第5节动量定理及应用

第5节 动量定理及应用一 动量定理物体质量m 与运动速度u 的积称为动量M 。

按牛顿定律，物体受到外力F 的作用，必然产生加速度a ，物体运动速度u就要产生改变：tm t t md d )(d d d d M u u F ===∑ 即作用于物体的外力∑F 等于该物体在力作用方向上的动量改变率，称动量定理。

用动量定理分析流体质点系统与接触它的周界之间的相互作用是比较方便的。

所谓流体质点系统是所选定的控制界面内的流体质点的集合。

流场中某确定的空间区域称控制体，这个区域的周界称为控制面(Control surface )。

一旦选定之后，它的形状就不随流体的流动而改变。

若控制体的位置相对坐标系是固定的，称固定控制体；否则称运动控制体。

前者如一段固定安装的管道；后者如滑阀开启或关闭的过程，火箭升空过程。

c 的速度为u ，密度为ρ，点质量为Vd ρ，则t时刻动量为tV V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰c d u ρ，经过时间t d ，即在t t ∆+时，控制体内的流体运动到图4-13(b)中虚线位置；流体系统在t t ∆+时刻有三部分组成；(1) t t ∆+时刻控制体c V 内的所有质点（包括新流入控制体和尚留在控制体c V 的部分）总动量tt V V ∆+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰c d u ρ；(2) 流出控制体c V 表面1A （图4-13(c)、u 与外法线n 成角小于o 90）的动量⎰⎰⋅1)d (d A t A u u ρ；(3) 流入控制体c V 表面2A (u 与内法线n 成角小于o 90)的动量⎰⎰⋅-2)d (d A t A u u ρ。

即在t t ∆+时刻，流体系统的动量为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+21c )d (d )d (d d A A tt V t t V A u u A u u u ρρρ⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+A tt V t V )d (d d c A u u u ρρ (4.5-1)按动量定理对流体系统的作用力∑F 为)(u F m dtd=∑ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆+→∆t V A t t V t V V t c c d )d (d 1limu A u u u ρρρ ⎰⎰⎰⎰⎰⋅+∂∂=AV V t )d (d c A u u u ρρ (4.5-2) 其中在⎰⎰⎰cd V V u ρ中，u 为控制体内任意一点的流速，在⎰⎰⋅A)d (A u u ρ中，A为控制表面，A d 为矢量微面，A d d n A =，n 为法线方向单位矢量，u 为表面出流速度。

规定流出时⎰⎰⋅)d (A u u ρ为“＋”的原因是u 与外法线n成锐角，流入为“－”的原因是u 与内法线－n 成锐角。

对于定常流，控制体c V 内各点流速u 仅为坐标的函数与时间t 无关，即0d c=∂∂⎰⎰⎰V V t u ρ，则有 ⎰⎰∑⋅=A)d (A u u F ρ (4.5-3)即对流体的作用力等于流出和流入控制体表面的动量的代数和；或流出动量和流入动量之差。

一维管流为常见的流动，对定常一维管流，取流动方向为自然坐标，则上式可简化为⎰⎰⎰⎰∑-=⋅=12)d ()d ()d (111222A A AA u A u u u A u u F ρρρ)(d d 121212u u u u -≈-=⎰⎰Q Q Q A A ρρρ (4.5-4)∑F 在z y x ,,向投影为⎪⎩⎪⎨⎧-=∑-=∑-=∑)()()(z 1z 2z y 1y 2y x 1x 2x u u F u u F u u F ρθρθρθ (4.5-5) 二 动量定理的应用1 流体对弯管的作用力一维流变径弯管如图4-15所示，液体密度为ρ，流量为Q ，确定流图 4-14 一维管流图4-15 变径弯管体对弯管的作用力x F 和y F 。

弯管承受的作用力有两部分，其一为静压力，其二为动压力——流体流动的动量变化引起的作用力，参看图4-16，将1A 和2A 面上的静压力11A p 和22A p 分解成y x ,向的分力，记弯管上与11A p 和22A p 相应的支撑力为1x F 和1y F ，按力平衡原理，则有⎩⎨⎧+-=-=2221111y 2221111x cos sin sin cos θθθθA p A p F A p A p F (a)图 4-16 弯管上的静压力按动量定理，弯管对流体作用力)(x 1x 2'2x u u Q F -=ρ，)(y 1y 2'2y u u Q F -=ρ，而流体对弯管的作用力'2x 2x F F -=，'2y 2y F F -=，故有⎩⎨⎧+-=-=-=-=)cos sin ()()sin cos ()(2211y 2y 12y 2211x 2x 12x θθρρθθρρu u Q u u Q F u u Q u u Q F (b) 联立式(a)和(b)则有⎩⎨⎧+-++-=+=-+-=+=)cos sin (cos sin )sin cos (sin cos 22112221112y 1y y22112221112x 1x x θθρθθθθρθθu u Q A p A p F F F u u Q A p A p F F F (c) 图4-15中的弯管为一段变径弯管，特例情况如下：(a) 021==θθ，21A A =，21u u =；(b) 021==θθ ，Q A u A u ==2211 ；(c) o 90,021-==θθ，21A A =，21u u =； (d) o 90,021==θθ（水平管），21A A =，21u u =；(e) o 90,021==θθ ，Q A u A u ==2211，读者可自行分析。

2 射流对固体壁面的冲击力液体自管嘴喷出，形成射流；若不计重力，则作用在流体上的力，只有固体壁面对流体的阻力，其反作用力则为射流对固体壁面的作用力。

如图4-17所示，射流自断面0A 的管嘴以水平速度0u 射向与水平面成倾角为θ的平板后，分成两股，其动量分别为11u m 和22u m 。

取射流为分离体，平板沿其法向n 对射流作用力为R ，射流所受的相对压力为零，按动量定理则有R u u u =-+002211m m m (4.5-6)以平板法线方向为x 轴方向，向右为正；上式各量在x 轴上的投影为θρθsin sin 20000u A m R -=-=-u即θρs i n 200u A R =(4.5-7)射流对倾角平板（壁面）的冲击力θρsin 200'u A R R -=-=；当o 90=θ，即射流垂直射向平板时，200'u A R ρ-=即为液流对平板的冲击力。

2图 4-17 射流冲击平板 图 4-18 射流反推力若平面沿射流方向以速度u 移动时，则液流对平板的冲击力为200')(u u A R --=ρ (4.5-8)参看图4-18，容器侧壁开有面积为0A 的小孔，液体以速度gh u 2=自小孔泻出。

设出流量甚小，在很短的时间内可看成定常流。

则液体沿x 轴（u 方向）的动量变化率为2)d (d d)(d d Au Qu tu Q tmu t ρρρ=== (4.5-9) 按动量定理，这个量为容器对液体在x 向的作用力2x Au R ρ=；同时液体对容器的反作用力为2x x Au R F ρ-=-= (4.5-10)如果容器可在向x 向自由移动，由于x F 的作用，容器将朝u 得把反方向运动，这就是射流的反推力。

若容器上的压强不是大气压强，而是恒定的压力p ，则小孔中流体速度ρpgh u 22+=。

3 动量矩定理动量矩定理在流体机械（如燃气轮机、水轮泵等）中得到广泛应用。

动量矩定理可根据动量定理和矢量叉积运算理论导出。

在式（4.5-2）中，∑F 是作用在控制体上的外力（合力，矢量），⎰⎰⎰∂∂c d V V t u ρ是控制体内动量（矢量）对时间的变化率；⎰⎰⋅A A u u )d (ρ是通过控制面的净动量（矢量）。

式中，u 为任意的速度（矢量）。

如果用r 表示该点在坐标系中的矢径，对式（4.5-2）作叉积运算，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑⨯+⨯∂∂=⨯AV udA dV t c )()(u r u r F r ρρ （4.5-11） 式中 ∑⨯F r 即是控制面上合外力（矢量）对坐标原点的合力矩，用T 表示，对于稳定流，式（4.5-11）等号右侧第一项为零，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⨯-⨯=⨯=12d )(d )(d )(A A AA u A u A u u r u r u r T ρρρ （4.5-12）其中 1A 为流入面，2A 为流出面，这就是常用于叶轮机的定常流动矩方程。

由于矢量叉积，u r ⨯的大小u r ⨯可表示为αcos )sin(ru ru =⋅=⨯u r u r （4.5-13）式中 α——矢量r 与流体质点的绝对速度u 所成的角。

这样式（4.5-13）可以改写为)c o s c o s (111222ααρθu r u r T -= （4.5-14）式中 2r ——流体流出控制体的半径，单位为m ；1r ——流体流入控制体的半径，单位为m ；2u ——流体流出控制体的绝对速度的平均值，单位为m/s ； 1u ——流体流入控制体的绝对速度的平均值，单位为m/s ；2α——2r 与2u 所成的角；1α——1r 与1u 所成的角。

补加说明一点的是，绝对速度21V V +=u ，1V 为控制体的旋转速度，ωr V =1，ω为角速度；2V 为流体相对控制体的运动速度。