2019金版新学案-高三一轮北师大版理科数学课件+课时作业：选修42第1课时二阶矩阵与变换
《金版新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件 理 北师大
x＋1≥0， 应有2x－－1x＞≠00，，
2－x≠1.
即xx≠≥1－，1， x＜2，
有－x≠11≤. x＜2，
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1或1＜x＜2}．
• (2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)， • ∴1＜2x＋1＜3， • 即f(x)的定义域是(1,3)．
【变式训练】 1.(1)求函数f(x)＝lgx92－－x22x的定义域； (2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．
．
知识点
考纲下载
幂函数、 函数与 方程
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的图象， 了解它们的变化情况．
3.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
4.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似 解．
函数的 图象
• 求函数解析式的类型与求法
• (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
• (2)已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取 值范围．
(3)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其
他未知量，如f(－x)、f
1 x
等，要根据已知等式再构造其他等式组成方
x2，x＞0， 3.已知函数f(x)＝1，x＝0，
－1x，x＜0.
(1)画出函数的图象； (2)求f(1)，f(－1)，f[f(－1)]的值．
解析： (1)分别作出f(x)在x＞0，x＝0，x＜0段上的图象，如图所 示，作法略．
• 【思考探究】 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
《金版新学案》高三一轮(北师大版)理科数学(+课时作业)：选修4-2第2课时逆矩阵、特征值与特征向省
故 M＝46
2 4.
(2)由(1)知，矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ
＋16，故其另一个特征值为 λ＝2.
设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2＝xy， 则 Me2＝46xx＋＋42yy＝2xy，
工具
选修4-2 矩阵与变换
所以64xx＋ ＋24yy＝ ＝22xy， ， 所以矩阵 M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是 2x＋y＝0.
解析： 已知方程组可以写为2 －5x＝4， 3 1y 6
令 M＝23
－5，其行列式为2
1
3
－51＝2×1－3×(5)＝17≠0，
所以 M－1＝－111377
115277，所以xy＝M－164＝20，
பைடு நூலகம்
x＝2， 即方程组的解为y＝0.
工具
选修4-2 矩阵与变换
关于特征值问题的一般解法如下：
给定矩阵 A＝ac
(2)求矩阵 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间
的关系．
解析：
(1)设 M＝ac
b， d
则a c
db11＝811＝88，
故ac＋＋db＝＝88.，
a c
db－12＝－24，
工具
选修4-2 矩阵与变换
故－－ac＋＋22db＝＝4－. 2，
联立以上两方程组解得 a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，
阵乘法的消去律成立．
工具
选修4-2 矩阵与变换
求矩阵 A＝12
3的逆矩阵． 2
解析： 方法一：设矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝ac db，
则由2
3a
b＝1
0，
1 2c d 0 1
2019届一轮复习北师大版选修4-4第1讲 坐标系学案
知识点考纲下载坐标系理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别. 参数方程了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.第1讲 坐标系[学生用书P213]1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos__θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin__θ＝b ． 4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos__θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin__θ.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆解析：选C .由ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，得，cos θ＝0或ρ＝4sin θ.当cos θ＝0时，θ＝π2(ρ∈R )，极坐标方程表示一条直线；当ρ＝4sin θ时，极坐标方程表示一个圆．故选C . 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A .y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1sin θ＋cos θ，由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.故选A . 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.答案：2在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ知极坐标⎝⎛⎭⎫2，π3可化为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6可化为x ＋3y －6＝0.故所求距离为d ＝|1＋3×3－6|12＋（3）2＝22＝1.答案：1在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解：由题意知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．解：由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ， 即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， 所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a . 又因为B 在圆x 2＋y 2－4y ＝0上，所以⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.故a 的值为3.平面直角坐标系中的伸缩变换 [学生用书P214][典例引领]在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.【解】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，即⎝⎛⎭⎫λ32x 2＋⎝⎛⎭⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数， 得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ32＝1，⎝⎛⎭⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2， 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.求经伸缩变换后的曲线方程的方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[通关练习]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线 y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. 2．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .因此，经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y 后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4.极坐标与直角坐标的互化 [学生用书P215][典例引领]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【解】 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.直角坐标与极坐标互化的方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只需运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．[通关练习]1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0，0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.曲线极坐标方程的应用 [学生用书P215][典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 【解】 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin(α－π3)| ＝2|sin(2α－π3)－32|≤2＋3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3.所以△OAB 面积的最大值为2＋3.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅰ改编)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0(a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为直角坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)将C 1的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.2．(2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′，若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，故圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)l ：y ＝2x 关于点M (0，m )对称的直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2，于是，实数m 的最大值为5－2.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．(2)在[0，2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点 (1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．[学生用书P347(单独成册)]1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1， 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，点P 为⊙C 上一动点，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，点Q 为线段PM 的中点．(1)求点Q 的轨迹C 1的方程；(2)试判定轨迹C 1和⊙C 的位置关系，并说明理由． 解：(1)由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ， 所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 又点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2， 所以点M 的直角坐标为(0，4)． 设点P (x 0，y 0)，点Q (x ，y )，则有x 20＋(y 0－1)2＝1.(*)因为点Q 为线段PM 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －4，代入(*)得轨迹C 1的方程为 x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝14. (2)因为⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1， 而轨迹C 1是圆心为⎝⎛⎭⎫0，52，半径为12的圆， 所以两圆的圆心距为32，等于两圆半径和，所以两圆外切．3．在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长．解：法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图， 在Rt △OAM 中，∠OMA ＝90°，∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4. 因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 验证可知，极点O 与A ⎝⎛⎭⎫4，－π6的极坐标也满足方程， 故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6为所求． (2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ， 在Rt △OAP 中，∠OP A ＝90°，易得∠AOP ＝π4， 所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝22.法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆， 所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. (2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，得ρ＝22， 所以圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长为22. 4．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1. (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆．C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝|－1－2|2＝32>1， 所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝⎛⎭⎫θ0＋π3＝1.② 将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1， 即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．1．已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值．解：(1)依题意得ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2()cos θ＋sin θ， 即ρ2＝2()ρcos θ＋ρsin θ，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为()x －12＋(y －1)2＝2. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1， 即ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝－1， 化为直角坐标方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心，2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32>r ＝2， 于是直线与圆相离，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222. 2．在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝53，θ2＝π3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3， 由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的方程为y ＝(tan α)x ，其中α为直线l 的倾斜角，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求tan α的值．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 4．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ， 所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1. 由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入， 得2＝2a ×12， 所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2 ＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。
2019届理科一轮复习北师大版选修4－4第2节参数方程教案
第二节 参数方程[考纲传真] (教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．(对应学生用书第201页)[基础知识填充]1．曲线的参数方程(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程．(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [知识拓展] 在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]4．椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝________.185 [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，消去参数φ得x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.]5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． [解] 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.(对应学生用书第202页)参数方程与普通方程的互化(1)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值. 【导学号：79140389】[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.[规律方法] 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出.[跟踪训练] 如图2，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．图2[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)． 所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．参数方程的应用(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． [解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6， 所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.极坐标方程与参数方程的综合应用(2018·石家庄质检(二))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a sin β(a >0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32.(1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的面积最大值． [解] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得|a －3|2＝a ， 解得a ＝－3(舍)，a ＝1. 所以a ＝1.(2)法一：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a >0)， 设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3， 则S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3＝34|2a cos θ|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝3a 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵cos θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12cos 2θ－32sin θcos θ＝12·cos 2θ＋12－34sin 2θ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2θ－32sin 2θ＋14＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14，所以当θ＝－π6时，12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14取得最大值34.△OAB 的面积最大值为33a 24.法二：因为曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3， 由正弦定理得|AB |sin π3＝2a ，所以|AB |＝3a . 由余弦定理得|AB |2＝3a 2 ＝|OA |2＋|OB |2－|OA |·|OB | ≥|OA |·|OB |，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3 ≤12×3a 2×32＝33a 24，所以△OAB 的面积最大值为33a 24.1⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0<α<π，且α≠π2)，点A ，B (A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点． (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB |的最大值及此时点B 的坐标.【导学号：79140390】[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 24＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝tan α·x －1. (2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 是参数)，设A (t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B (t 2cos α，－1＋t 2sin α)， 将C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α，代入x 24＋y 2＝1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8t sin α＝0， ∴t 1＝0，t 2＝8sin α1＋3sin 2α， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8|sin α|1＋3sin 2α＝83|sin α|＋1|sin α|≤823 ＝433(当且仅当sin α＝33取等号)，当sin α＝33时，∴0<α<π，且α≠π2， ∴cos α＝±63，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13， ∴|AB |的最大值为433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套(课件+练习)：2.1
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做 2】
已知 P(x,y)是曲线
������ ������
= =
2sin+������cos������,(������为参数)
上任意一点, 求 (������-5)2 + (������ + 4)2的最大值.
解:由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos α-5)2+(sin α+4)2=8sin α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ= 34.
【做一做 1】
已知参数方程
������ ������
= =
22csions������������,(������为参数,
������∈[0,2π)).判
断点 A(1, 3)和������(2,1)是否在方程的曲线上.
分析:把A,B两点的坐标分别代入方程验证即可.
解:把 A,B 两点的坐标分别代入方程,
题型一 题型二 题型三
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
解:设点M的坐标为(x,y),∠AOP=θ.
因为点P在圆x2+y2=16上,过点P分别作x轴、y轴的垂线可得点P
的坐标为(4cos θ,4sin θ),又A(12,0),所以由中点坐标公式得点M的坐
(2)试求当 t=-3 时,曲线 C 上的点的坐标.
分析:将坐标分别代入参数方程进行判断.
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
《金版学案》2019版高考一轮总复习数学(理科)课件：选修4-5 第一节 绝对值不等式
(2014· 江西卷改编 )x， y∈ R，若|x|＋ |y|＋|x－ 1|＋ |y－1|≤2，试 求 x＋y 的取值范围． 解：由绝对值的几何意义知，|x|＋|x－1|是数轴上的点 x 到原点 和点 1 的距离之和，所以|x|＋ |x－1|≥1，当且仅当 x∈[0，1]时取等 号． 同理|y|＋|y－1|≥1，当且仅当)要求的不等式的解集是各类情形的 并集，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论． (2)对 于(**)式，恰当运用条件，简化了分类讨论，优化了解题过程． 2．求解该类问题的关键是去绝对值符号，本题中运用零点分段 法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解． 提醒： 在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时， 应做到分 类不重、不漏； 在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件 求交集．
因为|a＋b|＋|a－b|≥ |(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|， 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0 时等号成立， |a＋b|＋|a－b| |a|≥|b|时， ≥2 成立， |a| |a＋b|＋|a－b| 也就是 的最小值是 2，即 m＝2. |a| (2)|x－1|＋|x－2|≤2. 法一 1 5 利用绝对值的意义得： ≤x≤ . 2 2
1 5 综上可知，不等式的解集是x2≤x≤2 .
1．(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件 当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 ab≤0 时，|a－b|＝ |a|＋|b|；当 (a－b)(b－c)≥0 时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|. (2)对于求 y＝|x－a|＋|x－b|或 y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利 用绝对值三角不等式更方便． 2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论 是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．
2012《金版新学案》高三一轮(北师大版)理科数学(课件课时作业)：选修4-5第2课时几个重要不等式的证明及
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选修4-5 不等式选讲
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∵a，b，c 均为正数，
∴(a＋b＋c)b＋1 c＋a＋1 c＋a＋1 b ＝12[(b＋c)＋(a＋c)＋(a＋b)]·b＋1 c＋a＋1 c＋a＋1 b
≥12·33 b＋ca＋ca＋b·3 3
1 b＋ca＋ca＋b
＝92， 故原不等式成立．
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选修4-5 不等式选讲
第2课时 几个重要不等式的证明及其应用
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选修4-5 不等式选讲
栏目导引
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选修4-5 不等式选讲
栏目导引
1．均值不等式(基本不等式的推广)：对于 n 个正数 a1，a2，…，an， 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
a1＋a2＋n …＋an≥n a1·a2·…·an， 当且仅当 a1＝a2＝…an 时等号成立． 2．二维形式的三角不等式：设 x1，x2，x3，x4∈R，那么
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选修4-5 不等式选讲
栏目导引
(2)二维形式的柯西不等式及推论： 如果a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 当且仅当ad＝bc时，等号成立；
a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd| 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立；
a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd| 当且仅当 ad＝bc且abcd≥0 时，等号成立．
栏目导引
【变式训练】 2.设x是正实数，
求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.
证明： x 是正实数，由基本不等式知， x＋1≥2 x，1＋x2≥2x，x3＋1≥2 x3， 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ≥2 x·2x·2 x3 ＝8x3(当且仅当 x＝1 时等号成立)．
《金版新学案》高考数学一轮复习 第2章第1课时 函数及其表示课时作业 文 北师大版
第2章第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )C．(0,20] D．{2,3,4,5}解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．答案： D2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为( )A．{1} B．{2}C．{3} D．∅解析：当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不合题意；当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不合题意；当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，符合题意．答案： C3．若f(x)对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析： ∵2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，① 用－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1，② ①×2＋②得，3f (x )＝3x ＋3， ∴f (x )＝x ＋1. 答案： B4．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析： ∵A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12，得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素．答案： B5．(2010·广东汕头模拟)已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2解析： 根据题意知x ＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .答案： B6．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )解析： 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B.答案： B 二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________. 解析： 令2x ＋1＝t (t ＞1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． 答案： lg2x －1(x ＞1) 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t xx ＜2log t x 2－x ≥2.且f (2)＝1，则f (f (5))的值为________．解析： 由f (2)＝log t (22－1)＝log t 3＝1， ∴t ＝3，又5＞2，所以f (f (5))＝f (log 3(5－1))＝f (log 34)＝2×3log 34 ＝2×4＝8. 答案： 89．(2010·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5,1]． 答案： [－5,1] 三、解答题10．已知f (x )＝x 2＋x ＋1. (1)求f (2x )的解析式； (2)求f (f (x ))的解析式；(3)证明：对任意x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x 总成立． 【解析方法代码108001007】解析： (1)f (2x )＝(2x )2＋(2x )＋1＝4x 2＋2x ＋1. (2)f (f (x ))＝(f (x ))2＋f (x )＋1 ＝(x 2＋x ＋1)2＋(x 2＋x ＋1)＋1 ＝x 4＋2x 3＋4x 2＋3x ＋3.(3)证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＋1 ＝x 2＋34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x ＋1＝x 2＋34.故对任意x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x 总成立．11．已知某人在2010年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1 000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y (元)与月份序号x 的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．解析： 列表：图象：解析式：y ＝1 000·2x －1(x ∈{1,2,3,4,5,6})．其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，值域为{1 000,2 000,4 000,8 000,16 000,32 000}． 对应法则f ：x →y ＝1 000·2x －1.12．某公司招聘员工，连续招聘三天，应聘人数和录用人数符合函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，2x ＋10，10＜x ≤100，1.5x ，x ＞100，其中，x 是录用人数，y 是应聘人数．若第一天录用9人，第二天的应聘人数为60人，第三天未被录用的人数为120人．求这三天参加应聘的总人数和录用的总人数．【解析方法代码108001008】解析： 由1＜9＜10，得 第一天应聘人数为4×9＝36(人)． 由4x ＝60，得x ＝15∉[1,10]； 由2x ＋10＝60，得x ＝25∈(10,100]； 由1.5x ＝60，得x ＝40＜100. 所以第二天录用人数为25人．设第三天录用x 人，则第三天的应聘人数为120＋x . 由4x ＝120＋x ，得x ＝40∉[1,10]；由2x＋10＝120＋x，得x＝110∉(10,100]；由1.5x＝120＋x，得x＝240＞100.所以第三天录用240人，应聘人数为360人．综上，这三天参加应聘的总人数为36＋60＋360＝456人，录用的总人数为9＋25＋240＝274人。
《金版新学案》高考数学一轮复习 第1章第1课时 集合的概念与运算课时作业 文 北师大版
《金版新学案》高考数学一轮复习 第1章第1课时 集合的概念与运算课时作业 文 北师大版(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z }，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1}B ．{3,6}C ．{4,5}D ．{1,3,4,5,6} 解析： 已知U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，所以∁U B ＝{0,2,3,6}，则A ∩(∁U B )＝{3,6}，故选B. 答案： B2．设全集为R ，集合M ＝{x |y ＝2x ＋1}，N ＝{y |y ＝－x 2}，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．N ＝MD ．M ∩N ＝{(－1，－1)} 解析： 从代表元素入手，认识集合的意义，M 为一次函数的定义域，N 为二次函数的值域，化简判断，M ＝R ，N ＝(－∞，0]，即N ⊆M ，故选B.答案： B3．已知集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－a ，－1}，若M ∪P 有三个元素，则M ∩P 等于( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{0}D ．{－1} 解析： 根据题意只能a 2＝－a ，解得a ＝0或a ＝－1，检验知只能a ＝0，此时M ∩P ＝{0}．故选C.答案： C4．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}解析： 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，x ＝－1a ，令－1a ＝1或－1a＝－1，得a ＝－1或a ＝1，故选D.答案： D5．(2009·江西卷)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n 解析： ∵(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，如右图所示阴影部分，又∵U＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．答案： D6．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A *B 为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x ＞2}解析： A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，由图可得A *B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}，故选D.答案： D二、填空题7．已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________． 解析： 若a ＝4，则a 2＝16∉(A ∪B )，所以a ＝4不符合要求，若a 2＝4，则a ＝±2，又－2∉(A ∪B )，∴a ＝2.答案： 28．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，如图，故当a ≤1时，命题成立．答案： a ≤19．已知集合A 满足条件：当p ∈A 时，总有－1p ＋1∈A (p ≠0且p ≠－1)，已知2∈A ，则集合A 中所有元素的积等于________．解析： 依题意，2∈A ，所以－12＋1＝－13∈A ，从而－1－13＋1＝－32∈A ，－1－32＋1＝2∈A ，故A 中只有2，－13，－32三个元素，它们的积为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1. 答案： 1三、解答题10．设A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求x 、y 的值．解析： ∵A ∩B ＝C ＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B ，－1∈B .即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3.①当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，∴2∈A ∩B ，但2∉C ，∴不满足A ∩B ＝C ，∴x ＝－2不符合题意．②当x ＝3时，x ＋4＝7，∴2y ＝－1⇒y ＝－12. 因此，x ＝3，y ＝－12. 11．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数．解析： (1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3，综上，m ≤3时有B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.12．已知R 为实数集，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，若B ∪(∁R A )＝R ，B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，求集合B .解析： ∵A ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜1或x ＞2}．又B ∪(∁R A )＝R ，A ∪(∁R A )＝R ，可得A ⊆B .而B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}，∴{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3}⊆B .借助于数轴可得B＝A∪{x|0＜x＜1或2＜x＜3}＝{x|0＜x＜3}。
【金版新学案】高考数学总复习 课时作业4 函数及其表示 理 北师大版
课时作业(四) 函数及其表示A 级1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±12．(2012·江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x 定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x3．(2012·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．(2012·安徽卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ． f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <0f x －＋1， x ≥0，则f (2 013)＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0136．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.9．(2012·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．10．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0－1， x <0，求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．11．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3fx －－f x －2(x >0)，试写出y ＝g (x )的解析式，并画出其图像．B 级1．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋32．(2012·枣庄模拟)对于实数x ，y ，定义运算x *y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋yxy x ＋byxy，已知1]2)的序号为________．(填写所有正确结果的序号)①2* 2 ②－2* 2 ③－32*2 2 ④32*(－22)3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 详解答案课时作业(四)A 级1．C a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 2．D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A不对；选项B 中x ＞0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.3．D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1，∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1，当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.4．C A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，满足要求； B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，满足要求； C ，f (2x )＝2x ＋1≠2(x ＋1)＝2f (x )，不满足要求； D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，满足要求．5．C 由已知得f (0)＝f (0－1)＋1＝f (－1)＋1＝－1－1＋1＝－1，f (1)＝f (0)＋1＝0， f (2)＝f (1)＋1＝1， f (3)＝f (2)＋1＝2，…f (2 013)＝f (2 012)＋1＝2 011＋1＝2 012.6．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.答案： {x |x ≥4且x ≠5}7．解析： 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案： 68．解析： 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1<x ≤29．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]10．解析： 当x ≥0时，g (x )＝x 2，f (g (x ))＝2x 2－1； 当x <0时，g (x )＝－1，f (g (x ))＝－2－1＝－3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3， x <0.又∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g (f (x ))＝(2x －1)2；当2x －1<0，即x <12时，g (f (x ))＝－1；∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥12，－1， x <12.11．解析： 当0<x <1时，x －1<0，x －2<0，∴g (x )＝3－12＝1.当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x 52xx ，其图像如图所示．B 级1．B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.2．解析： ∵1]2x ＋y (xy >0)x ＋3y (xy <0)∴①2*2＝22＋2＝3 2 ②－2*2＝－2＋32＝2 2 ③－32*22＝－32＋3×22＝3 2 ④32*(－22)＝32＋3×(－22)＝－3 2. 答案： ①③3．解析： (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1， g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.。
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.
3．线性变换的基本性质
(1)设向量 α＝xy，则 λα＝
λx λy
.
(2)设向量 α＝xy11，β＝xy22，则 α＋β＝
x1＋x2 y1＋y2
.
(3)A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任
意实数，则A(λα)＝
λAα ，A(α＋β)＝ Aα＋Aβ .
(4)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成 直线 (或一点) ．
圆．
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选修4-2 矩阵与变换
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选修4-2 矩阵与变换
y′)必在直线 y＝－x 上．由(x，y)的任意性可知，直线 y＝3x 在矩阵 M
所对应的线性变换作用下的像的方程为 y＝－x.
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选修4-2 矩阵与变换
【变式训练】 2.求圆 C：x2＋y2＝4 在矩阵 A＝02 10对应变换作用 下的曲线方程，并判断曲线的类型．
解析： 设 P(x，y)是圆 C：x2＋y2＝4 上的任一点，P1(x′，y′)是
∵AB≠BA，由此可猜测，矩阵乘法不满足交换律．
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选修4-2 矩阵与变换
【变式训练】 1.已知二阶矩阵 M 满足 M01＝10，M11＝22，求 M2－11.
解析：
设 M＝ac
b， d
由 M01＝01得，ca＝01， 所以 a＝1，c＝0.
由 M11＝22得，ca＋＋db＝22，
所以 b＝1，d＝2.
方形数表
a
c
b
d
称为二阶矩阵，其中 a，b，c，d 称为矩阵的 元素 ，矩
阵通常用大写字母 A，B，C…表示．
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选修4-2 矩阵与变换
(2)矩阵的乘法：二阶矩
阵a c
b与x的乘法规则为：a
d y
c
bx
＝
d y
ax＋by
cx＋dy
.
(3)矩阵相等：A＝ca11 db11，B＝ca22 db22.若 A＝B，则
a＝－1， 解得cb＝＝2－，1，
d＝2.
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(2)因为矩阵 M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直
线 y＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)，
1 由－1
－1100＝00，
1 －1
－11＝－2 13 2
得：点(0,0)，(1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像分别是点
A＝
0
1
1
0
.
(3)伸缩变换对应的二阶矩阵 A＝k01
0，表示将每个点的横坐标变 k2
为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍，k1，k2 均为非零常数．
(4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A＝
1
0
0
0
.
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(5)沿与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位的切变变换为
a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2，d1＝d2
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2．几种常见的线性变换
(1)旋转变换 Rα 对应的矩阵是 A＝
cos α
sin α
－sin α
cos α
.
1 0
(2)关于
x
轴对称对应的矩阵是
A＝
0
－1 ，关于 y 轴对称对应
的矩阵为 A＝－10
0 ，关于 1
y＝x
对称对应的矩阵为
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选修4-2 矩阵与变换
(2010·福建卷)已知矩阵 M＝b1
1a，N＝c0
2，且 d
MN＝－22
0 0.
(1)求实数 a，b，c，d 的值；
(2)求直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程．
解析： 方法一：
c＋0＝2， (1)由题设得b2c＋＋a0d＝＝－0，2，
2b＋换
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选修4-2 矩阵与变换
矩阵的运算只满足结合律，不满足交换律和消去律．
设 A＝52 －14，B＝31 42.计算 AB 与 BA，并猜测你认为正 确的一个矩阵乘法的性质．
解析：
AB＝52
－11 43
2 4
＝2 14
6 20.
BA＝13
25 42
－14＝923
7 13.
P(x，y)在矩阵 A＝02 10对应变换作用下新曲线上的对应点，
则xy′ ′＝02
0x＝2x， 1y y
即xy′′＝＝2yx
，所以x＝x′2 y＝y′
，
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将x＝x′2 y＝y′
代入 x2＋y2＝4，得x′4 2＋y′2＝4，
∴方程1x62 ＋y42＝1 表示的曲线是焦点为(±2 3，0)，长轴长为 8 的椭
(0,0)，(－2,2)．
从而直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为 y
＝－x.
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方法二：
(1)同方法一．
(2)设直线 y＝3x 上的任意点(x，y)在矩阵 M 所对应的线性变换作用
下的像是点(x′y′)，
x′ 1 由y′＝－1
－11xy＝x－－xy＋y＝－22xx得 y′＝－x′，即点(x′，
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4．二阶矩阵的乘法
(1)A＝ca11 db11，B＝ca22 db22.
则 AB＝
a1a2＋b1c2 c1a2＋d1c2
a1b2＋b1d2
c1b2＋d1d2
.
(2)矩阵乘法满足结合律(AB)C＝A(BC)．
【思考探究】 矩阵乘法满足交换律和消去律吗？ 提示： 不满足，只满足结合律．
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所以 M＝10
1 2.
所以 M2＝10
11
20
1＝1 2 0
3 4.
所以 M2－11＝01 43－11＝－ －24.
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1．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换． 2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的 变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于 变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或 多次的复合．
高三一轮北师大版理科数学课件+课时作业
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选修4-2 矩阵与变换
第1课时 二阶矩阵与变换
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选修4-2 矩阵与变换
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选修4-2 矩阵与变换
1．线性变换与二阶矩阵的基本概念
x′＝ax＋by (1)在平面直角坐标系 xOy 中，由y′＝cx＋dy (其中 a，b，c，d
为常数)构成的几何变换称为线性变换，由四个数 a，b，c，d 排成的正