湘教版高中高一数学必修二《三角恒等变换》说课稿
第5章三角恒等变换复习课件-湘教版必修2
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos
湘教版高中数学必修2课件 5.3 简单的三角恒等变换课件1
＝sinx＋π6－12. ∴f(x)max＝12.
当堂检测
3．sin 105°＋sin 15°等于________．
答案
6 2
解析 sin 105°＋sin 15°＝2sin105°＋ 2 15°cos105°－ 2 15°＝2sin
60°cos
45°＝
6 2.
当堂检测
4．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值． 解 f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°) ＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60° ＝121sin(x＋20°)＋5 2 3cos(x＋20°) ＝ 1212＋52 32sin(x＋20°＋φ) ＝7sinx＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5143.所以f(x)max＝7.
当堂检测
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对 思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后 继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝ba(或sin φ＝ a2b＋b2，cos φ ＝ a2a＋b2)．
当堂检测
2．函数f(x)＝2sin 2xsinπ3－2x的最大值等于
1
3
A.2
B.2
C．1
答案 A
() D．2
当堂检测
解析
f(x)＝2sin
x 2sin
π 3cos
2x－cos
π 3sin
x 2
＝
3 2 sin
简单地三角恒等变换说课稿子
接下来是教学过程：
（一）比旧悟新，探求新知，首先给出学生熟悉的三个问题，并要求学生在稿纸上写下公式，相互检查，评价，为后面的三角变换做铺垫.
紧接着开始推导半角公式，给出例1，并提出问题：α与 有什么关系?学生可以发现：α是 的二倍角，这是为了引导学生从α与 之间的关系出发思考cosα与sin2 之间的关系。通过对这种关系的思考而建立这两个三角式之间的联系。
（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α= ，β= ,代入(1)式即得(2)式.这是具体的解答过程：
以小组为单位每个小组完成两个公式的推导.
下面是本课小结：以问题的形式引发学生再次思考，达到自主完成的目的.
总的来说，对于三角恒等变换，总结如下：
以下是本课的作业：第1题关于半角公式的应用引申，第3题是三角变换的应用.
最后一项是我的设计说明：板书设计如下：
本课的教学特色是：
关于教学设计作以下说明：
我的说课完毕，谢谢！
简单的三角恒等变换说课稿
我将从教材分析、教学方法、教学过程以及设计说明等四个方面来陈述我对本节课的设计方案，恳请在座的各位专家评委批评指正。
首先说一下教材：
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高（一）学生的认知规律，结合我校学生的学情，我制定了如下教学目标：
俗话说得好：“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效.本节课我准备引发现法,结合问题式教学,将教材还原成生动活泼的思维创造活动，启发学生积极思考，勇于探索，从而使学生产生浓厚的学习兴趣，体现学生的主体地位.采用教学结构是：复习旧知---提出问题---推导公式---归纳总结---学以致用.
三角恒等变换说课稿 教案 教学设计
三角恒等变换一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。
例题例1 已知sin （α+β）=32，sin （α-β）=51，求βαtan tan 的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°例3 化简（1）0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π。
简单的三角恒等变换 教学设计 说课稿 教案
简单的三角恒等变换整体设计一、教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.二、三维目标1．知识与技能：通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2．过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3．情感态度与价值观：通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.三、重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力. 四、课时安排2课时 五、教学设想第1课时（一）导入新课思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.（二）推进新课、新知探究、提出问题①α与2a有什么关系? ②如何建立cosα与sin 22a之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? ⑤证明(1)sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin 2cos2ϕθϕθ-+.并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin22a ,将公式中的α用2a 代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cosα=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cosα=2cos 22a -1,(不要求记忆),符号由2所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入 (1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 将以上两式的左右两边分别相加,得讨论结果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(见活动）.（三）应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练化简:sin50°(1+3tan10°).解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+•=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin +=2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a -b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxco sx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________.答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.+B. 2B)cos 2B, 4B. 2A=sin 2B.则cos 2A=cosBcosα,sin 2A=sinBsinα.两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z). ∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos 2A=cosBcosα=cos 2B,sin 2A=sinBsinα=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1. 证明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++ 又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).2222方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ).点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练 已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,①3sin2α-2sin2β=0⇒3sinαcosα=sin2β,②①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sinα=31.2).两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tanα>0.∴tan(2π-2β)>0. 又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π. 结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tanα=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==-=-=-aa a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立.证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -=证明:原等式等价于θθ2tan 4cos 4sin 1=++.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan 2θ右边.∴上式成立,即原等式得证.2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tanα. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sinβ=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m 0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]⇒(1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα⇒tan(α+β)=mm-+11tanα.。
简单的三角恒等变换 教学设计 说课稿 教案
第2课时（一）导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）推进新课、新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sin x ，y=cosx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例思路1例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt△OBC 中,BC =cosα,BC=sinα,在Rt△OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα. 所以AB=OB-OA =cosα33-sinα. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP =α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx -6π)-2cos 22xω,x∈R(其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间.解:(1)f(x)=23sinωx+21cosωx+23sinωx -21cosωx -(cosωx+1) =2(23sinωx -21cosωx)-1=2sin(ωx -6π)-1. 由-1≤sin(ωx -6π)≤1,得-3≤2sin(ωx -6π)-1≤1,可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2kπ-2π≤2x -6π≤2kπ+2π(k∈Z),解得kπ-6π≤x≤kπ+3π(k∈Z).所以y=f(x)的单调增区间为［kπ-6π,kπ+3π］(k∈Z).点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π),所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.和即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意x 都成立. 又ω>0,所以,得cosφ=0. 依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π.由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,…. 当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数. 所以,综合得ω=32或ω=2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先21又∵tanα=tan［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π.又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.（四）课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.（五）作业。
简单的三角恒等变换 教学设计 说课稿 教案
本章复习本章知识网络教学分析理解领会新课标的编写意图．新课标中三角函数部分共分三个板块完成：必修4《三角函数》、《三角恒等变换》、必修5《解三角形》，本章是第二个板块；其中三角函数模型是主线，三角变换是关键．三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变换思想主要是：①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝A sin(ωx＋φ)；②化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如a sinθ＋b cosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可)．高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面：一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变换，包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想，利用向量的工具性，灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、相互联系的．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们一起又探究学习了第三章简单三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？对三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课知识回顾提出问题①列出本章所学的11个公式，回顾、思考并回答：推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变换的能力有什么帮助？②三角函数的变换灵活性大、方法多，回顾从前所学，三角变换都有哪些变换？③如果对三角函数变换题型进行归类，那么回顾从前所学，常见的基本题型有哪些？ 活动：问题①，本章的11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用－β代替β，α＝β等换元法就可以推导出其他公式．见下表：式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等．如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)，1＝tan αtan β＋tan α＋tan βtan (α＋β)， 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α等．(2)角的变换，角度变换是三角函数恒等变换的首选方法，在进行三角恒等变换时，对角之间的关系必须进行认真的观察联想，分析角之间的和、差、倍、分关系．在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角；熟悉两角互余、互补的各种形式；或者引入辅助角进行角的变换等．如：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)；π6＋α＝π2－(π3－α)等．还需熟练掌握一些常见的式子：如：sin x ±cos x ＝2sin(x ±π4)，sin x ±3cos x ＝2sin(x ±π3)等． 问题③，教师引导学生回顾总结，适时的点拨学生，常见三角恒等变换的基本题型有求值、化简、证明．对于求值，常见的有给角求值、给值求值、给值求角.1°给角求值的关键是正确地分析角之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；2°给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；3°给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．对于化简，有两种常见的形式：1°未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；2°根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和有附加条件恒等式的证明.1°无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用.2°有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．讨论结果：①～③略．应用示例思路1例1(1)化简tan2A tan(30°－A )＋tan2A ·tan(60°－A )＋tan(30°－A )tan(60°－A )；(2)已知α为锐角，且tan α＝12，求sin2αcos α－sin αsin2αcos2α的值． 活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这类问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是“弦”且是“和差角”，而条件是“切”且是“单角”．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝tan(30°－A)＋tan(60°－A)1－tan(30°－A)tan(60°－A)，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2A tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这一点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α、β∈(0，π4)，∴0<α＋β<π2. ∴cos(α＋β)≠0，cos α≠0.∴tan(α＋β)＝2tan α.由4tan α2＝1－tan 2α2，得4tan α21－tan 2α2＝1， 即得2tan α＝1，代入tan(α＋β)＝2tan α，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2例1已知θ∈(π2，π)，2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，求tan θ和sin(2θ＋π3)的值． 活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必要运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可以说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以tan 2θ＋tan θ－2＝0.tan θ＝1〕． ＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32 ＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32 ＝－4＋3310. 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ，cos θ的值，再代入得解，也是一种不错的思路.课堂小结1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式，主要是和角公式、差角公式、倍角公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．作业课本复习参考题A组3.设计感想1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械的训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套题型．第2课时βA.154π B.5π4C.7π4D.5π4或7π4答案：C 注意选用α＋β的余弦．2．已知a ＝(sin α－cos α，2 007)，b ＝(sin α＋cos α，1)，且a ∥b ，则tan2α－1cos2α等于( ) A ．－2 007 B ．－12 007C ．2 007 D.12 007答案：C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( ) A.17B ．7C ．－17D ．－7 答案：A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决．4．已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π<θ<－π2， 求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．答案：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较高的知识点，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式或其变形式．应用示例思路1例1若cos(π4－x )＝－45，5π4<x <7π4，求sin2x －2sin 2x 1＋tan x. 活动：本例是课本总复习B 组题中的一道姊妹题，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(π4－x )的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(π4－x )这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．解：sin2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x ＝sin2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin2x 1－tan x 1＋tan x＝sin2x tan(π4－x )＝cos(π2－2x )tan(π4－x ) ＝[2cos 2(π4－x )－1]tan(π4－x )． ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos(π4－x )＝－45，∴sin(π4－x )＝35，tan(π4－x )＝－34. ∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100. 例2已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值． 活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin 2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sin α的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一，由倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，得4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0⇔2cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0⇔2cos 2α(2sin α－1)·(sin α＋1)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0. ∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∵α∈(0，π2)，∴sin2α≠－2cos α.∴sin2α＝cos α(以下同方法二)． 点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识的基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标.＋π6)∵x ∈[0，π2]， ∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1. 因此，由f (x )的值域为[－5,1]，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，使多数考生能较轻松的完成．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法. (2)求sin2α－2cos 2sin (α－π4)的值． 活动：三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全放给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，得1＋tan α1－tan α＝－12， 解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2sin (α－π4)＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α，∵π2<α<π，且tan α＝－3， ∴cos α＝－1010. 即原式的值为－105. 点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么位置，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅. 1212＝π6，求sin α－β4的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强但难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β的关系，由θ1－θ2＝π6，求得α－β2，进而求得sin α－β2的值． 解：由题意知a ＝2cos α2(cos α2，sin α2)，b ＝(2sin 2β2，2sin β2cos β2)＝2sin β2(sin β2，cos β2)， ∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)．故|a |＝2cos α2，|b |＝2sin β2. cos θ1＝a ·c |a ||c |＝2cos 2α22cos α2＝cos α2，∴θ1＝α2. cos θ2＝b ·c |b ||c |＝2sin 2β22sin β2＝sin β2＝cos(β2－π2)， ∵0＜β2－π2＜π2，∴θ2＝β2－π2. 又θ1－θ2＝π6，∴α2－β2＋π2＝π6.∴α－β2＝－π3. sin α－β＝－π)＝－1.1．由学生回顾总结，通过本节课的复习对三角函数知识方法的整合达到高考要求了吗？对三角函数、平面向量、三角恒等变换有哪些新的认识？2．教师画龙点睛，点出处理三角函数及恒等变换问题，重在正确、熟练地运用三角公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅正用，还要逆用、变形用；在运用相关公式时，注意观察角之间的关系，认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征．更重要的是学会具体问题具体分析的科学方法．。
简单的三角恒等变换说课稿
简单的三角恒等变换说课稿一、说教材（一）作用与地位本文《简单的三角恒等变换》是高中数学课程中的重要组成部分，属于三角函数章节。
它不仅承担着巩固学生对三角函数基础知识的掌握，而且肩负着培养学生逻辑思维能力和数学变换技巧的重任。
在数学教育中，三角恒等变换是联系实际应用与理论推导的桥梁，通过学习，学生能够更好地理解数学在自然科学和社会科学中的应用。
（二）主要内容本文主要围绕以下三个方面的内容展开：1. 三角恒等变换的基本概念：包括正弦、余弦、正切的和差公式、倍角公式、半角公式等。
2. 三角恒等变换的基本方法：运用上述公式进行三角函数式的化简、求值等。
3. 三角恒等变换在实际问题中的应用：结合实际案例，让学生体验三角恒等变换在解决具体问题时的作用。
二、说教学目标（一）知识与技能目标1. 理解并掌握三角恒等变换的基本概念和基本方法。
2. 能够熟练运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学变换技巧。
（二）过程与方法目标1. 通过自主探究、合作交流，培养学生主动学习的习惯。
2. 通过问题解决，提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标1. 培养学生对数学的兴趣和热爱，提高学生的数学素养。
2. 引导学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
三、说教学重难点（一）重点1. 三角恒等变换的基本概念和基本方法。
2. 三角恒等变换在实际问题中的应用。
（二）难点1. 理解并熟练运用三角恒等变换公式。
2. 解决实际问题时，能够灵活运用三角恒等变换。
四、说教法（一）启发法在教学过程中，我将以启发式教学为主，引导学生通过观察、思考、总结等环节，自主发现三角恒等变换的规律。
具体操作如下：1. 以实际问题导入，激发学生的好奇心和求知欲。
2. 引导学生回顾已学的三角函数知识，为新知识的学习做好铺垫。
3. 设计一系列具有启发性的问题，让学生在思考问题的过程中，自然地发现三角恒等变换的规律。
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湘教版高中高一数学必修二《三角恒等变换》说课稿
一、引言
本次说课的内容是湘教版高中高一数学必修二中的《三角
恒等变换》单元。
在这一章节中，学生将学习三角函数的基本定义、性质和恒等变换的应用。
通过本单元的学习，学生将更加深入地了解三角函数，并能够运用所学的知识解决实际问题。
二、教材分析
本单元包括以下几个主要内容：
1.三角函数的基本概念和性质：介绍正弦函数、余弦
函数、正切函数的概念和性质，学习周期性、奇偶性、单
调性等基本特征。
2.三角函数的恒等变换：学习和掌握正弦、余弦、正
切等三角函数的恒等变换公式，例如和角公式、差角公式、倍角公式等，以及它们的应用。
3.三角函数的图像变换：通过对三角函数图像的平移、
伸缩、翻转等变换的研究，掌握三角函数图像的变化规律
以及相关应用。
三、教学目标
本单元的教学目标主要包括以下几个方面：
1.掌握三角函数的基本定义和性质，理解正弦、余弦、
正切函数的周期性、奇偶性和单调性等特点。
2.理解三角函数的恒等变换公式，能够正确使用和推
导和角公式、差角公式、倍角公式等。
3.能够通过三角函数的图像变换，准确描述三角函数
图像的平移、伸缩、翻转等变化规律，并能够应用到实际问题中。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高
其数学建模能力。
四、教学重点与难点
本单元的教学重点和难点主要集中在以下几个方面：
1.掌握和角公式、差角公式、倍角公式的应用，特别
是在求解三角函数的值、化简三角函数表达式等方面的应用能力。
2.理解三角函数的图像变换，包括平移、伸缩、翻转
等变换规律，并能够运用到实际问题中。
五、教学方法和过程
为了达到本单元的教学目标，本课采用了以下教学方法和过程：
1.情景教学法：通过引入实际生活中的问题和情境，
激发学生的学习兴趣和思维能力，提高他们的数学建模能力。
2.讨论互动法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问
题、解答问题，促进学生之间的互动和合作。
3.实例分析法：通过具体的实例和计算，让学生掌握
和角公式、差角公式、倍角公式等的应用方法，提高他们的计算能力。
4.案例解析法：通过分析实际问题，引导学生运用所
学知识解决实际问题，培养他们的解决问题的能力。
六、教学评价与作业
本单元的教学评价主要包括以下几个方面：
1.课堂表现评价：根据学生在课堂上的积极参与程度、
回答问题的准确与否、解题过程的清晰等来评价他们的学
习情况。
2.作业评价：通过布置适当的练习题，对学生的学习
成果进行评价，检验他们对所学知识的掌握情况。
为了提高学生的数学思维和解决问题的能力，推荐以下几
个作业：
1.完成教材中的课后习题，巩固所学的知识。
2.搜集一些实际问题，运用所学的三角恒等变换知识
进行分析和计算。
3.寻找和角公式、差角公式、倍角公式相关的实际应
用问题，并进行解答。
七、课堂设计
第一课时：三角函数的基本概念和性质
1.导入：通过引用实际例子，激发学生的学习兴趣。
2.学习正弦、余弦、正切函数的定义和性质，包括周
期性、奇偶性、单调性等。
3.通过实例分析，理解三角函数的基本性质，进行思
考和讨论。
第二课时：三角函数的恒等变换公式
1.复习第一课时的内容，通过学生讲解、小组讨论等
方式进行回顾。
2.学习和角公式、差角公式、倍角公式的推导和应用
方法。
3.结合实例，引导学生运用恒等变换公式解决具体问
题。
第三课时：三角函数的图像变换
1.复习前两课时的内容，进行知识点梳理和回顾。
2.学习三角函数的图像变换规律，包括平移、伸缩、
翻转等。
3.通过实例分析和讨论，让学生掌握三角函数图像变
换的方法和应用。
第四课时：综合运用
1.讲解和角公式、差角公式、倍角公式在实际问题中
的应用。
2.引导学生分组进行探究性学习，解决一些实际问题。
3.学生展示成果，并进行总结和讨论。
八、教学反思
通过本次课的教学，学生对三角函数的基本概念和性质有
了更加深入的理解，掌握了和角公式、差角公式、倍角公式的应用方法。
通过实例的引导和讨论，提高了学生的解决问题的能力。
希望学生能够通过本次课程的学习，更加熟练地运用三角函数的恒等变换和图像变换解决实际问题。