刚体的转动
第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
刚体的转动
§3-2 力矩 转动定律 转动惯量 本节主要内容
力矩的概念 转动定律 转动惯量
经验告诉我们： 外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关， 而且还与力的方向和力的作用点的位置有关。
F
所以，我们需要引入力矩这个物理量来描述 外力对刚体转动的作用
一.力矩
力臂： d r sin θ
力矩的定义: 力F 的大小和力臂d 的乘积 称为力F 对转轴OZ的力矩
解： (1)
d
dt
3Bt2
(2) d 6Bt
dt
(3)距轴为r的一质点加速度
at r 6Brt an r 2 9B2rt 4
a
a
2 n
a
2 t
(9 B 2 rt 4 ) 2 ( 6 Brt ) 2
tg an 3 Bt 3 （ 为加速度与速度的夹角 ）
l
细棒转轴通过 中心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过 端点与棒垂直
J ml 2 m( l )2 ml 2
12
2
3
讨论
影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的质量； (2)质量的分布(含大小和形状)； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。 （同一个刚体对不同的轴转动惯量不同）
转动 非定轴转动
ω
刚体的一般运动：
质心的平动 + 绕质心的转动 定轴转动的特点：
在刚体中取垂直于轴线的平面称为转动平面
刚体中所有的点都绕同一直线（轴）在各自的 转动平面内做圆周运动。
刚体转动的描述
§3-1角速度和角加速度
z
⊿
1.角坐标（角位置）
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
刚体的转动
质心的平动
刚体的转动
+
绕质心的转动
2/31
一、刚体转动的角量描述
角坐标 (t ) 角位移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
(t )
(t t ) (t )
角速度
x
参考平面
d lim t 0 t dt
方向:
角加速度
参考轴
右手螺旋方向
d dt
J m r
j
2 j j
J r dm
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比.
刚体的转动 10/31
五、转动惯量
J m r , J r dm
2 j j 2 j
物理意义：转动惯性的量度.类似于平动的质量
转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
r O
m
刚体的转动
21/31
一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上 绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的 滑动摩擦系数为μ，求杆转动时受的摩擦力矩大小．
刚体的转动
22/31
有一质量为m半径为R的均匀圆形平板平放在水平桌面 上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其 中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将 在旋转几圈后停止？
2m
⅓l
⅓l
O
0 2
2 3
l
0
m
m
刚体的转动
24/31
力的空间累积效应
力矩的空间累积效应
力的功,动能,动能定理.
力矩的功,转动动能,动能定理.
刚体转动的物理原理
刚体转动的物理原理
刚体转动是指刚体围绕固定轴线的旋转运动。
对于一个刚体，其旋转运动的物理原理可以通过以下几个方面来解释：
1. 转动惯量：刚体的转动惯量代表了刚体围绕轴线旋转时对转动的惰性。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布和绕轴线的位置有关。
转动惯量越大，对于同样的转动力矩，刚体转动的角加速度越小。
2. 转动力矩：刚体转动时，如果施加一个力矩以改变刚体的角动量，刚体就会产生角加速度。
转动力矩是指力在刚体上产生的旋转效果，它的大小等于力的大小乘以力臂的长度。
力臂是力相对于轴线的垂直距离。
3. 角动量守恒：在没有外力或外力作用力矩为零的情况下，刚体的角动量守恒。
刚体的角动量是指刚体沿轴线旋转时的动量，它等于刚体转动惯量乘以角速度。
角动量守恒意味着刚体在旋转过程中，如果没有外力或外力矩的作用，角动量保持不变。
4. 角动量定理：角动量定理描述了刚体转动时角动量的变化率等于作用在刚体上的外力矩。
即角动量的变化等于力矩的时间积分。
这个定理可以用来分析刚体在外力矩作用下的角加速度和角速度变化。
总之，刚体转动的物理原理主要涉及转动惯量、转动力矩、角动量守恒和角动量
定理等概念，通过这些原理可以解释和描述刚体转动的运动规律。
刚体的转动定律
刚体的转动定律刚体的转动定律是物理学中非常重要的一个概念，它描述了刚体在转动过程中的运动规律。
在本文中，我们将深入探讨刚体的转动定律，包括其定义、公式、应用以及实例等方面。
一、刚体的定义刚体是指一个物体的形状和大小在运动过程中不会发生变化的物体。
换句话说，刚体是指一个物体的各个部分始终保持不变的物体，例如一个不可压缩的球体、一个不可伸展的绳子等等。
二、刚体的转动定律刚体的转动定律是描述刚体在转动过程中的运动规律的公式。
它包括三个定律，分别是：1. 质点定理：在刚体的转动过程中，每个质点都按照牛顿第二定律的规律运动。
2. 角动量定理：在刚体的转动过程中，刚体的角动量始终保持不变。
3. 角加速度定理：在刚体的转动过程中，刚体的角加速度与作用在刚体上的力矩成正比。
三、刚体的转动定律公式刚体的转动定律公式包括以下公式：1. 质点定理公式：F=ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
2. 角动量定理公式：L=Iω，其中L表示刚体的角动量，I表示刚体的转动惯量，ω表示刚体的角速度。
3. 角加速度定理公式：τ=Iα，其中τ表示作用在刚体上的力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的转动定律应用刚体的转动定律在物理学中有着广泛的应用，例如在机械工程、航空航天工程、电子工程等领域都有着重要的应用。
在机械工程中，刚体的转动定律可以用来设计各种机械设备，例如机床、发动机、飞机等。
在航空航天工程中，刚体的转动定律可以用来研究飞机、卫星等物体的运动规律。
在电子工程中，刚体的转动定律可以用来设计各种电子设备，例如电机、发电机等。
五、刚体的转动定律实例下面列举几个刚体的转动定律的实例，以帮助读者更好地理解其应用。
1. 滚动小球实例：一个小球在地面上滚动，它的转动惯量为I，质量为m，半径为r。
当它受到一个水平作用力F时，它的加速度为a，角速度为ω，角加速度为α。
根据刚体的转动定律，可以得到以下公式：F=maL=Iωτ=Iα2. 旋转陀螺实例：一个陀螺在空中旋转，它的转动惯量为I，质量为m，角速度为ω，角加速度为α。
刚体的定轴转动
角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表
明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减
小，刚体作顺时针转动。
角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚
体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速
n之间的换算关系为
2n n
60 30
理论力学
刚体的运动\刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。
刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
1.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位
置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时
间t的单值连续函数，即 (t)
上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为t3，式中 的单位是rad，t的单位是s，求t＝3s时该轴的角速度和角加速度。
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自由度S 3
1
3
3
6
引言2： 刚体角速度的特征
刚体角速度指的是自转角速度，与单质点的绕轴角 速度（单质点体积为零，没有自转）完全不同。
B
●
o p ●A
质点由A点运动到B点，对o轴的
角 位 移 是
，角速度
是 是
d
dt
； 对p
，角速度是
轴的角位移 d 。可见质
dt
点的绕轴角速度依赖于转轴的选
定义刚体对z轴的转动惯量：
z
ri
riz
J z ri 2mi
对质量连续分布的i刚体，Jz r 2dV
对于刚体，Jz 是常量。动力学方 程成为
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
J z
转动惯量是转动问题中系统惯性的
量度。上式可简写成：
M J
此称刚体定轴转动的转动定律。它
mi
2
2ri2
它与平动动能
Ek
m 2
2
2
mi ri2
i
v2 对应。
J 2
2
§5.2.1 几种典型刚体的转动惯量
1.均匀圆环对于中心垂直轴
选取质量元 dm
dm dl m Rd m d
R dm
2 R
2
d
dJ R2dm R2 m d
2
J 2 R2 m d mR 2
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角时的角 加速度，角速度。
解：非保守力 不作功，杆机 械能守恒。
势能零点
0
mg
l 2
sin
1 2
J
2
J
1 3
ml
2
3g sin
l
d 3g cos
dt 2l
用守恒定理 比用转动定 律简单。
刚体动能的另一种表达式：科尼西定理
Cห้องสมุดไป่ตู้
rp R p
纯滚动条件：p点相对
速度为零。
ac
vp
vc
vc rp 0
vc R
或aC R
两者任择一。
【例】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同 的柱体，在斜面上作纯滚动，哪个滚得快？
要确定一个自由刚体的位 置，可按以下步骤进行：
1. 在 刚 体 上 任 选 一 个 点 A
（称为基点）, A点在空间
的位置由3个独立坐标强度
确定，S=3；
A●
2.过A点和刚体上任选的另一点 B, 作连线AB. 确定AB轴的空间 取向，需两个角坐标：S=2;
A●
3. 最 后 确 定 刚 体 绕 AB 轴 转 过 的 角度：S=1.
刚体在惯性系 中的动能=质 心动能+刚体 在质心系中的 动能(内动能)
势能零点
0
mg
l 2
sin
1 2
m
l 2
2
1 2
Jc
2
Jc
1 ml2 12
质心动能 刚体对质心动能
§5.4.1 刚体的无滑动滚动 —— 纯滚动
刚体作平面平行运动时，质心作平面运动，刚体则 绕过质心的垂直轴转动。在转动刚体与其他刚体的 接触线上所有点，瞬间相对速度为零。此称纯滚动。
3
刚体杆对过质心 转轴的转动定理：
MC JC 4
MC
Nt
l 2
5
JC
1 ml 2 12
6
3g
cos
2l
1
将(5)(6)(1)代入(4), 解出
Nt
1 4
mg cos
7
刚体转轴受力
N Nnnˆ Nttˆ
5 m g sinnˆ 1 m gcostˆ
第5章 刚体的定轴转动
引言
§5.1 刚体的定轴转动定律 §5.2 刚体定轴转动定律的应用 §5.3 定轴转动刚体的角动量守恒条件 §5.4 定轴转动刚体的功能原理
引言1： 刚体运动按自由度分类
所谓自由度S，就是系统运动时独立变化坐标的数目。系统 若是单个质点，则沿指定轨道运动时，S=1; 质点被约束在 一个已知曲面上运动时，S=2; 质点不受任何约束时，S=3.
分
量
与ri的 乘 积
作用于刚体的总外力矩便是：
M z ri Fi sini
i
下一步推导刚体角动量在z轴方向的分量Lz:
z
L i
mi● ri
roi
vi
riz
●o
刚体vi 上 质元ro△i mi的（速r度iz 为 ri）
ri
刚体定轴转动中的动能定理：合外力矩对刚体所 做的功，等于刚体转动动能的增量：
W
Ek
Ek末 Ek初
J 2
22 12
力矩的功： W 2M d 1
刚体的重力势能： E p mghC (hc 是质心高度)
只有保守力做功时，Ek E p 常数
用机械能守恒原理重解上题：
Mi roi Fi roi Fi roi Fiz
上式中 Fi 是 Fi 在垂直z轴方向的分量。
Fz
z
Fi
mi● ri
Fi
roi
riz
●o
Mi roi Fi roi Fi roi Fiz
以上位移分解成两步：先取B为基点，随基点平移 rBB1到达
虚线三角形位置，再绕基点B1转过 角到达末位置。
C1
B
rBB1
rCC1
C
A
也可换一种方式分解：先随基点C平移rCC1 ，再绕基点
C1转过 角，到达末位置。显然， 。
可见，当刚体连续运动时，其运动可视为随基点的平动 +绕基轴的转动。前者因基点而异，后者与基点无关。
此刚体的位置已经唯一确定。
所以，自由刚体的自由度
S=6.
A●
●B ●B
运动 类型
平动
定轴 平面平 定点 转动 行运动 转动
自由 运动
运动 特征
质心作 基点自 转轴在惯 平 面 运 基 点 固 基 点 自 由运动, 性空间内 动,过质 定,刚体 由运动, 刚体随 固 定 , 刚 心 转 轴 绕 基 点 刚 体 绕 基点平 体绕转轴 垂 直 于 自 由 转 基 点 自 动。 自由转动。质 心 运 动。 由 转 动 。
Jc J
mc
质心
d
1 2
m
R2
R
知
1 4
m
R2
其他常用的转动惯量
圆柱体：
J对称轴
1 2
m R2
薄球壳：
J 直径
2 3
m R2
球体：
J 直径
2 5
m
R2
R R R
【例1】转轴O光滑无摩擦，初态静止，求杆下摆
到 角时的角加速度，角速度和杆转轴受的力。
初始位置
运动瞬
mg
间位置
解：1.画出作用于杆的全部外力
2、关于O轴的
N
转动定理
MO JO N n
Nt
此处
Mo
l cos
2
mg
mg
JO
1 3
m l2
解出：
3g
cos
2l
1
由求：
3g cos
2l
d
dt
d dt 因α是θ的函数，此方程需变形：
d dt d
d
0
d
0
o
o
绿色刚体作平动，角速 度为零，其质心绕o轴 作圆周运动。
绿色刚体的角速度 与其质心绕o轴的 角速度相等。
月球的转动称为自转，其随质心绕地球的转动称为 公转。
演示：刚体任意位移的分解
刚体的任意位移
=刚体随基点A的平移 r +刚体绕基点的转动
B
rBB1
B1
A
C
图中绿色三角形为刚体初位置，红色三角形为末位置 。现将
A1 ●
。但此时尚未达到次日中
o t=T1 午12点。
太阳
A● o t=0
T1=86141秒≈23小时56分
t=T2时刻，地球赤道上A 点再次出现在太阳正下
方，T2称为平均太阳日， 定义为24小时。
地球自转角速度
地球公转轨道
7.310-5 弧度 / 秒
§5.1 刚体的定轴转动定律（牛顿定律）
若刚体上各质点均绕同一轴作圆周运动，而该轴固定不动，
则称此运动方式为刚体的定轴转动。此种运动满足定轴转动
的角动量定理：
dL
M
1
dt
上式中 M 为作用于刚体的外力矩，L 为刚体的角动量 ，两者的
参考点必须是同一个惯性点或刚体质心。
取转轴为z轴，刚体只能绕z轴转动，垂直于z轴方向的角动量 分量皆为零。方程(1) 只有其z向投影有意义：
择，是一个相对量。
A
刚体的自转角指的是，刚体上
B
任意两点的连线相对于自身的
t+△t时刻 转角，如图中的 , 它不依赖
于转轴的选择，是一个绝对