06-07第1学期概率统计A(2)试题 副本
大学《概率统计》试题及答案
《概率论与数理统计》考试题及答案一、填空题(每小题3分,共30分)1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 .2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________.3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 .4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8aP X k k ===则a =_________.5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= .6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 .21011811515515kXp -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ .8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X服从的分布是.二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为,03()2,3420,kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求712P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y Xa 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、13 6、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N - 二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== .......... 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= .............................. 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== .......................................................... 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 故16k =. ............................................................................................................ 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰; 当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰; 当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰; 故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩................................................................. 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭.................................................. 12分 四、解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.21a +++++=故0.3a = ............................................................................................................... 4分 (2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3Xp ....................................................................................... 6分120.40.6Y p ............................................................................................... 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠==所以X 与Y 不相互独立. ..................................................................................... 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ...................... 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ ................................................ 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ............................................................................. 12分一、 ..........................................................填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
《概率论与数理统计》考试试题A(答案)
期末考试《概率论与数理统计》A 卷参考答案及评分标准一、判断题（你认为正确的请在括号内打√，错误的打×。
每小题2分，共10分）（）1．设0}{==a X P ，则事件}{a X =为不可能事件. （×）2．设A 、B 为两事件，则)()()(B P A P B A P -=-.（√）3．设⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它202)(x xx f , 则其一定是某连续型随机变量的概率密度.（√）4．设随机变量X ～N （1，4），则21-X ～N （0,1）.（×）5．设3)(=X D ，1)(=Y D ，X 与Y 相互独立，则2)(=-Y X D . 二、填空题（请将正确答案填写在括号内。
每空3分,共30分）6红球的概率为（ 271 ）。
7．设事件B A ,相互独立，4.0)(,6.0)(==A P B A P ,则=)(B P ( 1 ).8.设B A ,为随机事件，且25.0)(,4.0)(,8.0)(===A B P B P A P ，则=)(B A P ( 0.5 ). 9．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则=+)13(X E ( 2 ),=+)13(X D ( 1 ). 10．若在3次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为2726，则事件A 在一次试验中发生的概率为（32 ）.11. 设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则{}=≤3X P ( 0.6 ). 12．已知随机变量X ～)2,3(2N ，8413.0)1(0=Φ,6915.0)5.0(0=Φ,则=>}3{X P ( 0.5 ),=≤<}52{X P ( 0.5328 ).13. 设随机变量X 的概率分布为,}{NaK X P ==K=1,2, …,N ，则a =( 1 ). 三、选择题（每小题的四个选项中只有一个是正确的，请将其代码写在题后的括号内。
每小题3分，共18分） 14．设B A ,互为对立事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列各式中错误．．的是（ B ）. A ．)(1)(B P A P -= B ．)()()(B P A P AB P = C ．1)(=AB P D ．1)(=B A P15.以A 表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A ( D ) A ．“甲种产品滞销,乙种产品畅销” B ．“甲、乙两种产品滞销” C ．“甲种产品滞销” D ．“甲中产品滞销或乙种产品畅销”16.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,00,)(rx x x ϕ,则常数=r ( C )A ．0.5B ．1C ．2D ．217.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ,则此人第4次射击后,恰好是第2次命中目标的概率为( A )A ．22)1(3p p -B ．2)1(3p p -C ．22)1(6p p -D ．2)1(6p p - 18.人的体重X ～)(x ϕ,b X D a XE ==)(,)(,10个人的平均体重记作Y ,则( B )成立.A ．a Y E =)(,b Y D =)(B ．a Y E =)(,b Y D 1.0)(=C ．a Y E 10)(=,b YD =)( D ．a YE =)(,b Y D 10)(=19.设随机变量X 服从泊松分布，且P(X =1)= P(X =2)，则P(X =4)=（ B ）.A ．232eB ．232-e C ．32 D ．132-e四、计算题（每小题8分,共32分）20,1.0)(,7.0)(,5.0)(=-==B A P B P A P ,试求 (1))(B A P +；(2))(B A P .解 (1))(5.0)()()(1.0AB P AB P A P B A P -=-=-= (2分) 所以 4.0)(=AB P (3分) 8.0)()()()(=-+=+AB P B P A P B A P (5分)(2)2.0)(1)()(=+-=+=B A P B A P B A P (8分)21.设连续型随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<=其他,010,)(x kx x aϕ)0,>a k （,已知75.0)(=X E ,求（1）a k ,；（2）)(X D .解 （1）因为11)(1=+==⎰⎰∞+∞-a kdx kx dx x a ϕ (2分) 75.02)(10=+==⎰a kdx xkx X E a (4分) 解得 3,2==k a (5分)所以 ⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x ϕ533)(10222=⋅=⎰dx x x X E (6分)所以0375.0803)75.0(6.0))(()()(222≈=-=-=X E X E X D (8分)22．保险公司认为人可以分为两类:第一类是易出事故的人,第二类是比较谨慎,不易出事故的人,统计资料表明,第一类人在一年内某一时刻出一次事故的概率为0.4,第二类人在一年内某一时刻出一次事故的概率为0.2,若第一类人占30%,问 (1)一个新客户在购买保险后一年内需要理赔的概率是多少?(2)如果该客户在购买保险后一年内出了一次事故,他是第一类人的概率是多少?解 设A 表示”该客户在购买保险后一年内出了一次事故”,B 表示”他是第一类人”,则3.0)(=B P ,7.0)(=B P ,4.0)(=B A P ,2.0)(=B A P (2分) (1)由全概率公式有26.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P . (5分) (2)由贝叶斯公式有46.026.012.0)()()()(===A PB A P B P A B P . (8分)23．已知电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.6，而假定开、关时间彼此独立，试用切贝谢夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在5800与6200之间的概率。
概率统计考试题和答案
概率统计考试题和答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(X>0)等于（）。
A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(10,0.3)，则E(X)等于（）。
A. 3B. 2C. 1D. 0.3答案：A3. 两个相互独立的随机变量X和Y，如果P(X=0)=0.5，P(Y=0)=0.6，则P(X=0且Y=0)等于（）。
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.3答案：D4. 设随机变量X服从泊松分布，其参数为λ=2，则P(X=3)等于（）。
A. 0.25B. 0.125C. 0.0625D. 0.03125答案：D5. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,1)，则P(0.5<X<0.7)等于（）。
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5答案：A6. 设随机变量X服从正态分布N(2,4)，则P(X<1)等于（）。
A. 0.1587B. 0.8413C. 0.8413D. 0.1587答案：A7. 已知随机变量X服从指数分布，其参数为λ=0.1，则E(X)等于（）。
A. 10B. 5C. 1D. 0.1答案：A8. 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(-1<X<2)等于（）。
A. 0.6826B. 0.9544C. 0.8413D. 0.9772答案：B9. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.4)，则P(X=3)等于（）。
A. 0.2048B. 0.3456C. 0.4096D. 0.5120答案：B10. 设随机变量X服从正态分布N(3,9)，则P(X>4)等于（）。
A. 0.5B. 0.1587C. 0.8413D. 0.8413答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则X的期望E(X)等于______。
概率统计期末考试试题及答案
概率统计期末考试试题及答案试题一：随机变量的概率分布某工厂生产的产品合格率为0.9，不合格率为0.1。
假设每天生产的产品数量为100件，求下列事件的概率：1. 至少有80件产品是合格的。
2. 至多有5件产品是不合格的。
试题二：连续型随机变量的概率密度函数设随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，0 ≤ x ≤ 1，0 其他，求：1. X的期望E(X)。
2. X的方差Var(X)。
试题三：大数定律与中心极限定理假设某银行每天的交易量服从均值为100万元，标准差为20万元的正态分布。
求：1. 该银行连续5天的总交易量超过500万元的概率。
2. 根据中心极限定理，该银行连续20天的总交易量的平均值落在90万元至110万元之间的概率。
试题四：统计推断某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本数据如下：95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104求：1. 零件长度的平均值和标准差。
2. 零件长度的95%置信区间。
试题五：假设检验某公司对两种不同品牌的打印机进行了效率测试，测试结果如下：品牌A：平均打印速度为每分钟60页，标准差为5页。
品牌B：平均打印速度为每分钟55页，标准差为4页。
样本量均为30台打印机。
假设两种打印机的平均打印速度没有显著差异，检验假设是否成立。
答案一：1. 至少有80件产品是合格的，即不合格的产品数少于或等于20件。
根据二项分布，P(X ≤ 20) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k *(0.9)^(100-k)]，k=0至20。
2. 至多有5件产品是不合格的，即不合格的产品数不超过5件。
根据二项分布，P(X ≤ 5) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k * (0.9)^(100-k)]，k=0至5。
答案二：1. E(X) = ∫[2x * x dx]，从0到1，计算得 E(X) = 2/3。
2. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = ∫[2x^2 * x dx] - (2/3)^2，从0到1，计算得 Var(X) = 1/18。
概率统计试题及答案
概率统计试题及答案概率统计是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学、工程技术等多个领域都有着广泛的应用。
本文将提供一套概率统计的试题及答案，以供学习和复习之用。
一、选择题1. 概率论中，如果事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)等于：A. P(A) + P(B)B. P(A) - P(B)C. P(A) / P(B)D. 1 - (1 - P(A))(1 - P(B))答案：A2. 以下哪项不是随机变量的典型性质？A. 可测性B. 有界性C. 随机性D. 独立性答案：D3. 标准正态分布的数学期望和方差分别是：A. 0和1B. 1和0C. 1和1D. 0和0答案：A4. 若随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx), x > 0，则λ的值为：A. E(X)B. Var(X)C. E(X)^2D. 1 / Var(X)答案：D5. 在贝叶斯定理中，先验概率是指：A. 基于经验或以往数据得到的概率B. 基于主观判断得到的概率C. 事件实际发生的概率D. 事件未发生的概率答案：B二、填空题1. 事件的空间是指包含所有可能发生的事件的集合，其记作______。
答案：Ω2. 若随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则X在区间[a, b]上的概率密度函数是______。
答案：1 / (b - a)3. 两个事件A和B相互独立的必要不充分条件是P(A∩B) = ______。
答案：P(A)P(B)4. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(- (x - μ)^2 / (2σ^2))，其中μ是______，σ^2是______。
答案：数学期望，方差5. 拉普拉斯定理表明，对于独立同分布的随机变量序列，当样本容量趋于无穷大时，样本均值的分布趋近于______分布。
答案：正态三、简答题1. 请简述条件概率的定义及其计算公式。
副本-概率统计习题解答(1)(2)
习题1A -⒈ 投掷一枚硬币三次，观察三次投掷出现正反面情况，比如一种可能结果为H H H （表示第一次出现的是正面，第二次和第三次出现的都是反面）.⑴写出所有可能结果构成的样本空间Ω；⑵事件A 表示恰好出现两次正面，写出A 中所包含的所有可能结果； ⑶事件B 表示三次中出现过正面，写出B 中所包含的所有可能结果；⑷分别写出A B ⋃,A B ⋂,A B -,B 中所包含的所有可能结果.解 ⑴{,,,,,,,}HHH HHH H HH HH H H H H HH H H HH H H H Ω=； ⑵{,,}A HH H H HH HHH =；⑶{,,,,,,}B HHH HH H H HH HHH H H H HH H H HH =； ⑷{,,,,,,}A B HHH HH H H HH HHH H H H HH H H HH ⋃=,{,,}A B HH H H HH HHH ⋂=, A B φ-=,{}B H H H =.⒉设,,A B C 为三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： ⑴A 发生且B 与C 至少有一个发生； ⑵A 与B 都发生而C 不发生； ⑶A ，B ，C 中恰有一个发生； ⑷A ，B ，C 中不多于一个发生； ⑸A ，B ，C 不都发生；⑹A ，B ，C 中至少有两个发生. 解 ⑴()A B C ⋃；⑵ABC ；⑶ABC ABC ABC ⋃⋃； ⑷ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃； ⑸ABC 或A B C ⋃⋃；⑹ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃或AB AC BC ⋃⋃. ⒊一位工人生产四个零件，以i A 表示事件“他生产的第i 个零件是合格的”，1,2,3,4i =，用诸i A 表示下列事件：⑴全是合格品； ⑵全是不合格品；⑶至少有一个零件是合格的； ⑷至少有一个零件是不合格的； ⑸仅第一个零件是不合格的； ⑹仅有一个零件是不合格的. 解 ⑴1234A A A A ； ⑵1234A A A A ； ⑶1234A A A A ⋃⋃⋃； ⑷1234A A A A ⋃⋃⋃； ⑸1234A A A A ；⑹1234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃.⒋将3个乒乓球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别是1,2，3的概率各是多少？解 以i A 表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，1,2,3i =.134326()416P A ⨯⨯==，2313439()416C P A ⨯⨯==，333411()416P A ⨯==. ⒌一个学习小组共有8名同学，其中有2名男生，假设他们到达学习地点先后次序的所有模式都有同样的可能性.⑴求女生均比男生先到校的概率；⑵李明和王菲是学习小组中的两位同学，求李明比王菲先到学习地点的概率. 解 将8名同学按到达学习地点的先后次序排成一列，则有： ⑴男生均比女生先到校的概率：6!2!218!8728==⨯ ⑵李明比王菲先到学习地点的概率＝王菲比李明先到学习地点的概率李明比王菲先到学习地点的概率+王菲比李明先到学习地点的概率＝1所以，李明比王菲先到学习地点的概率为0.5.或286!18!2C ⨯=（李明在左，王菲在右，先安排他们.） ⒍一袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，从袋中任取一球，观察颜色后放回袋中，然后再取一球，这种取球方式叫做有放回抽样.现有放回连续抽取3次，试求下列事件的概率.⑴取出的3球全是白球；⑵取出的3球中2个红球1个白球.解 ⑴3360.21610=；⑵2233460.28810C ⨯⨯=.⒎一袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，从袋中任取一球，观察颜色后不放回袋中，然后再从剩余球中任取一球，这种取球方式叫做无放回抽样.现无放回连续抽取3次，试求下列事件的概率.⑴取出的3球全是白球；⑵取出的3球中2个红球1个白球.解 ⑴654110986⨯⨯=⨯⨯；⑵234360.31098C ⨯⨯⨯=⨯⨯. ⒏（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大？解 “出现双6”这一事件记为A ，则252535()0.494536P A =≈，()1()0.5055P A P A =-≈.所以，“出现双6”的概率大.⒐（约会问题）甲、乙两人相约在某天中午12:00~13:00在预定地点见面，先到者等候另一人15分钟后即离去，求甲、乙两人能会面的概率（假设他们均能在12:00至13:00间到达，且在12:00~13:00内任一时刻到达预定地点是等可能的）.解 记12点为计算时刻的0时，以分钟为单位，设甲、乙两人到达预定地点的时刻分别为x 和y ，则样本空间可表示为：{(,)|060,060}x y x y Ω=≤≤≤≤，记A=“两人能会面”，则有{(,):||15,(,)}A x y x y x y =-≤∈Ω于是两人能会面的概率为：222()60457()()6016L A P A L -===Ω ⒑已知 ()0.4P A =,()0.25P B =,()0.25P A B -=， 求 ()P AB ,()P A B ⋃,()P B A -,()P AB .解 ()(())()()0.15P AB P A B P A P A B =Ω-=--=，()()()0.5P A B P B P A B ⋃=+-=，（或()()()()0.5P A B P A P B P AB ⋃=+-=） ()()()0.1P B A P B P AB -=-=，()()1()0.5P AB P A B P AB =⋃=-=.⒒一辆飞机场的交通车载有25名乘客，途经9个站，每位乘客都等可能在9个站中任意一站下车，交通车只在有乘客下车时才停车，求下列各事件的概率：⑴交通车在第i 站停车；⑵交通车在第i 站和第j 站至少有一站停车； ⑶交通车在第i 站和第j 站均停车； ⑷在第i 站有3人下车.解 i A 表示交通车在第i 站停车（有乘客下车）⑴交通车在第i 站停车的概率：25252588()1()11()99i i P A P A =-=-=-⑵交通车在第i 站和第j 站至少有一站停车：25252577()1()1()11()99i j i j i j P A A P A A P A A ⋃=-⋃=-=-=-⑶交通车在第i 站和第j 站均停车：252587()()()()12()()99i j i j i j P A A P A P A P A A =+-⋃==-⨯+⑷在第i 站有3人下车：33222525189C ⨯⨯.⒓已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，求(|)P B A B ⋃.解 (())()(|)()()()()P B A B P BA BB P B A B P A B P A P B P AB ⋃⋃⋃==⋃+- ()()()()()()()()()P BA P A P AB P A P B P AB P A P B P AB -==+-+- 0.70.50.250.70.60.5-==+- ⒔某光学仪器厂制造的透镜，在第一次落下时打破的概率为0.5，在第二次落下时打破的概率为0.7，在第三次落下时打破的概率为0.9，求透镜三次落下而未打破的概率.解 设i A 表示透镜在第i 次落下时打破，1,2,3i =，则123121312()()(|)(|)0.50.30.10.015P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯=.⒕甲、乙、丙三人各自独立地破译密码，设他们能破译密码的概率分别为111,,345，求密码能破译的概率.解 设,,A B C 分别表示甲、乙、丙能破译密码，则()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ⋃⋃=++---+ 1111111111110.6345343545345=++-⨯-⨯-⨯+⨯⨯= ⒖某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂产品每箱装100个，废品率为0.06，乙厂产品每箱120个，废品率为0.05.将所有产品开箱混装出售.⑴任取一个，求它为废品的概率；⑵任取一个，发现其为废品，求它是甲厂生产的概率. 解⑴设H ：抽取的产品是甲厂生产的；A ：抽取的产品是废品.300024001()(|)()(|)()0.060.0554********P A P A H P H P A H P H =+=⨯+⨯=.⑵()(|)()(|)0.6()(|)()(|)()P HA P A H P H P H A P A P A H P H P A H P H ===+ ⒗一架长机与两架僚机一同飞往某地进行轰炸，途中必须经过高炮阵地上空，此时每架飞机被击落的概率均为0.2，如果长机被击落，则僚机也无法飞往目的地.而每架飞机飞到目的地，炸毁目标的概率均为0.3，求目标被炸毁的概率.解 设A 表示长机通过高炮阵地，12,B B 分别表示两架僚机通过高炮阵地，i H 表示恰有i 架飞机通过高炮阵地，1,2,3i =.C 表示目标被炸毁.则2112()()0.80.2P H P AB B ==⨯，221212()()20.80.2P H P AB B AB B =⋃=⨯⨯，3312()()0.8P H P AB B ==，123C H H H ⊂⋃⋃，1(|)0.3P C H =，22(|)10.7P C H =-，33(|)10.7P C H =-.所以，112233()()(|)()(|)()(|)0.476544P C P H P C H P H P C H P H P C H =++=.习题1B -⒈从五双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是多少？解 445410213121C C ⨯-=或212255441021321C C C C +⨯⨯= ⒉在线段AD 上任取两个点,B C ，在,B C 处折断而得三个线段，求这三个线段能构成三角形的概率.解 ,B C 相对位置如左图所示：AB C D记AD a =，AB x =，AC y =，则{(,)|0}x y x y a Ω=≤≤≤.三个线段,,AB BC CD 能构成三角形AB BC CD AB CD BC BC CD AB +>⎧⎪⇔+>⎨⎪+>⎩，2()2()200y a y y a x a y y x y x a a x x x a x y a x y a>->⎧⎧⎪⎪+->--<⎪⎪⇔⇔⎨⎨-><⎪⎪⎪⎪≤≤≤≤≤≤⎩⎩从而可得所求概率为14. ⒊某国经济可能面临三个问题：1A =“高通胀”，2A =“高失业”，3A =“低增长”， 假设1()0.12P A =，2()0.07P A =，3()0.05P A =，12()0.13P A A ⋃=，13()0.14P A A ⋃=，23()0.10P A A ⋃=，123()0.01P A A A ⋂⋂=.求⑴该国不出现高通胀的概率；⑵该国同时面临高通胀、高失业的概率；⑶该国出现滞胀（即低增长且高通胀）的概率； ⑷该国出现高通胀、高失业但却高增长的概率； ⑸该国至少出现两个问题的概率； ⑹该国最多出现两个问题的概率. 解 ⑴11()1()0.88P A P A =-=；⑵121212()()()()0.06P A A P A P A P A A =+-⋃=； ⑶311313()()()()0.03P A A P A P A P A A =+-⋃=； ⑷12312123()()()0.05P A A A P A A P A A A =-=； ⑸121323()P A A A A A A ⋃⋃121323123()()()2()P A A P A A P A A P A A A =++- 0.060.030.020.020.09=++-=（232323()()()()0.02P A A P A P A P A A =+-⋃=）；⑹123123()1()0.99P A A A P A A A =-=.⒋今有两名射手轮流对同一目标射击，甲射手命中概率为1p ，乙射手命中概率为2p ，甲先射，谁先命中谁得胜，求甲、乙得胜的概率各是多少？解 设i A ：甲第i 次命中； i B ：乙第i 次命中. 甲先射，谁先命中谁得胜，则甲得胜的概率：111211223()P A A B A A B A B A ⋃⋃⋃111211223()()()P A P A B A P A B A B A =+++111211112231122()()(|)()(|)P A P A B P A A B P A B A B P A A B A B =+++1111211()()(|)(|)P A P A P B A P A A B =+111211*********()(|)(|)(|)(|)P A P B A P A A B P B A B A P A A B A B ++21121121[(1)(1)][(1)(1)]p p p p p p p =+--+--+112112121(1)(1)p p p p p p p p ==---+- 乙得胜的概率： 1212121212121p p p p p p p p p p p p --=+-+-⒌设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.⑴求先抽到的一份是女生表的概率p ；⑵已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率q . 解 设1H ：抽取的报名表来自共10名考生的地区；2H ：抽取的报名表来自共15名考生的地区； 3H ：抽取的报名表来自共25名考生的地区； k A ：第k 次抽到是女生表（1,2k =）.⑴1111212313()()(|)()(|)()(|)p P A P H P A H P H P A H P H P A H ==++ 1317152931031532590=⨯+⨯+⨯=⑵1212121221121212()()()(|)(){()}()()P A A P A A P A A q P A A P A P A A A P A A P A A ====⋃+其中12112121223123()()(|)()(|)()(|)P A A P H P A A H P H P A A H P H P A A H =++1371781520203109315143252490⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯， 12112121223123()()(|)()(|)()(|)P A A P H P A A H P H P A A H P H P A A H =++17618712019413109315143252490⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯， 所以，2061q =.⒍某场战斗准备调用甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率都等于α，若只有一支部队投入战斗，则取胜的概率为0.4；若两支部队协同作战，则必胜无疑；若两支部队都未能及时赶到，则必败无疑.欲达0.9以上的取胜概率，求α的最低值.解 设12,A A 分别表示甲、乙能及时赶到，i H 表示恰有i 支部队及时赶到，0,1,2i =，B 表示“取胜”.则012(|)0,(|)0.4,(|)1P B H P B H P B H ===，且11212()()2(1)P H P A A A A αα=⋃=-，2212()()P H P A A α==.所以，001122()()(|)()(|)()(|)P B P H P B H P H P B H P H P B H =++222(1)0.410.20.8ααααα=-⨯+⨯=+ 由于，2()0.20.80.9,01P B αααα=+≥<<⇔≥≈0.9155. 习题2A -⒈一袋中有编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个球，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.求X 的概率分布和分布函数.解 351(3)0.1P X C ===,2335(4)0.3C P X C ===,2435(5)0.6C P X C ===,0,3,0.1,34,()0.4,45,1, 5.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩⒉设某批电子管的合格品率为34，不合格品率为14，现在对该批电子管进行测试，设第X 次为首次测到合格品，求X 的概率分布.解 113(),1,2,.44k P X k k -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⒊离散型随机变量X 的概率分布为 ⑴(),1,2,,cp k k N N==(N 为正整数);⑵(),1,2,,!kp k ck k λ==(0)λ>.分别求⑴、⑵中c 的值.解 ⑴由1()1Nk p k ==∑得1c =.⑵由11()(1)1!kk k p k c c e k λλ∞∞====-=∑∑得1(1)c e λ-=-.⒋设随机变量X 的分布函数为0,5;1,52;53(),20;101,02;21, 2.x x F x x x x <-⎧⎪-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩求X 的概率分布及(2),(2)P X P X <-≤-及(0).P X > 解1(2)(5)5P X P X <-==-=，3(2)(2),10P X F ≤-=-= 1(0)(2)2P X P X >===.求2Y X =的概率分布.解 1(0)5P Y == , 7(1)30P Y ==,1(4)5P Y ==,11(9).30P Y ==即⒍设离散型随机变量X 的概率分布为：1(),1,2,3,4,5.5P X k k ===求()E X 、2()E X 及2(2)E X +.解 1()(12345)3,5E X =++++=2222221()(12345)11,5E X =++++=22(2)()4()427.E X E X E X +=++=⒎设随机变量~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，求(),().E X D X 解 由(1)(2)P X P X ===得121!2!e e λλλλ--=解之得=2λ，于是()() 2.E X D X ==⒏设连续型随机变量X 的分布函数为20,0;(),01;1, 1.x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩试求：⑴常数A ；⑵概率{0.50.8}P X <≤；⑶X 的概率密度. 解 ⑴(1)(10)1F F A =+⇒=或1211Axdx A =⇒=⎰⑵22{0.50.8}(0.8)(0.5)0.80.50.39P X F F <≤=-=-= ⑶2,01,()()0,.x x f x F x <≤⎧'==⎨⎩其它⒐设随机变量X 的概率密度为11,()0,.x f x -<<=⎩其它试求：⑴常数A ；⑵概率1()2P X <；⑶X 的分布函数.解⑴由11()()f x dx f x dx A π+∞-∞-===⎰⎰得1A π=.⑵ 1111()()2223P X P X <=-<<== ⑶X 的分布函数为0,1,1()()(arcsin ),11,21, 1.x x F x f t dt x x x ππ-∞≤-⎧⎪⎪==+-<<⎨⎪≥⎪⎩⎰⒑(拉普拉斯(Laplace )分布)设随机变量X 的概率密度为(),.xf x Aex -=-∞<<+∞试求：⑴常数A ；⑵概率(01)P X <<；⑶X 的分布函数. 解 ⑴由1()22xx f x dx Ae dx A e dx A +∞+∞+∞---∞-∞====⎰⎰⎰得12A =. ⑵ 11011(01)(1)22x P X e dx e --<<==-⎰. ⑶X 的分布函数为1,0,2()()1(1),0.2xxx e x F x f t dt e x -∞-⎧<⎪⎪==⎨⎪-≥⎪⎩⎰⒒设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 求下列随机变量X 的函数的概率密度：⑴11Y X =-; ⑵22.Y X = 解 ⑴1Y 的分布函数为111(()(1)(1)()Y yF y P Y y P X y P X y f x dx +∞-=≤=-≤=≥-=⎰）当11y ->即0y <时，1(0Y F y =）， 当011y <-≤即01y ≤<时，1121(22Y yF y xdx y y -==-⎰），当10y -≤即1y ≥时，1(1Y F y =）, 即120,0,(2,01,1,1,Y y F y y y y y <⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩）故1Y 的概率密度为12(1),01,(0,Y y y f y -≤<⎧=⎨⎩）其它.⑵2Y 的分布函数为222(()()Y F y P Y y P X y =≤=≤），当0y <时，1(0Y F y =）， 当01y ≤<时，10((,Y F y P X xdx y =≤≤==）当时，1(1Y F y =）,即10,0,(,01,1,1,Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩）故2Y 的概率密度为21,01,(0,Y y f y <<⎧=⎨⎩）其它. ⒓设随机变量X 的概率密度为1(),.2xf x e x -=-∞<<+∞求X 的数学期望()E X 和方差().D X解 1()()02x E X xf x dx xe dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰,222201()()22xx E X x f x dx x e dx x e dx +∞+∞+∞---∞-∞====⎰⎰⎰,22()()(())2D X E X E X =-=.⒔设X 服从区间(1,2)-上的均匀分布，令1,0,0,0.X Y X >⎧=⎨≤⎩求()E Y 和方差().D Y解 易知Y 服从0-1分布，且1(1)(0)3P Y P X ==>=， 1(0)(0)3P Y P X ==≤=，故 1()3E Y =，112()(1)339D Y =-=.⒕设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即其概率密度为,0,()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其它, 0λ>,试求：⑴12Y X =的数学期望1()E Y ; ⑵22X Y e -=的数学期望2().E Y解 ⑴ 12()(2)2()E Y E X E X λ===;⑵22220()()()2X x x x E Y E e e f x dx e e dx λλλλ+∞+∞-----∞====+⎰⎰.⒖设X 服从区间(0,5)上的均匀分布，求t 的二次方程24420t X t X +++=有实根的概率.解 24420t X t X +++=有实根的充要条件为221644(20(221X X X X X X -⨯+≥⇔-+≥⇔≥≤-））0或，于是所求概率为5213(2)(1)(2)55P X P X P X dx ≥+≤-=≥==⎰.⒗设某种型号的电子元件的寿命X (以小时计)服从参数11500λ=的指数分布，试求：⑴该电子元件的寿命不超过1500小时的概率;⑵从一大批这种元件中任取5只，求其中至少有1只寿命超过1500小时的概率. 解 ⑴X 的分布函数为15001,0,()0,x X e x F x -⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其它,于是电子元件的寿命不超过1500小时的概率为1(1500)(1500)1P X F e -≤==-;⑵ 5只中至少有1只寿命超过1500小时的概率.电子元件的寿命超过1500小时的概率为151(1)e ---.⒘设某种电池的寿命X 服从正态分布2(,)N μσ，其中300μ=(小时)，35σ=(小时). ⑴求电池寿命在250小时以上的概率；⑵求x ，使寿命在x μ-与x μ+之间的概率不小于0.9. 解 ⑴300(250)(1.43)35X P X P ->=>-300( 1.43)(1.43)0.923635X P -=<=Φ≈ ⑵300()()353535x X xP a x X a x P --<<+=-<< =9.01)35(2)35()35(≥-Φ=-Φ-Φxx x 即95.0)35(≥Φx所以,65.135≥x,75.57≥x . ⒙设考生的概率统计成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求⑴Y 的概率分布;⑵EY 和DY .解 ⑴ 由题意知~(,)Y B n p ,其中,100n =,8472607212(6084)()()2()1p P X σσσ--=<≤=Φ-Φ=Φ-，由9672240.023(96)1()1()P X σσ-=>=-Φ=-Φ得24()0.977σΦ=,242,12σσ==,所以2(1)10.6826p =Φ-=，故Y 的概率分布为100100()(0.6826)(0.3174)k k k P Y k C -==;⑵1000.682668.26EY =⨯=，68.260.317421.6657DY =⨯=.习题2B -⒈设离散型随机变量X 的概率分布为 ⑴{}2,1,2,,100iP X i a i ==⨯=；⑵{}2,1,2,iP X i a i ===.分别求⑴、⑵中的常数a 的值.解⑴1001001001011011111{}22(22)122ii i i i P X i a a a a =======-=⇔=-∑∑∑；⑵11121{}22113ii i i i a P X i a a a a ∞∞∞========⇔=-∑∑∑ ⒉设随机变量X 的概率分布为1(),1,2,,2kP X k k ===求⑴()P X 为偶数; ⑵(3)P X 能被整除. 解⑴21111()(2)23k k k P X P X k ∞∞======∑∑为偶数; ⑵31111(3)(3)27k k k P X P X k ∞∞======∑∑能被整除. ⒊(帕斯卡(Pascal )分布)设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，进行重复独立试验，直到事件A 发生r 次时为止.求需要进行的试验总次数X 的概率分布.当1r =时，是什么分布？解 11()(1),,1,,r r k rk P X k C p p k r r ---==-=+当1r =时，X 的概率分布为几何分布.⒋在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入 超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率.解 设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’0,1,k= n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’,1,n k k =+则()()()(|)n n n n k n kP B P C B P C P B C ∞∞====∑∑(1)!nk kn k n n ke C p p n λλ∞--==-∑()(1)!()!k n kn k n k p e p k n k λλλ-∞--==--∑(),0,1,2,!k p p e k k λλ-==.⒌设随机变量X 的概率分布为:1(),1,2,,2kP X k k ===求随机变量sin()2Y X π=的概率分布.解 易知Y 的所有可能取值为-1,0,1，且411112(1)(41)215k k k P Y P X k +∞+∞-===-==-==∑∑,21111(0)(2)23kk k P Y P X k +∞+∞=======∑∑, 431118(1)(43)215k k k P Y P X k +∞+∞-=====-==∑∑. ⒍设袋中有k 号的球k 只，1,2,,k n =从中随机取一球，求所得号码的数学期望.解 以X 表示取一球的号码数.袋中球的总数为(1)(12)2n n n ++++=，所以2(),1,2,,(1)(1)2k kP X k k n n n n n ====++,1121()()(21)(1)3nn k k k E X kP X k kn n n ======++∑∑.⒎设随机变量X 的概率分布为:1(),1,2,,2kP X k k ===求()E X 及()D X .解 11111()2222k k k k k EX k -∞∞=====∑∑,122211116222k k k k k EX k -∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑22()2DX EX EX =-=.⒏设X 为非负随机变量，密度函数为()f x，证明Y 的密度函数为22(),0,()0,0.Y yf y y f y y ⎧>=⎨≤⎩证0,0;()()),0,Y y F y P Y y P y y ≤⎧⎪=≤=⎨>⎪⎩220,0,()(),0,y y P X y f x dx y ≤⎧⎪=⎨≤=>⎪⎩⎰ 所以22(),0;()()0,0.Y Y yf y y f y F y y ⎧>'==⎨<⎩⒐设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证21X Y e -=和221X Y e -=-都服从区间(0,1)上的均匀分布.证 X 的分布函数为21,0,()0,0x X e x F x x -⎧-≥=⎨≤⎩, 而1Y 的分布函数为121()()()X Y F y P Y y P e y -=≤=≤当0y ≤时，1(0Y F y =）， 当01y <<时，121(()(2ln )1(ln )2X Y F y P e y P X y P X y y -=≤=-≤=-≤-=），当1y ≥时，1(1Y F y =）, 即10,0,(,01,1,1,Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩）故1Y 的概率密度为11,01,(0,Y y f y <<⎧=⎨⎩）其它,所以21X Y e -=服从区间(0,1)上的均匀分布;⑵2Y 的分布函数为222()()(1)X Y F y P Y y P e y -=≤=-≤1(1)P y Y =-≤10,0,1(1),01,1,1,y P Y y y y y ≤⎧⎪=-≤-=<<⎨⎪≥⎩故2Y 的概率密度为21,01,(0,Y y f y <<⎧=⎨⎩）其它, 所以221XY e -=-服从区间(0,1)上的均匀分布.⒑设X 服从参数为λ的指数分布，记min{,2}Y X =. ⑴求Y 的分布函数； ⑵求{2}P Y =；⑶判断Y 是否为连续型随机变量；⑷在{2}Y =的条件下，求{3}X >的概率.解 ,0;()0,0.x X e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩⑴(){}{min{,2}}Y F y P Y y P X y =≤=≤ 1{min{,2}}1{,2}P X y P X y y =->=->>0,0;0,0;1{},02;1,02;1, 2.1,2.y y y P X y y e y y y λ-<⎧<⎧⎪⎪=->≤<=-≤<⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩ ⑵2{2}{min{,2}2}{2}P Y P X P X e λ-====≥=⑶由于2220()()(1)11yY Y dF y dF y ee λλ+∞---∞==-=-≠⎰⎰，所以Y 不是连续型随机变量；⑷在{2}Y =的条件下，求{3}X >的概率：(3,2)(3,min{,2}2)({3}|{2}){2}{2}P X Y P X X P X Y P Y P Y >=>=>===== 32{3}{2}P X e e P Y eλλλ--->==== ⒒(拉普拉斯(Laplace )分布)设随机变量X 的概率密度为1(),.2x f x ex μλλ--=-∞<<+∞求()E X 、().D X解 1()()()2x x E X xf x dx xe dx t μλμλλ-+∞+∞--∞-∞-===⎰⎰令,0222t t t t t e dt e dt e dt λμλμμμ+∞+∞+∞----∞-∞-∞+==+=+=⎰⎰⎰ 221()()()()()2x x D X x f x dx x e dx t μλμμμλλ-+∞+∞--∞-∞-=-=-=⎰⎰令,22222200()220t t t t e dt t e te dt λλλλ+∞+∞---∞==-+=⎰⎰.⒓设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，求2()X E X e -+.解 由2—A 习题13知2()2X E e λλ-=+,于是22212()()()2(2)XXE X e E X E e λλλλλλλ--+++=+=+=++. ⒔假设国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机向量X (吨)，X 服从区间(2000,4000)上的均匀分布.设每售出这种商品一吨可为国家挣得外汇3万元，如售不出去而囤积于仓库，则每吨需要浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家收益的期望值最大？解 设国家应组织s 吨货源(显然只需考虑20004000s ≤≤)，国家收益为Y (万元). Y 为随机变量，且3,,()3(),,s X s Y g X X s X X s ≥⎧==⎨--<⎩于是400020001()(())()2000E Y E g X g x dx ==⎰4000200011(4)320002000s s x s dx sdx =-+⎰⎰261(7000410)1000s =-+-⨯, 由此可知，当3500s =时国家收益的期望值最大.⒕若对连续型随机变量X ，有(||)(0)r E X r <+∞>，试证：对0ε∀>，有(||)(||).r rE X P X εε≥≤证()()()()().r X X rx x rrX rrxP X px dx p x dxxE X p x dx εεεεεε≥≥+∞-∞≥=≤≤=⎰⎰⎰习题3A -⒈一批产品共有100件，其中一等品60件、二等品30件、三等品10件.从这批产品中有放回地任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求(,)X Y 的联合概率分布.解 33!631(,)()()(),,0,1,2,3,3!!(3)!101010i j i j P X i Y j i j i j i j i j --====+≤--. ⒉将一硬币抛掷3次，以X 表示在3次中正面出现的次数，Y 表示在3次中正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值，求⑴(,)X Y 的联合概率分布⑵(,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率分布.解(,)X Y 的联合概率分布表⑵(,)X Y 关于Y 的边缘概率分布（以小时计），设(,)X Y 的分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---其它,01),()(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x求两个组件的寿命都超过120的概率.解 两个组件的寿命都超过120的概率为1.2 1.2 1.22.42.4(120,120)1[(120)(120)]1(120)(120)(120,120)1(120,)(,120)(120,120)1(1)(1)(12)0.09P X Y P X Y P X P Y P X Y F F F e e e e e ----->>=-≤≤=-≤-≤+≤≤=-∞-∞+=----+-+=≈⒋设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为,01,0,(,)0,.Axy x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它 求⑴常数A ; ⑵(,)X Y 的联合分布函数; ⑶(1)P X Y +<; ⑷(,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率密度.解⑴由密度函数的性质得11001(,)8x A f x y dxdy dx Axydy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰故8A =. ⑵由⑴知8,01,0,(,)0,.xy x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它⑶11211(1)(1)(,)86y yx y P X Y P X Y f x y dxdy dy xydx -+<+<=+<===⎰⎰⎰⎰⑷34,01,()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞⎧<<==⎨⎩⎰其它,344,01,()(,)0,Y y y y f x f x y dx +∞-∞⎧-<<==⎨⎩⎰其它,⒌设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布.求⑴(,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率密; ⑵Z X Y =+的分布函数与概率密度.解：⑴(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01,()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它,22,01,()(,)0,Y y y f x f x y dx +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它.⑵利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰，其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 当 0z <或1z >时，()0Z f z =01z ≤≤时 00()222zzZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z F z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.⒍设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求22(),(),(),(),().E X D X E Y E XY E X Y +解112004()(,)125xE X xf x y dxdy dx xy dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，112222002()(,)123x E X x f x y dxdy dx x y dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，222()()()75D XE X EX =-=，112003()(,)125xE Y yf x y dxdy dx yy dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，112001()(,)122x E XY xyf x y dxdy dx xyy dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，112222002()(,)125x E Y y f x y dxdy dx y y dy +∞+∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，222216()()()15E X Y E X E Y +=+=.⒎设已知(,)X Y 的联合概率分布及边缘概率分布如下表：⑴求(,)X Y 的联合分布表中11p ，12p ，13p ，22p 的值； ⑵判断X 与Y 是否独立.解⑴1114p =，1314p =，121110244p =--=，2212p =； ⑵由于11111124X Yp p p ⨯=⨯≠，所以X 与Y 不是独立的.⒏设随机变量X 与Y 独立，且分别服从参数为12,λλ的泊松分布，求Z X Y =+的分布. 解 12120()()()()!()!i k i kki i e e P Z k P X Y k P X i P Y k i ik i λλλλ---====+====-=-∑∑121212()()12121200!(),0,1,2,!()!!!()!!i k i k kki k ii i eeek e k i k i k i k i k λλλλλλλλλλλλ---+-+--==+====--∑∑所以Z X Y =+服从参数为12λλ+的泊松分布.⒐设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为(23)6,0,0,(,)0,.x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它求：⑴(,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率密度; ⑵条件概率密度;⑶判断X 与Y 是否独立.解 ⑴22,0,()(,)0,x X e x f x f x y dy -+∞-∞⎧>==⎨⎩⎰其它,33,0,()(,)0,y Y e y f x f x y dx -+∞-∞⎧>==⎨⎩⎰其它,⑵当0x >时，33,0,(,)()()0,0,yY X X e y f x y f y x f x y -⎧>==⎨≤⎩ 当0y >时，22,0,(,)()()0,0.xX Y Y e x f x y f x y f y x -⎧>==⎨≤⎩ ⑶由于()()(,)X Y f x f y f x y =，故X 与Y 是否独立.⒑设随机变量X 与Y 独立，X 服从区间(0,1)上的均匀分布，Y 服从指数分布(1)E ，求⑴(,)X Y 联合概率密度;⑵概率()P X Y ≤;⑶Z X Y =+的概率密度.解⑴1,01,()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其它, ,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它,故由X 与Y 独立得(,)X Y 联合概率密度为,01,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧<<>==⎨⎩其它. ⑵所求概率为1112()(,)1y xx yP X Y f x y dxdy dx e dy e--≤≤===-⎰⎰⎰⎰ ⑶Z X Y =+的概率密度 ⑵利用卷积公式()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰得 10,0,()()1,01,(1), 1.z Z Y z z f z f z x dx e z e e z --<⎧⎪=-=-≤<⎨⎪-≥⎩⎰⒒设U aX b =+,V cX d =+,其中0ac >,试证U 与V 的相关系数等于X 与Y 的相关系数.解(,)(,)U V X Y ρρ===.⒓假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，记0,,1,2.1,,k Y k X k Y k ≤⎧==⎨>⎩求⑴12(,)X X 的联合概率分布；⑵1X 与2X 的相关系数.解⑴由题意知112(0,0)(1,2)(1)1P X X P Y Y P Y e -===≤≤=≤=-， 12(0,1)(1,2)0P X X P Y Y ===≤>=，1212(1,0)(1,2)(12)P X X P Y Y P Y e e --===>≤=<≤=-， 212(1,1)(1,2)(2)P X X P Y Y P Y e -===>>=>=；即12(,)X X 的联合概率分布为⑵11(0)(1)1P X P Y e -==≤=-，11(1)(1)P X P Y e -==>=， 22(0)(2)1P X P Y e -==≤=-，22(1)(2)P X P Y e -==>=，于是有11111(),()(1)E X e D X e e ---==-，22221(),()(1)E X e D X e e ---==-，212()11E X X e -=⨯⨯, 21221121212(,)()()()(1)Cov X X E X X E X E X e e e e e -----=-=-=-,21(,)X Y ρ--===⒔设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为22221,1,(,)0, 1.x y f x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩ 试验证X 与Y 不相关，但不独立.证11()()0X E X xf x dx +∞-∞-===⎰⎰2221111()(,)0Rx y E XY xyf x y dxdy xy dxdy dx π-+≤====⎰⎰⎰⎰⎰,(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-=,所以,X 与Y 不相关,但,11,11,()(,)0,0,X x x f x f x y dy +∞-∞⎧-<<⎪-<<===⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他,其他,11,()(,)0,Y y f y f x y dx +∞-∞-<<==⎪⎩⎰其他, ()()(,)X Y f x f y f x y ≠,所以X 与Y 不独立.⒕计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量，并且都在区间[0.5,0.5]-上服从均匀分布，求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率.解 设随机变量i X 表示第i 个加数的取整误差，则i X 在区间[0.5,0.5]-上服从均匀分布，且1()0,(),1,2,,30012i i E X D X i ===,于是所求概率为3001(10)i i P X P =<=<∑,(2)(2)2(2)10.9544≈Φ-Φ-=Φ-=.⒖某工厂有200台同类型的机器，每台机器工作时需要的电功率为Qkw.由于工艺等原因，每台机器实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的.求：⑴任一时刻有144～160台机器正在工作的概率；⑵需要供应多少电功率才可以保证所有机器正常工作的概率不小于99%？ 解⑴设随机变量Y 表示任意时刻正在工作的机器台数，则(,)Y B n p ,其中 200,0.75,0.25n p q ===,由于150,37.5np npq ==，所以由中心极限定理得(144160)37.537.5P Y P ≤≤=≤≤ (1.63)(0.98)(1.63)(0.98)10.7849Φ-Φ-=Φ+Φ-=;⑵设至少需要供应m Q ⋅kw 电功率才可以保证所有机器正常工作的概率不小于99%,于是有()0.99P Y Q m Q ⋅≤⋅≥,而150()((2.33)0.9937.5m P Y Q m Q P -⋅≤⋅=Φ≥Φ=，于是2.33,164.3m ≥≥, 所以取165m =，即需要供应165Qkw 电功率.习题3B -⒈某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件、10件，现从中随机抽取一件，记1,1,2,3,0,i i i X =⎧=⎨⎩若抽到等品,其它.试求：⑴随机向量12(,)X X 的联合概率分布;⑵随机变量1X 与2X 的相关系数.解⑴由题意知1231(0,0)(1)10P X X P X =====，1231(0,1)(0)10P X X P X =====， 1238(1,0)(0)10P X X P X =====，12(1,1)0P X X ===， ⑵11()0.8,()0.80.20.16,E X D X ==⨯= 22()0.1,()0.10.90.09,E X D X ==⨯=12()0E X X =, 121212(,)()()()0.08Cov X X E X X E X E X =-=-,2(,)3X Y ρ==-.⒉设袋中装有个颜色各不相同的球，现有放回地摸取n 次，每次取一球.记1,0,i n i X ⎧=⎨⎩如果在次取球中摸到第种颜色的球，否则。
概率统计试题及答案
概率统计试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 某随机事件的概率为0.5，那么它的对立事件的概率是：A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.82. 以下哪个不是随机变量的类型？A. 离散型B. 连续型C. 有限型D. 无限型3. 如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)等于：A. P(A) + P(B)B. P(A) - P(B)C. P(A) * P(B)D. P(A) / P(B)4. 以下哪个是正态分布的特点？A. 均值等于中位数B. 均值大于中位数C. 均值小于中位数D. 均值与中位数无关5. 以下哪个是大数定律的表述？A. 随机变量的期望等于其均值B. 随机变量的方差等于其标准差的平方C. 随机变量序列的均值趋于一个常数D. 随机变量的方差趋于零二、填空题（每题2分，共20分）6. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为______。
7. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其密度函数为______。
8. 两个事件A和B相互独立，则P(A∩B)等于______。
9. 随机变量X的期望E(X)表示为______。
10. 随机变量X的方差Var(X)表示为______。
三、解答题（每题15分，共40分）11. 某工厂生产的产品中，有5%是次品。
假设从这批产品中随机抽取100件产品，求至少有3件是次品的概率。
12. 某地区连续两天下雨的概率为0.4，求在接下来的一周内至少有3天下雨的概率。
四、计算题（每题10分，共20分）13. 假设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，求P(1 < X < 3)。
14. 假设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，求其均值和方差。
答案一、选择题1. D2. C3. A4. A5. C二、填空题6. P(X=k) = λ^k / k! * e^(-λ)，k=0,1,2,...7. f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))8. P(A) * P(B)9. E(X) = ∑x * P(X=x)（离散型）或∫x * f(x) dx（连续型）10. Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2三、解答题11. 至少有3件次品的概率可以通过计算没有次品或只有1件或2件次品的概率，然后用1减去这个概率得到。
概率统计试题库及答案
70、随机变量 的分布函数为 ，则 = 。
71、设随机变量ξ可取0，1，2三个值，且P{ξ=1}=0.3,P{ξ=2}=0.2,则P{ξ=0}=_____________。（0.5）
72、已知连续型随机变量X的分布函数为 则P{0.5<X<1.5}=____________,P{X>2/3}=______________。（0.75, ）
91、设 ，则X的函数Y=~N(0,1)。（ ）
92、设 ，且 ，则 =__________。（0.05）
93、 。（ ）
94、设随机变量 的分布函数为 ，则对于任意实数 ，有 ____________。（ ）
95、设连续型随机变量 服从 区间上的均匀分布，则 的分布函数 ___________________。（ ）
6、 ___________； _____________； ____________。（ ， ， ）
7、设事件A、B、C，将下列事件用A、B、C间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为：_____________；（2）三个事件不都发生表示为：_____________；（3）三个事件中至少有一个事件发生表示为：___________。（ ， ， ）
43、100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为________________（只写算式）。（ ）
44、某楼有供水龙头5个，调查表明每一龙头被打开的概率为 ，则恰有3个水龙头同时被打开的概率为____________（只写算式）。（ ）
45、古典概型的主要特点是：______________________________和______________________________。（样本空间中基本事件总数是有限的，每一基本事件发生是等可能的）
海师概率论与数理统计06--07(A)
○ 装
六. （15 分）设总体 服从指数分布，密度函数为：
f x;
解：
e
1
x
，
x 0 ， 0 .试求参数 的极大似然估计量.
解：
○ 订
○ 线
○
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P ( A B) a b 1 .
○ 密
求： （1） 的特征函数 (t ) ； （2） E ( ) 及 D ( ) . 解：
（2）已知 P( A B) 1/ 8 ， P( A B) 1/ 3 ， P( B A) 1/ 4 ，求：------------------------------------------------------------------------------------------------
A3 ，它们的产品分别占全部产品的
10％，40％，
○ 密
50％，并且它们的废品率分别为 7％，2％，1％.令 B 表示“从产品中任 取一件，并发现是废品”这一事件，求： （1）
------------------------------------------------
P(B) ；
1
（2） 今从全部产品中任取一件，发现是废品，问它是 A 制造的概率.
七. （10 分）某工厂生产的电灯泡的使用时数用 表示， 假定 服从正态分布 N a, ，其中 a 及 都是未知参 数，现在观察 n 17 个灯泡，测得 17 个灯泡的使用时数
○ 封
x1, x2 ,, x17 ，并由此算得 x 1800 ， s 500 ，试问：给定显著性水平 0.05 ，该厂电灯泡的平均使用时数为“ a a0 2000 ” （小时）这个 结论是否成立？ （注： t 分布的双侧临界值表中， 从 可查得 t16 0.05 2.12 ）
概率统计A试题 答案 06-07(秋)
θ1 = ( X 1 + X 2 + X 3 ) ，θ 2 =
有效．
1 3
1 1 1 X 1 + X 2 + X 3 ，都是期望 EX 的无偏估计，但 θ 1 比 θ 2 2 3 6
（是）
二、填空题：(每格 3 分，共计 15 分) 6、设 P ( A) = 0.5 ， P( B )＝0.4 ， P ( B | A) = 0.8 ，则 P( A ∪ B) = 0.7 ． 7、已知事件 A 与 B 满足条件 P( AB) = P( A B ) ，且 P( B) = p ，则 P ( A) = 1 − p ．
（1） 置信区间 ( X −
评分参考 （1） 写出密度函数（5 分） ； 。 （2） 得到 P ( S ≤ s) （2×5=10 分）
s n
tα / 2 (n − 1), X +
s n
tα / 2 (n − 1)) （4 分） ；
（2） 计算正确（3 分） ； （3） 拒绝域 s > k =
2
σ 02
草
稿
纸
14、 X , Y 是独立同分布的随机变量， U = X + Y ， = X − Y ， 设 而 V 那么 U 和 V （Ａ）一定不独立 （Ｃ）相关系数一定为零 四、计算题:（15 分×3=45 分） （Ｂ）一定独立 （Ｄ）相关系数一定不为零
15. 已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为 是合格品的概率； （2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
2 2 2 χ 0.05 (16) = 26.296, χ 0.05 (15) = 24.996, χ 0.025 (15) = 27.488.
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2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A2卷）
概率统计
使用班级： 05034401，05034402，05034403，05041401，05122401，05122402，05221401，05221402，05073401，05073402，05072401，05072402
本试卷中可能用到的分位数：
0.975(8) 2.3060t =，0.975 1.96μ=，0.9 1.282μ=，(3.2)0.9993,(2.3)0.9893Φ=Φ=
一、填空题（本题满分15分，每空3分） 1、设随机变量X 的分布律为()3
ax
P x =
，1,2,3x =，则a = 。
2、设随机变量X 服从两点分布011p p ⎛⎫
⎪-⎭⎝
（01p <<）
，Y 与X 独立同分布，则P {}Y X == 。
3、设随机变量X 服从正态分布2
(2,)N σ，0σ>，{}04P X <<=0.3，则
(0)P X <= 。
4、若随机变量X 的期望为2，方差为2，则根据切比雪夫不等式有
{}04P X <<≥ 。
5、设随机变量X 服从()t n 分布，则
2
1
X 服从分布 。
二、单项选择题（本题满分15分，每题3分）
1、设,A B 为任意两个事件，A B ⊂，且()0P B >，则下式成立的为（ ） (A)()()P A P A B <； (B) ()()P A P A B ≤；
(C) ()()P A P A B >； (D) ()()P A P A B ≥。
2、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚硬币正面向上的概率为（ ） (A) 1/8 (B) 2/8 (C) 3/8 (D) 4/8
3、设随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数为（ ） (A)11()33F y -；(B) (31)F y +；(C) 3()1F y +；(D)
11()33
F y -。
4、设随机变量X 服从[]0,1上的均匀分布，则2
Y X =的密度函数为（ ）
(A)()Y f y =1
010
y ≤≤⎧⎨
⎩其他； (B) ()Y f y
=020
y ≤≤⎩
其他
；
(C) ()Y f y
=04
0y ≤≤⎩
其他； (D) ()Y f y
=010
y ≤≤⎩
其他。
5、129(,)X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 服从正态分布2(,)N μσ，2,μσ未知。
若得到样本均值为4，标准差为3，则μ置信度为0.95的置信区间为（ ） （A ）[]1.7378,6.2622； （B ）[]1.725,5.768； （C ）[]1.694,6.306； （D ）[]2.669,5.331。
三、（本题满分12分）
从工程数据分析知道：电击、设备故障、过失、破坏发生的概率分别为0.2，0.4，0.25，0.15，而它们会引起爆炸的概率分别为0.25，0.2，0.4，0.75，试求： （1）爆炸发生的可能性；
（2）当爆炸发生时，是由过失引起的可能性为多少。
四、（本题满分12分）
设连续型随机变量X 的分布密度函数为02()00x x ke f x x <⎧=⎨≥⎩
试求：（1）常数k ；
（2）X 的分布函数)(x F ；
（3）{}11P X -<<，{}1P X =-。
五、（本题满分10分）
设二维随机变量(,)X Y 的分布密度函数0(,)0
y x y
e f x y -<<⎧=⎨⎩其他
试求（1）边缘密度函数()X f x ，()Y f y ；
（2）()E XY
分）
设随机变量X 服从正态分布(108,9)N 试求：（1）{}101.1117.6P X <<
（2）求常数a 使{}P X a <=0.9
（3）若Y 与X 独立，Y 服从正态分布(2,4)N ，求(321)D X Y -+
分）
设),,,(21n X X X 为来自总体X 的一个样本，X 密度函数为1,0
(;)0,0x
e x
f x x θ
θθ-⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
，
其中0θ>为未知参数，试求θ的矩估计与极大似然估计。
八、（本题满分12分）
打包机装糖入包，每包标准重为100斤，每日开工后，要检验所装糖包重量的总体期望值是否合乎标准（100斤）。
某日开工包糖，称得重量如下（单位斤）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，计算得x=99.98，s=0.685，已知所装糖包的重量服从正态
α=）
分布，问该天打包机所装糖包是否合乎标准？（0.05。