高一数学苏教版必修一教案《集合的含义及其表示方法》

第一章集合1.1 集合的含义及其表示方法教学目标：（1）使学生理解集合的含义，知道常用数集及其记法；（2）使学生初步了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义；（3）初步掌握集合的两种表示方法—列举法、描述法；并能正确地表示一些简单的集合。

教学重点：集合的含义及表示方法.教学难点：集合元素的三个特征，正确表示一些简单集合.学法指导：学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.教学过程：一、问题情境1．介绍自己；2．问题：象“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同特征？二、学生活动1．介绍自己：仿照所给例子让学生作自我介绍；2．列举生活中的集合实例；3．分析、概括各种集合实例的共同特点。

三、建构数学1．老师引导学生归纳总结并指导学生给出集合的含义一般地，一定范围内某些___________、____________对象的全体构成一个集合。

集合中______________称为该集合的元素，简称元.集合用____________________表示，元素用__________________表示。

2.集合元素的三个特征学生在老师的指导下回答问题：由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：(1)确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.如上例(1)、再如{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.(2)互异性集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.如上例(3)，再如A＝{1，1，1，2，4，6}应表示为A＝{1，2，4，6}.(3)无序性集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.如上例(4).元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于.如A＝{2，4，8，16} 4___ A 8__A 32__ A请同学们考虑：A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，问题：A与B的关系如何？4.集合的表示方法：（1）列举法：将集合中元素一一列举出来，并置于花括号“｛｝”内，如｛北京，上海，天津，重庆｝等。

注意：元素之间用逗号隔开。

（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成｛x/P(x)｝的形式，如｛x/x为中国的直辖市｝等。

（3）venn图表示集合，更加形象直观。

5．有限集、无限集、空集、集合的相等。

四、数学运用例1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1)所有绝对值等于8的数的集合A (2)所有绝对值小于8的整数的集合B 例2.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件?例3．求不等式2 x —3>5的解集。

五．课堂训练1.（15’）说出下面集合中的元素.(1){大于3小于11的偶数} 其元素为 _______________ (2){平方等于1的数} 其元素为________________ (3){15的正约数} 其元素为________________ 2. (10’)下列各组对象不能形成集合的是（ ）A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y ＝1x图象上所有的点3. (15’)用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程x 2＋6x ＋9＝0的解集.(2)20以内的质数. (3)大于0小于3的整数.六.课时小结1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.3．集合的三种表示方法七．课后作业(6×10’)1.用符号∈或∈\填空1 N 0 N－3___N 0.5__N2 __N1__Z 0__Z－3___Z 0.5___Ｚ 2 __Ｚ1__Q 0__Q－3__Q 0.5___Q 2 ___Q1__R 0___R－3__R 0.5___R 2 ___R2.判断正误：(1)所有在N中的元素都在N*中()(2)所有在N中的元素都在Z中()(3)所有不在N*中的数都不在Z中()(4)所有不在Q中的实数都在R中()(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0()3.下列条件能形成集合的是（）A.充分小的负数全体B.爱好飞机的一些人C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天所有课程4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.5.将方程组⎩⎨⎧3x + y ＝22x －3y ＝27 的解集用列举法、描述法分别表示.6.设集合A ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，C ＝{x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z }，又有a ∈A ，b ∈B ，判断元素a ＋b 与集合A 、B 和C 的关系.子集、全集、补集(一)教学目标：使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.教学重点：子集的概念，真子集的概念.教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.教学过程：Ⅰ.复习回顾1.集合的表示方法 列举法、描述法2.集合的分类 有限集、无限集由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少.Ⅱ.讲授新课［师］同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律.幻灯片(A)：［生］通过观察上述集合间具有如下特殊性(1)集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素.(2)集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素.(3)集合A中所有正方形都是集合B的元素.(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.(5)所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素.(6)集合A中元素A、B都是集合B中的元素.［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.幻灯片(B)：［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作（或B）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则.A(A为任何集合).［师］由A＝{正三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{三角形}，则从中可以看出什么规律？［生］由题可知应有，这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形.故［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”.(1)任何一个集合是它本身的子集［师］如A＝{9，11，13}，B＝{20，30，40}，那么有，师进一步指出：如果，并且A≠B，则集合A是集合B的真子集.这应理解为：若，且存在b∈B，但，称A是B的真子集.A是B的真子集，记作(或)真子集关系也具有传递性若，，则那么_______是任何非空集合的真子集.2.例题解析［例1］写出{a 、b }的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：{a ，b }{a }、{b }、{a ，b }{a }、{b }.注：如果一个集合的元素有n 个，那么这个集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个.［例2］解不等式x －3＞2，并把结果用集合表示. 解：由不等式x －3＞2知x ＞5 所以原不等式解集是{x ｜x ＞5}［例3］（1）说出0，｛02 Ⅲ.课堂练习1．已知A ＝{x ｜x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ｜4x ＋m ＜0}，当时，求实数m 的取值范围.分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.解：将A 及B 两集合在数轴上表示出来要使，则B 中的元素必须都是A 中元素 即B 中元素必须都位于阴影部分内那么由x ＜－2或x ＞3及x ＜－m 知 －m＜－2即m ＞8故实数m 取值范围是m ＞8 2．填空：｛a ｝ ｛a ｝，a ｛a a ｝，｛a ，b ｝ ｛a ｝，0 1｛1,｛2｝｝，｛2｝ ｛1,｛2 Ⅳ.课时小结1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.Ⅴ.课后作业（一）课本P10习题1.2 1，2补充：1.判断正误(1)空集没有子集（）(2)空集是任何一个集合的真子集（）(3)任一集合必有两个或两个以上子集（）(4)若，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （）分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则时也必有2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个.则该题先找该集合元素，后找真子集.解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个3.(1)下列命题正确的是（）A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为（）①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，，0，2}{0，1，2} {0}A.5B.2C.3D.4(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（）B. C.{a}∈MD.{a解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A.只有一个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.①应是，1，2}，④，1，2}，⑤故错误的有①④⑤，选C.(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π因3＜a＜4，故a是M的一个元素.{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a.选D.4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}解：(1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.(2)因A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数.故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成，则有.评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.5.已知集合P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}满足，求a 所取的一切值.解：因P ＝{x ｜x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}当a ＝0时，Q={x ｜ax ＋1＝0}成立.又当a ≠0时，Q ＝{x ｜ax ＋1＝0}＝{－1a}， 要成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12 或a ＝13. 综上所述，a ＝0或a ＝－12 或a ＝13评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集情况.而当Q .6.已知集合A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4＝0}，要使，求满足条件的集合P .解：由题A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4）＝0}＝{－1，1，－4}由知集合P 非空，且其元素全属于B ，即有满足条件的集合P 为：{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P 的元素.而做到这点，必须化简A 、B ，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.7.已知，，B ＝{0，1，2，3，4}，C ＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A 共有多少个？，，B ＝{0，1，2，3，4}，C ＝{0，2，4，8}，由此，满足{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个.又满足的集合A 有{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×2＝16个.其中同时满足，的有8个{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.有如下思路：题目只要A 的个数，而未让说明A 的具体元素，故可将问题等价转化为B 、C 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8 (个)8.设A ＝{0，1}，B ＝{x ｜}，则A 与B 应具有何种关系？解：因A ＝{0，1}，B ＝{x ｜}故x {0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B 中一元素.故A ∈B.评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.9.集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，(1)若，求实数m 的取值范围. (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B .当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ≤A 成立，需⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤5 ，可得2≤m ≤3综上m ≤3时有(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}所以，A 的非空真子集个数为：28－2＝254(3)∵x ∈R ，且A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.则①若B m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件.②若B ⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1m ＋1＞5 或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －12m －1＜2 解之m ＞4 综上有m ＜2或m ＞4评述：此问题解决：（12）找A 中的元素；（3）分类讨论思想的运用.（二）1.预习内容：课本P 92.预习提纲：(1)求一个集合补集应具备的条件.(2)能正确表示一个集合的补集.子集、全集、补集(二)教学目标：使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念.教学难点：补集的有关运算.教学过程：Ⅰ.复习回顾1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分别是多少?2.两个集合相等应满足的条件是什么?Ⅱ.讲授新课［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.请同学们由下面的例子回答问题：幻灯片（A）：［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.即为如图阴影部分由此借助上图总结规律如下：幻灯片(B)：上图中阴影部分即表示A在S中补集C S A2.全集如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集C U Q就是全体无理数的集合.举例如下：请同学们思考其结果.幻灯片(C)：师生共同完成上述题目，解题的依据是定义例(1)解：C S A＝{2}评述：主要是比较A及S的区别.例(2)解：C S B＝{直角三角形或钝角三角形}评述：注意三角形分类.例(3)解：C S A＝3评述：空集的定义运用.例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1± 5评述：利用集合元素的特征.例(5)解：利用文恩图由A及C U A先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之m＝－4或m＝2例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}故满足题条件：C U A＝{1，4}，m＝4；C U B＝{2，3}，m＝6.评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.Ⅲ.课堂练习课本P10练习 1，2，3，4Ⅳ.课时小结1.能熟练求解一个给定集合的补集.2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.Ⅴ.课后作业（一）课本P10习题1.2 3，43.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A＝{x｜x是平行四边形}，那么C S A＝{x｜x是梯形}.补充：1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“ ”或“ ”：(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{2，3} （）(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则C S A＝{锐角或钝角三角形} （）(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则C U A＝{平行四边形} （）(4)若U＝{1，2，3}，A C U A＝A （）(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A（）(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1} （）(7)若U是全集且，则C U U B （）解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则C S A＝{3}.(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得C S A＝{锐角或钝角三角形}.(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.形，也不是平行四边形.(4)因U＝{1，2，3}，A C U A＝U.(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则C U A(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则C U A＝{1}.(7)若U是全集且A＝B，则C U U B.评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(C U A)＝U.2.填空题(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，C U A＝_____________________.(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，C U A＝_____________________.(3)已知U中有6个元素，C U A A中有_______个元素.(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，C U A＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________解：由全集、补集意义解答如下：(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知C U A＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R及A＝{x｜x＞3}，知C U A＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集C U A＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求C U A、C U B.解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么C U A＝{0，2，4，6，8，10}，C U B＝{0，1，4，6，8，9，10}.4.已知A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，C U B＝{－1，0，2}，用列举法写出B.解：因A＝{0，2，4，6}，C U A＝{－1，－3，1，3}，故U＝A∪（C U A）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}而C U B＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，C U A＝{5}，求a的值. 解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a ＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)所以符合题条件的a＝4评述：此题和第4题都用C U A＝{x｜x∈5，且}，有U中元素或者属于A，或者属于C U A.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.6.定义A－B＝{x｜x∈A，且}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N －M的表达式.分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且}＝{8}评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与C A B中元素的特征相同，后者要求.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.N的所有实数a的集合记为7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即M＝{－2，1}，N＝{x｜x＜a}，故CN＝{x｜x≥a}，使R N的实数a的集合A＝{a｜a≤－2}，又y＝－x2－4x－6＝－（x＋2）2－2≤－2那么B＝{y｜y≤－2}，故A＝B8.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与C R A的所有元素组成全集R，集合B与C R A的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.解：因a＝{x｜x2－3x＋2≤0}＝{x｜1≤x≤2}，所以C R A＝{x｜x＜1或x＞2}B与C R A的所有元素组成全集R,则.B与C R A的公共元素构成{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，则{x｜0＜x＜1或2＜x＜在数轴上表示集合B为A及{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}的元素组成，即B＝{x｜0＜x＜3}.评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.就是B ∪C R A ＝B ∩C R A ＝{x ｜0＜x ＜1或2＜x ＜3}.9.设U ＝{（x ，y ）｜x ,y ∈R },A ＝{(x ，y )｜y －3x －2 ＝1}，B ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1}，求C U A 与B 的公共元素.解：a ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1，x ≠2}，它表示直线y ＝x＋1去掉(2，3)的全体，从而C U A ＝{（2，3）}，而B ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1}表示直线y ＝x ＋1上的全体点的集合.如图所示，C U A 与B 的公共元素就是(2，3).评述：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形的问题来加以研究可以得到直观形象，简捷明了的效果.（二）1.预习内容：课本P 10～P 112.预习提纲：(1)交集与并集的含义是什么?能否说明?(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.交集、并集(一) 教学目标：使学生正确理解交集与并集的概念，会求两个已知集合交集、并集；通过概念教学，提高逻辑思维能力，通过文氏图的利用，提高运用数形结合解决问题的能力；通过本节教学，渗透认识由具体到抽象过程.教学重点：交集与并集概念.数形结合思想.教学难点：理解交集与并集概念、符号之间区别与联系.教学过程：Ⅰ.复习回顾集合的补集、全集都需考虑其元素，集合的元素是什么这一问题若解决了，涉及补集、全集的问题也就随着解决.Ⅱ.讲授新课［师］我们先观察下面五个图请回答各图的表示含义.［生］图(1)给出了两个集合A、B.图(2)阴影部分是A与B公共部分.图(3)阴影部分是由A、B组成.图(4)集合A是集合B的真子集.图(5)集合B是集合A的真子集.师进一步指出图(2)阴影部分叫做集合A与B的交集.图(3)阴影部分叫做集合A与B的并集.由(2)、(3)图结合其元素的组成给出交集定义.幻灯片：借此说法，结合图(3)，请同学给出并集定义幻灯片：学生归纳以后，教师给予纠正.那么图(4)、图(5)及交集、并集定义说明A∩B＝A{图（4）}，A∩B＝B{图（5)}3.例题解析(师生共同活动)［例1］设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x＜3}，求A∩B.解析：此题涉及不等式问题，运用数轴即利用数形结合是最佳方案.解：在数轴上作出A、B对应部分，如图A∩B为阴影部分A∩B＝{x｜x＞－2}∩{x｜x＜3}＝{x｜－2＜x＜3}［例2］设A＝{x｜x是等腰三角形}，B＝{x｜x是直角三角形}，求A∩B.解析：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B.解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∩B.A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝{x｜x是等腰直角三角形}［例3］设A＝{4，5，6，8},B＝{3，5，7，8}，求A∪B.解析：运用文氏图解答该题解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∪B则A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}.［例4］设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∪B.解：A∪B＝{x｜x是锐角三角形}∪{x｜x是钝角三角形}＝{x｜x是斜三角形}{例5}设A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜1＜x＜3}，求A∪B.解析：利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求.解：将A＝{x｜－1＜x＜2}及B＝{x｜1＜x＜3}在数轴上表示出来.如图阴影部分即为所求.A∪B＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜1＜x＜3}＝{x｜－1＜x＜3}［师］设a,b是两个实数，且a＜b，我们规定：实数值R也可以用区间表示为（-∞,+∞）,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们还可以把满足x≥a,x＞a,x≤b,x＜b的实数x的集合分别表示为[a,+∞],(a,+∞),(-∞,b),(-∞,b).Ⅲ.课堂练习1.设a＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，(1)求A∩B，A∪B.(2)用适当的符号填空：A∩B_____A，B_____A∩B，A∪B______A，A∪B______B，A∩B_____A∪B.解：(1)因A、B的公共元素为5、8故两集合的公共部分为5、8,则A∩B＝{3，5，6，8}∩{4，5，7，8}＝{5，8} 又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8.故A∪B＝{3，4，5，6，7，8}(2)由文氏图可知A∩，∩B，A∪，A∪，A∩∪B2.设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x≥0}，求A∩B.解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5故A∩B＝{x｜x＜5}∩{x｜x≥0}＝{x｜0≤x＜5}3.设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∩B.解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.A∩B＝{x｜x是锐角三角形}∩{x｜x是钝角三角形4.设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≥3}，求A∪B.解：在数轴上将A、B分别表示出来，阴影部分即为A∪B，故A∪B＝{x｜x＞－2}5.设A＝{x｜x是平行四边形}，B＝{x｜x是矩形}，求A∪B.解：因矩形是平行四边形.故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x｜x是平行四边形}6.已知M＝{1}，N＝{1，2}，设A＝{（x，y）｜x∈M，y∈N}，B＝{（x，y）｜x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.解析：M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素.解：∵M＝{1}，N＝{1，2}则A＝{（1，1），（1，2）}，B＝{（1，1），（2，1）}，故A∩B＝{（1，1）}，A∪B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.Ⅳ.课时小结在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图，无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键还是寻求元素.Ⅴ.课后作业课本P13习题1.3 2～7参考练习题:1.设A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n，n∈N}，则A∩B＝_______，A∪B＝_______.解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N*因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B即对任意m∈A有m∈B，所以，而10∈B但，即，那么A∩B＝A，A∪B＝B.评述：问题的求解需要分析各集合元素的特征，以及它们之间关系，利用真子集的定义证明A是B的真子集，这是一个难点，只要突破该点其他一切都好求解.2.求满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B的个数.解：满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}还可含1或2，其中一个有{1，3}，{2，3}，还可含1、2，即{1，2，3},那么共有4个满足条件的集合B.评述：问题解决的关键在于集合B的元素可以是什么数，分类讨论在解题中作用不可忽视.以集合B元素多少进行分类.3.A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么?解：因A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝x≥10}，在数轴上作图，则A∩B＝{x｜0＜x＜5}，B∪C＝{x｜0＜x}，A∩B∩C评述：将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.4.设A＝{－4，2，a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求A.解：因A∩B＝{9}，则a－1＝9或a2＝9a＝10或a＝±3当a＝10时，a－5＝5，1－a＝－9当a＝3时，a－1＝2不合题意.a＝－3时，a－1＝－4不合题意.故a＝10，此时A＝{－4，2，9，100}，B＝{9，5，－9}，满足A∩B＝{9}，那么a＝10.评述：合理利用元素的特征——互异性找A、B元素.5.已知A ＝{y ｜y ＝x 2－4x ＋6，x ∈R , y ∈N }，B ＝{y ｜y ＝－x 2－2x ＋7，x ∈R ,y ∈N }，求A ∩B ，并分别用描述法，列举法表示它.解：y ＝x 2－4x ＋6＝（x －2）2＋2≥2，A ＝{y ｜y ≥2，y ∈N }又y ＝－x 2－2x ＋7＝－（x ＋1）2＋8≤8∴B ＝{y ｜y ≤8，y ∈N }故A ∩B ＝{y ｜2≤y ≤8}＝{2，3，4，5，6，7，8}.评述：此题注意组成集合的元素有限，还是无限.集合的运算结果，应还是一个集合.6.已知非空集合A ＝{x ｜2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x ｜3≤x ≤22}，则能使A ∩B )成立的所有a 值的集合是什么？解：由题有：∩B，即， A非空，用数轴表示为，由方程表示为：6≤a ≤9评述：要使∩B ，需且，又恒成立，故，由数轴得不等式.注意A 是非空.若去掉这一条件效果如何.求解过程及结果是否会变化.请思考.交集、并集(二)教学目标：使学生掌握集合交集及并集有关性质，运用性质解决一些简单问题，掌握集合的有关术语和符号；提高分析、解决问题的能力和运用数形结合求解问题的能力；使学生树立创新意识.教学重点：利用交集、并集定义进行运算.教学难点：集合中元素的准确寻求教学过程：Ⅰ.复习回顾集合的交集、并集相关问题的求解主要在于集合元素寻求.Ⅱ.讲授新课［例1］求符合条件，3，5}的集合P.解析：（1）题中给出两个已知集合{1}，{1，3，5}与一个未知集合P，欲求集合P，即求集合P中的元素；（2）集合P中的元素受条件，3，5}制约，两个关系逐一处理，由{1}与P关系，知1∈P且P中至少有一个元素不在{1}中，即P中除了1外还有其他元素；由P与{1，3，5}关系，3，5}，知P中的其他元素必在{1，3，5}中，至此可得集合P是{1，3}或{1，5}或{1，3，5}.［例2］已知U＝{x｜x2＜50，x∈N}，（C U M）∩L＝{1，6}，M∩（C U L）＝{2，3}，C U(M∪L)＝{0，5}，求M和L.解析：题目中出现U、M、L、C U M、C U L多种集合，就应想到用上面的图形解决问题.第一步：求全集5＝{x｜x2＜50，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}第二步：将(C U M)∩L＝{1，6}，M∩（C U L）＝{2，3}，C U(M∪L）＝{0，5}中的元素在图中依次定位.第三步：将元素4，7定位.第四步：根据图中的元素位置得M ＝{2，3，4，7}，N ＝{1，6，4，7}.［例3］50名学生报名参加A 、B 两项课外学科小组，报名参加A 组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B 组的人数比报名参加A 组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A 、B 两组的人数和两组都没有报名的人数.解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图设A ∩B 的元素为x 个，则有(30－x )＋x ＋（33－x ）＋（13x ＋1）＝50，可得 x ＝21，13 x ＋1＝8那么符合条件的报名人数为8个.［例4］设全集I ＝{x ｜1≤x ＜9，x ∈N }，求满足{1，3，5，7，8}与B 的补集的集合为{1，3，5，7}的所有集合B 的个数.解析：(1)求I ＝{x ｜1≤x ＜9，x ∈N }＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，因{1，3，5，7，8}∩（C U B ）＝{1，3，5，7}，则C U B 中必有1，3，5，7而无8.(2)要求得所有集合B 个数，就是要求C U B 的个数. C U B 的个数由C U B 中的元素确定，分以下四种情况讨论：①C U B 中有4个元素，即C U B ＝{1，3，5，7}②C U B 中有5个元素，C U B 中有元素2， 4，或6，C U B 有3个.③C U B 中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入C U B 中，C U B 有3个④C U B 中有7个元素，即C U B ＝{1，3，5，7，2，4，6}综上所有集合C U B 即B 共有8个.［例5］设U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{3，4，5}，B ＝{4，7，8}，求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、（C U A ）∩（C U B ）、(C U A )∪(C U B ).解析：关键在于找C U A 及C U B 的元素，这个过程可以利用文氏图完成.解：符合题意的文氏图如右所示，由图可知A∩B＝｛4｝，A∪B＝｛3，4，5，7，8｝，C U A＝{1，2，6，7，8}，C U B＝{1，2，3，5，6}(C U A)∩(C U B)＝{1，2，6}，即有(C U A)∩（C U B）＝C U(A∪B)(C U A)∪(C U B)＝{1，2，3，5，6，7，8}，即有(C U A)∪(C U B)＝C U (A∩B)［例6］图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影表示(C U A)∩（C U B）.解析：先将符号语言(C U A)∩（C U B）转换成与此等价的另一种符号语言C U(A∪B)，再将符号语言C U(A∪B)转换成图形语言(如下图中阴影部分)［例7］已知A＝{x｜－1＜x＜3}，A∩B A∪B＝R，求B.分析：问题解决主要靠有关概念的正确运用，有关式子的正确利用.解：由A∩B A∪B＝R知全集为R，C R A＝B故B＝C R A＝{x｜x≤－1或x≥3}，B集合可由数形结合找准其元素.［例8］已知全集I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a ＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，若A∩B＝{－3}，求C I（A∪B）.分析：问题解决关键在于求A∪B中元素，元素的特征运用很重要.解：由题I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B ＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，由于A∩B＝{－3}，因a2＋1≥1，那么a－3＝－3或2a－1＝－3，即a＝0或a＝－1则A＝{－3，0，1}，B＝{－4，－3，2}，A∪B＝{－4，－3，0，1，2}C I（A∪B）＝{－2，－1，3，4}［例9］已知平面内的△ABC及点P，求{P｜P A＝P B}∩{ P｜P A＝P C}解析：将符号语言{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}转化成文字语言就是到△ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}＝{△AB C的外心}.［例10］某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名?解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A ，爱好文艺的同学组成的集合为B .整个班级的同学组成的集合是U .则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A ∩B ，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(C U A )∩（C U B )再将符号语言转换成图形语言：通过图形得到集合(C U A )∩（C U B ）的元素是8最后把符号语言转化成文字语言，即(C U A )∩（C U B ）转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.Ⅲ.课堂练习1.设A ＝{（x ，y ）｜3x ＋2y ＝1}，B ＝{（x ，y ）｜x －y ＝2}，C ＝{（x ，y ）｜2x －2y ＝3}，D ＝{（x ，y ）｜6x ＋4y ＝2}，求A ∩B 、B ∩C 、A ∩D.分析：A 、B 、C 、D 的集合都是由直线上点构成其元素A ∩B 、B ∩C 、A ∩D 即为对应直线交点，也即方程组的求解.解：因A ＝{（x ，y ）｜3x ＋2y ＝1}，B ＝{（x ，y ）｜x －y ＝2}则⎩⎨⎧3x ＋2y ＝1x －y ＝2 ⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1 ∴A ∩B ＝{（1，－1）}又C ＝{（x ，y ）｜2x －2y ＝3}，则⎩⎨⎧2x －2y ＝3x －y ＝2 方程无解∴B ∩C 又 D ＝{（x ，y ）｜6x ＋4y ＝2}，则⎩⎨⎧3x ＋2y ＝16x ＋4y ＝2 化成3x ＋2y ＝1∴A ∩D ＝{（x ，y ）｜3x ＋2y ＝1}评述：A 、B 对应直线有一个交点，B 、C 对应直线平行，无交点.A 、D 对应直线是一条，有无数个交点.2.设A ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，C ＝{x ｜x ＝2（k ＋1），k ∈Z }，D ＝{x ｜x ＝2k －1，k ∈Z }，在A 、B 、C 、D 中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集?。