刚体转动惯量的测定_实验报告

实验三刚体转动惯量的测定

转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它与刚体的质量、形状大小和转轴的位置有关。形状简单的刚体，可以通过数学计算求得其绕定轴的转动惯量；而形状复杂的刚体的转动惯量，则大都采用实验方法测定。下面介绍一种用刚体转动实验仪测定刚体的转动惯量的方法。实验目的：

1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法；

2、熟悉电子毫秒计的使用。

实验仪器：

刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。

仪器描述：

刚体转动惯量实验仪如图一，转动体系由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒等（含小滑轮）组成。遮光棒随体系转动，依次通过光电门，每π弧度（半圈）遮光电门一次的光以计数、计时。塔轮上有五个不同半径（r）的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以获得不同的外力矩。

实验原理：

空实验台（仅有承物台）对于中垂轴OO’的转动惯量用J o表示，加上试样（被测物

体）后的总转动惯量用J 表示，则试样的转动惯量J 1 ：

J 1 = J –J o (1) 由刚体的转动定律可知：

T r – M r = J α (2) 其中M r 为摩擦力矩。

而 T = m(g -r α) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 α —— 角加速度 T —— 张力

1． 测量承物台的转动惯量J o

未加试件，未加外力（m=0 , T=0）

令其转动后，在M r 的作用下，体系将作匀减速转动，α=α1，有 -M r1 = J o α1 (4) 加外力后，令α =α2

m(g –r α2)r –M r1 = J o α2 (5) （4）（5）式联立得

J o =

21

2212mr mgr

ααααα--- (6)

测出α1 , α2，由（6）式即可得J o 。

2． 测量承物台放上试样后的总转动惯量J ，原理与1.相似。加试样后，有 -M r2=J α3 (7) m(g –r α4)r –Mr 2= J α4 (8)

∴ J =

23

4434mr mgr ααααα--- (9)

注意：α1 , α3值实为负，因此（6）、（9）式中的分母实为相加。

3． 测量的原理

设转动体系的初角速度为ωo ，t = 0 时θ= 0 ∵ θ=ωo t + 2

2

1t α (10)

测得与θ1 , θ2相应的时间t 1 , t 2

由 θ1=ωo t 1 + 2121t α (11)

θ2=ωo t 2 + 2

22

1t α (12)

得 2

2

11222112)

(2t t t t t t --=

θθα (13) ∵ t = 0时，计时次数k=1（θ=л时，k = 2）

∴ []2

2

11222112)1()1(2t t t t t k t k ----=

πα (14) k 的取值不局限于固定的k 1 , k 2两个，一般取k =1 , 2 , 3 , …,30,…

实验方法：

本实验采用HMS-2型“通用电脑式毫秒计”来测量k 及其相应的t 值，毫秒计的使用

方法见本实验附录。

先完成砝码的挂接和绕线，然后复位毫秒计，放开砝码。砝码在重力作用下带动体系加速转动。 “毫秒计”将自动记下k 及其相应的t 值。由式（14）即得α2。待砝码挂线自动脱离后，即可接着测α1。所以,实验一次即可完成对体系的转动惯量J 的测量。

此时应注意两点：①、从测α2到测α1的计时分界处要记清，处理数据时不能混杂；②、测α1的开始时间虽然可以选为较远地离开分界处，但以后的每个时间的数据都必须减去开始的时间数值。

α3 , α 4 的测量方法与α1 , α 2相同。

实验步骤：

1、 按（图一）安装调试好仪器，细线的一端连结钩挂砝码6，另一端打一适当大小的结塞入塔轮3的缝中，绕线于塔轮时应单层逐次排列。线的长度应使砝码触地前一点点脱离

塔轮。选取塔轮半径r = 2.5×10-2m ，砝码质量m = 6.0×10-2

kg 当实验台离地面高度为h 时，有h =

r k π22

'

⨯，式中k ，为每半圈记一次时间的数目，k’ = k –1 . 通过该式适当选取h ，使k ’≤10为加速；k ’>10为减速。一般选k ’ > 13进行

计算。

2、测量承物台的转动惯量J 0 o

参阅[实验方法]中的说明及后面附录“HMS-2型通用电脑式毫秒计”使用说明。记

录每一K 值对应时间t 于下表。

选取不同的12及对应的12值代入（14）即可求得1和2，将12再代入（6）即可计算出此承物台的转动惯量J o 。 注意：

（1） 计算α2时，将数据分成四组，按等权原则，取

k 1= 2, 3, 4, 5时对应的k 2分别为 k 2 = 6, 7, 8, 9（即Δk = k 2 – k 1 = 4）, 按公式（14）进行计算。

即由 []2

2

11222112)1()1(2t t t t t k t k ----=

πα 求出α21 , α22 , α23 ,α24 , 再求得2α。 （2） 同理计算α1时，也将数据分成四组，按等权原则，取

k’1 = 2, 3, 4, 5时对应的k ,2分别为 k’2 = 6, 7, 8, 9

按公式（14）进行计算，得出α11 , α12 , α13 ,α14 ,再求得1α（此时k’ = k –15 即取k=15时 t’= 0） 1． 测量试样的转动惯量J 1

将待测试样放至承物台上，按上面2中测量方法，可测得系统（承物台加待测试

样）的转动惯量J 。

J 1 = J - J o 可求出待测试样的转动惯量。 待测试样

（1） 铝环 （2） 铝圆盘

*（3）移轴砝码（两个）：对称地倒插于承物台十字架的小孔内，两砝码距离2X ,取值分别为

a. 2X 1= 10cm

b. 2X 2= 20cm

计算公式：

1． 质量均匀分布的圆环，总质量为M ，外径、内径分别为D 1、D 2，则对通过中心与环面

垂直的转轴的转动惯量

)(8

12

221D D M J +=

(15)

2． 若为圆盘试样，上式的D 2=0，即 28

1

MD J =

(16) D 为圆盘的直径 3． 平行轴定理

2

md Jc J += (17)

刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量J c ，加上刚体的质量与两轴间距离d 的二次方的乘积。

数据处理：

1． 铝环：质量M = kg ; D 1 = cm ; D 2 = cm 由式（16）可求圆环绕过质心与环面垂直的转轴的转动惯量 J 环，理= ；与测量值J 环，测= ; 比较可得：ΔJ 环 = J 环，测 - J 环，理 = ; 相对误差： E =ΔJ 环/J 环 = % .

2． 铝圆盘：质量M = kg ; D = cm

同理，由式（16）可求圆盘绕过质心与环面垂直的转轴的转动惯量 J 盘，理= ；与测量值J 盘，测= ; 比较可得：ΔJ 盘 = J 盘，测 – J 盘，理 = ; 相对误差： E =ΔJ 盘/J 盘 = %

*3.由[实验步骤]3的测量结果分别计算a., b.两种情况下两移轴砝码对中垂轴OO’的转动惯量J a 和J b ，并讨论之。

已知两移轴砝码总质量 M = 2×0.167kg

砝码直径 Φ= 3.0cm

思考题：

1． 简要分析影响本实验测量结果的各种因素是什么？如何减少它们对实验结果的影

响？

2． 本实验测量转动惯量的原理是什么？

附录：

HMS-2“通用电脑毫秒计”使用说明 一、 技术性能

本仪器由单片机芯片和固有程序等组成。具有记忆存储功能，最多可记64个脉冲输入的（顺序的）时间，并可随意提取数据，还可以调整为脉冲的编组计时。它有备用通道，即双通道“或”门输入。此仪器为可编程记忆式双路毫秒计。 1． 输入脉冲宽度：不小于10μs

2．计时范围：0-999.999秒

3．计时误差：≤0.0005秒

4．计时数组：1-64

5．适用电源：∽220V , 50Hz 二、板面（如下图）

①为2位脉冲个数数码块；

②为6位计时数码块；

③为按键数据码盘；

④、⑤分别为输入I输入插孔和通断开关；

⑥、⑦分别为输入II输入插孔和通断开关；

⑧为电源；⑨为复位键。

三、使用方法

1．用电缆连接光电门的发光管和输入脉冲，只接通一路（另一路备用）。

2．若只用输入I插孔输入，请将该输入通断开关接通，输入II通断开关断开（切记）。

反之亦然。若从两输入插孔同时输入信号，请将两通断开关都接通。

3．接通电源：仪器进入自检状态。板面显示88-四次后，显示为P0164，它表明制式（P）为每输入1个（光电）脉冲，计一次时间，最多可记64个时间数据，小

于64个也可以被储存和提取数据。

4．按一次“←”或“→”键，面板显示00 ，此时仪器处于待记时状态。输入第1个脉冲则开始计时。

5．64个脉冲输入后自动停止（小于64也可）。取出数据的方法如下：

按09两数码键，则显示“***.***”精确到毫秒的第一个脉冲到第九个脉冲之间的时间，依次类推；按01键，则显示“000.000”表示计时开始的时间。按“→”键一次，则脉冲记时的个数递增1，因此方便地依次提取数据（按“←”键则递减）。

（1）按“9”键两次，仪器又处于新的待记时状态，并把前次数据消除。

（2）按复位键，仪器为在电的重启。

四、调整制式的方法

当启动按“←”或“→”键后显示P0164。这里，01表示制式（P）每一个（光电）脉冲计数一次，64表示计64个数据。因此，可以通过改变PXXYY中的XX值和YY值，获得不同的计数方式（XX有上限，YY最大值为64）。例如在P0164制式下，按1，2，3，0键，则面板将显示P1230。这种制式下，每12个脉冲计数1次，总共计30个数据，提取数据的办法同前。这样，就能根据不同的实验要求，来选择相应最合适的计数方式，从而大大增强了仪器的适应性。

五、注意事项

1．注意光敏管的正、负极性。

2．光敏管电阻小于3KΩ才能正常工作。

3．如果用一路输入插孔输入信号，另一路通断开关必须断开。