二叉排序树
二叉排序树
9
第９章
第三节
二、二叉排序树(插入)
查找
动态查找表
二叉排序树是一种动态查找表
当树中不存在查找的结点时，作插入操作
新插入的结点一定是叶子结点（只需改动一个 结点的指针） 该叶子结点是查找不成功时路径上访问的最后 一个结点的左孩子或右孩子(新结点值小于或 大于该结点值) 10
第９章
第三节
查找
19
在二叉排序树中查找关 键字值等于37,88,94
3
第９章
第三节
查找
动态查找表
二、二叉排序树(查找函数)中结点结构定义 二叉排序树通常采用二叉链表的形式进行存 储，其结点结构定义如下：
typedef struct BiNode { int data; BiNode *lChild, *rChild; }BiNode,*BitTree;
4
第９章
第三节
查找
动态查找表
2、二叉排序树的定义 定义二叉排序树所有用到的变量 BitTree root; int
//查找是否成功（1--成功，0--不成功） //查找位置（表示在BisCount层中的第几个位置
BisSuccess;
int
int
BisPos;
BisCount;
//查找次数（相当于树的层数）
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第９章
第三节
查找
动态查找表
二、二叉排序树(查找函数)
else { BisSuccess = 0; root=GetNode(k);//查找不成功，插入新的结点}
} BiNode * GetNode(int k) { BiNode *s; s = new BiNode; s->data = k; s->lChild = NULL; s->rChild = NULL; return(s);}
二叉排序树
②若*p结点只有左子树，或只有右子树，则可将*p的左子 树或右子树直接改为其双亲结点*f的左子树，即： f->1child=p->1child(或f->1child=p->rchild); free(p)； *f
F *p P P1
*f
F
*f
F *p P
*f
F
Pr
P1
Pr
③若*p既有左子树，又有右子树。则：
-1 0
47
-1
47
47
0
31 69
69
25
0
47
0
25
0
47
-1 0
31
0
69
0
40
69
40
69
0
25 76
40
76
(a)
AL、BL、BR 都是空树
(b) AL、BL、BR 都是非空树
LR型调整操作示意图
2
A
-1
0
C
AR C BL CL CR AR
0 0
B BL CL S
B
A
CR
(a) 插入结点*s后失去平衡
31
0 0 -1
31
0 1
28
0
25
0 0
47
0
25
-1
47
0
25
0
31
0
16 0
28
16
28
0
16 30
30
47
(c) LR(R)型调整
RL型调整操作示意图
A B C A BR CR B BR
AL
C
AL
CL CR
数据结构 二叉排序树
9.6.2 哈希函数的构造方法
构造哈希函数的目标：
哈希地址尽可能均匀分布在表空间上——均 匀性好； 哈希地址计算尽量简单。
考虑因素：
函数的复杂度； 关键字长度与表长的关系； 关键字分布情况； 元素的查找频率。
一、直接地址法 取关键字或关键字的某个线性函数值为哈希地址 即： H(key) = key 或： H(key) = a* key + b 其中，a， b为常数。 例：1949年后出生的人口调查表，关键字是年份 年份 1949 1950 1951 … 人数 … … … …
9.4 二叉排序树
1．定义：
二叉排序树(二叉搜索树或二叉查找树) 或者是一棵空树；或者是具有如下特性的二叉树
(1) 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的 值均小于根结点的值；
(2) 若它的右子树不空，则右子树上所有结点 的值均大于等于根结点的值； (3) 它的左、右子树也都分别是二叉排序树。
例如:
H(key)
通常设定一个一维数组空间存储记录集合，则 H(key)指示数组中的下标。
称这个一维数组为哈希(Hash)表或散列表。 称映射函数 H 为哈希函数。 H(key)为哈希地址
例：假定一个线性表为： A = (18，75，60，43，54，90，46) 假定选取的哈希函数为
hash3(key) = key % 13
H(key) = key + (-1948) 此法仅适合于： 地址集合的大小 = = 关键字集合的大小
二、数字分析法
假设关键字集合中的每个关键字都是由 s 位数 字组成 (u1, u2, …, us)，分析关键字集中的全体， 并从中提取分布均匀的若干位或它们的组合作为 地址。 例如：有若干记录，关键字为 8 位十进制数， 假设哈希表的表长为100, 对关键字进行分析， 取随机性较好的两位十进制数作为哈希地址。
二叉排序树
二叉排序树1．二叉排序树定义二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
（2）左右子树也都是二叉排序树，如图6-2所示。
2．二叉排序树的查找过程由其定义可见，二叉排序树的查找过程为：（1）若查找树为空，查找失败。
（2）查找树非空，将给定值key与查找树的根结点关键码比较。
（3）若相等，查找成功，结束查找过程，否则：①当给值key小于根结点关键码，查找将在以左孩子为根的子树上继续进行，转（1）。
②当给值key大于根结点关键码，查找将在以右孩子为根的子树上继续进行，转（1）。
3．二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为key，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，该插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。
因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。
构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。
对于关键码序列为：｛63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58｝，则构造一棵二叉排序树的过程如图6-3所示。
4．二叉排序树删除操作从二叉排序树中删除一个结点之后，要求其仍能保持二叉排序树的特性。
设待删结点为*p（p为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，删除可以分三种情况，如图6-4所示。
（1）*p结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针，如图6-4（a）所示。
（2）*p结点只有右子树或只有左子树，此时，只需将或替换*f结点的*p子树即可，如图6-4（b）、（c）所示。
（3）*p结点既有左子树又有右子树，可按中序遍历保持有序地进行调整，如图6-4（d）、（e）所示。
设删除*p结点前，中序遍历序列为：① P为F的左子女时有：…，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。
二叉树概念
点为结点i (1 i n)。则有以下关系：
若i = 1, 则 i 无双亲 若i > 1, 则 i 的双亲为i /2 若2*i <= n, 则 i 的左子女为2*i；否则，i无左子女，必定是 页结点，二叉树中i> n/2 的结点必定是页结点 若2*i+1 <= n, 则 i 的右子女为2*i+1，否则，i无右子女
层序遍历二叉树算法的框架是 • 若二叉树为空，则空操作； • 否则，根结点入队，并作为当 前结点。如队列不空，循环： 将当前结点的左右孩子入队； 做出队操作，队首元素作为当 前结点; • 最后，出队序列就是层序遍历 序列 遍历结果
表达式语法树
-+/a*efb- cd
例5-1：在二叉树中查找具有给定值的结点
}
//中序遍历*t的右子树
}
前序遍历算法
PREORDER(bitree *t) { if (t) { printf(“\t%c\n”,t->data); //访问结点*t PREORDER(t->lchild); //前序遍历*t的左子树
PREORDER(t->rchild• • • • • 结点(node) 结点的度(degree) 分支(branch)结点 叶(leaf)结点 子女(child)结点 双亲(parent)结点
结点的子树个数 度不为0的结点 度为0的结点 某结点子树的根结点 某个结点是其子树之根的 双亲
• 兄弟(sibling)结点 • 祖先(ancestor)结点
证明： 1、结点总数为度为0的结点加上度为1的结点再加上度 为2的结点： n = n0 + n1 + n2 2、另一方面，二叉树中一度结点有一个孩子，二 度结 点有二个孩子，根结点不是任何结点的孩子，因此， 结点总数为： n = n1 + 2n2 + 1 3、两式相减，得到： n0 = n2 + 1
数据结构之二叉树（BinaryTree）
数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读 ⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。
⽬录 ⼀、⼆叉树的定义 ⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 三、⼆叉树的五种基本形态 四、⼆叉树相关术语 五、⼆叉树的主要性质（6个） 六、⼆叉树的存储结构（2种） 七、⼆叉树的遍历算法（4种） ⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义 如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。
定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。
（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。
值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。
具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同 ⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。
⽆序树的⼦树⽆左右之分。
2、⼆叉树与有序树也不同（关键） 当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。
这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。
完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。
如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质 ⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。
性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。
证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。
二叉排序树
就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移 动结点，只需修改指针即可完成插入和删 除操作，且其平均的执行时间均为O(lgn)， 因此更有效。二分查找所涉及的有序表是 一个向量，若有插入和删除结点的操作， 则维护表的有序性所花的代价是O(n)。当 有序表是静态查找表时，宜用向量作为其 存储结构，而采用二分查找实现其查找操 作；若有序表里动态查找表，则应选择二 叉排序树作为其存储结构。
if(q->lchild) //*q的左子树非空，找*q的左子 树的最右节点r. {for(q=q->lchild;q->rchild;q=q->rchild); q->rchild=p->rchild; } if(parent->lchild==p)parent->lchild=p>lchild; else parent->rchild=p->lchild; free(p)； /释放*p占用的空间 } //DelBSTNode
下图(a)所示的树，是按如下插入次序构成的： 45，24，55，12，37，53，60，28，40，70 下图(b)所示的树，是按如下插入次序构成的： 12，24，28，37，40，45，53，55，60，70
在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态 有关： ①在最坏情况下，二叉排序树是通过把一个有序表的n 个结点依次插入而生成的，此时所得的二叉排序树蜕化为 棵深度为n的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺 序查找相同，亦是(n+1)/2。 ②在最好情况下，二叉排序树在生成的过程中，树的形 态比较匀称，最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树 相似的二叉排序树，此时它的平均查找长度大约是lgn。 ③插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。 (3)二叉排序树和二分查找的比较 就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找 差不多。
数据结构二叉排序树
05
13
19
21
37
56
64
75
80
88
92
low mid high 因为r[mid].key<k，所以向右找，令low:=mid+1=4 (3) low=4;high=5;mid=(4+5) div 2=4
05
13
19
low
21
37
56
64
75
80
88
92
mid high
因为r[mid].key=k，查找成功，所查元素在表中的序号为mid 的值
平均查找长度：为确定某元素在表中某位置所进行的比 较次数的期望值。 在长度为n的表中找某一元素，查找成功的平均查找长度:
ASL=∑PiCi
Pi :为查找表中第i个元素的概率 Ci :为查到表中第i个元素时已经进行的比较次数
在顺序查找时， Ci取决于所查元素在表中的位置， Ci =i,设每个元素的查找概率相等，即Pi=1/n,则:
RL型的第一次旋转(顺时针) 以 53 为轴心,把 37 从 53 的左上转到 53 的左下,使得 53 的左 是 37 ;右是 90 ，原 53 的左变成了 37 的右。 RL型的第二次旋转(逆时针)
一般情况下，假设由于二叉排序树上插入结点而失去 平衡的最小子树的根结点指针为a（即a是离插入结点最 近,且平衡因子绝对值超过1的祖先结点），则失去平衡 后进行调整的规律可归纳为下列四种情况: ⒈RR型平衡旋转: a -2 b -1 h-1 a1
2.查找关键字k=85 的情况 (1) low=1;high=11;mid=(1+11) / 2=6
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6.5 二叉排序树★3◎41．二叉排序树定义二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
（2）左右子树也都是二叉排序树，如图6-2所示。
2．二叉排序树的查找过程由其定义可见，二叉排序树的查找过程为：（1）若查找树为空，查找失败。
（2）查找树非空，将给定值key与查找树的根结点关键码比较。
（3）若相等，查找成功，结束查找过程，否则：①当给值key小于根结点关键码，查找将在以左孩子为根的子树上继续进行，转（1）。
②当给值key大于根结点关键码，查找将在以右孩子为根的子树上继续进行，转（1）。
3．二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为key，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，该插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。
因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。
构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。
对于关键码序列为：｛63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58｝，则构造一棵二叉排序树的过程如图6-3所示。
4．二叉排序树删除操作从二叉排序树中删除一个结点之后，要求其仍能保持二叉排序树的特性。
设待删结点为*p（p为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，删除可以分三种情况，如图6-4所示。
（1）*p结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针，如图6-4（a）所示。
（2）*p结点只有右子树或只有左子树，此时，只需将或替换*f结点的*p子树即可，如图6-4（b）、（c）所示。
（3）*p结点既有左子树又有右子树，可按中序遍历保持有序地进行调整，如图6-4（d）、（e）所示。
设删除*p结点前，中序遍历序列为：① P为F的左子女时有：…，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。
②P为F的右子女时有：…，F，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，…。
则删除*p结点后，中序遍历序列应为：①P为F的左子女时有：…，Pi子树，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。
② P为F的右子女时有：…，F，Pi子树，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，…。
有两种调整方法：①直接令Pi为*f相应的子树，以Pr为Pi中序遍历的最后一个结点Pk的右子树。
②令*p结点的直接前驱Pr或直接后继（对Pi子树中序遍历的最后一个结点Pk）替换*p结点，再按（2）的方法删去Pr或Pk。
【算法分析】对给定序列建立二叉排序树，若左右子树均匀分布，则其查找过程类似于有序表的折半查找。
但若给定序列原本有序，则建立的二叉排序树就蜕化为单链表，其查找效率和顺序查找一样。
因此，对均匀的二叉排序树进行插入或删除结点后，应进行调整，使其依然保持均匀。
3.2.5 二叉排序树在这一部分我们要掌握的是二叉排序树的概念、查找、插入和删除操作。
在以下的知识点中，二叉排序树的删除相对于其他知识点要复杂一些，但只要掌握了规则，题目还是很容易解决的。
下面我们先分别给出各部分的介绍及算法实现，再对一些典型题目进行解析。
（1）二叉排序树二叉排序树是一种常用的动态查找表，下面首先给出它的非递归形式。
二叉排序树是一棵二叉树，它或者为空，或者具有如下性质：①任一非终端结点若有左孩子，则该结点的关键字值大于其左孩子结点的关键字值。
②任一非终端结点若有右孩子，则该结点的关键字值小于其右孩子结点的关键字值。
二叉排序树也可以用递归的形式定义，即二叉排序树是一棵树，它或者为空，或者具有如下性质：①若它的左子树非空，则其左子树所有结点的关键字值均小于其根结点的关键字值。
②若它的右子树非空，则其右子树所有结点的关键字值均大于其根结点的关键字值。
③它的左右子树都是二叉排序树。
例如，由关键字值序列（62,15,68,46,65,12,57,79,35）构成的一棵二叉排序树如图3-38所示。
如果对上述二叉排序树进行中序遍历可以得到一个关键字有序序列（12,15,35,46,57,62,65,68,79），这是二叉排序树的一个重要特征，也正是由此将其称为"二叉排序树"。
（2）二叉排序树的查找二叉排序树的结构定义中可看到：一棵非空二叉排序树中根结点的关键字值大于其左子树上所有结点的关键字值，而小于其右子树上所有结点的关键字值。
因此在二叉排序树中查找一个关键字值为k的结点的基本思想是：用给定值k与根结点关键字值比较，如果k小于根结点的值，则要找的结点只可能在左子树中，所以继续在左子树中查找，否则将继续在右子树中查找，依此方法，查找下去，至直查找成功或查找失败为止。
二叉排序树查找的过程描述如下：①若二叉树为空树，则查找失败；②将给定值k与根结点的关键字值比较，若相等，则查找成功；③若根结点的关键字值小于给定值k，则在左子树中继续搜索；④否则，在右子树中继续查找。
假定二叉排序树的链式存储结构的类型定义如下：1typedef struct linklist{2keytype key;3anytype otherelem;4struct linklist*lchild；5struct linklist*rchild;6}Bin_Sort_Tree_Linklist,*Bin_Sort_Tree；二叉排序树查找过程的描述是一个递归过程，若用链式存储结构存储，其查找操作的递归算法如下所示：7Bin_Sort_Tree_Linklist*bt_search(Bin_Sort_Tree bt,keytype k)8{∥在根指针为bt的二叉排序树上查找一个关键字值为k的结点，9∥若查找成功返回指向该结点的指针，否则返回空指针10if(bt=NULL)‖(bt->key==k)return bt;11else if(k<bt->key)return bt_search(bt->lchild,k);12∥在左子树中搜索13else return bt_search(bt->rchild,k);//在右子树中搜索14}这个过程也可以用非递归算法实现，算法描述如下：15Bin_Sort_Tree_Linklist*bt_search1(Bin_Sort_Tree bt,keytype k)16{17p=bt;∥指针p指向根结点，搜索从根结点开始18while(p!=NULL && p->key!=k)19{20if(k<p->key)p=p->lchild;21else p=p->rchild;22}23return(p);24}3）二叉排序树的插入在一棵二叉排序树中插入一个结点可以用一个递归的过程实现。
若二叉排序树为空，则新结点作为二叉排序树的根结点。
否则，若给定结点的关键字值小于根结点关键字值，则插入在左子树上；若给定结点的关键字值大于根结点的值，则插入在右子树上。
下面是二叉排序树插入操作的递归算法。
1void bt_insert1(Bin_Sort_Tree*bt,Bin_Sort_Tree_Linklist*pn)2{∥在以bt为根的二叉排序树上插入一个由指针pn指向的新的结点3if(*bt=NULL)*bt=pn;4else if(*bt->key>pn->key)bt_insert 1(&(*bt->lchild),pn);5else if(*bt->key<pn->key)bt_insert1(&(*bt->rchild),pn);6}这个算法也可以用非递归的形式实现，如下所示：7void bt_insert 2(Bin_Sort_Tree*bt,8Bin_Sort_Tree_Linklist*pn)9{10p=bt;11while(p!=NULL && p->key!=pn->key)12{13 q=p;14if(p->key>pn->key)p=p->lchild;15else p=p->rchild;16}17if(p=NULL){18if(q->key>pn->key)q->lchild=pn;19else q->rchild=pn->key;20}21}利用二叉排序树的插入算法，可以很容易地实现创建二叉排序树的操作，其基本思想为：由一棵空二叉树开始，经过一系列的插入操作生成一棵二叉排序树。
例如，由结点关键字序列（62,15,68,46,65,12,57,79,35）构造二叉排序树的过程为：从空二叉树开始，依次将每个结点插入到二叉排序树中，在插入每个结点时都是从根结点开始搜索插入位置，找到插入位置后，将新结点作为叶子结点插入，经过9次的插入操作，建成由这9个结点组成的二叉排序树。
创建二叉排序树的算法如下：22Bin_Sort_Tree_Linklist*bt_bulid(Bin_Sort_Tree a,int n)23{∥在数组a的a［1］~a［n］24单元中存放着将要构成二叉排序树的n个结点内容25bt=NULL;26for(i=1;i<=n;i++)27{28p=(Bin_Sort_Tree_Linklist*)malloc29(sizeof(Bin_Sort_Tree_Linklist));30p->key=a［i］.key;31p->otherelem=a［i］.otherelem;;32p->lchile=NULL;33p->rchile=NULL;34bt_insert1(&bt,p);35}36return(bt);37}（4）二叉排序树的删除下面分四种情况讨论一下如何确保从二叉树中删除一个结点后，不会影响二叉排序树的性质：①若要删除的结点p为叶子结点，可以直接进行删除。
②若要删除结点p有右子树，但无左子树，可用其右子树的根结点取代要删除结点的位置。
③若要删除结点p有左子树，但无右子树，可用其左子树的根结点取代要删除结点的位置，与步骤②类似。
④若要删除结点p的左右子树均非空，则在其左子树中找到最右结点r来代替被删的结点(即将r所指结点的右指针置成p所指结点的右子树的根，然后用p所指结点的左子树的根结点代替被删的p所指结点)。