二阶电路的零输入响应
二阶电路经典篇
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u + u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc = E + A e 1
uc = E + A e 1
p1t
−δ t
+ A2e
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
2
U0 di = dt t =0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP + 1 = 0
R R 2 1 − R ± R2 − 4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
uc
U0
设|P2|>|P1|
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
二阶电路
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
电感电压在随时间变化的过程中有一个极小值，令 duL 0 dt
求出极小值出现的时刻
t
2
ln( p2 p1
/ p1 ) p2
2t m
在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。 t tm 时电感吸收能量，建立磁场；t tm 时电感释放能量，磁 场逐渐减弱。电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变 成热能。
L
di dt
U 0et
(1 t)
在整个过渡过程中，uc ,i,uL是单调衰减的函数，电路的放
电过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之
间，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过
阻尼情况相似。
动画演示：三种阻尼情况
华中科技大学出版社
11
湖北工业大学
例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。 求t≥0换路后电容的电压uc和i。已知：
dt
华中科技大学出版社
14
9.2 零状态响应
湖北工业大学
在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感
的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t≥0时的 uc ,i,uL 。由于电路的初始状态为零，所以此时的响应称为二阶 电路的零状态响应。
回路的KVL方程为 uc uL uR uS
iL (0 ) C
0
A1
p2
p2 p1
,
A2
p1 p1 p2
二阶电路的零状态响应
二阶电路的零状态响应
电路的响应指的是电路在不同输入下的输出情况，分为零状态响
应和零输入响应。
所谓零状态响应，指的是电路从某一时刻开始，经过一段时间后
的输出情况，而这段时间内电路的电容和电感等元件是没有存储能量的。
这种响应与电路的初始状态有关，在输入信号改变前电路中的电
势和电流已经存在了一些初值，这些初值会对电路的响应产生影响。
对于二阶电路而言，其响应可以用二阶微分方程来表示。
二阶微
分方程的通解形式为：
y(t) = C1 e^(αt) + C2 e^(βt)
其中，C1和C2为待定常数，α和β分别为根号下b^2-4ac得到
的两个实数或者共轭复数。
根据初值条件和输入信号，可以解得C1和
C2的值，然后带入通解中即可得到响应的具体表达式。
二阶电路的响应除了受到初值的影响外，还受到电路的频率特性
的影响。
根据电路的传输函数，可以得到电路的幅频特性和相频特性。
在实际应用中，需要调节电路的参数以满足特定的频率响应要求。
总之，二阶电路的零状态响应是电路在一定的初值状态下对输入
信号的响应，需要通过求解微分方程和考虑频率特性，来得到电路的
具体响应情况。
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应引言在电路中，当我们施加输入信号后，电路会做出相应的响应。
这种响应可以分为零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路的输出响应。
本文将讨论二阶电路的零输入响应，并对其进行详细探究。
二阶电路简介二阶电路是指由两个存储元件（电感或电容）和两个能量转换元件（电压源或电流源）组成的电路。
它具有两个自由电荷或自由电压变量。
二阶电路常用于滤波器、振荡器等各种实际电路中。
二阶电路可以分为两种类型：二阶低通电路和二阶高通电路。
二阶低通电路是指具有低通特性的二阶滤波电路，可以通过滤除高频信号来实现信号的平滑传输。
而二阶高通电路则是指具有高通特性的二阶滤波电路，可以滤除低频信号，只传递高频信号。
零输入响应的定义零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路的输出响应。
在二阶电路中，输入信号可以分为零输入和零状态两部分。
零输入指输入信号为零时的响应，而零状态指将输入信号移除后电路中的存储能量仍然存在时的响应。
零输入响应的计算方法二阶电路的零输入响应可以通过以下步骤计算得到：1.确定电路的初始条件：初始条件是指在没有外部输入信号时，电路中存储能量的初始值，包括电感中的电流和电容中的电压。
2.将输入信号设为零：将所有输入信号设为零，包括电压源和电流源的归零。
3.解析电路方程：使用电路分析方法，如基尔霍夫定律或节点法，得到电路的微分方程。
4.解微分方程：使用适当的方法，如常系数线性非齐次微分方程的解法，求解出电路的响应函数。
5.利用初始条件求解常数：将初始条件代入响应函数，得到电路的特定解。
6.计算零输入响应：将特定解与自由解相加，得到电路的零输入响应。
零输入响应的性质二阶电路的零输入响应具有以下几个重要的性质：1.具有指数衰减特性：二阶电路的零输入响应通常呈现出指数衰减的特性，即在初始时刻响应较大，随着时间的推移逐渐趋于零。
2.零输入响应是自由响应的一部分：零输入响应是在没有外部输入信号的情况下，电路中存储能量释放的结果，因此它是自由响应的一部分。
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
二阶电路零状态响应的特点
二阶电路零状态响应的特点
二阶电路的零状态响应的特点如下：
1. 振荡：如果二阶电路的初始条件为零，并且输入信号是突然施加的跳变信号，那么其零状态响应将是一个振荡信号。
振荡的频率和阻尼系数有关，它的振幅可能随着时间的推移而消失。
2. 瞬态响应：二阶电路的零状态响应包括一个瞬态响应和一个稳态响应。
瞬态响应是指电路在一段时间内响应输入信号后的短暂变化。
瞬态响应的形状取决于电路的初始状态和输入信号的形状。
3. 超调：在二阶电路的零状态响应中，可能会出现过度响应现象，即响应的幅度超过稳态响应的幅度。
这种过度响应叫做超调。
超调现象可能出现在输入信号是一个跳变或脉冲信号的情况下。
4. 阻尼：阻尼系数决定了二阶电路的响应的衰减速率。
如果电路的阻尼系数较小，响应会延迟一段时间才能衰减。
5. 稳态响应：稳态响应是指电路在响应输入信号后，达到一种平稳的状态，没有瞬态响应的影响。
稳态响应取决于电路的特性和输入信号的频率和幅度。
L25-2 二阶电路的零输入响应-过阻尼和欠阻尼
二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
uC (t ) et ( A1 cos ωd t A2sinωd t )
uC(t)
i
+
uC_
i(t)
S (t =0) C
+ uL-
L
-
R uR
+
uC (0+ ) = A1
d uC dt
t 0
i(0+ ) C
A1 + ωd A2
uC_ C + uL-
L
R s1,2 = - 2L
( R )2 1 2L LC
jd
无阻尼，其响应为等幅振荡
主讲老师 : 唐 莺
第二十五讲 动态电路的暂态分析—— 二阶电路的零输入响应(二)
二阶电路的零输入响应（二）
例1
S (t =0)
+ U_ 1V 4Ω
R
+ 1F
uC_ C
L 1H
s2 + R s + 1 = 0 L LC
s1 2 + 3 = -0.268
s2 2 3 -3.732
s1,2
=
K 2e
jωd )t
et ( K1e jωd t K2e jωd t ) et [(K1 K2 )cos ωd t j(K1 K2 )sinωd t]
cos ωd t jsinωd t cos ωd t jsinωd t
二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
R L
d uC dt
1 LC
uC
0
d2 uC dt2
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2
二阶电路的零输入响应
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
•提出问题
列微分方程
令
def def
•解决问题
•结果分析 解微分方程
R α 2L
ω0
1 LC
结果
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
d 0 cos
0 sin
L ), C
d arccos 0
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
I0 u( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 s1 A1 s2 A2 C A1 A2 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
联立求解得
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
S1
(t<0)
(original state)
二阶电路的零输入响应
Us +
－
i(t) S1
(t>0)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
开关在t=0时换路， S1断开、S2 闭合。t>0, RLC串联形成一个 回路，电压u、电流i即为零输 入响应(zero-input response)。
R
L C
S2 + u(t)
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
L ), C
联立求解得
A1 0 I0 A2 C
二阶电路的零输入响应
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
I 0 t t u( t ) e C du i(t ) C (1 t ) I 0e t dt
Us
二阶电路的零输入响应
+
－
i(t) S1
(t>0)
讨论：电路稳定状态时
•提出问题
•解决问题 •结果分析
1、电容电流为零，该支 路相当于开路；
2、电感电压为零，该支 路相当于短路。 u (0_)= 0
R
L C
S2 + u(t)
－
Us +
－
i(0-)=I0
i (0_)=US/R=I0
原始状态 R
返回
•提出问题
列微分方程
•解决问题
•结果分析
d 2u du LC 2 + RC +u=0 dt dt
u(0 ) u(0 ) 0
解微分方程
u (0 )
结果
i (0 ) I 0 C C
d 2u du LC 2 + RC +u=0 dt dt
二阶电路的零输入响应
解：特征方程 (characteristic equation)
2 s2 α (ω0 α 2 ) α jωd
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
L 3.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2为一对共轭复根
二阶电路的零输入响应
§4-5 二阶电路的零输入响应
本节主要讨论RLC串联电路零输入 响应的求解方法及其性质。
提出问题 解决问题 结果分析
二阶电路的零输入响应
1.换路前，在t<0时，开关S1 闭合、S2断开，电路已处于 稳态(电容未充电)； •提出问题
•解决问题 •结果分析
2.开关在t=0时动作；
角频率 d称为阻尼振荡角频 率(angular frequency of the damped oscillation)
i(t)
二阶电路的零输入响应
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
其中，
d 02 2
因此，d、0、三者之间的关系， 可用直角三角形表示。
二阶电路的零输入响应
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
I
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
振荡放电（欠阻尼放电）
L ), C
II
L ), C
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2e s2 t ) dt ( s1 s2 )
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
二阶电路的零输入响应
u( t )
I0
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2 t )
I 0 t e sin(d t ) C d
du( t ) I 0 t i(t ) C e sin d t d cos d t dt d I 0 0
d
e t cos( d t )
二阶电路的零输入响应
I 0 t u (t ) e sin(d t ) C d i (t ) C du I 00 t e cos(d t ) dt d
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根 L ), C
L ), C
初始条件为
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
u(0 ) u(0 ) 0
i (0 ) I 0 u (0 ) C C
u(0 ) u(0 ) 0
L ), C
u (0 )
i (0 ) I 0 C C
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 αA1 A2 C A1 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
u( t ) ( A1 A2 t )e αt
初始条件为
L 2.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2实重根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
非振荡放电（临界阻尼放电）
L 2.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2实重根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
1.t 0 ,
u、i随时间变化的曲线 与过阻尼情况相同
tet 0
2.t , tet 0
•解决问题
•结果分析 解微分方程
结果
4.R 0, s1、s2为一对共轭虚根
二阶电路的零输入响应
•提出问题 •解决问题
列微分方程
•结果分析
解微分方程
结果
二阶电路的零输入响应
当s1s2时，微分方程的通解为
u( t ) A1e s1t A2e s2t
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
u、I随时间变化的曲线 I II III IV
III
二阶电路的零输入响应
I 0 t u( t ) e sin( d t ) C d du I 0 0 t i(t ) C e cos( d t ) dt d
α称为衰减常数(attenuation constant) ，或阻尼常数 (damping constant)
L ), C
3.t 0, tet 0
I II III
s1s2
二阶电路的零输入响应
I0 u( t ) (e s1t e s2t ) C ( s1 s2 )
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2e s2 t ) dt ( s1 s2 ) 此时， 2 s1 α (ω0 α 2 ) α jωd
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2 e s2 t ) 2 dt 2 α 2 ω0
1.t 0, e s1t e s2t 1
－
二阶电路的零输入响应
列微分方程 •提出问题
•解决问题
•结果分析 解微分方程
结果
二阶电路的零输入响应
di KVL : Ri + L + u = 0 dt du VCR : i = C dt
输入输出方程 (input-output equation) 初始条件 (initial condition )
ln s1 2
s
二阶电路的零输入响应
u( t )
I0
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2 t )