研究生2008矩阵理论试卷
2008年数二真题及标准答案及解析
证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无
关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为
0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)
，又
，整理得：
则线性相关，矛盾. 所以，线性无关.
证法二：设存在数，使得
(1)
用左乘(1)的两边并由得
(2)
(1)—(2)得
(3)
因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，
(3)【答案】 【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方 程有根，所以特征方程为，即. 故以已知函数为通解的微分方程是 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】 【详解】时无定义，故是函数的间断点 因为 同理 又 所以 是可去间断点，是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486.
(2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点 （21）（本题满分11分）
求函数在约束条件和下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证； （2）为何值，方程组有唯一解，并求； （3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， （1）证明线性无关； （2）令，求.
于是所求函数为
本题的难度值为0.497. (20)【详解】(I) 设与是连续函数在上的最大值与最小值，即
由定积分性质，有 ，即 由连续函数介值定理，至少存在一点，使得 即
(II) 由(I)的结论可知至少存在一点，使 又由 ，知 对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得
在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
考研数一08真题
考研数一08真题2008年考研数学一真题中，试题主要分为两个部分：选择题和填空题。
选择题部分包括20道选择题，填空题部分包括10道填空题。
本文将以试题题号为标记逐一解析各道题目。
选择题部分解析：题目1：设A是n阶方阵，且满足A^2 = A，则下列结论正确的是（）A. A = 0B. A = E（单位矩阵）C. A是对称方阵D. A的秩为1这道题目考察了对方阵幂运算的理解。
根据A^2 = A，我们可以发现A作为方阵必然有两种可能：A是零矩阵或者A是单位矩阵。
因此，选项B“A = E”为正确答案。
题目2：设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的零点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3这道题目考察了对函数的导数与零点的关系的理解。
f'(x)是f(x)的导函数，即f'(x) = 3x^2 - 3。
根据函数导数存在零点的性质，当f'(x) = 0时，f(x)存在极值点或转折点。
解方程3x^2 - 3 = 0，得到x = ±1。
因此，f'(x)的零点有2个，选项C“2”为正确答案。
填空题部分解析：题目1：若a是方程x^4 - x^3 - x + 1 = 0的一个实根，则a^3 - a^2 -a + 1的值等于________。
这道题目考察了对方程实根的运算。
首先，我们可以将方程x^4 -x^3 - x + 1 = 0进行变形，得到x(x^3 - x^2 - 1) + 1 = 0。
因为a是方程的一个实根，所以该式等于0，即a(a^3 - a^2 - 1) = -1。
因此，a^3 - a^2 -a + 1 = (-1)/a，即填空的值为-1/a。
题目2：设f(x) = (cosx + sinx)^2，g(x) = (cosx - sinx)^2，则f(x) -g(x)的最小值是________。
这道题目考察了对函数最小值的求解。
我们先展开f(x)与g(x)：f(x) = cos^2 x + 2sinx cosx + sin^2 xg(x) = cos^2 x - 2sinx cosx + sin^2 x再计算f(x) - g(x)：f(x) - g(x) = 4sinx cosx则f(x) - g(x)的值不为负数，且取最小值0，因此填空的答案为0。
2008年同等学力申硕控制科学与工程真题及答案
III 微机系统原理与应用
一、（5 分）完成下列数制换算
1．01101100B＝
D
2．0.011B＝
D
3．0.4375D＝
B
4．783D＝
H
5．A8CH＝
D
二、（5 分）80X86 汇编语言源程序中有一存储器地址表达式为 60ADH：DDF6H.请写出其段
基址、段内偏移地址和物理地址。
三、（5 分）PC/XT 系统中使用 DAC0832 做 D/A 接口如图 1 所示。其中 Y200H 和 Y201H 是地址 译码输出信号，低电位有效。当 I/O 地址是 200H 时， Y200H 有效；当 I/O 地址是 201H 时， Y201H 有效。DAC0832 输入的数字量是 0 时，转换后输出的模拟量 vo 为 0V；输入的 数字量是 FFH 时， vo ＝10·（255/256）V；中间区域输入输出的转换关系是线性的。
Gc ( s)
=
Kc (1 + Ts) 1 + 0.3s
选择 T ，使 G( jω)Gc ( jω) 在频率 ω = 1 rad/s 时的相位为 ϕ = −140° ；
3．（1 分）选择 Kc ，使校正后系统的增益穿越频率为ωc = 1rad/s。
（注：计算过程中一律采用折线近似来表示对数幅频特性。）
R(s) +
++
C(s)
G1 (s) −
G2 (s)
F1 (s)
图1
A．
G1 (s)G2 (s)
1− G2 (s)F2 (s) + G1 (s)G2 (s)F1 (s)
B．
G1 (s)G2 (s)
1+ G2 (s)F2 (s) − G1 (s)G2 (s)F1 (s)
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案
（Ⅱ）记 则 可逆，
即 .
【难易度】★★
【详解】
解析：
则 。记 ，则
则 ，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数 连续，且 ，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程 的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
Hale Waihona Puke 【详解】解析： 的间断点为 ，而 ，故 是可去间断点；
， ，故 是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
【详解】
解析：令
得方程组 即 ，解得 或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设 元线性方程组 ，其中 ， ， .
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
．
（Ⅱ）由克莱姆法则， 时方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将 得第一列换成 ，得行列式为
所以， ．
（Ⅲ）当 时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ，其中 为任意常数．
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.【答案】()B【考点】可去间断点，积分上限函数及其导数【难易度】★★ 【详解】解析：()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点.（2）如图，曲线方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续导 数，则定积分'()axf x dx ⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.【答案】()C【考点】定积分的分部积分法，定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()()aa a xf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形ACD 的面积.（3）已知24(,)x y f x y e+=则 ( )()A (0,0),(0,0)x y f f ''都存在 ()B (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在()C(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()D (0,0),(0,0)x y f f ''都不存在【答案】()C【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：2400011(0,0)limlim 00xx x x x ee f x x +→→--'==-- 00011lim lim 100xx x x e e x x →+→+--==--，001lim 10x x e x -→--=-- 000011lim lim 00xx x x e e x x -→+→---≠--，所以偏导数不存在. 24200011(0,0)limlim 000y y y y y ee f y y +→→--'===-- 所以偏导数存在。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
B.
1 2 1
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……………………………………………………………………………………………………………………………
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……………………………………………………………………………………………………………………………
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E
1 1
0 2
1 1
2 1
1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1 3
由 Hamilton-Cayley 定理知 gA 0
et e 2t
a0 a0
a1 2a1
于是解得：
a0 a1
2et e2t
e 2t et
从而：
f A e At gA a0 E a1 A
2008年数二真题及标准答案及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3(2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ )()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积。
(3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛。
()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛。
()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛。
（6）设函数f 连续,若22(,)uvD F u v =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵。
若30A =，则（ ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。
()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。
()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭。
30676 77D4 矔 29252 7244 牄27551 6B9F 殟-25596 63FC 揼：二、填空题：9—14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.(10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =。
2008 年线性代数考研试题
2008年线性代数考研试题[数一]1．设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若，则[ C ]O =3A （A ）E-A 不可逆，E+A 不可逆 （B ）E-A 不可逆，E+A 可逆（C ）E-A 可逆，E+A 可逆 （D ）E-A 可逆，E+A 不可逆【考点】 矩阵的可逆性2．设A 为二阶矩阵，21αα，为线性无关的二维列向量，21212A 0A αααα+==，，则A 的非零特征值为 1【考点】 矩阵的特征值3．设βα，为三维列向量，矩阵，其中的转置，的转置.T T A ββαα+=αα为T ββ为T (1) 证明 （2）若2 (A)≤r βα，线性相关，则2 (A)<r【考点】 矩阵的秩【祥解】 （1）βα，为三维列向量，则 1)()(,1)()(T ≤≤≤≤βββαααr r r r T 211)()()(r(A)T T =+≤+≤+=T T r r r ββααββαα，即2 (A)≤r .(2) 已知βα，线性相关，不妨设αβk =，则，21)())1(()))((()(r(A)2T T <≤=+=+=+=T T T T r k r k k r r ααααααααββαα即有.2 (A)<r 4．设n 元线性方程组，其中 b Ax = ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2a a 012a a 012a A 22%%%T T n b x )0,...0,1(,),...,(x x 1==（1） 证明行列式na n )1(A +=（2） a 为何值，方程组有唯一解？求x 1（3） a 为何值，方程组有无穷多解？求通解.【考点】 线性方程组解的结构和通解【祥解】 （1）利用行列式的性质可证n a n )1(A +=.(2) 若使方程组有唯一解，则00)1(A ≠≠+=a a n n ，即.则由克莱姆法则得an n x )1(1+=. (3) 若使方程组有无穷多解，则00)1(A ==+=a a n n ，即.把代入矩阵A 中，显然有0=a 1)()(−==n A r B A r #，方程组有一个基础解向量.取自由未知量x 1=1，得到它的基础解系为；代入后方程组化为，特解取为，则方程组的通解为为任意常数）k k T ()0,0,0,1("0=a ⎩⎨⎧====01432n x x x x "T )0,...0,0,1,0( . 为任意常数）k k T T ()0,...0,1,0()0,...0,0,1(+。
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矩阵理论试卷（A ）（2008级） (共1页) 成绩
学院班级＿＿ ＿; 姓名＿＿＿ ＿＿； 学号＿ ＿＿ ＿＿ 1 （15分）给定 2222{()|}ij ij R A a a R ⨯⨯==∈（数域R 上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集 221122i j {()|0, }
i j V A a a a a R ⨯==+=∈ （1）证明V 是22R ⨯的子空间；（2）求V 的维数和一组基；（3）求3253A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
在所求基下的坐标。
2 （15分）设α为n 维欧氏空间V 中的单位向量，对V 中任意一向量x , 定义线性变换: ()2(,)T T x x x αα=-, （1）证明：T 为正交变换； （2）证明 T 对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量；（3）问T 能否在某组基下的矩阵为对角阵，说明理由。
3 （15分）设矩阵010120110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
（1）求A 的若当标准形；（2）求A 的最小多项式；（3）计算532()45g A A A A E =+-+。
4（10分）设3
R 中的线性变换T 如下：123122323(,,)(2,,) ; ()i T x x x x x x x x x x R =--+∈
(1) 写出T 在基T T T 123 =(1, 1, 0),=(0, 1, 1), =(0, 0, 1)βββ下的矩阵；(2) 求3()T R 及()Ker T 。
5 （10分）已知多项式矩阵 2210007(2)00()00(1)00
00(1)(5)A λλλλλλλ-⎛⎫ ⎪++ ⎪= ⎪- ⎪++⎝⎭，求()A λ的初等因子及史密斯标准形。
6（10分）在欧氏空间4R 中， 对任意两个向量12341234(,,,) , (,,,),T T a a a a b b b b αβ==定义内积
1122334(, )2a b a b a b a b
αβ=+++ 求齐次方程组1234123
20 = 0x x x x x x x +-+=⎧⎨+-⎩ 的解空间的一组标准正交基。
7 （10分）(1) 设A 为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有11||||||||--≥A A 。
（2）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-=21512363
11684i i A , 利用(1)的结论分别估计11||||-A 和∞-||||1A 的下界。
8（15分）已知200111113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
A , 求矩阵函数()e t f =A A 。