1.1-1.2.试验、事件、样本空间

集合论
元素
全集 子集 单点集 空集
记号
ei
S A，B，C…… {ei} Φ
，i
事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。
事件间的关系与运算
定义1.（事件的包含与相等） 若事件A发生必然导致事件B发生，则称A包含于B 或B包含A，记为AB或BA 。 若AB且AB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义2. （和事件） “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事
E1：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出
现的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
E4：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。 E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
定义二
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结
用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.
所以在具体问题的研究中, 描述随机现象的第 一步就是建立样本空间.
引入样本空间后，事件便可以表示为样 本点的集合，即为样本空间的子集。 例如，掷一颗骰子，观察出现的点数 S = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝ 事件B就是S的一个子集 B = {1,3,5｝
概率论与数理统计
1. 前 言 2. 参 考 书 3. 本学科 历史 4. 本学科 应用 5. 作业
前
言
概率论与数理统计是研究随机现象数量 规律的学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 不仅高等学校各专业都 开设了本课程, 而且在上世纪末， 此课程特意被教育部定为本科生考 研的数学课程之一，希望大家能认 真学好这门不易学好的重要课程.
随机试验的每一个可能结果，是随机试验中最简单的 随机事件，称为基本事件。由基本事件组成的事件称为 复合事件，简称事件。 两个特别的事件 （1）不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 如“掷一粒骰子掷出8点” 。
（2）必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S。
如“掷一粒骰子点数小于7 ”。
下面我们来为随机试验建立一个数学模型
实例
“水从高处流向低处”,
“同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等.
确定性现象的特征： 条件完全决定结果.
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称 为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反 两面出现的情况. 结果:有可能出现正面也可能出现反面. 实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
定义5.（互不相容事件或互斥事件）
如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ ，则称事 件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
推广 对有限个事件或可列个事件A1，A2，…，An …， 如果对任意ij, Ai Aj＝Φ,则称A1，A2，…，An两两互 斥，或A1，A2，…，An …两两互不相容。
定义6（逆事件/对立事件）
件为事件A与事件B的和事件或并事件。记为A∪B。
用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}
推广：事件的和的概念可推行至任意有限和及可列和
的情况：
A A A A
k 1 2 k 1
n
n
A
k 1
k
A1 A2 An
例 袋中有5个白球，3个黑球，从中任取3个球，令A 表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑 则C=AB. 球”，C表示“取出的球颜色相同”， 若令Ai(i=1,2,3)表示“取出的3个球中恰有i个白球”,D表示 “取出的3个球中至少有一个白球”，则 D= A1 A2 A3
例 ：写出E1到E6的样本空间：
S1 ：{H, T}
S2 ：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT}
S3 ：{0, 1, 2, 3} S4 ： {0, 1, 2, 3, ……} S5 ：{t|t≥0}
S6 ：{(x,y)| T0≤x≤y≤T1}
注意 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.
固有的规律性（统计规律性）, 概率论就是研究随 机现象的统计规律性的一门数学学科.
3.试验: 可指各种各样的科学试验,也包括对事物特 征的观察与检测等． 定义一（随机试验）：
将一切具有下面三个特点：
（1）可重复性
（2）不确定性
（3）不可预见性
的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E
表示。
例：
称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā 。
易见A与Ā满足：A∪Ā= S,且AĀ=Φ。
一般地，若A，B满足：A∪B= S，AB＝Φ称为A与B
互为对立事件，此时，A为B的逆事件，B为A的逆事 件，即A B，B=Ā。 若A，B互为对立事件，那么在每次试验中，事件 A，B必有一个发生而且只有一个发生，显然 Ā Ā={e|eA}，A-B=AB =A-AB。
应用背景
研究在一定条件下,人寿保险公司亏本的 概率和盈利的概率. 1.二项分布 2.正态分布 3.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
相关知识点
• 如何学好本课程
1. 推敲并深刻理解概念，及时巩固；
2. 适当选取参考书； 3. 条件具备时做一些相关课题。
•
考勤、作业
作业要求：作业右上角写清学号，姓名。每题 誊写作业题目。课代表按学号排序交齐作业， 每次批三分之一。
A
事件与集合的关系及运算对照： 记号
A B
概率论
事件A发生导致B也发生 A与B相等 A与B不相容 A的对立事件 A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A发生而B不发生
本学科历史
概率(或然率或几率) —— 随机事件发生 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关. 17世纪中叶，法国数学家B. 帕斯卡、费马
荷兰数学家C. 惠更斯对赌本分配问题的研究成为 数学史上一个著名的问题。
1657年惠更斯的《论赌博中的计算》一书 成为概率论的早期著作.
本学科的应用
若问什么地方概率统计用得上？
易见，B发生当且仅当B中的 某个样本点出现.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 必然事件—样本空间 不可能事件—空集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含 的一个样本点出现。
概率论与集合论有关概念的对应关系表：
概率论
样本点
样本空间 随机事件 基本事件 不可能事件
第一章 概率论的基本概念
第一节 随机试验
第二节 样本空间、随机事件
第三节 频率和概率 第四节 等可能概型（古典概型） 第五节 条件概率 第六节 独立性
§1.1---§1.2
随机试验、随机事件、样本空间
自然界所观察到的现象: 确定性现象、 随机现象
1. 确定性现象
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
S { 0, 1, 2, 3 } .
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现象 的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以概括许 多内容大不相同的实际问题. 例如，只包含两个样本点的样本空间 S { H , T }, 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能
应用背景 这是经典的概率应用问题. 相关知识点 1. 事件的独立性
2. n重伯努利试验
信号收发问题
将A，B，C三个字母之一输入信道， 输出为原字母的概率为α，而输出为其他一字母的概 率都是(1－α)/2.今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之 一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别 为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入 的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的 工作是相互独立的.） 信号输入信道后，有可能由于硬 应用背景 件原因，使得输出的信号与原始信号有差异.此 时可以根据已知的条件，求得出现误差的概率. 1.条件概率 2.全概率公式 3.贝叶斯公式
2. 同一试验, 若试验目的不同,则对应的样 本空间也不同. 例如，对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面H、反面T 出现的情况，则样本空间为
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数, 则样本空间为
n
B Ak
k 1

定义4.（差事件）
称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B 的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，eB}
例 从1,2,3,N这N个数字中，任取一数，取后放回，
先后取k个数(1k N),令A表示“取出的k个数中最
大数不超过M”(1M N), B表示“取出的k个数中最 大数不超过M-1”，C表示“取出的k个数中最大数为 M”，则 C=A-B,且BA
定义3.（积事件）
称事件“事件A与事件B同时发生”为A与B的积事件或交事 件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。
推广： n
A
k 1 k
k
A1 A2 An
A
k 1

A1 A2 An
例 在直角坐标系圆心在原点的单位圆内任取一点，记录 其坐标，令 A ( x, y ) | x 2 y 2 1 n 2 ,B表示取到(0,0)点，则
样本空间
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .
我们把随机试验的每个可能结果(基本事件) 称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称 为样本空间. 样本空间用S表示.
S
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
样本点e
样本空间是由试验的内容所决定的。