微积分9.5 差分及差分方程的基本概念
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：一、引言二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义2.常见微分方程类型三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义2.常见差分方程类型四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性2.微分方程与差分方程的转换五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用2.生物、经济领域的应用六、结论正文：一、引言微分方程和差分方程是数学领域中两个重要的概念，它们广泛应用于各个学科领域。
本文将首先介绍微分方程和差分方程的定义及基本概念，然后探讨它们之间的关系以及应用领域。
二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义微分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其导数。
它可以表示为：f(x, y") = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y"表示y 关于x 的导数。
2.常见微分方程类型常见的微分方程类型包括：一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义差分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其差分。
它可以表示为：f(x, y[n]) = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y[n] 表示y 关于x 的n 阶差分。
2.常见差分方程类型常见的差分方程类型包括：一阶差分方程、二阶差分方程、线性差分方程、非线性差分方程等。
四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性微分方程和差分方程在形式上具有相似性，它们都包含未知函数及其导数（差分）。
这使得它们之间可以相互转换。
2.微分方程与差分方程的转换通过合适的差分方法，可以将微分方程转换为差分方程；反之，通过合适的积分方法，可以将差分方程转换为微分方程。
五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用微分方程和差分方程在物理、工程领域具有广泛应用，如电路理论、力学、热力学、波动理论等。
2.生物、经济领域的应用微分方程和差分方程在生物、经济领域也具有重要应用，如生物种群模型、经济波动模型等。
差分与差分方程的概念
5、 证 明 下 列 各 等 式 ：
(1)Δ(U xVx ) U x1Δ Vx VxΔ U x
(2)Δ(U x ) VxΔ U x U xΔ Vx
Vx
VxV x1
6、(1)已 知yt e t是 方 程yt1 α yt1 e1t的 一 个 特 解 ， 求α .
(2)设yt 2t 5是 差 分 方 程yt1 α yt β yt1 20的 一 个 特
求证Vx y x Ux Zx是差分方程
yx1 ayx f1( x) f2 ( x) f3 ( x)的解.
证明 由题设知：yx1 ayx f1( x) U x1 aU x f2 ( x) Z x1 aZ x f3 ( x)
Vx1 aVx yx1 ayx U x1 aU x Z x1 aZ x f1(x) f2(x) f3(x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
例10 验证：y C 2x 是差分方程yx1 yx 2的通解.
证明 把函数y C 2x代入差分方程yx1 yx 2，
则左边 C 2x 1 C 2x 2 右边，
所以y C 2x是差分方程y x1 y x 2的解，
它又含有一个任意常数，而所给差分方程又 是一阶的，
2(n 1) 1 2n 1) 2
3yn 3 (n2 ) 2 2 0 例2 求(n3 ), 2 (n3 )
例 3 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
loga ( x 1) loga x
1
loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
第l六节差分与差分方程的概念
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当变量被认为是离散或间断地变化而不是连续或瞬时 地变化时，差分方程就适合表示这些变化之间的关 系，而微分方程就不适合。
在企业管理和经济分析中，差分方程常常是有用的。
下面介绍差分与差分方程的一些概念并介绍简单的差
分方程的解法。这对我们研究和解决一些实际问题是 颇有益处的。
yx 4( x2 ) (2) 4(2x 1) 0 8x 4
2 yx yx2 2 yx1 yx
2 4( x 2)2 2 2 4 x 1 2 4 x 2 2 8
或者
2 yx yx 8x 4 8
2 yx 1 ；当 n 2, yx x 则 yx 2x 1.
一般地，若 y xn ，则
k n k yx ( x 1) n x n Cn x k 1 n
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例3 解
已知 y 4x 2 , 求 yx 和 yx .
2 2 3
(yx ) yx 1 yx ( yx 2 yx 1 ) ( yx 1 yx ) yx 2 2 yx 1 yx
称为函数 y y ( x)的二阶差分，记作 2 yx ，即
2 yx yx2 2 yx1 yx
实际上二阶差分是一阶差分的差分。
yx5 4 yx3 3 yx2 2 0
就是 ( x 5) ( x 2) 3 阶的，而不是5阶。事实上，作
x x 2 变换，便可得未知函数 yx 的差分方程
yx3 4 yx1 3 yx 2 0
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
第六节 差分方程的基本概念
一.差分的概念
函数yn f (n)在n时刻的一阶差分定义为 yn yn1 -yn f (n 1) f (n)
例1 : 设y n C, 求y n
例2 : 设y n n 2 , 求y n
函数yn f (n)在n时刻的二阶差分定义为一阶差 分的差分,记为 2yn 2yn yn1 -yn y n 2 2y n1 y n
定理2 : 如果y * (n)是非齐次方程(2)的一个特解, Y(n) 是相应齐次方程(1)的通解, 则非齐次方程(2)的通解 为 y(n) Y(n) y * (n)
若y1 (n),y 2 (n)是(2)的解,y1 (n) y 2 (n)是(1)的解
定理 3 : 如果y *1 (n),y * 2 (n)分别是 y n 2 a1y n 1 a 2 y n f1 (n), y n 2 a1y n 1 a 2 y n f 2 (n) y *1 (n) y * 2 (n) 的两个特解, 则 y n 2 a1y n 1 a 2 y n f1 (n) f 2 (n)的特解为
三.差分方程的解 四.常系数线性差分方程解的结构(以二阶为例)
标准形式 y n 2 a1y n1 a2y n 0
(1)
y n 2 a1y n1 a2y n f (n) (2)
定理 1：如果 y 1 (n) 与 y 2 (n) 是方程(1)的两个线性无关的 特解, 那么 y C1y 1 (n) C2 y 2 (n) 就是方程(1)的通解.
定义2 : 含有未知函数两个或两个以上函数值y n ,y n1 , 的方程称为差分方程,未知函数的最大下标与最小 下标的差称为差分方程的阶.
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定义2’ 函数yt的n 1阶差分的差分称为n阶差分，
记为 n yt ,即 n yt n 1 yt 1 n 1 yt .
例7 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 从例2已经得到yt 2t 1.于是
yt 2t 1 ［2 t 1 1］ 2t 1 2,
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
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例8 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 yt ［ t 1 2 t 1］ t 2 2t 2t 3，
2
yt 2t 3 2,
差分的基本运算性质： （1）Δ(Cyt)=CΔyt(C为常数); （2）Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt; （3）Δ(yt· zt)=ztΔyt+yt+1Δzt;
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例6 求yt t 2 · 2t的差分.
解 由差分的性质，有
yt (t 2 2t ) 2t t 2 (t 1)2 (2t )
项在方程中出现.
未知函数的最大下标与最小下标的差称为差分 方程的阶.
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例10 将差分方程3 yt 2 yt 0表示成不含 差分的形式.
解 因2 yt yt 2 2yt 1 yt， 3 yt yt 3 3yt 2 3yt 1 yt，
2 2
例3 已知阶乘函数t
0
( n)
n
t (t 1)(t 2)(t n 1)，
t 1.求t 解 设yn t ( n ) t (t 1)(t 2)(t n 1)，则
yt t 1
(n)
t
n
t 1 t (t 1) (t 1 n 1) t (t 1) (t n 1) ［ t 1 (t n 1)］t (t 1) (t n 2) nt
符号称为差分符号，也称为差分算子.
yt yt 1 yt或
例 1 设yt C(C为常数)，求 yt .
解 yt yt 1 yt C C 0.
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例2 设yt t ，求 yt .
2
解 yt yt 1 yt t 1 t 2t 1.
解 我们已知 yt at (a 1)，
2 yt ［at 1 (a 1)］［ at (a 1)］ at (a 1)2
3 yt ［at 1 (a 1)2］［ at (a 1)2］ at (a 1)3 .
NOTE：若f t 为n次多项式，则n f t 为常数， 则m f t 0 m n
第5节 差分及差分方程的基本概念
一、 差分的概念与性质
二、差分方程的概念
第9章
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迄今为止，我们所研究的变量基本上是属 于连续变化的类型，称为连续型变量. 而在经济管理的许多实际问题中，经济变量 的数据大多按等间隔时间周期统计，这些变量为 离散型变量. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离 散型模型. 本节将介绍在经济学和管理科学中最 常见的一种离散型数学模型——差分方程.
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二、差分方程的概念
2 n 形如 F ( t ， y ， y ， y ， ， yt ) 0， 定义3 t t t n yt 一定要在方程中出现. 称为差分方程.
形如 G(t，yt，yt 1，yt 2， ，yt n ) 0， 定义3′ ，yt n中至少有两 也称为差分方程. 但yt，yt 1，
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( n－1)
.
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例4 设yt at (其中a 0且a 1)，求 yt .
解 yt yt 1 yt a a a ( a 1).
t t
t 1
例5 设yt sint，求 yt .
1 1 解 yt sin(t 1) sin t 2cos(t )sin . 2 2
2t (2t 1) (t 1)2 2t (2 1) 2t (t 2 4t 2).
定义2 当自变量从t变到t 1时，一阶差分的差分
称为二阶差分，记为 2 yt
yt (yt ) yt 1 yt
2
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt .
或者记为 y0，y1， ，yt，yt 1， .
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当自变量从t变到t 1时，函数的改变量yt 1 yt 称 为函数yt 在点t的差分，也称为函数yt的一阶差分， 记为yt，
y t y t 1 y t .(t 0， 1，， 2
一、差分的概念与性质
在连续变化的时间范围内,
dy 变量y关于时间t的变化率是 用来刻画的; dt
在时间t是离散型变量时,
y 变量y关于时间t的变化率是 用来刻画的. t
定义1 设函数yt=y(t).当自变量t依次取遍非负整数 时，相应的函数值可以排成一个数列
y 0，y 1， ，y t ，y t 1， ，
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
NOTE：若f t 为n次多项式，则n f t 为常数， 则m f t 0 m n
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例9 设yt at (其中a 0且a 1)，求2 yt ，3 yt .