高中数学创新思维训练(03)

第 1 页 共 6 页
高中数学创新思维训练（03）
1、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），求)1(-f .
2、若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足1)1(=f ，2)2(=f ，求
)4()3(f f -.
3、若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上递减，0)2(=f ，求使得0)(<x f 的x 的取值范围。

4、已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，求)6(f 的值。

5、若函数)(x f ，)(x g 分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足
x e x g x f =-)()(，试比较)0(),3(),2(g f f 的大小。

6、函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，试证明)3(+x f 是奇函数。

7、在同一平面直角坐标系中，函数)(x g y =的图像与x e y =的图像关于直线x y =对称，而函数)(x f y =的图像与)(x g y =的图像关于y 轴对称。

若1)(-=m f ，求m 的值。

第 2 页 共 6 页
8、给出三个命题：①函数x x y cos 1cos 1ln 21+-=
与2
tan ln x y =是同一函数； ②若函数)(x f y =与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则函数
)2(x f y =与)(2
1
x g y =
的图像也关于直线x y =对称； ③若奇函数)(x f 对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，则)(x f 为周期函数。

求这三个命题中真命题的个数。

9、设函数)10(11)(<≤-=x x
x f 的反函数为)(1
x f
-，求)(1x f -的单
调区间及最值。

10、设][x 表示不超过x 的最大整数（如2]2[=，1]25.1[=）。

对于给定的*N n ∈，定义)
1][()1()
1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，),1[+∞∈x . 求)
3,23[∈x 时，函数x C 8的值域。

11、用{}c b a ,,min 表示c b a ,,三个数中的最小值，设
{}
x x x f x -+=10,2,2min )(，)0(≥x ，求)(x f 的最大值。

12、已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任
意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，求))2
5
((f f 的值。

第 3 页 共 6 页
13、设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，求实数a 的值。

14、函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)
(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，求))5((f f 的值。

15、已知函数)(x f 满足4
1
)1(=
f ，)()()()(4y x f y x f y f x f -++=，),(R y x ∈，求)2016(f 的值。

16、设奇函数)(x f y =在),0(∞上为增函数，且0)1(=f . 求不等式
0)
()(<--x x f x f 的解集。

17、函数)(x f 的定义域为R ，且满足)(x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数。

若9)5.0(=f ，求)5.2(f 与)5.8(f 的值。

18、已知偶函数)(x f 在区间[)+∞,0上单调递增，求满足
)3
1
()12(f x f <-的x 的取值范围。

第 4 页 共 6 页
19、若定义在]2013,2013[-上的函数)(x f 满足：对于任意]2013,2013[,21-∈x x 有2009)()()(2121-+=+x f x f x x f ，且当0>x 时，有2009)(>x f . 若)(x f 的最大值和最小值分别为M 、N ，则M+N 的值是多少？
20、设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，求0)2(>-x f 的解集。

21、设函数)(x f 定义在实数集上，)()2(x f x f =-，且当1≥x 时，
x x f ln )(=，试比较)2(),3
1
(),21(f f f 的大小关系。

22、设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时是单调函数。

求满足
⎪⎭
⎫
⎝⎛++=41)2(x x f x f 的所有x 之和。

23、已知函数)(x f 在[)+∞,0上是增函数且)()(x f x g -=，若
)1()(l g g x g >，求x 的取值范围。

第 5 页 共 6 页
24、有一个定义域为R 的函数)(x f y =，则下列命题：
①若)1()1(x f x f -=-恒成立，则函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称；
②若0)1()1(=-++x f x f 恒成立，则函数)(x f y =的图像关于（1，0）点对称；
③函数)1(-=x f y 的图像与函数)1(x f y -=的图像关于y 轴对称； ④函数)1(--=x f y 的图像与函数)1(x f y -=的图像关于原点对称； ⑤若0)1()1(=-++x f x f 恒成立，则函数)(x f y =以4为周期。

中哪个为真命题？
25、已知函数))((R x x f y ∈=满足)()2(x f x f =+，且当[]1,1-∈x 时，
2)(x x f =. 求)(x f y =与x y 7log =的图像的交点个数。

26已知函数⎩⎨⎧>≤--=1
log 1
1)2()(x x x x a x f a ，若)(x f 在()+∞∞-,上单调递
增，求实数a 的取值范围。

27、设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意的R x ∈恒有
)1()1(-=+x f x f . 已知当[]1,0∈x 时，x
x f -⎪
⎭⎫
⎝⎛=121)(. 判断下列命题
的正确性：
①2是函数)(x f 的周期；
②函数)(x f 在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数； ③函数)(x f 的最大值是1，最小值是0；
④当[]4,3∈x 时，3
21)(-⎪
⎭⎫
⎝⎛=x x f
第 6 页 共 6 页
28、函数)(x f 的定义域为D ，若对于任意D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数。

设函数)(x f 在
[]1,0上为非减函数，且满足以下三个条件：①0)0(=f ；
②1)()1(=+-x f x f ； ③)(2
1
3x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛，求
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛12531f f 的值。

29、设a 是实数，)(1
22
)(R x a x f x
∈+-= （1）证明：不论a 为何实数，)(x f 均为增函数； （2）试确定a 的值，使0)()(=+-x f x f 成立。

30、已知定义在[]1,1-上的奇函数)(x f ，满足当[]0,1-∈x 时，
)(2
41)(R a a x f x x ∈-=
. （1）写出)(x f 在[]1,0上的解析式；（2）求)(x f 在[]1,0上的最大值。

31、已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间
[]2,0上是增函数。

若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同
的根4321,,,x x x x ，求4321x x x x +++的值。