无限长均匀带电直线电场的电势分布
静电场习题课
2.无限长均匀带电平面 已知 无限长均匀带电平面 已知: 求: 解: 沿
σ
Y
dq
b a
d
P
Q 两点的场强
与平面共面) 与平面共面 P 点(与平面共面
Y 方向放置的无限长直线
dy
a
d
X dE
dq dq = σdxdy 线密度: = σdx 线密度:
P
dq 在P点产生的
σdx σdx dE = = 2πε 0r 2πε 0 ( a + b x )
3.无限大平面挖一园孔 无限大平面挖一园孔 已知: 已知
σ
R
O
求:轴线上一点的场强 轴线上一点的场强 σ P点 E1 = + σ + 原电荷 2ε0 圆孔
E
P X
R
σ
P点
x σ E2 = ( 1 ) 2ε0 x2 + R2
σ x E = E1 E2 = 2ε x2 + R2
无限" 三."无限"带电体零电势点的选取 无限 1.求无限长均匀带电直线的电势分布 1.求无限长均匀带电直线的电势分布 场强分布 由定义
R
0
E1 = 0
Eo
r
0′
证明空腔内为均匀电场 0处
+ ρ + 原电荷 ρ 0 处
d
E2ds = E2 4πd 2 = ∫
s
∫ dq
s
ε0
4 3 ρ πr = 3
ε0
3
4 3 ρ πr ρr 3 E2 = 3 2 = 2 4πε 0d 3ε0d
ρr ∴Eo = E2 = 2 3ε0d
O′ 点场强的计算
A: EA > EB > EC ,A > B > C B : EA > EB > EC ,A < B < C C : EA < EB < EC ,A > B > C D : EA < EB < EC ,A < B < C
电磁学讲课电势
4 0 r r
r– r r+
–
–q
O
+
l +q
x
对于离电偶极子比较远的点，r >> l，有
rr r2, r r l cos
则
V
q l co s 40r 2
p cos 40r 2
p r co s 4 0 r 3
pr
4 0 r 3
例5 利用书中例 7-11 结果计算均匀带电圆盘 (R, )
轴线上任一点电势。
得
V
px
40 (x2
y2 )3/2
x x2 y2
–
–q
p O
+
+q
x
所以
Ex
V x
p(2x2 y2)
40 (x2 y2 )5/ 2
Ey
V y
3 pxy
40 (x2 y2 )5/ 2
E Exi Ey j
静电场与万有引力场的比较
静电力
F
40r 2
er
电场强度
F
Q
E q 40r2 er
（对比地图上等高线、等温线、等压线等）
特点 (1) 等势面 电场线 证明：取很近的两点 a和 b，
Vab Va Vb E l El cos
Δ l
b
a
E
若在同一等势面 Va = Vb，则 cos = 0 即 = /2，得证。
(2) 等势面越密的地方，电场线越密，场强越大。
证明：作等势面时，按规定任意两
b
dA
q0q
a
40
rb dr r ra 2
q0q
40
1 ra
大学物理常用公式(电场磁场 热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布2）均匀带电球面（球面半径 ）的电场：3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为）: E = ，方向：垂直于带电直线。
2r( rR ) 4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为）:E =2r (rR )5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为）的电场: E =/20 ，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：e = ÑE v dS v = q 静电场是有源场。
Sq 指高斯面内所包含电量的代数和；E 指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全 部电荷产生； Ñ E vdS v 指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理： Ñ E v dl v =0 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统： E v = E v i ；连续电荷系统： E v = dE v i =12、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法n1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：U =U i ；连续电荷系统： U = dU i =1电势零点v v 2、利用电势的定义求电势 U =电势零点Edl五、应用vv b点电荷受力： F = qE电势差： U ab =U a -U b = b EdraE =1 qU =q4r 24r1）点电荷：E =0 (rR ) q2 (rR ) 4r 2U =q (r R ) 4r q (r R ) 4Ra 点电势能：W a = qU a由 a 到 b 电场力做功等于电势能增量的负值 A ab = -W = -（W b -W a ）六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为 0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E v ⊥表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
大学物理(下)习题
E
Q
E
r
l
Pe
r l
r
2
l /4
2
3/2
E
r
3
p 4 π 0 r
3
q
q
结论：电偶极子中垂线上，距离中心较远处一点
的场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心 的距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。
当r R 高斯面内电荷为 0
高斯面 E 0
均匀带电球壳
rR
高斯面
结果表明：
Q
均匀带电球壳外的场强 分布正像球面上的电荷 都集中在球心时所形成 的点电荷在该区的场强 分布一样。在球面内的 场强均为零。
R
r
例5：求无限大均匀带电平板的场强分布。
设面电荷密度为 e 。
解：由于电荷分布对于求场点 p到平面的垂线 op 是对称的， 所以 p 点的场强必然垂直于该 平面。
3 rR Q E r r 3 1 3 1 3 0 r1 4π 0 r1
r1 R
Q
E
r 1 Q E r2 r 3 2 3 0 4π 0 R
r2 R
r
R
例4：均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。 解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。
需注意方向：
A
C
B
由图可知，在A 区和B区场强均为零。C 区场强 的方向从带正电的平板指向带负电的平板。 场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。
2 0
EC E E 2
0
A
电势
Ua = ∑Uia
i=1
n
3) 连续分布电荷的电势 (选无穷远处为电势零点) 选无穷远处为电势零点) 由电势叠加原理
u = ∫ du = ∫q
2. 已知场强分布求电势
dq 4πε0r
dq
q
r
•P
Ua = ∫
★两个关键: 两个关键:
1) 选零势点
v 零势点 v E ⋅ dl a
2) 沿方便路径积分(积分与路径无关) 沿方便路径积分(积分与路径无关)
λ E= 2 0r πε
14
于是， 轴积分可算得P 点与参考点P 于是，过P 点沿 x 轴积分可算得 点与参考点 1的电势差
UP − UP1 = ∫
λ r1 dr r1 v v E ⋅ dr = r 2πε0 r r
∫
r1 λ ln = 2πε0 r
由于ln1=0， 所以本题中若选离直线为 1=1 m处作为电势 0 所以本题中若选离直线为r 由于 处作为电势 零点，则很方便地可得P点的电势为 零点，则很方便地可得 点的电势为
∫
q R 0⋅ dr + r 4 q
πε0 ∫ r
∞dr R 2
O V
4πε0R
O
R
r
●讨论
1）一个均匀带电球面在球外任一点的电势等于把全部电荷 ） 集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同； 集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同； 2）均匀带电球面及其内部是一个等电势的区域. ）均匀带电球面及其内部是一个等电势的区域.
∫
∫
7
讨论： ● 讨论：
1) 电势是描述电场能量性质的物理量，与试验荷无关; 电势是描述电场能量性质的物理量，与试验荷无关; 2) 电势只具有相对意义, 决定于电势零点的选择. 电势 电势只具有相对意义, 决定于电势零点的选择. 只具有相对意义 具有绝对意义. 绝对意义 差具有绝对意义. 3) 电势零点的选取是任意的. 有限区域带电体一般选 电势零点的选取是任意的. 有限区域带电体一般选 无穷远为电势零点; 无限大带电体一般只能取有限 无穷远为电势零点; 为电势零点 范围内某点为零势点. 范围内某点为零势点. 4) 一般在同一问题中,电势能和电势的零点选取一致. 一般在同一问题中,电势能和电势的零点选取一致. 5) 已知电势分布,可求电势能及作功. 已知电势分布,可求电势能及作功.
[指南]电势计算方法
![[指南]电势计算方法](https://img.taocdn.com/s3/m/55d70cfe6394dd88d0d233d4b14e852458fb3948.png)
6.4.5电势的计算方法一般说来，计算电势的方法有两种。
第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是下面马上就要介绍的电势叠加原理。
对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。
通过后面内容的学习，大家要注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。
下面我们介绍电势迭加原理。
1、点电荷电场的电势如右图所示，一个点电荷q处于O点处。
在q所产生的电场中，距离O点为r处P点的电势，可以根据电势的定义式计算得到。
选无穷远处作为电势零点，积分路径沿O P方向由P点延伸到无穷远。
由于积分方向选取得与场强点电荷的电势的方向相同，P点电势可以很容易地计算出来此式给出点电荷电场中任意一点的电势大小，称作点电荷电势公式。
公式中视q的正负，电势V可正可负。
在正点电荷的电场中，各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。
在负点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，无穷远处电势为零。
容易看出，在以点电荷为心的任意球面上电势都是相等的，这些球面都是等势面。
2、电势的叠加原理在前面的知识点中，大家学习了场强叠加原理。
该原理告诉我们，任意一个静电场都可以看成是多个或无限多个点电荷电场的叠加，即有其中E表示总电场，E1，E2，…为单个点电荷产生的电场。
根据电势的定义式，并应用场强叠加原理，电场中a点的电势可表示为上式最后面一个等号右侧被求和的每一个积分分别为各个点电荷单独存时在a点的电势。
即有式中V a i是第i个点电荷单独存在时在a点产生的电势。
显然，如果我们将带电体系分成若干部分（不一定是点电荷），上述结论仍然是正确的。
即，任意一个电荷体系的电场中任意一点的电势，等于带电体系各部分单独存在时在该点产生电势的代数和。
这个结论叫做电势叠加原理。
若一个电荷体系是由点电荷组成的，则每个点电荷的电势可以按上式进行计算，而总的电势可由电势叠加原理得到，即式中r i是从点电荷q i到a点的距离。
9.3静电_大学物理
q0 q dA dr 2 4 π 0 r
rB
B
试验电荷q0从A到B 电场力做功:
r+dr
dl q 0 r
dr=dlcos E
AAB
q0 q dr 2 4 π 0 r A
q0 q 1 1 ( ) 4 π 0 rA rB
B
rA
A
做功与路径无关
2. 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的 连续带电体，可看成是由无数电荷元组成，由 场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动 单位电荷的功）为：
pe er 2 4 π 0 r
电势在中垂线上显然为零!
例3:试计算均匀带电圆环轴线上任一点P 的电势。
设已知带电量为q.
解: 将圆环分割成无限多个电荷元 dq dq dU q 4 π 0 r r 环上各点到轴线等距： R q 1 U dU o x 0 dq 40 r
1 E dS
S
o
q
i 1
n
i
四、高斯定理的应用
回顾
•电荷分布的对称性与场强分布的对称性相同
r
•场强分布的对称性与怎样取Gass面的关系
回顾 •场强分布的对称性与怎样取Gass面的关系
Q
en
E
r
R
en
en
e
r
要点：使 E dS 容易计算
S
E
在S上E大小相等，与ds方向一致或夹角恒定。
第三节 电 势
电场强度→电场对电荷有作用力→电荷在电场中移动→
电场力要做功→有能量和电场相联系→静电场的能量
本章主要内容：
§3-1 静电场的保守性和环路定理
电势2
Q + + q+ + R + 2+ + + + + A B o· · + + + R1 + + + + + + +
· C
如图所示，两个同心均匀带电球面，内球面半径为 R1、带电量Q1，外球面半径为R2、带电量Q2，求两 球面内外电场强度的分布。
1.典型等势面
点电荷的等势面
电偶极子的等势面
+
电平行板电容器电场的等势面
++ ++ + + + + +
等势面图示法 等势面画法规定：相邻两等势面之间的电势 间隔相等。
U U+U U+2U U+3U
2.等势面与电场线的关系
q0在等势面上移动dl, E与dl 成θ角
在等势面上移动不作功
dA q0 E dl q0 E dl cos 0
qQ V Leabharlann 4π ε rC 0两球面间电势差
方法一
U V -V
12 1
2
q q Q Q - 4πε R 4πε R 4πε R 4πε R q 1 1 U R -R 4πε
0 1 0 2 0 2 0
2
Q + + + q + R+ + + + + + o + + +R + + + + + + +
09-4静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
静电场的环路定理(北邮)
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
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“无限长”直线如图放置,其上电荷线密度为λ。
分析如下: 如图所示建立直角坐标系。
将导线所在的位置定义为OY轴,我们可以在OX轴上距直线为r 处任取一点P ,求出P点的电势。
由高斯定理可知, “无限长”均匀带电直线周围任一点电场强度的大小:E讨论: 1. 若选择无限远处为电势零点,则带电直线外任一点P的电势为是发散的, 即电势值为无限大,是不合理的,因此在“无限长”均匀带点直线的电场中不能选无限远处为电势零点。
2. 若选择轴线上r=0处为电势零点,则V p , l n 0也是无意义的,因此电势零点选在轴线上也无法计算出电场中的电势分布。
3. 若选择电场中任一点p 0( 到带电直线的距离为r 0) 为电势零点,如图所示,距离直线为r 的p 点的电势为V p ,r( 2) r 0 取( 0, ∞) 的任意值,就可以计算出对应的P 点的电势值。
由此可见,在计算“无限长”均匀带电直线在周围空间激发的电势时,既不能选取无限远处为电势零点,也不能选取带电直线上一点为电势零点,而只能选在带点直线外一个距离带电直线有限远的确定点上。
( 2) 式中,由于r 0 ( 0, ∞) ,可选取r 0 =1m ,则l n 1 =0,也就是说将电势零点选在距带电直线为1m 处,则p点的电势为:V p ,此时电势的表达式为最简。
由上式看出,若细线带正电(λ> 0) ,当场点到细线的垂直距离r<1m时,由于l n r<0,故该区域各点的电势V P>0; 显然,在r>1m的区域,各点的电势V P<0。
可见,电势值是相对的,根据电势零点的不同而变化,但是两点之间的电势差是绝对的,不随电势零点的选取而变化,所以我们选择了合适的电势零点以后就可以由电势差算出各点的电势值。
关于静电场电势零点的选取由以上例题可以看出,虽然从理论上讲,在计算电势时,电势零点的选取是任意的,但是要具体问题具体分析,注意以下几点: ( 1) 在“无限长”均匀带电直线和“无限大”均匀带电平面的电场中,计算电势时,电势零点不能选取在无限远处,而只能选在有限远处适当的位置。
( 2) 在计算点电荷产生的电势时,电势零点不能选在场源电荷( 即点电荷处) ,而要选在除此之外的位置。
( 3) 在计算电荷分布为有限的带电体在周围空间产生的电势时,一般选择无限远处一点为电势零点。
( 4) 电势零点选取的原则是使计算的电势值有意义,并且使电势的表达式尽可能简洁。
( 5) 电势大小的正负与电势零点的选取密切相关。
在理论上,计算一个有限大小的带电体所激发的电场中各点的电势时,通常选无限远处的一点为电势零点,但在实际问题中,常选择地球的电势为零,其他带电体的电势都是相对于地球而言的。
这样的规定有很多方便之处: 一方面可以在任何地方都能方便地和地球比较而确定各个带电体的电势; 另一方面,地球是一个半径很大的导体,在这样的导体上增减一些电荷对其电势的影响是很小的,因此地球的电势比较稳定。
在工业上,消除静音的重要措施之一就是“接地”,这使带电体的电势和地球一致,带电体上的电荷就会传到地球上去而不会一直积累起来。
为了安全用电,实验室中和工厂企业中很多电气设备和仪器( 如马达、示波器等) 的外壳在使用时也都接地,这样可以防止当电气设备因绝缘不良而使外壳带电时引起的触电事故。
总之,电势零点的选取具有灵活性,但是要根据实际问题选择合适的电势零点,使得计算得出的电势值有意义,并且得到最简的表达式。