研究生2008矩阵理论试卷
矩阵理论试卷(A )(2008级) (共1页) 成绩
学院班级__ _; 姓名___ __; 学号_ __ __ 1 (15分)给定 2222{()|}ij ij R A a a R ??==∈(数域R 上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间)的子集 221122i j {()|0, }
i j V A a a a a R ?==+=∈ (1)证明V 是22R ?的子空间;(2)求V 的维数和一组基;(3)求3253A ??= ?-??
在所求基下的坐标。 2 (15分)设α为n 维欧氏空间V 中的单位向量,对V 中任意一向量x , 定义线性变换: ()2(,)T T x x x αα=-, (1)证明:T 为正交变换; (2)证明 T 对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量;(3)问T 能否在某组基下的矩阵为对角阵,说明理由。
3 (15分)设矩阵010120110A ?? ?=- ? ?-??
(1)求A 的若当标准形;(2)求A 的最小多项式;(3)计算532()45g A A A A E =+-+。
4(10分)设3
R 中的线性变换T 如下:123122323(,,)(2,,) ; ()i T x x x x x x x x x x R =--+∈
(1) 写出T 在基T T T 123 =(1, 1, 0),=(0, 1, 1), =(0, 0, 1)βββ下的矩阵;(2) 求3()T R 及()Ker T 。 5 (10分)已知多项式矩阵 2210007(2)00()00(1)00
00(1)(5)A λλλλλλλ-?? ?++ ?= ?- ?++??,求()A λ的初等因子及史密斯标准形。 6(10分)在欧氏空间4R 中, 对任意两个向量12341234(,,,) , (,,,),T T a a a a b b b b αβ==定义内积
1122334(, )2a b a b a b a b
αβ=+++ 求齐次方程组1234123
20 = 0x x x x x x x +-+=??+-? 的解空间的一组标准正交基。 7 (10分)(1) 设A 为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有11||||||||--≥A A 。
(2)设????
? ??--+-=21512363
11684i i A , 利用(1)的结论分别估计11||||-A 和∞-||||1A 的下界。 8(15分)已知200111113?? ?= ? ?-??
A , 求矩阵函数()e t f =A A 。
2016矩阵论试题
第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 华南理工大学研究生课程考试题(A) 《矩阵分析》2016年12月 姓名院(系)学号成绩 注意事项:1.考试形式:闭卷(√)开卷() 2.考生类别:博士研究生()硕士研究生(√)专业学位研究生() 3.本试卷共四大题,满分100分,考试时间为150分钟。 一、单项选择题(每小题3分,共15分): 1、设,,是的两个不相同的真子空间,则下列不能构成子空间的是。(A);(B);(C);(D)。 2、设,为阶酉矩阵,则下列矩阵为酉矩阵的是。 (A);(B);(C);(D)。 3、设矩阵的秩为,则下列说法正确的是。 (A)的所有阶子式不等于0;(B)的所有阶子式等于0; (C)的阶子式不全为0;(D)的阶子式不全为0。 4、下列命题不正确的是。 (A)行数相同的两个矩阵一定存在最大右公因子; (B)列数相同的两个矩阵一定存在最大右公因子。 (C)特征多项式的根一定是最小多项式的根; (D)最小多项式的根一定是特征多项式的根; 5、设,则。 (A)1;(B);(C);(D)。 二、填空题(每小题3分,共15分): 1、设,,和,,是的 两个基,则从第一个基到第二个基的的过渡矩阵为 。 2、实线性空间的映射称为内积运算,如果满足下列条件: 。 3、奇异值分解定理内容为 。 4、设,则。 5、设,则。 三、计算题(每小题14分,共56分): 1、设,,;,, ,。求和的一个基。 2、求欧氏空间的一个标准正交基(从基,,,出发),内积定义为 。 3、求的若当标准形和可逆矩阵, 并计算。 4、1)写出的求解公式。 2)已知,计算。 四、证明题(第一小题8分,第二小题6分,共14分): 1、设,是维线性空间,证明都。 2、设方阵满足,且,证明。 矩阵分析模拟试题及答案 一.填空题(每空3分,共15分) 1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24. 2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α,T )5,4,3,2(2=α,T )6,5,4,3(3=α,T )7,6,5,4(4=α,则 ),,,(4321ααααR =2. 3. 已知??? ?? ??---=11332 223a A ,B 是3阶非零矩阵,且0=AB ,则=a 1/3. 4.设矩阵????? ??------=12422 421x A 与??? ? ? ??-=Λ40000005y 相似,则y x -=-1. 5. 若二次型()32212 3222132122, ,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型,则a 的取值 范围是22< <-a . 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A 是3阶矩阵,将的第二列加到第一列得矩阵,再交换的第二行与第三行得单位矩阵, 记????? ??=1000110011P ,??? ?? ??=010*******P ,在则=A ( D ) 21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D 2. 设A 是4阶矩阵,且A 的行列式0=A ,则A 中( C ) )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例 )(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合 3. 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1 )2(-B 的特 征值为(B ) )(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2 3 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 §9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积,这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式,一方面反映了原矩阵的某些数值特性,如矩阵的秩、特征值、奇异值等;另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据,因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便,这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵(或正交矩阵)与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积,这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手,进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,R 称为单位上三角复(实)矩阵。 定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,L 称为单位下三角复(实)矩阵。 定理1设,?∈n n n A C (下标表示秩)则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵,R 是正线上三角复矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵,L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵,R 是正线上三角实矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵,L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵,则存在唯一的正线上三角实矩阵R ,使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵,则存在唯一的正线上三角复矩阵R ,使得 =T A R R 第 1 页 共 4 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得《矩阵分析》考试题A 2016
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