5.3 圆周角(1)(优质竞赛课件)
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5.3圆周角(1)课件
数学认识
定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
基础训练 例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC
与∠BDC的大小，并说明理由。
A F D
E O C B
拓展延伸 如图，OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
小结与反思
1.概念的引入和定理的发现：
M O M
O
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
小结与反思 2、定理的证明思路： 我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分 成三类，先解决一类特殊问题，再把其他两类 转化成特殊问题。
思考与探究
如图，你能判断出∠ ＡＣＢ ∠Ｄ的大小关 系吗？你借助的依据 是什么？
思考与探究
如图，圆上有两点Ｂ Ｃ，它们所对的圆心 角是： ；你能 再图中画出 所对 的圆周角吗？
思考与探究
பைடு நூலகம்
你所画的圆周角的和圆心有什么样的位置关系？ 你能和同伴将所画圆周角与圆心关系分类吗？
你能探究出 试看.
所对的圆心角和圆周角的关系吗？试
初中数学九年级上册 苏科版
5.3 圆周角（1）
观察与思考
请你观察并思考： 你能将图中∠C， ∠ D， ∠Ｅ， ∠Ｆ， ∠ＡＯＢ 进行分类吗？你分类的标 准是什么？
观察与思考 定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
观察与思考
2、图中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个
圆周角优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
B
A
E DC
第13页
练习： 如图，P是△ABC外接圆上一点
∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
第14页
例3: 船在航行过程中，船长经常经过测定 角度来确定是否会碰到暗礁。如图A,B表示 灯塔，暗礁分布在经过A,B两点一个圆形区 域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。
Ｄ
ＡＯ
Ｂ
Ｃ
第10页
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E大小有什么关系?
为何?
∠B = ∠D= ∠E
D
B E
●O
A
C
图1
第11页
问题解答
1、圆周角定理推论2：
用于找相等角
同圆或等圆中，同弧或等弧所正确圆周角相等；
同圆或等圆中，相等圆周角所正确弧也相等。
用于找相 等弧
第12页
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒BD=⌒DE
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
A
B
第17页
一个圆形人工湖,弦AB是湖上一座桥,已知桥
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
D
A
B
第18页
小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论用途你都 知道了吗？
第19页
P
弓形所含圆周角 ∠C=50°,问船在航行 C 时怎样才能确保不进 入暗礁区?
E O
A
A
E DC
第13页
练习： 如图，P是△ABC外接圆上一点
∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
第14页
例3: 船在航行过程中，船长经常经过测定 角度来确定是否会碰到暗礁。如图A,B表示 灯塔，暗礁分布在经过A,B两点一个圆形区 域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。
Ｄ
ＡＯ
Ｂ
Ｃ
第10页
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E大小有什么关系?
为何?
∠B = ∠D= ∠E
D
B E
●O
A
C
图1
第11页
问题解答
1、圆周角定理推论2：
用于找相等角
同圆或等圆中，同弧或等弧所正确圆周角相等；
同圆或等圆中，相等圆周角所正确弧也相等。
用于找相 等弧
第12页
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒BD=⌒DE
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
A
B
第17页
一个圆形人工湖,弦AB是湖上一座桥,已知桥
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
D
A
B
第18页
小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论用途你都 知道了吗？
第19页
P
弓形所含圆周角 ∠C=50°,问船在航行 C 时怎样才能确保不进 入暗礁区?
E O
A
5.3圆周角(一) 课件 (苏科版九年级上)
圆心角的顶点发生变化时,我们得到几种情况:
A A A
O
B C B
.
O C B
.
O
C
.
圆内角
圆外角
圆周角
圆周角定义: 顶点在圆上,并且
两边都和圆相交的角叫圆周角.
A
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
B
O C
.
尝 试
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
A
B
C
D
2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
1、试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7 ∠1=∠4
A
1
8 7
6
C
2 3
B
∠3=∠6
4
5
∠5=∠8
做一做，成功在向你招手！
2、求图中角的度数
A
140°
m
B
C
35º
1 70°
80°
2
O
30° 120°
130°
O
3
O
120°
35°
60°
典型例题
例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与 ∠BDC的大小，并说明理由。
B A
C C A
图 3
D
图 4 B
3、写出图4中的圆周角：________________________
同弧所对的圆周角及圆心 角的关系：
同一条弧所对的圆周角的 度数相等，并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆 心角的一半。
我们的猜想是否正确?
圆周角 优质课比赛一等奖-精品PPT课件
已知：O中BC所对的圆周角是 BAC ，圆心角是BOC。
求证:BAC 12BOC
证明：分三种情况讨论。
⑴ 如图1中，圆心O在BAC 的一条边上。
O
∵OA=OC∴C=BAC 又BOC = BAC + C
∴BAC = 12BOC ⑵ 如图2中，圆心O在BAC 的内部。
B A
作直径AD，利用⑴的结果，有
（BAC= 36º， AOC= 108 º）
A
O
图2
?
140º B
C
C
O
B 图3
O D
B
A 图1
C
图2 C
A 图3 C
猜定想理:: 圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半。
A
将图中的点A沿BAC移动，可
A’
得到弧BC所对的多个圆周角，
如A’、 O
B
C
A
A’
将图中的点A沿BAC移动，可得 到弧BC所对的多个圆周角，如
A” A’、 A”······
O
而BC所对的圆心角只有BOC，
O
为C什么？
C
C不是，因为它有一边不与圆相交。
B
CC
定义:顶点在圆上,并且两边都 和圆相交的角叫做圆周角。
A
圆周角BAC所对的弧是哪一条？
圆心角BOC所对的弧是哪一条？ O
它们都对着BC
B
C
定义:顶点在圆上,并且两边都 和圆相交的角叫做圆周角。
猜对既那想弧然么:上它圆B们的周A之圆C角与间心的是角B度否O度数C存数都等在对的于着着一联它B半系所C，。？
达标训练
达标训练：
C
1 如图1在O中AB和CD是O的互 M
5.3 圆周角(1)课件(苏科版九上)
你能发现什么规律？
例2、如图8，OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
练 习
1、如图6，已知∠ACB = 20º ，则∠AOB = _____， ∠OAB ＝ .
Hale Waihona Puke OC图 6
A B
2、如图7，已知圆心角∠AOB=1000，则∠ACB = _______。
∵∠AOC是△ABO的外角，
A
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
C
●
O
即
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
B
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
第二种情况：如果圆心不在圆周 角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内 部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC 的大小关系会怎样?
初中数学九年级上册 （苏科版）
5.3 圆周角（一）
定 义
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的？
定义：顶点在圆心的角叫圆心角。
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
C
O
B A
尝 试
1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）
A
B
C
D
2、图3中有几个圆周角？（ ） （A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个。
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
总 结
1、概念的引入和定理的发现：
O
M
O
M
定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半。
江苏省连云港市新海实验中学苏教版2014届九年级数学上5.3圆周角(1)优课比赛课件(20张ppt)
A A3 3 A1 B B35 1 O O C C35 1 A5
同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半．
图为轮滑爱好者均匀组成的圆，点A、B、M、 N在⊙O上，摄影师在圆上点A处刚好能拍到10位 轮滑爱好者 ，且此时镜头视角为30°．
（1）∠MBN= °， 推理的依据是 ； （2）∠MON= °， 推理的依据是 ； （3）猜想组成这个圆的轮滑 爱好者有多少人？
找找新朋友 ——圆周角
．
①
．
②
．
③
．
④
．
⑤
A3
A1 O
A5
B
C
（1）请在画图纸的图①中画出AB所对的圆 心角和它所对的圆周角 ； （2）度量你所画的圆心角和圆周角的度数， 再与小组同学交流一下，有何发现？ （1）请在图②的圆上任意确定一条弧，画出 这条弧所对的圆心角和一个圆周角； （2）度量你所画的圆心角和圆周角的度数, 并在图上标出它们的度数.
C
E A O N F
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
A
D O N
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
E A D O N
M
(5)当摄影师在A处照完相后又想到D处再给刚才 的10位轮滑爱好者照相，此时镜头的视角又该 怎么发生变化呢？为什么？
F 后又想到圆上 点C处再给圆上其余轮滑爱好者照相，此时镜头 的视角该为多少度？为什么？
A 80° O B
D
C
(7) 图为轮滑爱好者均匀组成的圆，点A、B、C、 D在⊙O上，摄影师在圆上刚好能拍到BC上的10 位轮滑爱好者，且此时镜头视角为30°,摄影师在 E处又给刚才的10个同学拍照，刚好镜头视角还 为30°,那么AD上站着多少轮滑爱好者?
全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《圆周角》公开课课件
又∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形D源自∴OB=AB=4，∴BD=8．
∴⊙O的直径为8．
课教堂学练目习
标
1．判断：
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （× ）
（3）90°的角所对的弦是直径.
（ ×）
（4）同弦所对的圆周角相等.
（× ）
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两
若A⌒C是直半径圆， ∠ADC=_ 90°， ∠ABC=__9_0_°_.
推论3： 半圆（或直径） 所对的圆周角是直角. 反之，直角所对的弦是直径.
二、学以致用
如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.若∠ADC的平分 线交⊙O于B, 求DC 、AB、BC的长．
解：∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中，
下面，我们来用逻辑证明一下上述发现的结论。
猜想与验证： 如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC 存在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
由于点A的位置不同，会有三种情况：
①圆心O在 ∠BAC的一边上
②圆心O在 ∠BAC的内部
③圆心O在 ∠BAC的外部
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
A2
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
A1
A3
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、
BD为四边形ABCD的对角线.
⌒⌒
若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
⌒⌒
连接OA、OB、OD，∵ AB=AD
∴∠AOB=∠AOD ∴∠1=∠2
推论2： 等弧所对的圆周角相等
3.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、 BD为四边形ABCD的对角线.
江苏省昆山市葛江中学苏教版九年级数学上5.3圆周角(1)优课比赛课件
圆心O与∠BAC的位置关系
圆心O在 ∠BAC的 一边上
圆心O在 ∠BAC的 内部
圆心O在 ∠BAC的 外部
1 BAC BOC 2
如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分 别是 所对的圆心角、圆周角，求出 图中∠BAC的度数.
O
B
45°
C
O
60°
O B
1 n 2
90°
B
ห้องสมุดไป่ตู้
120° C
D
D
1 1 (BOD DOC ) BOC 2 2
圆心O在∠BAC的外部
BAC DAC DAB 1 1 (DOC DOB ) BOC O 2 2
A
1 DAC DOC 2 A
O O
C B
D
1 DAB DOB 2 A
O
C
D
D
B
=
=
同弧所对的圆周角的度数， 都等于该弧所对的圆心角的 一半。
圆周角
昆山市葛江中学 徐建英
把圆心角∠POQ的顶点移到点A、B1、 B2、C处，形成了不同于圆心角的一些 角，图中∠B1、∠B2的顶点位置有什么 共同特征？
P Q
O B2 B1
C
A
圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角。
特征： ⑴顶点在圆上 ⑵角的两边和圆相交
B A
O C
练习:判断下图中的角是否是圆周角。
=
思考：若两条弧相等，则它们所对的圆 心角有什么关系？所对的圆周角呢？
Q P
C O B A
D
圆周角定理:
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
观察表格：你有什么发现？
同弧所对的圆周角相等,都等于该 弧所对的圆心角的一半
？
继续探索
若CD=AB，
则∠E与∠F相等吗？
新知总结
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于 该弧所对的圆心角的一半。
新知应用
1、如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、 C所在直线的同侧，∠BAC=35°
D F E O C
A
B
联系生活
开明中学初三年级举行足球对抗赛，甲、乙、 丙三名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲 带球冲到A点时，乙已经冲到B点，丙冲到了C点 ，此时甲是直接射门好，还是迅速传球，若传 球，传给谁呢？ （从数学的角度谈谈你的看法）
M N
O B A C
感谢各位！
（1）∠BDC=______ °,理由是________ 、
（2）∠BOC=______ °,理由是________
B
A O D
O C
B C
A
D
2、如图，AB、AC是⊙O的弦，延长CA到点D， 使AD=AB，若∠D=20°，则∠BOC=_______。
典例探究
如图：点A、B、D在圆上，点F在圆外，AF 、BF交⊙O于点C、E。比较∠ AFB与∠ ADB 的大小，并说明理由
复习提问
1、什么是圆心角？
A
O
B
新知探索
观察： 图中∠D， ∠F， ∠Fra bibliotek是圆心角吗？新知总结
圆周角定义：
顶点在圆上，两边都和圆相交的角
辨一辨
1、判断下列各图中的角是否是圆周角，并说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
继续探索
操作：
在⊙O中，任取两点B、C, 1、画一画弧BC所对的圆周 角与圆心角； 2、量一量你所画圆周角、圆 心角的度数；