高中数学(人教,选修2-3)第三章《统计案例》测试题A卷

高中数学选修2-3第三章《统计案例》测试题A卷

考试时间：100分钟，满分：150分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）

1．下列关于残差的叙述正确的是( )

A．残差就是随机误差B．残差就是方差C．残差都是正数D．残差可用来判断模型拟合的效果

2.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )．A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌

B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌

C．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有

D．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人

3．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据( ) A．K2>3.841 B．K2<3.841C．K2>6.635 D．K2<6.635

4．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )

A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反5.已知x与y之间的一组数据：

已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^

＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( )

A ．1

B ．0.85

C ．0.7

D ．0.5

6．下面关于K 2

说法正确的是( )

A ．K 2

在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关 B ．K 2的值越大，两个事件的相关性就越大

C ．K 2

是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K 2

的值很小时可以推断两类变量不相关

D ．K 2

的观测值的计算公式是K 2

＝

()

()()()()

n ad bc a b c d a c b d -++++

7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )

A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元

8.下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表：

那么A ＝A ．47 92 88 82 55B ．47 92 84 82 53C ．47 92 88 82 53 D ．45 92 88 82 53

9.在建立两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2

如下，其中拟合得最好的模型为( )

A ．模型1的相关指数R 2

为0.75B ．模型2的相关指数R 2

为0.90 C ．模型3的相关指数R 2

为0.25D ．模型4的相关指数R 2

为0.55

10.对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )

A ．由样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －

) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2

的值越小，说明模型的拟合效果越好

D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 二、填空题（每小题6分,共24分） 11.已知x 、y 的取值如下表：

从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ^

＝________.

12．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于________；解释变量和预报变量之间的相关系数等于________．

13.对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．

14.有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究国籍与邮箱名称是否含有数字有关，于是我们共收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字．那么认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”的把握性为________．(用百分数表示)

K 2

＝

2

()()()()()

n ad bc a b c d a c b d -++++

三、解答题（共计76分）．

15.（本题满分12分）已知变量x 与变量y 有下列对应数据：

且y 对x 呈线性相关关系，求

16.（本题满分12分）以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表

（1） 给出两个回归方程：（1）318.254294.0-=x y ，（2）x

e

y 0197.0004.2=

通过计算，得到它们的相关指数分别是：9311.02

1=R ，998.02

2=R 。试问哪个回归方程拟合效果最好？

（2）若体重超过相同身高男性平均值的1．2倍为偏胖，低于0．8为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm,78kg ，他的体重是否正常？

17.（本题满分12分）在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数．满分100分，按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格．为了解学生在该维度的测评结果，从毕业班中随机抽出一个班的数据．该班共有60名学生，得到如下的列联表.

已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为3.

(1)请完成上面的列联表；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？

18（本题满分12分）某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y (元)与该周每天销售这

种服装的件数x 之间的一组数据如下：

已知：∑7

i ＝1x 2

i ＝280，∑i ＝1y 2

i ＝45309，∑i ＝1x i y i ＝3487. (1)求x ，y ；

(2)判断纯利润y 与每天销售件数x 之间是否线性相关，如果线性相关，求出线性回归方程．

19.（本题满分14分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩.

(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议。

(其中，数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，b ^

＝

1

2

1

()()

()

n

i

i i n

i

i x

x y y x

x

==---∑∑，

a ^＝y －－

b ^x －)

20.（本题满分14分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)(2)能否有99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

高中数学选修2-3第三章《统计案例》测试题A 卷答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1.【答案】D

【解析】由残差的相关知识可知选D ． 2.【答案】C

【解析】统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 3．【答案】A

【解析】比较K 2

的值和临界值的大小，有95%的把握则K 2

>3.841，K 2

>6.635约有99%的把握． 4.【答案】A

【解析】因为b >0时，两变量正相关，此时，r >0；b <0时，两变量负相关，此时r <0. 5.【答案】D

【解析】回归直线必过样本中心点(1.5，y )，故y ＝4，m ＋3＋5.5＋7＝16，得m ＝0.5. 6.【答案】B

【解析】.K 2

只适用于2×2型列联表问题，且K 2

只能推断两个分类变量相关，但不能推断两个变量不相关．选项D 中K 2

公式错误，分子上少了平方． 7.【答案】 B 【解析】 ∵x ＝

4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544

＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^

必过(x ，y )， ∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，∴当x ＝6时，y ^

＝9.4×6

＋9.1＝65.5(万元)． 8.【答案】C

【解析】由列联表可得E ＝98－45＝53，D ＝180－98＝82，A ＝D －35＝47，B ＝45＋A ＝92，

C ＝E ＋35＝88.

9.【答案】 B

【解析】相关指数R 2

的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B. 10.【答案】 C

【解析】R 2

的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C. 二、填空题（每小题6分,共24分） 11.【答案】2.6

【解析】因为回归直线必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，代入y ^

＝0.95x

＋a ^

，得a ^

＝2.6. 12.【答案】0，1

【解析】由定义知散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于0，解释变量和预报变量之间的相关系数等于1.

13.【答案】y ^

＝－10＋6.5x

【解析】由题意知x ＝2，y ＝3，b ^＝6.5，所以a ^＝y －b ^

x ＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y ^

＝－10＋6.5x . 14.【答案】97.5% 【解析】列联表如下：

由表中数据，得K 2

＝124(43332721)70546460

??-????≈6.201，

∵K 2

≥5.024，∴有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”．

三、解答题（共计76分）．

15.【解析】 x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝12＋3

2＋2＋34＝7

4

，

∑n

i ＝1x 2

i

＝12

＋22

＋32

＋42

＝30，∑n

i ＝1x i y i ＝1×12＋2×32＋3×2＋4×3＝43

2

，L L 6分 ?b ∴＝∑n

i ＝1

x i y i －n x y ∑n

i ＝1

x 2i －n x 2

＝432－4×52×7430－4×254

＝0.8，?a ＝y －x ＝74－0.8×52＝－0.25， ∴?y

＝0.8x －0.25.L L 12分

16.【解析】（1）．2

12

2R R >Θ，∴选择第二个方程拟合效果最好。L L 6分 （2）．把175=x 代入x

e y 0197.0004.2=，得97.62=y

由于78

62.97

=1．24﹥1．2因此这名男生体型偏胖L L 12分

17.【解析】 (1)列联表如下：

L L6分

(2)提出统计假设：性别与测评结果没有关系，则K2＝

2

60(6182214)

40203228

??-?

???

≈3.348＞2.706.

P(K2＞2.706)＝0.10.

因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”．L L12分

18.【解析】(1)x＝1

7

(3＋4＋5＋6＋

7＋8＋9)＝6，

y＝

1

7

(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.L L6分

(2)根据已知∑

7

i＝1

x2i＝280，∑

7

i＝1

y2i＝45309，

∑

7

i＝1

x i y i＝3487，得相关系数

r0.973.

由于0.973>0.75，所以纯利润y与每天销售件数x之间具有显著的线性相关关系．

利用已知数据可求得线性回归方程为y

^

＝4.75x＋51.36.L L12分

19.【解析】(1)∵x

－

＝100＋

－12－17＋17－8＋8＋12

7

＝100，y

－

＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋6

7

＝100，

∴s2数学＝

994

7

＝142，∴s2物理＝

250

7

，

从而s2数学>s2物理，∴该生的物理成绩更稳定．L L7分

(2)由于x与y之间具有线性相关关系，

∴b

^

＝

7

1

72

2

1

(7)

7

i i

i

i

i

x y x y

x x

=

=

-

-

∑

∑

＝

497

994

＝0.5，a

^

＝y

－

－b

^

x－＝100－0.5×100＝50，L L10分

∴线性回归方程为y

^

＝0.5x＋50.当y＝115时，x＝130.L L12分

建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，这将有助于物理成绩的进一步提

高．L L14分

20.【解析】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值

为：70

500

×100%＝14%.L L5分

(2)K2＝

2

500(4027030160)

20030070430

??-?

???

≈9.967.

由于9.967>7.879，所以有99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．L L10分

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．L14分