课时作业8：滚动训练(一)

滚动训练(一)一、选择题1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b 3cos B ＝asin A，则cos B 等于( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 B解析 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，∴b 3cos B ＝bsin B， ∴tan B ＝3，B ∈(0，π)， ∴B ＝π3，cos B ＝12.2.在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形 答案 D解析 由正弦定理，sin C ＝sin B b ·c ＝121·3＝32，∴C ＝π3或C ＝2π3.当C ＝π3时，A ＝π－B －C ＝π2，△ABC 为直角三角形，当C ＝2π3时，A ＝π－B －C ＝π6，△ABC 为等腰三角形.3.在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的面积为( ) A.17π4 B.49π3 C.12π5 D.17π3 答案 B解析 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝82＋32－2×8×3×⎝⎛⎭⎫12＝49， ∴a ＝7，∴2R ＝a sin A ＝732＝143，∴R ＝73，∴S ＝π⎝⎛⎭⎫732＝49π3.4.如图，测量河对岸的塔的高度AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔AB 的高度为( )A.15 2 米B.15 3 米C.15(3＋1) 米D.15 6 米答案 D解析 在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝CD sin 30°sin 135°＝152(米).在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan 60°＝156(米).故选D.5.将村庄甲、乙、丙看成A ，B ，C 三点，正好构成△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝37.若CB →·CA →＝52，且甲到丙的距离与乙到丙的距离之和为9，则甲、乙之间的距离为( )A.4B.5C.6D.7 答案 C解析 因为tan C ＝37，所以sin Ccos C ＝37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得cos C ＝±18.因为tan C >0，所以∠C 是锐角，所以cos C ＝18.因为CB →·CA →＝52，所以ab cos C ＝52，所以ab ＝20.又因为a ＋b ＝9， 所以a 2＋2ab ＋b 2＝81，所以a 2＋b 2＝41，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36， 所以c ＝6，故选C.6.钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A.5B. 5C.2D.1 答案 B解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5.7.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤π3，π2 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3 D.⎝⎛⎭⎫π2，2π3答案 B解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac ＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵B ∈(0，π)，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 二、填空题8.在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是 三角形. 答案 等腰解析 原式可化为sin A ＝2cos B sin C ＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2cos B sin C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴sin(B －C )＝0， ∵－π<B －C <π，∴B －C ＝0，∴B ＝C . ∴△ABC 是等腰三角形.9.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为 . 答案 40 3解析 设另两边长为8x ，5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2＝12，解得x ＝2.两边长是16与10，三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.10.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝ .答案2393解析 ∵S △ABC ＝3＝12bc sin A ＝12×1×c ×32，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×12＝13，∴a ＝13，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2393.11.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，E 在AC 上，若BE ⊥AC ，则ED ＝ .答案212解析 在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝ 3. 所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32. 在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212. 三、解答题12.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的长. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，∴由正弦定理可得sin B sin A ＝3sin A cos B . ∵sin A ≠0，∴tan B ＝3，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理得c ＝2a ，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3(负值舍去)，∴c ＝2a ＝2 3.13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c ⎝⎛⎭⎫a cos B －12b ＝a 2－b 2. (1)求角A ；(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围.解 (1)因为c ⎝⎛⎭⎫a cos B －12b ＝a 2－b 2， 所以a 2＋c 2－b 2－bc ＝2a 2－2b 2，a 2＝b 2＋c 2－bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为∠A ∈(0，π)，所以∠A ＝π3.(2)由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝3sin π3＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C .所以b ＋c ＝2sin B ＋2sin C ＝2sin B ＋2sin(A ＋B )＝2sin B ＋2sin A cos B ＋2cos A sin B ＝3sin B ＋3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 因为∠B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以∠B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1.所以b ＋c ∈(3，23]. 四、探究与拓展14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb ，则角A 的大小为 .答案 π3解析 由1＋tan A tan B ＝2c b 及正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B ，即sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C sin B，又∵sin(A ＋B )＝sin C >0，sin B >0， ∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0).则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ). 在△ABC 中，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 得sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.。