11.函数的定义与自变量取值范围
函数值及自变量的取值范围
y
x 等腰三角形两底角相等。
（ 3 ） 如 图 ， 等 腰 直 角 △ ABC 的 直 角 边 长 与 正 方 形 MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上， 开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A 点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
我们可以由自变量结合函数本身求出因变量，此时这个因变量的值称为该自变量
函数值 对应的
；同时，我们也可以由因变量结合函数本身求出自变量的值！
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3）
y=
x
1
2
；
（4） y＝ x 2 ．
解：（1）中x取任意实数，3x－1都有意义 .
(2)中x 取任意实数， 2x2＋7都有意义 .
（3）中，x≠－2时，函数有意义．
（4）中x≥2时，函数有意义．
试一试: 求下列函数自变量的取值范围
⑴ y= x2 x 1 ⑵ y= 3 x
⑶ y= 1
⑷ y= x 2
x2
x ⑸ y=(x1)0 ⑹ y=
说明:四种基本类型的函数自变量取值范围
x 1 29
1 整式-----一切实数
2 分式-----分母不为零
偶次根式 (被开方数≥0) 3 根式-----
奇次根式 (被开方数为一切实数 ) 4 零指数-----底数≠0
练习：一
P33习题中第4题 P31练习第3题
练习二：P32第2题
2.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变 量的取值范围：
函数值及自变量的取值范围
1、理解函数值的概念，并会求 某个自变量所对应的函数值；
高中数学基础之函数及其表示
1．一种优先意识 函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的 原则． 2．两个关注点 (1)分段函数是一个函数． (2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
核心考点突破
考点一 函数的概念
【例1】 (1)下列对应是从集合A到B的函数是( A ) A．A＝N，B＝N，f：x→y＝(x－1)2 B．A＝N，B＝R，f：x→y＝± x C．A＝N，B＝Q，f：x→y＝x－1 1 D．A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分 数相对应
为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 ．
4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的
式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段函数
的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
角度3：待定系数法求函数解析式 【例2－3】 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－ 2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝__2_x_＋__7__.
[思路引导] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)→代入已知条件→解出a、b→得f(x)．
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a －2b＝ax＋5a＋b，
角度2：分段函数与不等式问题
【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝ 1)≤1的解集是_(_－__∞__，__－__1_＋___2_]_．
－x＋1，x<0， x－1，x≥0，
则不等式x＋(x＋1)f(x＋
(2)设函数f(x)＝ _a_≤___2___．
函数的定义域与值域分析
函数的定义域与值域分析函数是数学中的重要概念，它描述了两个集合之间的映射关系。
在函数的研究中，定义域和值域是两个重要的概念，它们对于理解函数的性质和特点有着重要的作用。
本文将对函数的定义域与值域进行分析和讨论。
一、定义域的概念在数学中，函数的定义域是指函数自变量的取值范围。
简单来说，就是函数中自变量可以取的实数的范围。
在定义域内的每一个实数都与函数中的唯一一个值相对应。
例如，对于函数f(x)=√x，定义域为非负实数集[0, +∞)。
这意味着函数中的自变量x必须大于等于0，否则函数无法定义。
在确定函数的定义域时，需要注意以下几个方面：1. 分式函数的定义域：对于分式函数，需要注意分母不能为0。
例如，对于函数f(x)=1/(x-1)，定义域为实数集R中除了x=1的所有实数。
2. 根式函数的定义域：对于根式函数，需要注意根号内的值必须大于等于0。
例如，对于函数f(x)=√(x-2)，定义域为[x≥2]。
3. 复合函数的定义域：对于复合函数，需要注意每个函数的定义域。
例如，对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域在f(x)的定义域内。
二、值域的概念函数的值域是指函数的所有可能的取值。
简单来说，就是函数中因变量的取值范围。
值域可以是一个集合，也可以是一个区间。
例如，对于函数f(x)=x^2，值域为非负实数集[0, +∞)。
这意味着函数中的因变量y的取值范围大于等于0。
在确定函数的值域时，需要注意以下几个方面：1. 一次函数的值域：对于一次函数，其值域为整个实数集R。
例如，对于函数f(x)=2x+1，值域为实数集R。
2. 幂函数的值域：对于幂函数，其值域取决于指数的奇偶性。
例如，对于函数f(x)=x^2，值域为非负实数集[0, +∞)；对于函数f(x)=x^3，值域为整个实数集R。
3. 三角函数的值域：对于三角函数，其值域是有界的。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，值域为闭区间[-1, 1]。
三、定义域与值域的关系函数的定义域和值域之间存在着密切的关系。
函数的定义域和值域
函数的定义域和值域函数的定义域、值域⼀、知识回顾第⼀部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是⼀个⾮空的数集，对于A 中的任意⼀个数x ，按照确定的法则f ，都有唯⼀的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的⼀个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做⾃变量，⾃变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果⾃变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或ax y=，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的⾃变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定⾃变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要⽤集合来表⽰. 3.区间表⽰法：设a ，R b ∈，且b a <.满⾜b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满⾜b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满⾜b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表⽰时，包括端点时，⽤实⼼的点，不包括时⽤空⼼点表⽰.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定⽅法：保证函数有意义，或者符合规定，或满⾜实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次⽅根式的⼤于等于零. （3）对数数函数的真数⼤于零.（4）指数函数与对数函数的底⼤于零且不等于1. （5）正切函数的⾓的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是⼀个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ?=的定义域的⽅法为解不等式：A x ∈)(?，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ?=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的⽅法:A x ∈，求)(x ?的取值范围即可.第⼆部分：函数的值域函数值域的确定⽅法：（1）直接观察法对于⼀些⽐较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.（3）换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解. （4）配⽅法：适⽤于⼆次函数值域的求值域. （5）判别式法：适⽤于⼆次函数型值域判定.（6）单调性法：利⽤单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利⽤已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利⽤不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬.⼆、精选例题第⼀部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意??≥≤≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（）A .()0,+∞B .(),0-∞C.()(),11,0-∞--UD.()()(),11,00,-∞--+∞U U【解析】由?≠-≠+001x x x 得,01<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（）5.0,2A ??[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】Θ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.⼜由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是??25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？【解析】Θ函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠?≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠?≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数??-xx f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-x x ()2100312≤≤?≤-?x x x故函数-x x f 213的定义域是??∈21,0x例7.若函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，⽆意义，∴0≠k ；当068y kx x k =-++为开⼝向下的⼆次函数，图像向下延伸，函数值总会出现⼩于零的情况，进⽽，0k 时，同时要求0≤?，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以??≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---Y⼜121<<-x，解得22<<-x ，即)2(x f 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(x f 的定义域的交集，即)0,21()21,2(---Y )2,2(-I =)0,21()21,2(---Y故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(---Y .例9.已知函数()23x x f x a b =?+?，其中常数,a b 满⾜0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x xb b <>?-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=? +?>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第⼆部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x Θ01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,Y2.分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++=故值域为?≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，⽆最⼩值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三⾓换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x Θ1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤Θ4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配⽅法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+，因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤，所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=?y .解得2321≤≤y ，当1=y 时，0=x ，⽽??∈23,211，故函数的值域为??23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ，令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数，所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e Θ011>-+∴y y ，解得11<<-y ，所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法：例9.求函数xx y 4+=的值域；【解析】当0>x 时，4424=?≥+=xx x x y （当x =2时取等号）；所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞. 当02)4(-=?-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）；所以当010.数形结合法函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ?，()23()1,2--ABPxyBPA根据三⾓形两边之差⼩于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、课堂训练第⼀部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01.Y ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()≥≥-001x x x ≥≤≥?001x x x 或即[){}0,1Y +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 11211++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：≠≠+≠++001101121x x x解得≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈?x ??? ??-31,1Y ??? ??0,31Y ()+∞,0Y3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数??-141x f 的定义域. 【解析】①Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x 故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ②Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数??-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】Θ函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上⽅，则()x f 的定义域为（）.{}1.x x B {}11.-≠x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-?x 得;10<≤x当0>+x 1-≠?x 得.10-≠6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==⽤x a ,表⽰z .（2）设ABC ?的三边分别为c b a ,,，且⽅程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ?的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11 zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11zay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原⽅程可以转化为0)(10lg22222=-+-a b c x x ⼜因为⽅程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=?ab c ，必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ?为直⾓三⾓形.第⼆部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x Θ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域. 【解析】将函数配⽅得：()412 +-=x y []2,1-∈x Θ由⼆次函数的性质可知：当1=x 时，,4min =y 当1-=x 时，8max =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+??? ??+=++=t t t y⼜,0≥t 由⼆次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增⼤时，y 值趋于∞+，故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域.【解析】定义域满⾜?≥+-≥-023032x x x 3≥?x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开⼝向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从⽽知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ??>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域. 【解析】0≥x Θ33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞-例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配⽅，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x Θ∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】Θ1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1；①当1≠y 时，⽅程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=?y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31??例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为⽆上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为⽆上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最⼩值2，原函数有最⼤值22 2= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt Θ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ??≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（）.A 最⼤值2，最⼩值2- .B 最⼤值3，最⼩值1- .C 最⼤值4，最⼩值0 .D 最⼤值1，最⼩值3-4.已知函数31++-=x x y 的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则Mm的值为（） 41.A 21.B 22.C 23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()43 13512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83??试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤?≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+??+-=--≤x x x Θ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()??>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈?y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平⽅，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B 【解析】∴≥+392x Θ3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥?≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最⼤值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>>≥>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ?中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最⼤. PB PA y +==AB 故()()3742212=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的所以在21=x 时，取得最⼩值.即??+∞∈,21y .11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f Θ即有(),212131≤-≤x f令(),21,31,21∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t21,311Θ，∴函数()t g y =在区间21,31上单调递增，,9731min =??? ??=∴g y ∴=??? ??=.8721max g y 函数的值域为87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最⼩者，则()x f 的最⼤值是什么？7.已知??-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域：（1）[);5,1,642∈+-=x x x y（1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为??+∞-? -∞-,3232,Y ，求k 的值.11.（1）已知函数?≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最⼩值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425??--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥?≥+x x ，即??+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10,Y y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+??-=+-=∴t t t y ，⼜o t ≥，∴结合⼆次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为?≥815y y . 4.【解析】Θ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=?y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=?y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，⽽2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同⼀直⾓坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最⼤值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()3 8max =x f . 7.【解析】Θ??-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x 4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是??--∈41,45x 8.【解析】（1）配⽅，得().222+-=x y [),5,1∈x Θ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号⾥配⽅得：()30922≤≤?+--=y x y 即[]3,0∈∴y .。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种特定的对应关系。
在函数的定义中，有两个关键概念，即定义域和值域。
定义域是指函数中自变量的取值范围，而值域则是函数中因变量的取值范围。
本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在数学问题中的应用。
一、定义域的概念及求解方法在函数中，定义域指的是自变量的取值范围，即函数可以接受哪些输入。
为了确定一个函数的定义域，需要考虑自变量的限制条件。
常见的限制条件包括分式的分母不能为零，指数函数中指数不能为负数等。
下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的定义域。
例1：求解函数f(x) = √(4-x) 的定义域。
由于根号内不能出现负数，所以要求 4-x ≥ 0。
解这个不等式，有 x ≤ 4。
因此，函数 f(x) 的定义域为x ≤ 4。
例2：求解函数 g(x) = 1/(x-2) 的定义域。
分式的分母不能为零，所以要求 x-2 ≠ 0。
解这个不等式，可得x ≠ 2。
因此，函数 g(x) 的定义域为x ≠ 2。
通过以上例子，可以看出求解定义域的方法是根据函数的特点，找出限制自变量的条件，并求解相应的不等式。
二、值域的概念及求解方法在函数中，值域指的是函数的因变量的取值范围，即函数可以得到哪些输出。
确定一个函数的值域，需要根据函数的性质来进行推导和分析。
下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的值域。
例3：求解函数 h(x) = x^2 的值域。
对于任意实数 x，都有x^2 ≥ 0。
因此，函数 h(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。
例4：求解函数k(x) = √x 的值域。
由于根号函数的特点，要使得 k(x) 存在，需要x ≥ 0。
另外，根号函数的值永远大于等于零。
因此，函数 k(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。
通过以上例子，可以发现求解值域的方法是根据函数的性质，直接分析函数表达式得到。
三、定义域与值域的应用1. 函数的性质分析：通过确定函数的定义域和值域，可以深入了解函数的性质。
函数自变量的取值范围的方法
函数自变量的取值范围的方法
以下是一些常见函数类型及其自变量的取值范围的方法和类型：
1.实数函数：实数函数是指定义在实数集上的函数。
对于实数函数而言，自变量的取值范围通常是整个实数集，即(-∞,+∞)。
2.整数函数：整数函数是指定义在整数集上的函数。
自变量的取值范围为整数集，即{...-3,-2,-1,0,1,2,
3...}。
3.有理数函数：有理数函数是指定义在有理数集上的函数。
有理数函数的自变量的取值范围为有理数集。
4.正数函数：正数函数是指函数的值域为正实数集的函数。
自变量的取值范围是指使函数的值大于零的所有可能值的集合。
可以通过解不等式或条件来获得自变量的取值范围。
5. 二次函数：二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a, b, c 是实数且a ≠ 0。
二次函数的自变量的取值范围可以通过求解二次函数对应的二次方程的根来确定。
根的范围可以通过判别式进行判断。
6.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
由于三角函数的周期性，自变量的取值范围通常是整个实数集。
但在一些特殊情况下，可能存在限制条件，例如正切函数在x=(n+1/2)π（n为整数）时无定义。
除以上常见函数类型外，还有一些其他函数类型也有其特定的自变量取值范围的方法，如指数函数、对数函数、双曲线函数等。
在确定自变量
的取值范围时，我们需要考虑函数的定义域、值域、特殊点、不等式条件等因素，并根据函数的特点进行分析和求解。
函数的值域与定义域分析
函数的值域与定义域分析在数学的广袤天地中，函数是一个极为重要的概念。
而函数的值域与定义域，则是理解和研究函数的关键要素。
首先，咱们来聊聊什么是函数的定义域。
简单说，定义域就是函数中自变量的取值范围。
比如说，对于一个分式函数，分母不能为零；对于一个根式函数，根号下的式子必须大于等于零。
这就像是给自变量设定了一个活动范围，只有在这个范围内，函数才有意义。
举个例子，函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，这里 x 就不能等于 1 ，因为要是 x 等于 1 ，分母就成零了，整个式子就没意义啦。
所以，这个函数的定义域就是 x 不等于 1 ，用数学语言表示就是 x ∈（∞， 1) ∪（1, ＋∞）。
再比如，函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，为了让根号下的式子有意义， x ＋ 2 就得大于等于零，解这个不等式，就能得到 x 大于等于－2 ，所以它的定义域就是 x ∈－2, ＋∞）。
定义域的确定，不仅取决于函数的表达式，还可能受到实际问题的限制。
比如说，在一个描述时间、长度、面积等实际量的函数中，自变量的值通常不能是负数，也不能超出实际可能的范围。
说完定义域，咱们再来看看值域。
值域呢，就是函数因变量的取值范围。
也就是说，在给定的定义域内，函数输出的所有可能的值的集合。
还拿上面的例子来说，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，因为 x 不等于1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的值趋近于正无穷或者负无穷；当 x 趋近于正无穷或负无穷时，f(x) 趋近于零但不等于零。
所以，这个函数的值域就是 y ∈（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。
对于函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，因为根号下的数总是非负的，而且根号下 x ＋ 2 可以取到零以及大于零的任何值，所以这个函数的值域就是 y ∈ 0, ＋∞）。
确定函数的值域有时候并不容易，需要我们对函数的性质有深入的理解。
比如，对于二次函数，我们可以通过分析其开口方向和顶点坐标来确定值域；对于一些复杂的函数，可能需要用到求导等高等数学的方法。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解11 一次函数 (解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题11 一次函数【知识要点】考点知识一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】1、有两个变量。
2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定方法在数学中，函数是一种映射关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值。
确定函数自变量的取值范围是非常重要的，它决定了函数的定义域，也就是函数能够接受的有效输入。
以下是几种确定函数自变量取值范围的方法：1.函数定义式：函数的自变量取值范围可以通过函数的定义式来确定。
例如，对于一个有理函数f(x)=1/(x+1)，我们可以通过分析定义式知道x的取值范围不能为-1，因为分母不能为零。
2.分段函数：如果一个函数在不同的自变量范围内有不同的定义式，那么我们需要考虑每个定义式的自变量取值范围。
例如，对于一个分段函数f(x)=，x，我们知道在x<0时，f(x)=-x；在x≥0时，f(x)=x。
因此，对于x<0和x≥0，我们需要考虑两个不同的自变量取值范围。
3.函数图象：函数的图象可以提供有关函数自变量的取值范围的一些线索。
我们可以通过观察函数的图象来确定函数自变量的取值范围。
例如，对于一个简单的二次函数f(x)=x^2，我们可以看到函数图象是一个开口朝上的抛物线，意味着函数自变量的取值范围为实数集。
4.函数的性质和约束：函数的性质和约束也可以提供有关函数自变量取值范围的信息。
例如，对于一个表示物体高度的位置函数f(t)，我们知道物体不能以负的高度存在，因此自变量t的取值范围不能小于零。
5.实际问题：当函数被用于解决实际问题时，问题所涉及的条件和限制可以帮助确定函数自变量取值范围。
例如，对于一个描述人的体重变化的函数f(t)，我们知道体重不能为负，因此自变量t的取值范围不能小于零。
总之，确定函数自变量取值范围的方法包括分析函数的定义式、分段函数的定义式、观察函数图象、考虑函数的性质和约束以及解决实际问题时考虑问题所涉及的条件和限制等。
通过这些方法，我们可以确定函数自变量的取值范围，从而确保函数的定义域是有效的。
数学中的函数定义域与值域
数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。
4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。
二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。
4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。
三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。
2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。
3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。
四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。
2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。
3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。
4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。
5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。
五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。
2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。
3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。
4.对于对数函数，值域为实数集R。
5.对于分式函数，值域为非零实数集。
6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。
六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。
2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。
3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。
4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
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第9 讲函数与函数图象
1.常量与变量：
2.函数的概念
3.函数的各种表示方法：
4.函数的图象的画法：
题型一函数的定义
例1.下列曲线中，不能表示变量y是x的函数的是（）
分析：判断两个变量是否有函数关系，不仅看他们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每个确定的值，y是否有唯一确定的值和他对应
练习1. 下列曲线中，反映了变量y是x的函数的是（）
题型二自变量的取值范围
1．函数y中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥2 B．x>2 C．x<2 D．x≠2
2．函数
1
y
x3
+
-
中，自变量x的取值范围是（）
A．全体实数B．x≤3 C．x<3 D．x>3
3．函数y=∣x+1∣－5中，自变量的取值范围是（）A．一切实数B．x≠0 C．x≠0或x≠－2 D．x≠0且x≠－2
4．若等腰三角形的周长为60cm ，底边长为xcm ，一腰长为ycm ，则y 与x 的函数关系式及变量x 的取值范围是
（ ）
A ．y=60－2x （0<x<60）
B ．y=60－2x （0<x<30）
C ．y=
1
2（60－x ）（0<x<60）
D ．y=
1
2
（60－x ）（0<x<30） 5.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A .y =x -2
B. y =
2
1-x C. y =2
4x D. y =2+x ·2-x 6．已知函数自变量的取值范围是1
2
＜x ≤1，下列函数适合的是 （
）
A ．y
=
B ．y = y =
D ．y =
7．求下列各函数的自变量的取值范围：
（1）y=2x －1 （2）2
y 3x =
（3）2
y x 1
=
+ （4）y
（5）y （6）y ＝（2－x ）6
（7）y =
例2.一个小球由静止开始在一个斜披上向下滚动，其速度每秒增加2m ，到达坡底时，小球的速度达到40m/s 。
（1）求小球速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数关系式； （2）求t 的取值范围； （3）求3.5s 时小球的速度；
（4）当t 为何值时，小球的速度为16m/s ？
练习1. 某种化肥在县城里的甲、乙两个生产资料门市部均有销售，现了解到该种化肥在甲、乙两个门市部的标价均为600元/吨，但都有一定的优惠政策，甲门市部是第一吨按标价收费，超出部分每吨优惠25%；乙门市部每吨优惠20%出售．
（1）写出甲门市部每次交易的销售额y 1（元）与销量x （吨）之间的函数关系式及乙门市部每次交易的销售额y 2（元）与销量x （吨）之间的函数关系式；
（2）种粮大户张某想一次购买此种化肥4吨，李某想一次购买此种化肥8吨，他们到哪个门市部购买省钱，请给他们分别提出合理建议。
例2. 有一个装有进、出水管的容器，单位时间内进、出的水量都是一定. 已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满. 若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完. 现已知容器内有水200升，先打开进水管5分钟，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则正确反映这一过程中容器中的水量Q （升）随时间t （分）变化的图象是（ ）
3
3
9
A
B
C
D
例3.已知有两个人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地，下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）甲地与乙地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达了乙地？早到多长时间？ （2）分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态． （3）求摩托车行驶的平均速度．
练习1.小明某天放学后，17时从学校出发，回家途中离家的路程 s （百米）与所走的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，那么这天 小明到家的时间为（ ） A. 17时15分
B. 17时14分
C. 17时12分
D. 17时11分
练习2.甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法： （1）他们都行驶了18千米； （2）甲在途中停留了0.5小时； （3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5）甲、乙两人同时到达目的地 其中符合图象描述的说法有（ ） A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
练习3.如图，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ） A ．处 B ．处 C ．
处 D ．处
练习4.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡
路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（
）
A ．12分钟
B ．15分钟
C ．25分钟
D ．27分钟
练习5.如图，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
练习6.如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A 、乙比甲先到终点
B 、乙测试的速度随时间增加而增大
C 、比赛进行到29.7秒时，两人出发后第一次相遇
D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
练习7.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量(kg)与其运费
(元)由
如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ） (A)20kg (B)25kg (C)28kg (D)30kg
练习8.如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿
运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致
是（ ）
MNPQ R N N P Q M M R x MNR △y y x 9x =R N P Q M x x y ABCD P A B C D A →→→→P y P
s D
A .
B .
C .
D .。