表示结论j j ()Re[e ]Re[2e ]t t m u t U U ωω= ＝正弦量与相量的对应关系：j j ()Re[e ]Re[2e ]t t m i t I I ωω= ＝旋转相量包含了三要素：U m 、φ、ω，相量包含了两个要素：U m , φ。

UU ∠φ ＝电路常选择有效值相量表示正弦量例题分析°°°=−=−+=−，12i 102cos(2t 30)A i 52cos(2t 30)A,u 1002sin(2t 135)V写出个正弦量所对应的相量，作出相量图，并比较它们之间的相位关系解：同一问题中，必须先统一函数用标准的余弦函数cosin 表示1I 1030A°=∠−i2I 5150A°=∠−iV V u 1002sin(2t 135)1002cos(2t 13590)1002cos(2t 225)1002cos(2t 225360)1002cos(2t 135)U100135°°°°°°°°=−=−−=−=−+=+=∠2i 52cos(2t 30)A 52cos(2t 30180)A 52cos(2t 150)A°°°°=−+=+−=− .I 2U V.I 1+1135º-150º-30º超前方向Leading direction滞后方向Lagging direction2115030120i i ()ψψ°°°−=−−−−=−113530165u i ()ψψ°°°−=−−=i 2 lags i 1120ºu leads i 1 165º例8-1 ：例8-2-1(P179）8.2.2 正弦量运算的相量方法－相量法8.2相量法①同频率正弦量的加减j 1111j 2222()2cos( )Re(2e)()2cos( )Re(2e)ttu t U t U u t U t U ••ωω=ω+φ==ω+φ=U21U U U +=相量关系为：j j 1212j jj1212()()()Re(2e)Re(2e)Re(2e2e)Re[2()e]t tt t t u t u t u t U U U U U U ••••••ωωωωω=+=+=+=+i 1 ±i 2 = i 3123 I I I ±= 1122U U U ∠φ=∠φ+∠φ1122I I I ∠φ=∠φ±∠φj Re(2e )•ωtU.V∴=U 964例题分析例8-21o 2()62cos(31430) V ()42cos(31460) Vu t t u t t =+=+12()()()9.642cos(31441.9) Vu t u t u t t =+=+5.19j32j3.46=+++7.19j6.46=+12630 V460V U U =∠=∠ 9.6441.9 V=∠12630460U U U =+=∠+∠ +_u 1u 2+_u +_求u(t)及U12u u u =+12U U U =+8.2.2 正弦量运算的相量方法－相量法8.2相量法②正弦量的微分、积分运算()2cos( )i u t U t =ω+φj j j d d d Re 2e Re 2j e Re 2e d d ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⋅ω=⎣⎦⎣⎦⎣⎦ t t t d u u U U U t tj j j i 1d Re 2e d Re 2e Re 2e j ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎣⎦ω⎣⎦∫∫t t t i u u t U t U U 微分运算积分运算d d d du u U j U t=↔=ω 1d =↔=ω∫ i iu u t U U j iU U =∠φ j j d 2e 2j eωω=ω t t U U dj =ω U U j j i 12e 2ej ωω=ωt t U U i 1j =ωU U 例题分析(P181 例8-2-4)8.2.3 基尔霍夫定律的相量形式相量形式时域ki(t )=∑k km k i (t )I cos(t )ωφ=+k j(t )j t k km km i (t )Re I e Re I e ωφω+⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦{}{}j t j t k km km i (t )Re I e Re I e ωω ⎡⎤===⎣⎦∑∑∑0j t km I e ω =∑km I =∑0k I =∑2 . KVL 相量形式时域k u (t )=∑k km k u (t )U cos(t )ωφ=+0km U =∑ 0k U =∑ km km kk k kU U U U φφ=∠=∠ 1. KCL1.电阻（Resistor ）u R (t )i R (t )R +-R+-RU RI时域相量模型i R (t) = I Rm cos(ωt+φi ) u R (t) =U Rm cos(ωt+ φu ) u R (t)=Ri R (t)uR R i R R I I U U φφ=∠=∠ R RU RI = R u R iU RI φφ∠=∠U R =RI Rφu = φiωtiOu RRU Iφu =φiu R 与i R 是同相位Phasor diagramR R U I 与同相位Waveform diagram2. 电感（Inductor ）L L iL L v I I U U φφ=∠=∠ L LU j LI ω= L u L iU j LI φωφ∠=∠u L 超前i L 90ºj ωL +-LU L I 相量图----相量模型U L =ωLI Lφu = φi +90ºLU LI 90ºφi2LL LU X L fL I ωπ===感抗(Inductor reactance)单位：Ω11==L LB L X ω感纳Inductor susceptance measured in siemens(S).ωX L(,,L L 0), X 0 ,X ωω==→∞→∞DC 短路开路3.电容（Capacitor ）----相量模型C C iC C v I I U U φφ=∠=∠ = c cI j CU ω1∠=∠c v c iU I j C φφωi c 超前u c 90ºPhasor diagramcU cI 90ºψiIU+-1j Cω=cc1V I j C ωφv = φi -90º1=c cU I CωC U 1X I Cω==1==C CB C X ω容纳(Capacitor susceptance ) 单位：西门子(S).c , X 0, ω→∞=容抗(Capacitor reactance )，单位：Ω.c 0(), X , ω=→∞DC 开路短路8.2.4 电路的相量模型4. 线性时不变受控电源的相量模型1gu 1u 1i 2i 2u 1'12'21ri 1u 2i 2u 1'12'21i 1gU 1U 1I 2I 2U 1'12'21rI 1U 2I 2U 1'12'21ILCRu Si Li c i R+-8.2.4 电路的相量模型时域列写微分方程相量形式复数方程j ωL1/j ωCSU LI CI RI R+-电路的时域模型RC L i i i +=RC L I I I +=Sd d d L c i 1L i t u t C+=∫d R c 1Ri i tC=∫Sj L C 1j LI I U C ωω+= j = R c 1RI I Cω电路的相量模型8.3 阻抗与导纳I ZU+-N 0IU+-||z UZ Z φR j Imped nc :XIa e ==∠=+（） |Z|R Xϕz阻抗三角形z u i ϕφφ=−UZ I=1. 阻抗•Z —复阻抗；R —电阻(阻抗的实部)；X —电抗(阻抗的虚部)；—复阻抗的模—阻抗角。