2013新课标高三模拟试题数学1(理)
广东省中山一中2013届高三高考模拟数学理试题及答案
2013年高考模拟考试理科数学试卷参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z 满足2,1iz i-=-则z 等于（ ） A ．i 31+ B ．i -3 C ．i 2123- D ．i 2123+ 2．若集合{}*|6N M x x =∈<，{}||1|2N x x =-≤，则()R M N =ð（ ）A ．(,1)-∞-B ．[1,3)C ．(3,6)D ．{4,5}3．命题“2,40R x x ax a ∃∈+-<”为假命题，是“016≤≤-a ”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ②若α//β，m α⊂，则//m β；③若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥；④若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②③5．按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处的条件 为（ ）A ．32k ≥B ．16k <C ．32k <D ．16k ≥ 6．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0，||||OA AB =，则CA CB ⋅等于（ ）A ．32BC ．3D．7．如右图，某几何体的三视图均为边长为l 的正方形， 则该几何体的体积是（ ）A ．65 B ．32 C ．1 D ．21 8．对于定义域和值域均为[0,1]的函数()f x ，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，xyOA1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是（ ）A ．2nB ．2(21)n -C ．2nD ．22n二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式432x x -+-<的解集为 ．10．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为 ．11．实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥0)1(1y x a a y x ，若函数z=x+y 取得最大值4，则实数a 的值为 ．12．若21(nx x-的展开式中含x 的项为第6项，设2012(13)n n n x a a x a x a x -=++++，则12n a a a +++的值为 ．ks5u13．已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232013a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 ．ks5u（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知P 是曲线M ：12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上的点，Q 是曲线L ：4531x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点，则||PQ 的最小值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP·NP = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．17．（本小题满分12分）空气质量指数5.2PM （单位:3/g m μ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM 2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 250>空气质量类别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM 进行监测，获得5.2PM 日均浓度指数数据如茎叶图所示：（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由）（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（III ） 在乙城市15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD ． （I ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA //平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （III ）若二面角M BQ C --为30°，设PM tMC =，试确定t 的值． 19．（本小题满分14分）设12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点．（1）设椭圆C上的点到12,F F 两点距离之和等于4，求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论．PABCD QM甲城市 3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9乙城市ks5u 20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()1,2,3n =．（I ）求证：数列{}1+n S 为等比数列； （Ⅱ）设2nnn S a b =，求证：1...21<+++n b b b ． 21．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2(0).2f x x ax x a =--< （1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；（2）若12a =-且关于x 的方程1()2f x x b =-+在[]1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）设各项为正的数列{}n a 满足：*111,ln 2,.n n n a a a a n N +==++∈求证：12-≤n n a2013年高考模拟考试理科数学试卷参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDADACAC二、填空题：（一）必做题（9～13题） 9．59{|}22x x <<； 10．13； 11．2； 12．255； 13．12-，2（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．65； 15．254． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，因为222b c a bc +-=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得1cos 2A =．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分） ………………… 3分 ∵0A π<<， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=． ……………………5分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 22x x =++ ………………7分1sin()62x π=++， ……………………9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+< （没讨论，扣1分） ………10分∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23 …………………11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴ABC ∆为等边三角形． ………………12分17．（本小题满分12分）空气质量指数5.2PM （单位:3/g m μ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM 2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 250>空气质量类别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM 进行监测，获得5.2PM 日均浓度指数数据如茎叶图所示:（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由）（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（III ） 在乙城市15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望． 解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好．…………………2分 （Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为321510=， …………………3分 乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为31155=， …………………4分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为923132=⨯． ……………………6分 （III ）X 的取值为2,1,0，……………………7分73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(21511015===C C C X P ，212)0(21501025===C C C X P X 的分布列为：…………………10分数学期望32212221101730=⨯+⨯+⨯=EX…………………12分18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =． （I ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA //平面BMQ ；PABCD Q M3 0 2 24 4 8 9 6 6 15 1 7 8 8 2 3 09 8甲城市 3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 78 8 0 7 9 1 8 0 9乙城市（Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（III ）若二面角M BQ C --为30°，设PM tMC =，试确定t 的值． （I ）证明：连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ……………1分∵//AD BC 且12BC AD =，即//BC AQ ． ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 是棱PC 的中点，∴//MN PA ……………………2分 ∵MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ， …………3分 ∴//PA 平面BMQ ． ……………………4分 （II ）证明：∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ ． ……………………5分 ∵90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即BQ AD ⊥． 又∵平面PAD ⊥底面ABCD 且平面PAD平面ABCD AD =，…………6分∴BQ ⊥平面PAD ． ……………………7分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………8分另证：//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴//BC DQ 且BC DQ =， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ ．∵90ADC ∠=︒， ∴90AQB ∠=︒，即QB AD ⊥． …………………5分 ∵ PA PD =，∴PQ AD ⊥． …………………6分 ∵ PQBQ Q =，∴AD ⊥平面PBQ ． …………………7分∵ AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． ……………………8分（III ）解：∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面ABCD = ∴PQ ⊥平面ABCD ． （不证明PQ ⊥平面ABCD 直接建系扣1分）如图，以Q 为原点，直线QA 、QB 、QP 分别为x 、y 、z空间直角坐标系，则(0,0,0)Q，P，B，(1C -．……10分于是平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；设(,,)M x y z，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---， ∵PM tMC =，∴(1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩），∴11t x t y t z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩ ……………………11分在平面MBQ中，QB =，(1t QM t =-+， 设平面MBQ 法向量为(,,)m x y z =， 由300m QB y ⊥⇒=⇒=，01t m QM x y z t ⊥⇒-+=+，不妨令x =z t = ∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =． ……………………12分 ∵二面角M BQ C --为30°，cos303n m n m︒⋅∴===+， ……13分 解得3t =±．又0t >，故3t = …………………………14分19．（本小题满分14分）设12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点．（1）设椭圆C 上的点到12,F F 两点距离之和等于4，求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论．解：（1）由于点2221b += …………………1分又2a =4， …………………2分∴椭圆C 的方程为：22143x y +=， …………………3分焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)F F -； …………………4分 （2）设1KF 的中点为(,)B x y ，则点(21,2)K x y + …………………6分把K 的坐标代入椭圆22143x y +=中，得22(21)(2)143x y ++=…………………7分 ∴线段1KF 的中点B 的轨迹方程为221()1324y x ++=； …………………8分（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，设0000(,),(,),(,)M x y N x y p x y --，且0x x ≠± …………………9分,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得222200222211x y x y a b a b+=+=，…………………10分PM PN y y y y k K x x x x -+==-+ …………………11分PMPN k K ⋅=2200022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a- …………………13分故：PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关． …………………14分20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()1,2,3n =．（I ）求证：数列{}1+n S 为等比数列； （Ⅱ）设2nnn S a b =，求证：1...21<+++n b b b ． 证明：（Ⅰ）2+3=1+n n S S ，)1+(3=1+∴1+n n S S ， ……………2分又3=1+1S ， ……………3分{}1+∴n S 是首项为3，公比为3的等比数列，且*31,N n n S n =-∈．……………4分（Ⅱ）当1=n 时，2==11S a ， ……………5分 当2n ≥时，)13()13(11---=-=--n n n n n S S a )13(31-=-n 132-⨯=n ．………………7分故1*23,N n n a n -=⨯∈． ………………8分()11211232311,2(31)(31)(31)3131n n n n n n n n b n ----⨯⨯=<=-≥----- ………………11分)131131()131131()131131(21...1322121---+⋅⋅⋅+---+---+<+++∴-n n n b b b ………………12分11312121<--+=n ． ………………14分21．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2(0).2f x x ax x a =--< （1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；（2）若12a =-且关于x 的方程1()2f x x b =-+在[]1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）设各项为正的数列{}n a 满足：*111,ln 2,.n n n a a a a n N +==++∈求证：12-≤n n a解：（1）221()(0).ax x f x x x +-'=->………………1分依题意()0f x '≥在0x >时恒成立，即2210ax x +-≤在0x >恒成立． 则22121(1)1x a x x-≤=--在0x >恒成立， 即min 2)1)11((--≤x a )0(>x………………2分当1=x 时，21(1)1x--取最小值1-………………3分∴a 的取值范围是(,1]-∞- ………………4分（2）21113,()ln 0.2242a f x xb x x x b =-=-+⇔-+-= 设213()ln (0).42g x x x x b x =-+->则(2)(1)().2x x g x x --'=………………5分列表：∴()g x 极小值(2)ln 22g b ==--，()g x 极大值5(1)4g b ==--， 又(4)2ln 22g b =--………………6分方程()0g x =在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩， ………………7分得 5ln 224b -<≤-………………8分 （3）设[)()ln 1,1,h x x x x =-+∈+∞，则1()10h x x'=-≤ ()h x ∴在[)1,+∞为减函数，且max ()(1)0,h x h ==故当1x ≥时有ln 1x x ≤-．………………10分①当1n =时，111a =≥成立；②假设1k a ≥，对任意*N n ∈均成立，则当1n k =+时，1ln 21k k k a a a +=++>， 所以当1n k =+时也成立，由①②得1n a ≥，*N n ∀∈成立，………………12分从而1ln 22 1.n n n n a a a a +=++≤+1112(1)2(1).n n n a a a +∴+≤+≤≤+………………13分即12n n a +≤，∴21n n a ≤-………………14分。
2013届全国名校高三模拟高三考试(一)理科数学(新课标)
2013届全国名校高三模拟高三考试（一）理科数学（新课标）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，则复数(12)(1)2i i i+--等于 A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．设函数2,0,()0,0,(),0,x x f x x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩且()f x 为奇函数，则(3)g ＝A ．8B ．18 C ．8- D ．18-4．为得到函数cos(2)3y x π=+的图像，只需要将函数sin 2y x =的图像A ．向左平移512π个单位B ．向右平移512π个单位C ．向左平移56π个单位 D ．向右平移56π个单位5．已知双曲线2221(0)2xyb b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则1P F 与2PF的夹角大小为A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，则这个几何体的体积不可能是A ．12B ．4πC ．1D ．3π7．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a += ，(,1)n b n n =+，*n N ∈．下列命题中为真命题的是A ．若对任意的*n N ∈，都有n c ∥n b成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有n c ∥n b成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的*n N ∈，都有n c ⊥n b成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的*n N ∈，都有n c ⊥n b成立，则数列{}n a 是等比数列8．设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为A．3B ．12C．3-D29．阅读右图程序框图，输出的结果y z的值为A ．89100B ．68110C ．68100D ．8914410．已知方程2()20f x x ax b =++=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则22(4)a b +-的取值范围为A ．(17,20)B．5⎛ ⎝⎭C ．81,185⎛⎫⎪⎝⎭D ．81,205⎛⎫⎪⎝⎭11．设,a b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“,a b αβ⊆⊆，且αβ⊥”的平面,αβA ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对12．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图像，则函数()l n ()g x f x =+的零点所在的区间是 A ．11(,)42B ．(1,2)C ．1(,1)2D ．(2,3)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，若(15)P X a <<=，(06)P X b <<=，则(01)P X <≤＝ ．14．已知n⎛⎝展开式中第4项为常数项，则n ＝ ． 15．数9117，9005，9239有某些共同点，即每个数都是首位为9的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有 个．16．已知,,O A B 是同一平面内不共线的三点，且O M O A O B λμ=+，则下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的编号） ①若11,22λμ==，则点M 是线段A B 的中点；②若1,2λμ=-=，则,,M A B 三点共线；③若11,||||O A O B λμ==，则点M 在A O B ∠的平分线上； ④若11,33λμ==，则点M 是△O A B 的重心；⑤若点M 在△O A B 外，则0λ<或0μ<或1212λμ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()cos cos)444x x x f x =+．（1）若()1f x =，求2cos()3x π-的值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B的取值范围．18．（本小题满分12分）某科考试中，甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不少于90分为及格．（1）甲班10名同学成绩的标准差 乙班10名同学成绩的标准差（填“＞”“＜”）； （2）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格．．．．．．，求乙班同学不及格的概率；（3）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图a 所示，在直角梯形A B C D 中，AB AD ⊥，A D ∥B C ，F 为A D 的中点，E 在B C 上，且E F ∥A B ．已知2A B A D C E ===，沿线段E F 把四边形C D E F 折起如图b 所示，使平面C D E F ⊥平面ABEF ．（1）求证：A F ⊥平面C D E F ； （2）求三棱锥C A D E -的体积；（3）求二面角B A C D --的余弦值． 20．（本小题满分12分）如图，已知A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上三点，点A 是长轴的一个顶点，B C 过椭圆中心O ，且0A C B C⋅=，||2||BC AC =．（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如图椭圆上两噗,P Q 使直线,CP CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使P Q A B λ=？请给出证明．21．（本小题满分12分）已知函数2()()xf x ax x e =+，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．（1）当0a <时，解不等式()0f x >；（2）若()f x 在[]1,1-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当0a =，求整数k 的所有值，使方程()2f x x =+在[],1k k +上有解．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时甲 乙2 5 7 7 8 93 6 8 8 6 7 86 8 9 1 2 3 56 8 10 1ABEFC DCEFA BD请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，已知△ABC 的两条角平分线A D 和C E 相交于H ，60B ∠=，F 在A C 上，且AE AF =．（1）证明：,,,B D H E 四点共圆； （2）证明：C E 平分C E F ∠．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,2,2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P的坐标为，求||||PA PB +． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|21|f x x =+，()|4|g x x =-． （1）求不等式()2f x >的解集；（2）不等式()()1f x g x m -≥+的解集为R ，求实数m 的取值范围．ABFECHD数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13．14．15．16．三、解答题17．。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |＜x，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2. 14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20． 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=. 当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.而F(x1)＝2x1＋2－21故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
福建省2013年普通高三数学全国统一模拟考试试题 理 新人教A版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试卷(理工农医类)本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式22121[()()()]n s x x x x x x n ---=-+-++-… 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. 若2ia bi i+=+（,,a b R i ∈为虚数单位），a b +=则（ ） A.1 B. 3 C.－1 D.－32A ．B ．C ．D ． 3．根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空天数350340330*********气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A.300B. 305C.315D. 320 ４.已知函数()af x x x=+，则“4a =”是“函数()f x 在(2,)+∞上为增函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知命题“直线l 与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题： ①直线l 上的点都在平面α内； ②直线l 上有些点不在平面α内；③平面α内任意一条直线都不与直线l 平行． 其中真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.06．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ） A ．8?n ≤ B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤7．已知正方形ABCD 边长为2,在正方形ABCD 内任意取一点M ，则点M 到边BC 的距离大于M 到点A 的距离的概率为( ) A.31 B. 61 C.32 D.65 8.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2(1)PD PA CB λ=-+，其中R ∈λ，则点P 一定在 A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部9．在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分别为6π和23π，向量OC 满足0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是( ) A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭10．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP x y =+e e （其中1e ，2e 分别是x 轴，y 轴同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(x ，y )，向量OP 的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论： ①若60θ=，P (2,－1)，则||3OP =；②若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1212(,)OP OQ x x y y +=++； ③若11(,)OP x y =，22(,)OQ x y =，则1212OP OQ x x y y ⋅=+；④若60θ=，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ． 3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 11.341()x x -展开式中常数项为 ．12.已知函数()f x cos ,0,1,0,x x x ≥⎧=⎨<⎩，则22()d f x x π-⎰的值等于 ．13．在区间]2,0[上任取两个数a ，b ，能使函数()f x 1ax b =++在区间]1,1[-内有零点的概率等于________.14．“求方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =。
2013年高考理科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共48页）数学试卷 第2页（共48页）数学试卷 第3页（共48页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20{}|2A x x x =->,{|55}B x x <<=-,则( )A .AB =R B .A B =∅C .B A ⊆D .A B ⊆ 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为( )A .4-B .45-C .4D .453.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =±5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为( )A .3866πcm 3 B .3500πcm 3 C .31372πcm 3D .32048πcm 37.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m =( )A .3B .4C .5D .68.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .810.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为( )A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 11.已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( )A .(,1]-∞B .(,0]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3,n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++=,12n nn b a c ++=,则( )A .{}n S 为递增数列B .{}n S 为递减数列C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________.14.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________.16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=,3AB =,1BC =,P 为ABC △内一点,90BPC ∠=.（Ⅰ）若12PB =,求PA ； （Ⅱ）若150APB ∠=,求tan PBA ∠.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共48页）数学试卷 第5页（共48页） 数学试卷 第6页（共48页）18.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若平面ABC ⊥平面11AA B B ,AB CB =,求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果3n =,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果4n =,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .21.（本小题满分12分）设函数2()f x x ax b =++,()e ()xg x cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a ,b ,c ,d 的值；（Ⅱ）若2x -≥时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.=|2A B x{A B=R，故选【提示】根据一元二次不等式的解法，求出集合，再根据的定义求出A B和A B．【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法【答案】D4i)34=+，故z的虚部等于i553/ 16故选A．=，解得1)1245 / 16故选A ．(2)(2+1)7!!!(+1)!m m m m m m =⨯，即13，再利用组合数的计算公式，解方程综上可知：[,0]2a∈-．（步骤4）67 / 16【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案． 【答案】2t =【解析】∵(1)c ta t b =-＋，∴2(+1)||b t b ab t =-．（步骤又∵||||1a b ==，且a 与b 夹角为60，b c ⊥，∴0|cos6|||0+t a b =︒2【提示】由于0b c =，对式子(1)c ta t b =-＋两边与b 作数量积可得|cos6|||0+a b ︒【考点】平面向量的数量积．85)(22,--+)(25,-+5)单调递增，在5)2-+单调递增，在9 / 161OCOA O =，所以1OAC 平面两两相互垂直．为坐标原点，OA的方向为|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系则(1,0,BC=，11(1,BB AA==-，(0,3,AC=-设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩即可取,1(3,n=-10cos,5||||n ACn ACn AC=-〈〉=BB1C1C所成角的正弦值为51111得1AB AC⊥；（Ⅱ）易证OA，1OA，OC两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正向，||OA为单位长，建立坐标系，可得BC，1BB，AC的坐标，设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩，可解得,1(3,n=-,n AC〈〉，即为所求正弦值．1011 / 1622)()A B ，411161616⨯+1【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系．21.【答案】（Ⅰ）4a =2b =2c =2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+x g x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）13 / 16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的90，由勾股定理可得，故DG 60．30，所以CF ⊥BF ，故60．从而30．得到15 / 16【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。
广东省茂名市2013届高三第一次高考模拟数学理试题答案
茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)二、填空题（每小题5分，共30分）9.2； 10. 2e ； 11. 2y x =±； 12. 160-； 13. )()3()2()1()12(5312n n n n n n n+⨯⨯+⨯+⨯+=-⨯⨯⨯⨯⨯ ； 14. 3； 15. 3 3. 三、解答题（共80分）16. 解：（1）A ∠ 是钝角，3sin 5A =，4cos 5A ∴=- ……………………1分 在APQ ∆中，由余弦定理得：2222cos PQ AP AQ AP AQ A =+-⋅所以28200AQ AQ +-=……………………4分解得2AQ = 或10-（舍去负值），所以2AQ = …………………………6分 （2）由135sin ,1312cos ==αα得 …………………………7分在三角形APQ 中，A αβπ++=又3sin()sin()sin ,5A A αβπ+=-==…………………………8分4cos()cos 5A αβ+=-=…………………………9分 sin(2)sin[()]αβααβ∴+=++sin cos()cos sin()ααβααβ=+++………11分 655653131254135=⋅+⋅= ………………………12分 17. 解：（1）B 分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为13，12和16………3分（2）A 分店销售量为200件、300件的频率均为12， ……………4分ξ的可能值为400，500，600，700，且 ……………5分P （ξ=400）=111236⨯=， P （ξ=500）=11115223212⨯+⨯=，P （ξ=600）=1111126223⨯+⨯=， P （ξ=700）=1112612⨯=， ………9分 ξ的分布列为……………10分E ξ=400⨯16+500⨯512+600⨯13+700⨯112=16003（元） …………………12分 18.（1）证明：连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ∴//MN AC ………………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE ………………4分 （2）解法一：设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a (,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=- ………6分设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(0,1,0)n = ……………………………7分 设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a n BC x y a a ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即：0ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22(n = …………………………………………12分∴121212cos 21n n n n θ⋅===⨯⋅ ……………………………………………………13分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°………………………………………14分 解法二：延长CB 、DA 相交于G ，连接PG ，过点D 作DH ⊥PG ，垂足为H ，连结HC ……………………6分 ∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ，而AD ⊥DC ，PD ∩AD =D ∴CD ⊥平面P AD ∴CD ⊥PG ，又CD ∩DH =D ∴PG ⊥平面CDH ，从而PG ⊥HC ………………8分 ∴∠DHC 为平面P AD 与平面PBC所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………10分 在Rt =△PDG 中，22DG AD a ==，PD = 可以计算DH=…12分 在Rt △CDH中，tan CD DHC DH ∠=== ……………………………13分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°………………………………………14分 19. 解：（1） 10n n a na --=, 2n ≥，11=a∴123(1)(1)(2)n n n n a na n n a n n n a ---==-=--=⋅⋅⋅1(1)(2)32n n n a n =--⋅⋅=！ …………………………………………2分又!111==a ，n a n ∴=！ ………………………………………………………3分 （2）由1122n n n b b --=-两边同时除以2n 得111222n n n n b b --=-即111222n n n n b b ---=- …4分 ∴数列{}2n n b 是以12为首项，公差为12-的等差数列 …………………………5分 11(1)()12222n n b n n =+--=-，故2(1)2nnn b =- ……………………………6分 （3）因为12111,22(1)(2)12n n n n n a b n a n n n n -+==--=-⋅++++ ………………8分 记n A =3123452n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+ 1111111111()()()()2334451222n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++ ………10分 记{2}n n b -的前n 项和为n B则01211222322n n B n -=-⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅ ① ∴12121222(1)22n n n B n n -=-⋅-⋅-⋅⋅⋅--⋅-⋅ ② 由②-①得：012122222n nn B n -=+++⋅⋅⋅+-⋅122(1)2112nn n n n -=-⋅=-⋅-- ……………………………………………………………………………………13分 ∴123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+=11(1)222n n n A B n n +=-⋅--+……………14分 20. 解：（1）解：由e =223a c =，再由222c a b =-，解得a = …………1分由题意可知1222a b ⋅⋅=，即a b ⋅= …………………………………2分解方程组a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b == ………………………………………3分所以椭圆C 1的方程是22132x y += ………………………………………………3分 （2）因为2MP MF =，所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F （1，0）的距离，所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线，2F 为焦点的抛物线，…6分所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x = …………………………………………7分 （3）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅=……………………………………………………………………………………8分 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………………………10分所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. ………………………12分 圆的直径|OS=== 因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，minOS=， ……………13分所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）……………………14分21. 解：（1）当1a =时，321()223g x x x x =+-，2'()42g x x x =+- …………………1分 由'()0g x <解得22x -<<- ……………………2分∴当1a =时函数()g x的单调减区间为(22---+；………………3分（2）易知2()'()42f x g x ax x ==+-依题意知 1212()()()22x x f x f x f ++-222121211224242()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+--212()04ax x =--< …………………………………………………………5分因为12x x ≠，所以0a >，即实数a 的取值范围是(0,)+∞ ；………………6分（3）解法一：易知2224()42()2f x ax x a x a a=+-=+--，0a >. 显然(0)2f =-，由（2）知抛物线的对称轴20x a=-< ………………7分 ①当424a --<-即02a <<时，2(,0)M a∈-且()4f M =- 令2424ax x +-=-解得x =……………………8分此时M 取较大的根，即M ==…………………9分 02a <<， ∴1M =>- ………………………10分②当424a --≥-即2a ≥时，2M a<-且()4f M =令2424ax x +-=解得x =……………………11分此时M 取较小的根，即M ==………………12分 2a ≥， ∴3M =≥-当且仅当2a =时取等号 …………13分由于31-<-，所以当2a =时，M 取得最小值3- ……………………14分 解法二：对任意[,0]x M ∈时，“4f x ≤|()|恒成立”等价于“4f x ≤max ()且4f x ≥-min ()”由（2）可知实数a 的取值范围是(0,)+∞故2()42f x ax x =+-的图象是开口向上，对称轴20x a=-<的抛物线……7分 ①当20Ma-≤<时，()f x 在区间[,0]M 上单调递增， ∴f x =max ()(0)24f =-<， 要使M 最小，只需要2424f x f M aM M ==+-=-min ()()………8分若1680a ∆=-<即2a >时，无解若1680a ∆=-≥即02a <≤时，………………9分解得2M a =<-（舍去） 或1M =≥-故1M ≥-（当且仅当2a =时取等号）…………10分 ②当2Ma <-时，()f x 在区间2[,]M a-上单调递减，在2(,0]a-递增，(0)24,f =-< 24()24f a a-=--≥-则2a ≥，…………………11分要使M 最小，则2424f M aM M =+-=()即2460aM M +-= ……………………………………………………………12分解得2M a=>-（舍去）或3M ==≥-（当且仅当2a =时取等号）……13分综上所述，当2a =时，M 的最小值为3-. …………………………………14分。
广西八桂区2013届高三第一次模拟数学理(附答案)
2013年高考桂林市第一次调研考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0. 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12z z =，则实数a 的值为（A ）2 （B ）-2 （C ）2或-2 （D ）2±或0（2）若集合{}|23M x x =-<<，{}2|1,N y y x x R ==+∈，则集合M N =（A ）R （B ）（-2，+∞） （C ）（-2，3） （D ）[)1,3（3）设向量a,b 满足：1a =，2b =，()0a a b ⋅-=，则a 与b 的夹角是（A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ）120（4）已知a ，b 为实数，则“1a b +<”是“12a <且12b <”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数,且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8967a a a a ++等于(A)3+（B）1（C）1（D）3-（6）已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan()αβ+= (A)73- (B)73 (C)57(D)1（7）已知函数3()(0)()(0)2(0)x x b e x f x a x a x ⎧+<⎪=≠⎨+≥⎪⎩在点x=0处连续，则221lim (2)x b x x a x x →∞⎡⎤-⎢⎥--⎣⎦= （A ）-1 （B ）0 （C ）12-（D ）1 （8）若将函数sin()3y x πω=+（ω>0）的图象向右平移4π个单位后，与函数sin()3y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（A ）112 （B ）13 （C ）2 （D ）233（9）关于x 的实系数一元二次方程22x ax b ++=0的两实数根分别位于区间（0，1）（1，2），则21b a --的取值范围是（A ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（10）已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，规定：当()()f x g x ≥时，()()h x f x =；当()()f x g x <时，()()h x g x =-，则()h x（A ）有最小值 -1，无最大值 (B ）有最大值1，无最小值（C ）有最小值 -1，最大值１ （D ）有最大值-1，无最小值（11）设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则2212212()e e e e +的值为 （A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）不确定 （12）已知函数2()2log 1a a f x x x x =-+-在3(1,)2内恒小于零，则实数a 的取值范围是 （A ）1116a ≤< （B ）1016a <≤ （C ）104a << （D ）116a ≥ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2013届高考理科数学第一次模拟试题(附答案)
2013届高考理科数学第一次模拟试题（附答案）江门市2013年高考模拟考试数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．如果事件、互斥，那么．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知函数定义域为，定义域为，则A．B．C．D．⒉在复平面内，是原点，向量对应的复数是（其中，是虚数单位），如果点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数是A．B．C．D．⒊采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间1，400]的人做问卷A，编号落入区间401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为A．12B．13C．14D．15⒋右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为A．72B．36C．24D．12⒌在中，若，，，则A．B．C．D．⒍若、，则是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件⒎已知、满足，则的取值范围是A．B．C．D．⒏设是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则在区间内零点的个数为A．2013B．2014C．3020D．3024二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9～13题）⒐已知数列的首项，若，，则．⒑执行程序框图，如果输入，那么输出．⒒如图，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率．⒓在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为，则．⒔在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线所围成的封闭图形的面积为，则．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为．⒖（几何证明选讲选做题）如图，圆内的两条弦、相交于，，．若到的距离为，则到的距离为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）已知函数（，）的最小值为．⑴求；⑵若函数的图象向左平移（）个单位长度，得到的曲线关于轴对称，求的最小值．⒘（本小题满分14分）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动。
数学_2013年福建省普通高中高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2013年福建省普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z =1+i ，z ¯为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A z ¯=−1−i B z ¯=−1+i C |z ¯|=2 D |z ¯|=√22. 已知向量a →=(m 2, 4)，b →=(1, 1)，则“m =−2”是“a → // b →”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 函数f(x)=log 12cosx ，(−π2x π2)的图象大致是（ ）A B C D4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）A 3B 126C 127D 1285. 设m ，n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） A 若m // n ，m ⊥β，则n ⊥β B 若m // n ，m // β，则n // β C 若m // α，m // β，则α // β D 若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β6. 已知函数f(x)=2sin 2x +2√3sinxcosx −1的图象关于点(φ, 0)对称，则φ的值可以是（ ）A −π6 B π6 C −π12 D π127. 设抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA 丄l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF|等于（ ） A 4√3 B 6√3 C 6 D 128. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =√3，P 为矩形内一点，且AP =√32．若AP →=λAB →+μAD →(λ, μ∈R)，则λ+√3μ的最大值为（ ）A 32B √62C3+√34 D√6+3√249. 若函数f(x)={xx−1−kx 2，x ≤0lnx,x >0有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A (−4, 0)B (−∞, 0]C (−4, 0]D (−∞, 0) 10. 设数集S ={a, b, c, d}满足下列两个条件： (1)∀x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)∀x ，y ，z ∈S 或x ≠y ，则xz ≠yz ． 现给出如下论断：①a ，b ，c ，d 中必有一个为0； ②a 、b ，c ，d 中必有一个为1； ③若x ∈S 且xy =1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2=y ，y 2=z ． 其中正确论断的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11. (x +2)4展开式中含x 2项的系数等于________．12. 若变量x ，y 满足约束条件{3x −y −1≥03x +y −11≤0y ≥2 则z =2x +y 的最大值为________．13. 已知直线l:y =−√3(x −1)与圆O:x 2+y 2=1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．14.如图，A 1，A 2，…，A m−1(m ≥2)为区间[0, 1]上的m 等分点，直线x =0，x =1，y =0和曲线y =e x 所围成的区域为Ω1，图中m 个矩形构成的阴影区域为Ω2，在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．15. 定义两个实数间的一种新运算“*”：x ∗y =lg(10x +10y )，x ，y ∈R ．当x ∗x =y 时，x =∗√y ．对任意实数a ，b ，c ，给出如下结论： ①(a ∗b)∗c =a ∗(b ∗c)；②(a ∗b)+c =(a +c)∗(b +c)； ③a ∗b =b ∗a ； ④∗√a ∗b ≥a+b 2．其中正确的结论是________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 某几何体ABC−A1B1C1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；(2)求二面角C1−AB1−C的余弦值．17. 国IV标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过80mg/km．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如下（单位：mg/km）由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/km”的车辆数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18. 如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东14√2海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．19. 如图1，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1F2，左、右顶点分别为A1，A2，T(1, 32)为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）给出命题：“已知P 是椭圆E 上异于A 1，A 2的一点，直线 A 1P ，A 2P 分别交直线l:x =t （t 为常数）于不同两点M ，N ，点Q 在直线l 上．若直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，则Q 为线段MN 的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明； （3）试研究（2）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S 的直线m ，并写出作图步骤．注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行． 20. 已知函数f(x)=ax 22x+b 的图象在点（2, f(2)）处的切线方程为y =2． （1）求a ，b 的值及f(x)的单调区间；（2）是否存在平行于直线y =12x 且与曲线y =f(x)没有公共点的直线？证明你的结论； （3）设数列{a n }满足a 1=λ(λ≠l)，a n+1=f(a n )，若{a n }是单调数列，求实数λ的取值范围．[【选修4-2：矩阵与变换】共1小题，满分7分）21. 已知矩阵M =[4−32−1]，向量α→=[75]（1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求M 3α→．【选修4-4：极坐标与参数方程】（共1小题，满分0分）22. 如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(1, 0)，半径为1．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．已知直线l 的参数方程为{x =−1+tcosπ6y =tsin π6（t 为参数），试判断直线l 与圆C 的位置关系．【选修4-4：极坐标与参数方程】（共1小题，满分0分）23. 已知函数f(x)=2√x +√5−x（1）求证：f(x)≤5，并说明等号成立的条件；（2）若关于x 的不等式f(x)≤|m −2|恒成立，求实数m 的取值范围．2013年福建省普通高中高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. C5. A6. D7. C8. B9. B 10. C 11. 24 12. 9 13. √3414.1m(e 1m −1)15. ①②③④16. 解法一：(I)由三视图可知，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1=AC =4，BC =3． …以点C 为原点，分别以CA 、CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(4, 0, 0)，B(0, 3, 0)，C(0, 0, 0)，A 1(4, 0, 4)，B 1(0, 3, 4)，C 1(0, 0, 4)，∴ CA 1→=(4,0,4)，C 1A →=(4,0,−4)，C 1B 1→=(0,3,0)． …∴ CA 1→⋅C 1A →=4×4+0×0+4×(−4)=0，CA 1→⋅C 1B 1→=4×0+0×3+(−4)×0=0，∴ CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1 又C 1A ∩C 1B 1=C 1， ∴ A 1C ⊥平面AB 1C 1． …(II)由(I)得，CA →=(4,0,0)，CB 1→=(0,3,4)，设平面AB 1C 的法向量为n =(x, y, z)，则CA →⊥n ，CB 1→⊥n ，∴ {CB 1→⋅n =0CA →⋅n =0∴{4x =03y +4z =0令y =4，得平面AB 1C 的一个法向量为n =(0, 4, −3)，… 由(I)知，CA 1→是平面AB 1C 1的法向量，…cos⟨n,CA 1→>=n⋅CA 1→|n||CA 1→|=−1220√2=−3√210．故二面角C 1−AB 1−C 的余弦值为3√210．…解法二：(I)由三视图可知，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1， 且AA 1=AC =4，BC =3． …∵ AA 1⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴ AA 1⊥B 1C 1，∵ B 1C 1⊥A 1C 1，AA 1∩A 1C 1=A 1，∴ B 1C 1⊥平面A 1ACC 1，… ∵ A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴ A 1C ⊥B 1C 1． …由正方形A 1ACC 1可得，A 1C ⊥AC 1，又AC 1∩B 1C 1=C 1， ∴ A 1C ⊥平面AB 1C 1．… (II)同解法一．17. 解：（1）依题意得x A ¯=x B ¯，s A 2=s B 2，又x A ¯=15(85+80+85+60+90)=80，x B ¯=15(70+x +95+y +75)，s A 2=15(25+0+25+400+100)=110，s B 2=15[100+(x −80)2+225+(y −80)2+25]，∴ x +y =160∴ {x +y =160(x −80)2+(y −80)2=200解得{x =70y =90或{x =90y =70.…（2）由（1）可得B 种轻型汽车不会被惩罚的车辆数为3，随机变量ξ=0，1，2.P(ξ=2)=C 22C 52=110，P(ξ=1)=C 21C 31C 52=610，P(ξ=0)=C 32C 52=310．…故ξ的分布列为∴ Eξ=2×110+1×610+0×310=45． …18. 解：（1）由题意可得，AB =16，AD =14√2，∠BAD =45∘，△ABD 中，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠BAD =162+(14√2)2−32×14√2×√22， 解得BD 2=200（海里），即该外国船只与D 岛的距离为10√2海里． （2）过点B 作BH ⊥AD ，H 为垂足，AH 和以点D 为圆心、以12为 半径的圆相交于点C ，则由题意可得，我海监船在点C 处拦截住外国船只时， 我海监船行驶的距离最短，故我海监船在用的时间不变的情况下的速度v 最小．由于AB =16，∠BAD =45∘，CD =12，AD =14√2，∴ AH =BH =8√2，DH =6√2． 由勾股定理求得CH =√CD 2−DH 2=6√2，∴ AC =√AH 2+CH 2=10√2，BC =BH −CH =8√2−6√2=2√2，故外国船只沿正南方向航行的时间为 2√24=√22，故我海监船的速度v =√22=20（海里/小时）．此时，由tan∠CAH =CH AH=√28√2=34可得∠CAH =arctan 34，即我海监船的航向为东偏北arctan 34弧度．19. 解：（1）∵ T(1, 32)为椭圆上一点，且TF 2垂直于x 轴，∴ c =1，在Rt △TF 1F 2，|TF 2|=32，|F 1F 2|=2，∴ |TF 1|=52， ∴ 2a =|TF 1|+|TF 2|=4，∴ a =2，∴ b =√a 2−c 2=√3 ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；（2）逆命题：“已知P 是椭圆E 上异于A 1，A 2的一点，直线 A 1P ，A 2P 分别交直线l:x =t （t 为常数）于不同两点M ，N ，点Q 在直线l 上．若Q 为线段MN 的中点，则直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共点P”，为真命题． 证明如下：设P(x 0, y 0)(x 0≠±2)，则x 024+y 023=1，l A1P :y =y 0x 0+2(x +2)；l A2P :y =y 0x 0−2(x −2)，∴ M(t, y 0(t+2)x 0+2)，N(t, y 0(t−2)x 0−2)，设MN 的中点为Q(x 1, y 1)，则x 1=t ，y 1=y 0(x 0t−4)x 02−4，∵ x 02−4=−4y 023， ∴ y 1=y 0(x 0t−4)x 02−4=−3(x 0t−4)4y 0，∴ Q(t, −3(x 0t−4)4y 0)，∴ k PQ =−3(x 0t−4)4y 0−y 0t−x 0=−3x 04y 0，∴ PQ 的方程为y =−3x 04y 0(x −x 0)+y 0，即y =−3x 04y 0x +3y 0代入椭圆方程，消去y 可得34y 02x 2−3x02y 02x +3y 02−1=0，∴ △=(3x 02y 02)2−4⋅34y 02⋅(3y 02−1)=9x 02+12y 02−364y 04=0，∴ 直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共点P ；（3）如图，①任作一条不过点S 的直线n 垂直于双曲线的实轴；②作直线A 1S ，A 2S 分别交直线n 于I ，J 两点；③作线段IJ 的中点V ，连接SV ，则直线SV 即为所求的直线m ． 20. 解：（1）依题意，f′(x)=2ax(x+b)(2x+b)2，由{f′(2)=0f(2)=2，可得{8a+4ab(4+b)2=04a 4+b=2，解得{a =1b =−2， ∴ f(x)=x 22x−2，f′(x)=2x 2−4x (2x−2)2．当x <0或x >2时，f′(x)>0，f(x)递增；当0<x <2且x ≠1时，f′(x)<0，f(x)递减． ∴ f(x)的增区间是(−∞, 0)，(2, +∞)；减区间是(0, 1)，(1, 2)．（2）与y =12x 平行的直线设为y =12x +m(m ≠0)，由{y =f(x)y =12x +m得f(x)=12x +m ，即(1−2m)x+2m2(x−1)=0，①当m ≠12时，方程①有唯一解x =2m 2m−1，此时曲线与直线有公共点；当m =12时，方程①无解，此时直线与曲线没有公共点． 故存在直线y =12x +12与曲线y =f(x)没有公共点．（3）a n+1=a n22a n −2．下面先用数学归纳法证明：当λ>2时，a n >2．①当n =1时，a 1=λ>2，不等式成立． ②假设当n =k 时，不等式成立，即a k >2， 则n =k +1时，a k+1−2=a k 22a k−2−2=(a k −2)22a k −2>0，于是a k+1>2，即当n =k +1时，不等式成立．根据①②可知，对于n ∈N ∗，有a n >2． 于是a n+1−a n =a n22a n −2−a n =a n (2−a n )2a n −2<0，∴ a n+1<a n ，即{a n }是单调递减数列．当1<λ<2时，a 1=λ，由（1）知，a 2=f(a 1)=f(λ)>f(2)=2， 又a 3−a 2=a 222a 2−2−a 2=a 2(2−a 2)2a 2−2<0，即a 3<a 2，故{a n }不是单调数列．当0<λ<1时，a 1=λ>0，a 2=λ22λ−2<0， ∴ a 3−a 2=a 2(2−a 2)2a 2−2>0，于是a 3>a 2，故{a n }不是单调数列．当λ<0时，a 1=λ<0，又a n+1=a n22a n −2，由数学归纳法可证a n <0，∴ a n+1−a n =a n (2−a n )2a n −2>0，∴ a n+1>a n ，故{a n }是单调递增数列．当λ=0时，a n =0，故{a n }不是单调数列．当λ=2时，a n =2，故{a n }不是单调数列． 综上，λ的取值范围是(−∞, 0)∪(2, +∞)． 21. 解：（1）矩阵M 的特征多项式为f(λ)=(λ−1)(λ−2)， 令f(λ)=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=2，设λ1=1对应的一个特征向量为α=[xy ]，则由λ1α=Mα，得−3x +3y =0，可令x =1，则y =−1， 所以矩阵M 的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为[11]，同理可得矩阵M 的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为[32]．（2）α→=[75]=[11]+2⋅[32]所以M 3α→=[11]+2×23×[32]=[4933]．22. 解：（1）如图，设圆C 上任意一点的极坐标M(ρ, θ)，连接OM ，BM ．在Rt △OMB 中，∵ OM =OBcos∠MOD ，∴ ρ=2cosθ． （2）由直线l 的参数方程为{x =−1+tcos π6y =tsin π6（t 为参数），消去参数t 可得l 的普通方程为y =√33(x +1)，即直线l:x −√3y +1=0，由ρ=2cosθ，得圆C 的直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1， ∵ 圆心到直线l 的距离为d =|1×1−√3×0+1|2=1，∴ 直线l 与圆C 的相切．23. （1）证明：由柯西不等式可得(2√x +√5−x)2≤(22+12)[(√x)2+(√5−x)2]=25 ∴ f(x)=2√x +√5−x ≤5，当且仅当√x2=√5−x1，即x =4时等号成立；（2）解：关于x 的不等式f(x)≤|m −2|恒成立，等价于|m −2|≥5，∴ m ≥7或m ≤−3．。
辽宁省大连市2013届高三高三第一次模拟考试数学(理)试题(扫描版,详解).pdf
2013年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题 1．A；2．DD；7．C；8.A；9．B；10．D；11．A；12．C． 二填空题；14．16；15．；16． . 三.解答题 17．解：（Ⅰ）∵，∴， ∴，3分 ，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．4分 ，．6分 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知． ．① ．② 9分 由①②得． ∴．12分 法二：令，令， ∴． ∴．9分 ∴ ．12分 18．解：（Ⅰ）列联表如下 甲工艺乙工艺合计一等品5060110非一等品504090合计1001002002分 ，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关．4分 （Ⅱ）由题知运用甲工艺生产单件产品的利润的分布列为 3020150.50.30.2的数学期望为， 的方差为.7分 乙工艺生产单件产品的利润的分布列为 3020150.60.10.3的数学期望为， 的方差为 .10分 答案一：由上述结果可以看出，即乙工艺的平均利润大，所以以后应该选择乙工艺. 答案二：由上述结果可以看出，即甲工艺波动小，虽然，但相差不大，所以以后选择甲工艺.12分 19．解：（）连结A1B与AB1交于E，DE，则E为A1B的中点， ∴BC1∥DE，，平面, ∴∥平面． （）过D作DF⊥A1B1于F， 由正三棱柱的性质，AA1⊥DF，∴DF⊥平面ABB1A1， 连结EF，DE，在正三角形A1B1C1中， ∵D是A1C1的中点，∴＝，又在直角三角形AA1D中， ∵AD＝＝，∴AD＝B1D．∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1， 则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角． 可求得， ∵△B1FE∽△B1AA1，得， ∴∠DEF＝，即为所求．（2）解法（二）（空间向量法） 建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－,0），B1（0，，），C1（－0，），A1（0，－，），D（－，－，）．∴＝（0，，），＝（－a，－,0）． 设n1＝（x，y，z）是平面AB1D的一个法向量， 则可得 ，即．∴n1＝（－，1，－）．10分又平面ABB1A1的一个法向量n2＝＝（－,0,0）， 设n1与n2的夹角是θ，则 cosθ＝＝． 又可知二面角A1－AB1－D是锐角．∴二面角A1－AB1－D的大小是．为椭圆， ∴，∵，∴， ∴， ．2分 ∴是以||为相切， ∴，∴， ∴椭圆的方程．4分 （Ⅱ）设点，，则点， 法一：设直线的方程为，联立方程组 化简整理得， 由得．6分 则． 直线的方程为：， 令，则． ∴点坐标为．8分===．10分 ∵ ∴.12分 法二： 设直线方程为． 由 得， 由得．6分 直线的方程为：， 令，则．∴点坐标为．8分===．10分 ∵ ， ∴． 综上，．12分 21.解：（Ⅰ）时，，． 令，，2分 当时，，时， ∴． ∴．∴在上是单调递减函数．4分 （Ⅱ）若有两个极值点， 则是方程的两不等实根． 解法一：∵显然不是方程的根，∴有两不等实根．6分 令，则 当时，，单调递减， 时，，单调递减，时，，单调递增， 要使有两不等实根，应满足，∴的取值范围是． （注意：直接得在上单调递减，上单调递增扣2分）．8分 ∵，且 ， ∵，在区间上单调递增，，∴ 设，则，在上单调递减 ∴ 即．12分 解法二：，则是方程的两不等实根． ∵， 当时，，在上单调递减，不可能有两不等实根 当时，由得， 当时，，时， ∴当，即时，有两不等实根 ∴的取值范围是．8分 ∵，且 ， ∵，在区间上单调递增，，∴ 设，则，在上单调递减 ∴ 即．12分 解：（Ⅰ）证明． 2分 又为圆的切线，．5分 （Ⅱ）为圆的切线，∴， 由（Ⅰ）可得7分 ∴△∽△，∴，∴=3．10分 23．解：(Ⅰ)曲线的一般方程为， 曲线的一般方程为．2分 两圆的公共弦所在直线为， 到该直线距离为，所以公共弦长为．5分 （Ⅱ）曲线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为．7分 设，则，两点分别代入和解得， 不妨取锐角， 所以．10分 24．解：（Ⅰ） ∴的解为 ．5分 （Ⅱ）由得,．7分 令,,作出它们的图象，可以知道，当时， 这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以，函数有两个不同的零点．10分。
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2014年高考模拟试卷 数学试题（理）（一）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)(等于（ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2．已知i 为虚数单位，复数121iz i+=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．i 23 B ．23 C ．i 21-D ．21-3．“3cos 5α=”是“7cos 225α=-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+等于（ ）A ．19B ．19-C ．16D ．16-5．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A ．420 B ．560 C ．840 D ．20160 6．已知01a <<，则函数|||log |x a y a x =-的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是 （ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥8．设函数||()x f x x =，对于任意不相等的实数,a b ，代数式()22a b a bf a b +-+⋅-的值等于（ ）A ．aB ．bC ．a 、b 中较小的数D ．a 、b 中较大的数9．由方程1=确定的函数()y f x =在(,)-∞+∞上是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．减函数D ．增函数10．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线2213y x -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．3211．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为（ ） A ．14 B ．34 C ．964 D ．276412．已知()g x 为三次函数32()3af x x ax cx =++的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．计算1213x dx -⎰的值等于 ；14．已知圆C 的圆心与点(1,2)M -关于直线10x y -+=对称，并且圆C 与10x y -+=相切，则圆C 的方程为______________。
15．执行如图所示的程序框图，若输入x =0.1，则输出m 的值是____________。
16．如图的倒三角形数阵满足：⑴ 第1行的n 个数，分别是1，3，5，…，21n -；⑵ 从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；⑶ 数阵共有n 行．问：当2012n =时，第32行的第17个数是 ；三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若tan 3A =，cos C =。
（1）求角B 的大小； （2）若4,c =求ABC ∆面积18．（本小题满分12分）已知集合2{|760,}A x x x x N *=-+≤∈，集合{||3|3B x x =-≤}x N *∈，集合{(,)|,}M x y x A y B =∈∈（1）求从集合M 中任取一个元素是（3，5）的概率； （2）从集合M 中任取一个元素，求10x y +≥的概率； （3）设ξ为随机变量，x y ξ=+，写出ξ的分布列，并求E ξ。
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点。
（1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （3）在（2）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，求二面角M BQ C --的大小。
20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b = （1）求n a 与n b ；（2）证明：121111233n S S S ≤+++<…21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ()1,1-，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=， 直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA ∆和PAM ∆的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，()x g x e =． （Ⅰ）若函数()1()1x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（Ⅱ）设直线l 为函数()f x 的图象上一点00(,())A x f x 处的切线．证明：在区间1,+∞（）上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．参考答案一．选择题1、C ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C ；6、B ；7、C ；8、D ；9、C ；10、B ；11、C ；12、D ； 二．填空题13．2；14．22(3)(2)8x y ++-=；15．0；16．372； 三．解答题17．解析：（1）由cos sin tan 2C C C =∴=∴= tan tan tan tan()11tan tan A CB AC A C+=-+=-=-；……………………4分又0B π<<，4B π∴=；……………………6分（2）由正弦定理sin sin b c B C =可得，sin sin cb B C=⨯=；……………………8分 由sin sin()sin()4A B C C π=+=+得，sin A =；……………………10分 所以∆ABC 面积1sin 62ABC S bc A ∆==；……………………12分 18．解析：（1）设从M 中任取一个元素是（3，5）的事件为B ，则1()36P B =；……2分 所以从M 中任取一个元素是（3，5）的概率为136；……………………3分 （2）设从M 中任取一个元素，10x y +≥的事件为C ，有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）；……………………5分 则P （C ）=16，所以从M 中任取一个元素10x y +≥的概率为16；……………………7分 （3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12；……………………8分123456(2),(3),(4),(5),(6),(7)36363636363654321(8),(9),(10),(11),(12)3636363636P P P P P P P P P P P ξξξξξξξξξξξ======================ξ的分布列为……………………10分12345654321234567*********3636363636363636363636E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………12分19．解析：（1）连BD ，四边形ABCD 菱形， ∵AD ⊥AB ， ∠BAD=60°△ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ ∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，AD ⊥PQ 又BQ ∩PQ=Q ∴AD ⊥平面PQB ， AD ⊂平面PAD ∴平面PQB ⊥平面PAD ；……………………4分（2）当13t =时，//PA 平面MQB 下面证明，若//PA 平面MQB ，连AC 交BQ 于N由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，12AQ AN BC NC ∴== //PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC平面MQB MN =，//PA MN ∴13PM AN PC AC == 即：13PM PC = 13t ∴=；……………………8分（3）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD 。
又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B（），Q （0，0，0），P （0，0设平面MQB 的法向量为n (,,1)x y =，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，解得(3,0,1)n = 取平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =1cos ,,2m n <>=故二面角M BQ C --的大小为60°；……………………12分20．解析：（I ）由已知可得223123q a a q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩解直得，3q =或4q =-（舍去），26a =；……………………4分3(1)33n a n n ∴=+-= 13n n b -=；……………………6分（2）证明：(33)12211()2(33)31n n n n S S n n n n +=∴==-++；……………………8分 121112*********(1)(1)322334131n S S S n n n ∴+++=-+-+-++-=-++ (111212)10(1)123313n n n ≥∴<≤∴≤-<++；……………………10分 故121111233n S S S ≤+++<…；……………………12分 21．解析：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得，1111y y x x -+=-+，整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-）。