广义积分的收敛判别法
广义积分与收敛性判定
广义积分与收敛性判定广义积分是微积分中的重要概念之一，它扩展了定积分的概念，用于求解某些无界函数的积分。
而广义积分的收敛性判定则是确定广义积分是否存在有限值的关键方法。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及几种常见的收敛性判定方法。
一、广义积分的定义广义积分是对某些函数在无界区间上的积分进行推广，定义如下：设函数f(x)在区间[a, +∞)上有定义，如果对于任意的正数M，存在一个实数A使得当x ≥ A时，有1/(M(x)) ≤ f(x) ≤ 1/(N(x))成立（其中M(x)和N(x)是[x, +∞)上的两个函数），则称f(x)在区间[a, +∞)上绝对可积。
如果极限∫(x→+∞) f(x)dx存在，且与A的选取无关，那么称该极限为函数f(x)在区间[a, +∞)的广义积分，记作∫[a, +∞) f(x)dx。
二、广义积分的性质广义积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质，使得我们可以进行算术操作和区间分割来计算广义积分。
具体性质如下：（1）线性性质：对于任意实数α和β，以及可积函数f(x)和g(x)，有∫[a, +∞) [αf(x) + βg(x)]dx = α∫[a, +∞) f(x)dx + β∫[a, +∞) g(x)dx。
（2）区间可加性：对于可积函数f(x)，如果a ≤ c ≤ b，那么∫[a, b) f(x)dx = ∫[a, c) f(x)dx + ∫[c, b) f(x)dx。
（3）保号性：如果对于区间[a, +∞)上的可积函数f(x)，有f(x) ≥ 0成立，则∫[a, +∞) f(x)dx ≥ 0。
三、收敛性判定方法确定广义积分的收敛性是对其进行求解的重要步骤。
下面介绍几种常见的收敛性判定方法。
（1）比较判定法：设在区间[a, +∞)上，函数f(x)和g(x)满足0 ≤ f(x) ≤ g(x)，如果∫[a, +∞) g(x)dx收敛，则∫[a, +∞) f(x)dx也收敛；如果∫[a, +∞) f(x)dx发散，则∫[a, +∞) g(x)dx也发散。
广义积分收敛判别法
广义积分收敛判别法
广义积分收敛判别法是代数几何学中很重要的工具，它能够为复杂形式的连续函数求解，已被应用于不同的领域，如量子力学，数值模拟和天文等。
一般来说，这种方法是用来解决计算多项式的积分问题，它可以在不知道函数表达式的情况下，用实数序列进行积分数值计算，从而得到函数的收敛性和判别性。
这是一种多元函数的变形计算方法，可在函数未知情况下计算积分，并依据实数序列的判别性，判断函数的收敛性，从而进行函数的求解。
多项式积分的计算步骤比较复杂，在极大程度上依赖于计算机技术，同时需要大量精确数值运算，以及数学积分定理等，才能获得精确的结果。
而广义积分收敛判别法就是为了解决这个问题，可以明显减少计算步骤，减少运算时间，提高计算效率。
具体来说，它可以将复杂的积分问题分解成一系列实数序列，然后再用它们的收敛性和判别性来评估函数的积分结果。
首先，通过多项式积分的定义可以获取不同维度的数学表达式，通过求解可获得序列的实数模式。
通过将这种实数模式拓展成更复杂的数字，如高阶多项式和级数，再使用它们的收敛性和判别性来评估函数的积分结果。
在这种情况下，如果结果的实数序列是收敛的，则说明函数的收敛性满足要求，而如果结果的实数序列是判别的，则说明函数的判别性满足要求。
通常情况下，使用广义积分收敛判别法，可以根据实数序列的判
别性，来判断函数的收敛性，从而有效地求解复杂函数的积分结果。
由于它可以明显减少计算步骤，减少运算时间，提高计算效率，因此在不同的领域中都有广泛的应用。
因此，广义积分收敛判别法是一个重要的工具，它可以有效地帮助我们求解复杂的函数，同时也可以减少计算步骤，提高计算效率。
最新广义积分的收敛判别法
广义积分的收敛判别法第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞）上的广义积分«Skip收敛的充分必要条件是：«Skip Record If...», 存在A>0, Record If...»使得b, «Skip Record If...»>A时，恒有«Skip Record If...»使用柯西收敛原理立即证明：对«Skip Record If...»«Skip Record If...»得此结论．(«Skip Record If...»为瑕点), 我同样对瑕积分«Skip Record If...»们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–«Skip Record If...»]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: «Skip Record If...», «Skip «Skip Record If...»Record If...», 只要0<«Skip Record If...»，就有«Skip Record If...»定义9.5如果广义积分«Skip Record If...»收敛，我们称广义积分«Skip Record If...»绝对收敛（也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上绝对可积]; 如«Skip Record If...»收敛而非绝对收敛，则称«Skip RecordIf...»条件收敛，也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上条件可积．由于«Skip Record If...»，均有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分«Skip Record If...»绝对收敛，则广义积分«Skip Record If...»必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
广义函数收敛和发散的判断
广义函数收敛和发散的判断
广义积分判断敛散性的方法是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
第二节 广义积分的收敛判别法
第二节广义积分的收敛判别法广义积分的收敛与发散是数学分析中的一个重要问题，因为广义积分不同于普通积分，广义积分可能存在收敛性，也可能存在发散性。
对于一个广义积分的收敛与发散，我们需要利用一些收敛判别法来判断，本文将介绍一些广义积分的收敛判别法。
I. 初等判别法对于某个广义积分 $\int_{a}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$，如果能找到一个常数$c>0$，使得 $f(x)\ge c$ 对于所有 $x\ge a$ 成立，则该积分必定发散。
该判别法的原理很简单，因为当 $f(x)\ge c$ 的时候，因为积分极限为从 $a$ 到无穷大，所以它会与一个发散的积分 $\int_{a}^{\infty} c\mathrm{d}x$ 进行比较，由于$f(x)\ge c$，所以 $\int_{n}^{n+1} f(x)\mathrm{d}x\ge c$ 就可以得到最后的结论。
1. 若 $\int_{a}^{\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_{a}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛IV. 绝对收敛和条件收敛这里需要注意的是，绝对收敛必定收敛，但是条件收敛不一定收敛。
因此，对于一个条件收敛的积分，我们通常需要采用柯西收敛判别法或者达朗贝尔判别法来判断其收敛性。
V. 柯西收敛判别法对于一个条件收敛的广义积分 $\int_{a}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$，如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{a}^{b_n} f(x)\mathrm{d}x=0$，则该积分收敛，其中 $b_n$ 是一个单调递增的正数列，且满足$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n=\infty$。
该判别法的原理在于，因为 $|f(x)|\ge |f(x+1)|\ge |f(x+2)|\ge \cdots$，所以可以认为 $|f(x)|$ 随着 $x$ 的增大而逐渐减小，而较小的 $|f(x)|$ 对于积分的影响会相对较小，因此可以利用这个性质来证明广义积分的收敛性。
(5)广义积分敛散性的判别法,
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
§2广义积分的收敛判别法ppt课件
令t, 可见广义 ag积 (x)dx分 必发 . 散
说明: 已知
a
1 xp
dx
收,敛 p1 (a0)
发,散p1
故常 g(x取 )xA p(A0)作比较 ,得函 下列比数 较判别法.
14.04.2020
.
6
定理4. (比较判别法 1) 设非负 f(x)函 C[a数 ,)
(a0).
1) 若存在常 M数 0, p1, 使对充分大的x有
§2 广义积分的收敛判别法
无穷限的广义积分 广义积分
无界函数的广义积分
一、无穷限广义积分的收敛判别法 二、无界函数广义积分的收敛判别法
14.04.2020
.
1
一、无穷限广义积分的收敛判别法
定理1. 设 f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 ,若函数
x
F(x)a f (t)dt
思考题:
讨论广义积分
13
1 dx的收敛性 x3 1
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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.
8
定理5. (极限判别法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
f (x)
则af(x)dx收敛 ;
M xp
2) 若存在常 N数 0, p1, 使对充分大的 x有
f
(x)
N xp
则af(x)dx发散 .
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.
7
例1.
判别广义积分
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定理7. (比较判别法
2)
瑕点 ,使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
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15
定理3
定理8. (极限判别法2)
lim (x a)q f (x) l
x
则有: 1) 当
A
| A f (x)dx | .
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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柯西（Cauchy，Augustin
Louis 1789-1857），
十九世纪前半世纪的法国数学家。
• 1789年8月21日生
于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在 , 即广义积分 f (x) d x收敛 . a
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2
定理 2. （Cauchy收敛原理）
广义积分 f (x)dx收敛 a
0, A0 a, 使对A, A A0都有
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
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利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
2) 当
例5.
3
判别广义积分1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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1
11
x
2
x2
d
x
的收敛性
.
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim
x
1
x
2
x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
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11
定理6.若
f
(
x)
C
[a
,
)
,
且
a
f（x）d x收敛 ,
则广义积分 f(x)dx收敛 . a
因数学上的成
就被推荐为科学院院士，同时任工科
大学教授。后来
在巴黎大学任教授，一直到逝世。在
代数学 上，他有
行列式论和群论的创始性的功绩；在
理论物理学、光
学弹性理论等方面，也有显著的贡献。
他的特长是在
分析学方面，他对微积分给出了严密
的基础。他还证
明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存
在定20理19。/11/29
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4
定理3 . (比较原理) 设 f (x) C[a , ),且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x) , 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性 ,
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
即
注意:
此极限的大小刻画了
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10
d x
例2. 判别广义积分 1 x 1 x2 的收敛性 .
解: lim x2 1 lim 1 1
x
x 1 x2
x
1 x2
1
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
3
例3.
判别广义积分
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数
,因此
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5
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在 ,
说明: 已知
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得下列比较判别法.
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6
定理4. (比较判别法 1)
p 1,
f (x) d x
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定义. 设广义积
分
f (x) d x 收敛 ,
a
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
例4. 判断广义积分 的收敛性 .
解:
绝对收敛 ; 条件收敛 .
根据比
较判别法知 eax sin bx dx 收敛，故由定理6知所 0
f
(x)
M xp
p 1,
f
(x)
N xp
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例1. 判别广义积 分
解:
的收敛性 .
由比较判别法 1 可知原积分收敛 .
思考题: 讨论广义积分
提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
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定理5. (极限判别法1)
§2 广义积分的收敛判别法
无穷限的广义积分 广义积分
无界函数的广义积分
一、无穷限广义积分的收敛判别法 二、无界函数广义积分的收敛判别法
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一、无穷限广义积分的收敛判别法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则广义积分 f (x) d x收敛. a
证：令
(
x)
1 2
[
f
(
x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
a
f（x）d x收敛 ,
a
(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2 (x) f (x)
f (x)d x 2
(x)d x
a
a
a
可见广义积分 f (x) d x 收敛 . a
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1)当p 1时, 根据极限定义,对取定的
分大时, 必有
,即
当x充
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2) 当
p 1时,可取 0, 使l 0, (l 时用任意正
数 N 代替 l ), 必有
给积分收敛 (绝对收敛) .
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二、无界函数广义积分的收敛判别法
无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分.例如
由定义
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
0 a
令 x a 1 , 则有
t
b
f (x) d x lim