复合函数的导数教案
《复合函数的导数》教案
《复合函数的导数》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解复合函数的概念，记住复合函数的求导公式，以及会利用基本初等函数的求导公式求复合函数的导数。
【过程与方法】
通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备简单的形如的复合函数的导数的能力。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。
二、教学重难点
【重点】
会分解简单的复合函数及会求导。
【难点】
正确分解复合函数的复合过程。
三、教学过程
(五)小结作业
小结：通过这节课的学习，求复合函数的导数，关键在于搞清楚
复合函数的结构，明确复合次数，由外向内层逐层求导，直到关
于自变量求导，同时注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果。
作业：想一想，生活中还有哪些量是成正比例的量?
四、板书设计
五、教学反思。
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
人教版高一数学教案-复合函数的导数
§1.2.3複合函數的導數
【學情分析】：
在學習了用導數定義這種方法計算常見函數的導數,而且已經熟悉了導數加減運算法則後.本節將繼續介紹複合函數的求導方法.
【教學目標】：
(1)理解掌握複合函數的求導法則.
(2)能夠結合已學過的法則、公式，進行一些複合函數的求導
(3)培養學生善於觀察事物，善於發現規律，認識規律，掌握規律，利用規律．
【教學重點】：
簡單複合函數的求導法則，也是由導數的定義匯出的，要掌握複合函數的求導法則，須在理解複合過程的基礎上熟記基本導數公式，從而會求簡單初等函數的導數並靈活應用.
【教學難點】：
複合函數的求導法則的導入,複合函數的結構分析,可多配例題,讓學生對求導法則有一個直觀的瞭解.
【教學過程設計】：
32(32)31812u x x =-=-，x u u y ''⋅
對於一般的複合函數，結論也成立，以y ′x 時，就可以轉化為求y u ′和的乘積，關鍵是找中間變數，隨著中間變數的不同，難易程度不同.。
高三数学复习教案：简单复合函数的导数
高三数学复习教案：简单复合函数的导数教学目标：学生能够理解和计算简单复合函数的导数。
教学重点：简单复合函数的导数计算。
教学难点：应用链式法则计算复合函数的导数。
教学准备：教材、黑板、白板笔。
教学步骤：Step 1：复习导数的定义和基本计算法则。
复习导数的定义和基本计算法则，例如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
Step 2：引入复合函数的概念。
复习函数和映射的概念，并引入复合函数的概念。
举一个简单的例子，如：设函数f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 f(g(x)) 和 g(f(x))。
Step 3：简单复合函数的导数计算。
解释简单复合函数的导数计算方法，即通过链式法则计算复合函数的导数。
例如，设函数 f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 (f(g(x)))' 和(g(f(x)))'。
讲解计算过程，包括先求出 f'(x) 和 g'(x)，然后代入复合函数的内函数的导数和外函数的导数。
Step 4：课堂练习。
让学生做一些课堂练习题，如计算简单复合函数的导数。
示例题目：1. 设函数 f(x) = 2x^3 + 3x，函数 g(x) = x^2 + 1，计算 (f(g(x)))'。
2. 设函数 f(x) = e^x，函数 g(x) = ln(x)，计算 (g(f(x)))'。
3. 设函数 f(x) = sin(x)，函数 g(x) = x^2，计算 (f(g(x)))'。
Step 5：课堂讨论和总结。
让学生分享自己的解题思路和结果，进行课堂讨论和总结。
总结复合函数的导数计算方法，强调链式法则的应用。
Step 6：作业布置。
布置一些作业题，要求学生练习计算简单复合函数的导数。
参考答案如下：1. (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) = (6x^2 + 3) * (2x) = 12x^3 + 6x。
《简单复合函数的导数》教学设计
3
所以
3
所以曲线 y 3 x 1 在点(2/3，1)处的切线斜率
k y
x
2
3
1
所以曲线在点(2/3，1)处的切线方程为 y-1=1×(x-2)即 3x 3 y
1 0
例 4.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的
【设计意图】：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数
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学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
二、新知探究
探究 1： y ln( 2 x 1) 函数的结构特点.
1
若设 u = 2x − 1 (x > ) , 则 y = lnu 从而 y = ln(2x − 1) 可以看成是由 y = lnu 和 u
2.(1)-2
1
3.a=-4
2 ax
3
2
在点（0，1）处与直线 2x-y+1=0 垂直，求 a 的值
( 2) 6(1 2 x ) 2
5
(2）7
(3)
2
( 2 x 1) ln 2
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2.运用复合函数的导数运算法则求函数的导数，要关注中间变量的作用.
（1）运算过程中依靠中间变量识别构成复合函数的基本初等函数的结构.
（2）运算结果应表示为原来自变量的函数.
【设计意图】：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、作业布置
基础训练：1.求下列函数的导数：
(1) y
2
2.掌握复合函数的求导法则，能够利用求导法则求复合函数 的导数，提升数学运算的素养.
教学内容
大学复合函数求导公式教案
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的方法。
2. 使学生能够熟练运用复合函数求导公式，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
教学难点：1. 复合函数求导公式的推导过程。
2. 复合函数求导公式的应用。
教学准备：1. 复习导数的基本概念。
2. 复习函数的复合。
3. 准备相关例题和习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的基本概念，如导数的定义、导数的性质等。
2. 引入复合函数的概念，让学生理解复合函数的含义。
二、新课讲解1. 复合函数的概念：- 定义：由两个或两个以上的函数复合而成的函数称为复合函数。
- 举例：y = f(u)，u = g(x)，则y = f(g(x))为复合函数。
2. 复合函数求导公式：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
- 举例：求y = ln(x^2)的导数。
解：令u = x^2，则y = ln(u)，根据复合函数求导公式，有y' = (1/u) 2x = 2x/x^2 = 2/x。
三、例题讲解1. 例题1：求y = sin(2x)的导数。
解：令u = 2x，则y = sin(u)，根据复合函数求导公式，有y' = cos(u) 2 = 2cos(2x)。
2. 例题2：求y = e^(3x^2)的导数。
解：令u = 3x^2，则y = e^u，根据复合函数求导公式，有y' = e^u 6x = 6xe^(3x^2)。
四、课堂小结1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的概念。
2. 回顾复合函数求导公式。
二、新课讲解1. 复合函数求导公式的推导过程：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
【教案】简单复合函数的导数教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用《5.2.3简单复合函数的导数》教学设计 1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．教学重点：复合函数的概念及求导法则教学难点：简单复合函数的导数PPT 课件． 【新课导入】 问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．）本节课主要学习简单复合函数的导数；（函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：导数的四则运算法则是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='.设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标问题3：如何求函数y ＝ln （2x -1）的导数呢？设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：复合函数的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) ．【说一说】（1）函数y ＝ln （2x -1）是由哪些函数复合而成的？（2）函数y ＝sin2x 是由哪些函数复合而成的？师生活动：学生回答．预设的答案：（1）函数y ＝ln （2x -1）是由y ＝ln u 和u ＝2x -1复合而成．（2）函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成．问题5：如何求函数y ＝sin2x 的导数呢？师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．预设的答案：(sin 2)(2sin cos )2(sin cos )y x x x x x ''''===2[(sin )cos sin (cos )]x x x x ''=+2[cos cos sin (sin )]2cos2x x x x x =⋅+-=追问：函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成的，如果以x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对u 的导数，x u '表示u 对x 的导数，那么x y '与u y '及x u '有什么关系呢？师生活动：学生先求出u y '和x u '然后找关系．教师完善、讲解．预设的答案：(sin )cos u y u u ''==，(2)2x u x ''==，又x y '2cos2x =，所以x u x y y u '''=⋅．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin(πx )的复合过程是y ＝sin u ，u ＝πx ． ( )(2)f (x )＝ln(3x －1)则f ′(x )＝1()31f x x '=-． ( ) (3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( )师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：(1)√ (2) × (3) ×【巩固练习】 例1求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3；（2）y =e -0.05x +1；(3) y =ln(2x -1)．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）函数y =（3x +5）3可以看作函数y =u 3和u =3x +5的复合函数，根据复合函数求导法则，有322()(35)339(35)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+=⋅=+；（2）函数y =e -0.05x +1可以看作函数y =e u 和u =-0.05x +1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有0.051()(0.051)(0.05)0.05u u x x u x y y u e x e e -+'''''=⋅=⋅-+=⋅-=-；（3）函数y =ln(2x -1)可以看成是由y =ln u 和u =2x -1的复合函数，根据复合函数求导法则，有11(ln )(21)221x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅-=⋅=-． 设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm)关于时间t (单位:s)的函数满足关系式218sin()32y t ππ=- .求函数在t =3s 时的导数，并解释它的实际意义． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．预设的答案：函数218sin()32y t ππ=-可以看作函数y =18sin u 和232u t ππ=-的复合函数，根据复合函数的求导法则，有222(18sin )()18cos 12cos()32332t u t y y u u t u t ππππππ'''''=⋅=⋅-=⋅=-， 当t =3时，2312cos(3)12cos 0322t y πππππ'=⨯-==． 它表示当t =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s ．设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.练习：教科书P 81练习1、2逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1． 板书设计：5. 2.3简单复合函数的导数新知探究巩固练习 知识点1：复合函数的概念例1 知识点2：复合函数的求导法则例22．总结概括：简单复合函数的求导法则师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81习题5.22、5教科书P 81 练习3 【目标检测设计】1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1设计意图：进一步巩固复合函数的概念．2．函数y ＝x 2 sin 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x sin 2x －x 2 cos 2xB ．y ′＝2x sin 2x －2x 2 cos 2xC ．y ′＝x 2 sin 2x －2x cos 2xD ．y ′＝2x sin 2x ＋2x 2 cos 2x设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．3．已知f (x )＝ln(3x －2021)，则f ′(1)＝________.设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．4．已知f (x )＝x e －x ，则f (x )在x ＝2处的切线斜率是________． 设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义． 参考答案：1．A2．D y ′＝(x 2)′sin 2x ＋x 2(sin 2x )′＝2x sin 2x ＋x 2(cos 2x )•(2x )′＝2x sin 2x +2x 2cos 2x .3．32018-∵13()33202132021f x x x '=⋅=--，∴3(1)2018f '=-. 4．21e -∵f (x )＝x e －x ，∴f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，∴21(2)f e '=-. 根据导数的几何意义知f (x )在x ＝2处的切线斜率为k ＝21e -.。
复合函数求导教案大学生
教学对象：大学生教学目标：1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本方法。
2. 能够运用链式法则和乘积法则求复合函数的导数。
3. 通过实例分析，提高学生运用复合函数求导解决实际问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的定义和链式法则。
2. 乘积法则在复合函数求导中的应用。
教学难点：1. 复合函数求导过程中，正确运用链式法则和乘积法则。
2. 复合函数求导的复杂情况分析。
教学准备：1. 教师准备PPT，包括复合函数定义、链式法则、乘积法则等知识点。
2. 学生提前预习教材，了解复合函数的基本概念。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的定义和基本求导法则。
2. 提出问题：如何求复合函数的导数？二、新课讲解1. 复合函数的定义：函数y=f(u)，其中u=g(x)称为复合函数。
2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
3. 乘积法则：设y=f(x) g(x)，则y对x的导数为y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。
4. 复合函数求导实例分析：- 例1：求y=cos(2x)的导数。
- 例2：求y=sin(x^2)的导数。
- 例3：求y=e^sinx的导数。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求y=ln(3x)的导数。
- 求y=tan(x^2)的导数。
- 求y=e^(1/x)的导数。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾复合函数求导的基本方法：链式法则和乘积法则。
2. 强调复合函数求导的关键在于正确运用法则。
五、作业布置1. 完成教材课后习题，巩固所学知识。
2. 分析以下问题，并尝试用所学方法求解：- 求y=cos(2sinx)的导数。
- 求y=e^(x^2)的导数。
教学反思：本节课通过讲解复合函数求导的基本方法，使学生掌握了链式法则和乘积法则在复合函数求导中的应用。
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§1.2.3复合函数的导数
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．
【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.
【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.
令y=uv ，u=2x 2－3，v=21x +, 令v=ω，ω=1+x 2
x x v v ωω'''=⋅ =()ωω' (1+x 2
) x ′
=22211122)2(21x
x x x x +=+=-ω ∴y x ′=(uv) x ′=u x ′v+uv x ′ =(2x 2－3) x ′·21x ++(2x 2－3)·2
1x
x +
=4x 2
32
32161321x
x x x
x x x ++=
+-++
即y x ′=2
316x
x x ++.。