Prim算法和Kruskal算法的Matlab实现
求无向图的最小生成树算法——Prim与Kruskal
求无向图的最小生成树算法——Prim与Kruskal一.Prim算法1.算法思想对于图G=(V,E)，用Prim算法求最小生成树T=(S,TE)的流程如下① 初始化：设S、TE为空集，任选节点K加入S。
② 选取一条权值最小的边（X,Y），其中X∈S，且not (Y∈S）即，选取一条权值最小的、连接着S中一点与S外一点的边。
将Y加入S中，边（X，Y）加入TE中重复② 直到V=S即所有G中的点都在S中，此时的T为G的最小生成树。
由此流程可见，Prim算法求最小生成树时任何时候的T都是一颗树。
2.实现显然，Prim算法的主要运行时间花在过程②的选边中。
看起来复杂度是O(VE)=O(V^3)不是么，效率也太低了吧……为了比较快速地选边，我们用两个数组lowcost、closest动态地维护每一个点到S的最短距离。
在某一状态下，lowcost[i]表示所有与i相连且另一端点在S中的边中的权值最小值，closest[i]表示在S中且与i相连的点中与i之间距离最小的点。
显然，lowcost[i]=w(i,closest[i])。
需要注意的是两个数组记录的都是边而不是路径。
若i没有边直接连向S，则lowcost[i]=∞。
另外，若i已在S 中，则lowcost[i]=0。
设出发点为x。
初始时对于任意k∈V，closest[k]=x，lowcost[k]=w（k,x）【w（i，j）表示i、j间的距离。
初始化时，若两点间没有边则w（i，j）赋为一个足够大的整数（如maxint），并且所有点到自身的距离赋为0，即w（i，i）=0】每一次找出lowcost中不为0的最小值lowcost[i]，然后把i加入S（即lowcost[i]:=0），然后对于图中所有点k，若w(k,i)<lowcost[k]，则把lowcost[k]赋为w(k,i)，把closest[k]赋为i。
【由于s中所有点的lowcost都为0，所以只影响到s以外的点】以上操作重复|V|-1次结束。
MST最小生成树的Kruskal和Prim算法
1.实验目的（结出本次实验所涉及并要求掌握的知识点）最小生成树kruskal算法和prim算法的实现2.实验内容（结出实验内容具体描述）最小生成树kruskal算法和prim算法的实现3.算法描述及实验步骤（用适当的形式表达算法设计思想与算法实现步骤）数据结构：（MST也是图，所以实现用了邻接表表示）void union_v(LinkGraph*g,int index,int j){edgenode*p=g->adjlist[index].firstedge;g->adjlist[index].state=j;while(p){if(g->adjlist[p->adjvex].state!=j)union_v(g,p->adjvex,j);p=p->next;}}//（加边）对边按权排升序，每次考虑最小边，判断他两端是否是不同集合，是就把这边unionedges* Kruskal_MST(LinkGraph*g,int c){edges*head=creatEdgeList(g);edges*p;edgenode*s;int i,j;//判断每一条边，是否需要unionprintf("排序后的边结点：\n");p=head->next;while(p){printf("%d %d %d",p->leftv,p->rightv,p->weigth);printf("\n");p=p->next;}p=head->next;for(i=0;i<g->n;i++){g->adjlist[i].state=i;// 初始化点集，每个点都位于不同的连通分量}while(p){if(g->adjlist[p->leftv].state!=g->adjlist[p->rightv].state){// 只要这条边可以加入MST，就创建图结点// 把这些边当成图结点，创建图（MST树）p->flag=1;i=p->leftv;j=p->rightv;s=(edgenode *)malloc(sizeof(edgenode));s->adjvex=j;s->weigth=p->weigth;s->next=g->adjlist[i].firstedge; // 头插法创建邻接表g->adjlist[i].firstedge=s;if (c==0) { // c=0表示无向图s=(edgenode *)malloc(sizeof(edgenode));s->adjvex=i;s->next=g->adjlist[j].firstedge;g->adjlist[j].firstedge=s;}// union操作int m=g->adjlist[i].state;int n=g->adjlist[j].state;if(m<n){g->adjlist[j].state=m;union_v(g,j,m);}else{g->adjlist[i].state=n;}}p=p->next;}// 返回边结点链表return head;}Prim算法的实现：edges* Prim_MST(LinkGraph*g,int c){edges*head=creatEdgeList(g);edges*p;edgenode*s;int i,j;printf("排序后的边结点：\n");p=head->next;while(p){printf("%d %d %d",p->leftv,p->rightv,p->weigth);printf("\n");p=p->next;}for(i=0;i<g->n;i++){g->adjlist[i].state=0;// 初始化点集，所有点未在MST中}//从head的第一条边的顶点出发，逐个寻找需要union的int count=0;//用来记录目前MST中有多少个点p=head->next;g->adjlist[p->leftv].state=1;//选中第一个点加入count++;int l,r;while(count!=g->n){p=head->next;while(p){l=g->adjlist[p->leftv].state;r=g->adjlist[p->rightv].state;// 只有l，r一个在点集，一个不在点集，才unionif(l+r == 1){if(l*r==0){p->flag=1;count++;// 建MST树/图j=p->rightv;s=(edgenode *)malloc(sizeof(edgenode));s->adjvex=j;s->weigth=p->weigth;s->next=g->adjlist[i].firstedge; // 头插法创建邻接表g->adjlist[i].firstedge=s;if (c==0) { // c=0表示无向图s=(edgenode *)malloc(sizeof(edgenode));s->adjvex=i;s->next=g->adjlist[j].firstedge;g->adjlist[j].firstedge=s;}// union操作if(l==0)g->adjlist[p->leftv].state=1;else if (r==0)g->adjlist[p->rightv].state=1;break;}else{p=p->next;}}else{p=p->next;}}}// 返回边结点链表return head;}4.调试过程及运行结果（详细记录在调试过程中出现的问题及解决方法。
Kruskal算法和Prim算法
Kruskal算法和Prim算法本节所阐述的两种最小生成树算法是上节所介绍的一般算法的细化。
每个算法均采用一特定规则来确定GENERIC-MST算法第3行所描述的安全边；在Kruskal算法中，集合A是一森林，加大集合A中的安全边总是图中连结两不同连通支的最小权边。
在Prim算法中，集合A仅形成单棵树。
添加入集合A的安全边总是连结树与一非树结点的最小权边。
Kruskal算法Kruskal算法是直接基于上一节中给出的一般最小生成树算法的基础之上的。
该算法找出森林中连结任意两棵树的所有边中具有最小权值的边(u,v)作为安全边，并把它添加到正在生长的森林中。
设C1和C2表示边(u,v)连结的两棵树。
因为(u,v)必是连C1和其他某棵树的一条轻边，所以由推论2可知(u,v)对C1是安全边。
Kruskal算法同时也是一种贪心算法，因为算法每一步添加到森林中的边的权值都尽可能小。
Kruskal算法的实现类似于计算连通支的算法。
它使用了分离集合数据结构以保持数个互相分离的元素集合。
每一集合包含当前森林中某个树的结点，操作FIND-SET(u)返回包含u的集合的一个代表元素，因此我们可以通过FIND-SET(v)来确定两结点u和v是否属于同一棵树，通过操作UNION来完成树与树的联结。
MST-KRUSKAL(G,w)1. A←∅2. for 每个结点v V[G]3. do MAKE-SET(v)4. 根据权w的非递减顺序对E的边进行排序5. for 每条边(u,v)∈E，按权的非递减次序6. do if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v)7. then A←A∪{(u,v)}8. UNION(u,v)9 return AKruskal算法的工作流程如图4所示。
阴影覆盖的边属于正在生成的森林A。
算法按权的大小顺序考察各边。
箭头指向算法每一步所考察到的边。
第1-3行初始化集合A为空集并建立|V|棵树，每裸树包含图的一个结点。
最小生成树问题---Prim算法与Kruskal算法实现（MATLAB语言实现）
最⼩⽣成树问题---Prim算法与Kruskal算法实现（MATLAB语⾔实现） 2015-12-17晚，复习，甚是⽆聊，阅《复杂⽹络算法与应⽤》⼀书，得知最⼩⽣成树问题（Minimum spanning tree）问题。
记之。
何为树：连通且不含圈的图称为树。
图T=(V,E),|V|=n,|E|=m,下列关于树的说法等价：T是⼀个树。
T⽆圈，且m=n-1。
T连通，且m=n-1。
T⽆圈，但每加⼀新边记得到唯⼀⼀个圈。
T连通，但任舍去⼀边就不连通。
T中任意两点，有唯⼀道路相连。
何为⽣成树：若图G=(V,E)的⽣成⼦图是⼀棵树，则称该树为图G的⽣成树，也称⽀撑树，简称为图G的数。
图G中属于⽣成树的边称为数枝（Branch）。
何为最⼩⽣成树：连通图G=(V,E),每条边上有⾮负权L(e)。
⼀棵树上所有树枝权的总和，称为这个⽣成树的权。
具有最⼩权的⽣成树称为最⼩⽣成树，也就是说最⼩⽀撑树，简称最⼩树。
私以为，两种算法其实都是贪⼼，所以需要严格的证明。
由于最近时间零散、数学久置未学、对算法领域没有系统了解。
所以不进⾏深⼊探讨（也就是说证明），仅以⼀个简单实例做⼀个⼊门级的了解。
Prim算法： 给定连通赋权图G=(V,E,W)，其中W为邻接矩阵，设两个集合P和Q，其中P⽤于存放G的最⼩⽣成树中的节点，集合Q存放G的最⼩G的最⼩⽣成树中的边。
另集合P的初值为P={v1}(假设构造最⼩⽣成树时从v1出发)，集合Q的初值为P={空集}。
（1）P = {v1},Q = {空集}； （2）while P ~= Q 找到最⼩边pv,其中p∈P,v∈V-P; P = P + {v}; Q = Q + {pv}; end Kruskal算法 （1）选e1∈E(G)，使得w(e1) = min（选e1的权值最⼩）。
（2）e1,e2,...,e i已选好，则从E(G)-{e1,e2,...,e i}中选取e i+1,使得G[{e1,e2,...,e i,e i+1}]中⽆圈，且，w(e i+1) = min。
Primf及Krusf最小成树及matlab源代码
11
2013年8月21日11 Nhomakorabea
例 、一个乡有7个自然村，其间道路如图 所示，要以村为中心建有线广播网络，如 要求沿道路架设广播线，应如何架设？
a
18
19 14 16 12
b
7
8
5
c
3
e
f
g
27
21
d
12
数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法
Prim 算法 Matlab 程序如下：
function T =Primf(a) l=length(a); a(a==0)=inf; k=1:l; listV(k)=0; listV(1)=1; e=1; while(e<l) min=inf; for i=1:l if listV(i)==1 for j=1:l if listV(j)==0 & min>a(i,j) min=a(i,j); b=a(i,j); s=i; d=j; end end end end
10
数学建模-图论
四、最小生成树问题及其算法
求最小生成树的 Prim 算法的思想如下：
从连通图 G=<V,E>的某一顶点 v 出发，选择与其关联的具有最小权的边 (u0,v)，将其顶点加入到生成树的顶点集合 U 中。以后每一步从一个顶点 在 U 中而另一顶点不在 U 中的各条边中选择权值最小的边（u，v） ，把它的 顶点加入到集合 U 中，如此下去，直到图中的所有顶点都加入到生成树顶点 集合 U 中为止，这时得到一颗最小生成树。
0 2 2 0 4 4 0 8 A 8 0 4 5 3 7 8 5 3 7 8 0 3 7 3 0 6 7 6 0 4
matlab图论程序算法大全
图论算法matlab实现求最小费用最大流算法的 MATLAB 程序代码如下：n=5;C=[0 15 16 0 00 0 0 13 140 11 0 17 00 0 0 0 80 0 0 0 0]; %弧容量b=[0 4 1 0 00 0 0 6 10 2 0 3 00 0 0 0 20 0 0 0 0]; %弧上单位流量的费用wf=0;wf0=Inf; %wf 表示最大流量, wf0 表示预定的流量值for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f 为零流while(1)for(i=1:n)for(j=1:n)if(j~=i)a(i,j)=Inf;end;end;end%构造有向赋权图for(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j); elseif(C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)=-b(i,j);elseif(C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;end for(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford 算法求最短路, 赋初值for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs 到vt 的最短路for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s( i)=j;pd=0;end;end;endif(pd)break;end;end %求最短路的Ford 算法结束if(p(n)==Inf)break;end %不存在vs 到vt 的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含负权回路, 所以不会出现k=ndvt=Inf;t=n; %进入调整过程, dvt 表示调整量while(1) %计算调整量if(a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量elseif(a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t));end %后向弧调整量if(dvt>dvtt)dvt=dvtt;endif(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止计算调整量t=s(t);end %继续调整前一段弧上的流fpd=0;if(wf+dvt>=wf0)dvt=wf0-wf;pd=1;end%如果最大流量大于或等于预定的流量值t=n;while(1) %调整过程if(a(s(t),t)>0)f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif(a(s(t),t)<0)f(t,s(t))=f(t,s(t))-dvt;end %后向弧调整if(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程t=s(t);endif(pd)break;end%如果最大流量达到预定的流量值wf=0; for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end;end %计算最大流量zwf=0;for(i=1:n)for(j=1:n)zwf=zwf+b(i,j)*f(i,j);end;end%计算最小费用f %显示最小费用最大流图 6-22wf %显示最小费用最大流量zwf %显示最小费用, 程序结束__Kruskal 避圈法：Kruskal 避圈法的MATLAB 程序代码如下：n=8;A=[0 2 8 1 0 0 0 02 0 6 0 1 0 0 08 6 0 7 5 1 2 01 0 7 0 0 0 9 00 1 5 0 0 3 0 80 0 1 0 3 0 4 60 0 2 9 0 4 0 30 0 0 0 8 6 3 0];k=1; %记录A中不同正数的个数for(i=1:n-1)for(j=i+1:n) %此循环是查找A中所有不同的正数if(A(i,j)>0)x(k)=A(i,j); %数组x 记录A中不同的正数kk=1; %临时变量for(s=1:k-1)if(x(k)==x(s))kk=0;break;end;end %排除相同的正数k=k+kk;end;end;endk=k-1 %显示A中所有不同正数的个数for(i=1:k-1)for(j=i+1:k) %将x 中不同的正数从小到大排序if(x(j)<x(i))xx=x(j);x(j)=x(i);x(i)=xx;end;end;endT(n,n)=0; %将矩阵T 中所有的元素赋值为0q=0; %记录加入到树T 中的边数for(s=1:k)if(q==n)break;end %获得最小生成树T, 算法终止for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)if(A(i,j)==x(s))T(i,j)=x(s);T(j,i)=x(s); %加入边到树T 中TT=T; %临时记录Twhile(1)pd=1; %砍掉TT 中所有的树枝for(y=1:n)kk=0;for(z=1:n)if(TT(y,z)>0)kk=kk+1;zz=z;end;end %寻找TT 中的树枝if(kk==1)TT(y,zz)=0;TT(zz,y)=0;pd=0;end;end %砍掉TT 中的树枝if(pd)break;end;end %已砍掉了TT 中所有的树枝pd=0; %判断TT 中是否有圈for(y=1:n-1)for(z=y+1:n)if(TT(y,z)>0)pd=1;break;end;end;end if(pd)T(i,j)=0;T(j,i)=0; %假如TT 中有圈else q=q+1;end;end;end;end;endT %显示近似最小生成树T, 程序结束用Warshall-Floyd 算法求任意两点间的最短路.n=8;A=[0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf8 6 0 7 5 1 2 Inf1 Inf 7 0 Inf Inf 9 Inf Inf 1 5 Inf 0 3 Inf 8 Inf Inf 1 Inf 3 0 4 6Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0]; % MATLAB 中, Inf 表示∞D=A; %赋初值for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=j;end;end %赋路径初值for(k=1:n)for(i=1:n)for(j=1:n)if(D(i,k)+D(k,j)<D(i,j))D(i,j )=D(i,k)+D(k,j); %更新dijR(i,j)=k;end;end;end %更新rijk %显示迭代步数D %显示每步迭代后的路长R %显示每步迭代后的路径pd=0;for i=1:n %含有负权时if(D(i,i)<0)pd=1;break;end;end %存在一条含有顶点vi 的负回路if(pd)break;end %存在一条负回路, 终止程序end %程序结束利用 Ford--Fulkerson 标号法求最大流算法的MATLAB 程序代码如下：n=8;C=[0 5 4 3 0 0 0 00 0 0 0 5 3 0 00 0 0 0 0 3 2 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 0 0]; %弧容量for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f 为零流for(i=1:n)No(i)=0;d(i)=0;end %No,d 记录标号图 6-19while(1)No(1)=n+1;d(1)=Inf; %给发点vs 标号while(1)pd=1; %标号过程for(i=1:n)if(No(i)) %选择一个已标号的点vifor(j=1:n)if(No(j)==0&f(i,j)<C(i,j)) %对于未给标号的点vj, 当vivj 为非饱和弧时No(j)=i;d(j)=C(i,j)-f(i,j);pd=0;if(d(j)>d(i))d(j)=d(i);endelseif(No(j)==0&f(j,i)>0) %对于未给标号的点vj, 当vjvi 为非零流弧时No(j)=-i;d(j)=f(j,i);pd=0;if(d(j)>d(i))d(j)=d(i);end;end;end;end;endif(No(n)|pd)break;end;end%若收点vt 得到标号或者无法标号, 终止标号过程if(pd)break;end %vt 未得到标号, f 已是最大流, 算法终止dvt=d(n);t=n; %进入调整过程, dvt 表示调整量while(1)if(No(t)>0)f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif(No(t)<0)f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt;end %后向弧调整if(No(t)==1)for(i=1:n)No(i)=0;d(i)=0; end;break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程t=No(t);end;end; %继续调整前一段弧上的流fwf=0;for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end %计算最大流量f %显示最大流wf %显示最大流量No %显示标号, 由此可得最小割, 程序结束图论程序大全程序一：关联矩阵和邻接矩阵互换算法function W=incandadf(F,f)if f==0m=sum(sum(F))/2;n=size(F,1);W=zeros(n,m);k=1;for i=1:nfor j=i:nif F(i,j)~=0W(i,k)=1;W(j,k)=1;k=k+1;endendendelseif f==1m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros(n,n);for i=1:ma=find(F(:,i)~=0);W(a(1),a(2))=1;W(a(2),a(1))=1;endelsefprint('Please imput the right value of f');endW;程序二：可达矩阵算法function P=dgraf(A) n=size(A,1);P=A;for i=2:nP=P+A^i;endP(P~=0)=1;P;程序三：有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法function W=mattransf(F,f)if f==0m=sum(sum(F));n=size(F,1);W=zeros(n,m);k=1;for i=1:nfor j=i:nif F(i,j)~=0W(i,k)=1;W(j,k)=-1;k=k+1;endendendelseif f==1m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros(n,n);for i=1:ma=find(F(:,i)~=0);if F(a(1),i)==1W(a(1),a(2))=1;elseW(a(2),a(1))=1;endendelsefprint('Please imput the right value of f');endW;第二讲：最短路问题程序一：Dijkstra算法（计算两点间的最短路）function [l,z]=Dijkstra(W)n = size (W,1); for i = 1 :nl(i)=W(1,i);z(i)=0;endi=1;while i<=nfor j =1 :nif l(i)>l(j)+W(j,i)l(i)=l(j)+W(j,i);z(i)=j-1;if j<ii=j-1;endendendi=i+1;end程序二：floyd算法（计算任意两点间的最短距离）function [d,r]=floyd(a)n=size(a,1);d=a;for i=1:nfor j=1:nr(i,j)=j;endendr;for k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);r(i,j)=r(i,k);endendendend程序三：n2short.m 计算指定两点间的最短距离function [P u]=n2short(W,k1,k2)n=length(W);U=W;m=1;while m<=nfor i=1:nfor j=1:nif U(i,j)>U(i,m)+U(m,j)U(i,j)=U(i,m)+U(m,j);endendendm=m+1;endu=U(k1,k2);P1=zeros(1,n);k=1;P1(k)=k2;V=ones(1,n)*inf;kk=k2;while kk~=k1for i=1:nV(1,i)=U(k1,kk)-W(i,kk);if V(1,i)==U(k1,i)P1(k+1)=i;kk=i;k=k+1;endendendk=1;wrow=find(P1~=0);for j=length(wrow):-1:1P(k)=P1(wrow(j));k=k+1;endP;程序四、n1short.m(计算某点到其它所有点的最短距离)function[Pm D]=n1short(W,k)n=size(W,1);D=zeros(1,n);for i=1:n[P d]=n2short(W,k,i);Pm{i}=P;D(i)=d;end程序五：pass2short.m(计算经过某两点的最短距离)function [P d]=pass2short(W,k1,k2,t1,t2)[p1 d1]=n2short(W,k1,t1);[p2 d2]=n2short(W,t1,t2);[p3 d3]=n2short(W,t2,k2);dt1=d1+d2+d3;[p4 d4]=n2short(W,k1,t2);[p5 d5]=n2short(W,t2,t1);[p6 d6]=n2short(W,t1,k2);dt2=d4+d5+d6;if dt1<dt2d=dt1;P=[p1 p2(2:length(p2)) p3(2:length(p3))];elsed=dt1;p=[p4 p5(2:length(p5)) p6(2:length(p6))];endP;d;第三讲：最小生成树程序一：最小生成树的Kruskal算法function [T c]=krusf(d,flag)if nargin==1n=size(d,2);m=sum(sum(d~=0))/2;b=zeros(3,m);k=1;for i=1:nfor j=(i+1):nif d(i,j)~=0b(1,k)=i;b(2,k)=j;b(3,k)=d(i,j);k=k+1;endendendelseb=d;endn=max(max(b(1:2,:)));m=size(b,2);[B,i]=sortrows(b',3);B=B';c=0;T=[];k=1;t=1:n;for i=1:mif t(B(1,i))~=t(B(2,i))T(1:2,k)=B(1:2,i);c=c+B(3,i);k=k+1;tmin=min(t(B(1,i)),t(B(2,i)));tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i)));for j=1:nif t(j)==tmaxt(j)=tmin;endendendif k==nbreak;endendT;c;程序二：最小生成树的Prim算法function [T c]=Primf(a)l=length(a);a(a==0)=inf;k=1:l;listV(k)=0;listV(1)=1;e=1;while (e<l)min=inf;for i=1:lif listV(i)==1for j=1:lif listV(j)==0 & min>a(i,j)min=a(i,j);b=a(i,j);s=i;d=j;endendendendlistV(d)=1;distance(e)=b;source(e)=s;destination(e)=d;e=e+1;endT=[source;destination]; for g=1:e-1c(g)=a(T(1,g),T(2,g));endc;另外两种程序最小生成树程序1（prim 算法构造最小生成树）a=[inf 50 60 inf inf inf inf;50 inf inf 65 40 inf inf;60 inf inf 52 inf inf 45;...inf 65 52 inf 50 30 42;inf 40 inf 50 inf 70 inf;inf inf inf 30 70 inf inf;...inf inf 45 42 inf inf inf];result=[];p=1;tb=2:length(a);while length(result)~=length(a)-1temp=a(p,tb);temp=temp(:);d=min(temp);[jb,kb]=find(a(p,tb)==d);j=p(jb(1));k=tb(kb(1));result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];endresult最小生成树程序2（Kruskal 算法构造最小生成树）clc;clear;a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70;[i,j,b]=find(a);data=[i';j';b'];index=data(1:2,:);loop=max(size(a))-1;result=[];while length(result)<looptemp=min(data(3,:));flag=find(data(3,:)==temp);flag=flag(1);v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);if index(1,flag)~=index(2,flag)result=[result,data(:,flag)];endindex(find(index==v2))=v1;data(:,flag)=[];index(:,flag)=[];endresult第四讲：Euler图和Hamilton图程序一：Fleury算法（在一个Euler图中找出Euler环游）注：包括三个文件；fleuf1.m, edf.m, flecvexf.mfunction [T c]=fleuf1(d)%注：必须保证是Euler环游，否则输出T=0,c=0 n=length(d);b=d;b(b==inf)=0;b(b~=0)=1;m=0;a=sum(b);eds=sum(a)/2;ed=zeros(2,eds);vexs=zeros(1,eds+1);matr=b;for i=1:nif mod(a(i),2)==1m=m+1;endendif m~=0fprintf('there is not exit Euler path.\n')T=0;c=0;endif m==0vet=1;flag=0;t1=find(matr(vet,:)==1);for ii=1:length(t1)ed(:,1)=[vet,t1(ii)];vexs(1,1)=vet;vexs(1,2)=t1(ii);matr(vexs(1,2),vexs(1,1))=0;flagg=1;tem=1;while flagg[flagg ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem); tem=tem+1;if ed(1,eds)~=0 & ed(2,eds)~=0T=ed;T(2,eds)=1;c=0;for g=1:edsc=c+d(T(1,g),T(2,g));endflagg=0;break;endendendendfunction[flag ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem)flag=1;for i=2:eds[dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,tem);if f==1flag=0;break;endif dvex~=0ed(:,i)=[vexs(1,i) dvex];vexs(1,i+1)=dvex;matr(vexs(1,i+1),vexs(1,i))=0;elsebreak;endendfunction [dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,temp) f=0;edd=find(matr(vexs(1,i),:)==1);dvex=0;dvex1=[];ded=[];if length(edd)==1dvex=edd;elsedd=1;dd1=0;kkk=0;for kk=1:length(edd)m1=find(vexs==edd(kk));if sum(m1)==0dvex1(dd)=edd(kk);dd=dd+1;dd1=1;elsekkk=kkk+1;endendif kkk==length(edd)tem=vexs(1,i)*ones(1,kkk);edd1=[tem;edd];for l1=1:kkklt=0;ddd=1;for l2=1:edsif edd1(1:2,l1)==ed(1:2,l2)lt=lt+1;endendif lt==0ded(ddd)=edd(l1); ddd=ddd+1;endendendif temp<=length(dvex1)dvex=dvex1(temp);elseif temp>length(dvex1) & temp<=length(ded)dvex=ded(temp);elsef=1;endend程序二：Hamilton改良圈算法（找出比较好的Hamilton路）function [C d1]= hamiltonglf(v)%d表示权值矩阵%C表示算法最终找到的Hamilton圈。
最小生成树---普里姆算法（Prim算法）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）
最⼩⽣成树---普⾥姆算法（Prim算法）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）最⼩⽣成树的性质：MST性质（假设N=(V,{E})是⼀个连通⽹，U是顶点集V的⼀个⾮空⼦集，如果（u，v）是⼀条具有最⼩权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在⼀颗包含边（u，v）的最⼩⽣成树）普⾥姆算法（Prim算法)思路：以点为⽬标构建最⼩⽣成树1.将初始点顶点u加⼊U中，初始化集合V-U中各顶点到初始顶点u的权值；2.根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩。
循环n-1次如下操作：（1）从数组lowcost[k]中找到vk到集合U的最⼩权值边，并从数组arjvex[k] = j中找到该边在集合U中的顶点下标(2)打印此边，并将vk加⼊U中。
（3）通过查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，即vk点到V-U中各顶点的权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中以下图为例#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXVEX 100#define INF 65535typedef char VertexType;typedef int EdgeType;typedef struct {VertexType vexs[MAXVEX];EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;}MGraph;void CreateMGraph(MGraph *G) {int m, n, w; //vm-vn的权重wscanf("%d %d", &G->numVertexes, &G->numEdges);for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {getchar();scanf("%c", &G->vexs[i]);}for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {for(int j = 0; j < G->numVertexes; j++) {if(i == j) G->arc[i][j] = 0;else G->arc[i][j] = INF;}}for(int k = 0; k < G->numEdges; k++) {scanf("%d %d %d", &m, &n, &w);G->arc[m][n] = w;G->arc[n][m] = G->arc[m][n];}}void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {int min, j, k;int arjvex[MAXVEX]; //最⼩边在 U集合中的那个顶点的下标int lowcost[MAXVEX]; // 最⼩边上的权值//初始化,从点 V0开始找最⼩⽣成树Tarjvex[0] = 0; //arjvex[i] = j表⽰ V-U中集合中的 Vi点的最⼩边在U集合中的点为 Vjlowcost[0] = 0; //lowcost[i] = 0表⽰将点Vi纳⼊集合 U ，lowcost[i] = w表⽰ V-U中 Vi点到 U的最⼩权值for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {lowcost[i] = G.arc[0][i];arjvex[i] = 0;}//根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {min = INF, j = 1, k = 0;//寻找 V-U到 U的最⼩权值minfor(j; j < G.numVertexes; j++) {// lowcost[j] != 0保证顶点在 V-U中，⽤k记录此时的最⼩权值边在 V-U中顶点的下标if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {min = lowcost[j];k = j;}}}printf("V[%d]-V[%d] weight = %d\n", arjvex[k], k, min);lowcost[k] = 0; //表⽰将Vk纳⼊ U//查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {if(lowcost[i] != 0 && G.arc[k][i] < lowcost[i]) {lowcost[i] = G.arc[k][i];arjvex[i] = k;}}}int main() {MGraph *G = (MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));CreateMGraph(G);MiniSpanTree_Prim(*G);}/*input:4 5abcd0 1 20 2 20 3 71 2 42 3 8output:V[0]-V[1] weight = 2V[0]-V[2] weight = 2V[0]-V[3] weight = 7最⼩总权值: 11*/时间复杂度O(n^2)克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）思路：以边为⽬标进⾏构建最⼩⽣成树在边集中依次寻找最⼩权值边，若构建是不形成环路（利⽤parent数组记录各点的连通分量），则将其添加到最⼩⽣成树中。
分别利用prim算法和kruskal算法实现求图的最小生成树
/*分别利用prim算法和kruskal算法实现求图的最小生成树*/ #include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define MaxVertexNum 12#define MaxEdgeNum 20#define MaxValue 1000typedef int Vertextype;typedef int adjmatrix[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; typedef Vertextype vexlist[MaxVertexNum];int visited[MaxVertexNum]={0};struct edgeElem{int fromvex;int endvex;int weight;};typedef struct edgeElem edgeset[MaxVertexNum];void Creat_adjmatrix(vexlist GV,adjmatrix GA,int n,int e) {int i,j,k,w;printf("输入%d个顶点数据",n);for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&GV[i]);for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)if(i==j) GA[i][j]=0;else GA[i][j]=MaxValue;printf("输入%d条无向带权边",e);for(k=0;k<e;k++){scanf("%d%d%d",&i,&j,&w);GA[i][j]=GA[j][i]=w;}}void Creat_edgeset(vexlist GV,edgeset GE,int n,int e) {int i,j,k,w;printf("输入%d个顶点数据",n);for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&GV[i]);printf("输入%d条无向带权边",e);for(k=0;k<e;k++){ scanf("%d%d%d",&i,&j,&w);GE[k].fromvex=i;GE[k].endvex=j;GE[k].weight=w;}}void output_edgeset(edgeset GE,int e){int k;for(k=0;k<e;k++)printf("%d %d %d,",GE[k].fromvex,GE[k].endvex,GE[k].weight); printf("\n");}void prim(adjmatrix GA,edgeset CT,int a,int n){int i,j,t,k,w,min,m;struct edgeElem x;for(i=0;i<n;i++)if(i<a){CT[i].fromvex=a;CT[i].endvex=i;CT[i].weight=GA[a][i];}else if(i>a){CT[i-1].fromvex=a;CT[i-1].endvex=i;CT[i-1].weight=GA[a][i];}for(k=1;k<n;k++){min=MaxValue;m=k-1;for(j=k-1;j<n-1;j++)if(CT[j].weight<min){min=CT[j].weight;m=j;}x=CT[k-1];CT[k-1]=CT[m];CT[m]=x;j=CT[k-1].endvex;for(i=k;i<n-1;i++){t=CT[i].endvex;w=GA[j][t];if(w<CT[i].weight){CT[i].weight=w;CT[i].fromvex=j;}}}}void kruskal(edgeset GE,edgeset C,int n){ int i,j,k,d;int m1,m2;adjmatrix s;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)if(i==j) s[i][j]=1;else s[i][j]=0;}k=1;d=0;while(k<n){for(i=0;i<n;i++){if(s[i][GE[d].fromvex]==1) m1=i;if(s[i][GE[d].endvex]==1) m2=i;}if(m1!=m2){C[k-1]=GE[d];k++;for(j=0;j<n;j++){s[m1][j]=s[m1][j]||s[m2][j];s[m2][j]=0;}}d++;}}void main(){int n,e;vexlist GV;adjmatrix GA;edgeset GE,C;printf("输入图的顶点数和边数：");scanf("%d%d",&n,&e);Creat_adjmatrix( GV, GA, n, e);printf("利用prim算法从0点出发求图的最小生成树：\n");prim(GA,GE,0,n);output_edgeset( GE, n-1);printf("输入图的顶点数和边数:");scanf("%d%d",&n,&e);Creat_edgeset( GV,GE,n, e);printf("利用kruskal算法从0点出发求图的最小生成树：\n");kruskal( GE, C, n);output_edgeset( C, n-1);}最小生成树（prim算法和kruskal算法）收藏最小生成树（prim算法）用最小生成树的解决的经典问题：若要在n个城市间建设通信网路，给出任意两个城市的距离和每米通信网路的造价，问怎样设计网络可以使网路的造价最小。
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Prim 算法和Kruskal 算法的Matlab 实现连线问题应用举例：欲铺设连接n 个城市的高速公路，若i 城与j 城之间的高速公路造价为ij C ，试设计一个线路图，使总的造价最低。
连线问题的数学模型就是图论中在连通的赋权图上求权最小的支撑树。
试用Matlab 分别实现求最小支撑数的Prim 算法和Krusal 算法（避圈法）。
一.基本要求：（1） 画出程序流程图；（2） 对关键算法、变量和步骤进行解释说明；（3） 用如下两图对所写算法的正确性进行验证。
即输入图的信息，输出对应图的最小支撑树及其权值。
v 1v 745v216196611218302051514924167534844（4）分析两种算法的实现复杂度。
二.扩展要求：（1）提供对算法效率（复杂度）进行评估的方法，并通过举例验证，与分析得到的算法复杂度结果相对照；（2）从降低内存消耗、减少计算时间的角度，对算法进行优化。
三．实验步骤I.用Prim 算法求最小生成树i ．算法分析及需求分析，程序设计prim 算法的基本思想是：设G=（V ，E ）是一个无向连通网，令T=（U ，TE ）是G 的最小生成树。
T 的初始状态为U={v0}（v0）TE={}，然后重复执行下述操作：在所有u U ，v V-U 的边中找一条代价最小的边（u ，v ）并入集合TE ，同时v 并入U ，直至U=V 为止。
显然，Prim 算法的基本思想是以局部最优化谋求全局的最优化，而且，还涉及到起始结点的问题。
本程序完成的功能是：从图中的任意结点出发，都能够找出最小生成树实现方案分析：Prim算法的关键是如何找到连接U和V-U的最短边来扩充生成树T。
设当前T中有k 个点（即T的顶点集U中有k个顶点）则所有满足u U，v V-U的边最多有k条，从如此大的边集中选取最短边是不太经济的。
利用MST性质，可以用下述方法构造候选最小边集：对应V-U中的每个顶点，保留从该顶点到U中的各顶点的最短边，取候选边最短边集为V-U中的n-k个顶点所关联的n-k条最短边的集合。
为表示候选最短边集，需设置两个一维数组lowcost[n]和adjvex[n],其中lowcost用来保存集合V-U中的各顶点与集合U中顶点的最短边的权值，lowcost[v]=0表示顶点v已经加入最小生成树中；adjvex用来保存依附于该边在集合U中的顶点。
例如下式表明顶点和顶点之间的权值为w lowcost[i]=w;adjvex[i]=k;程序流程图关键代码说明：1．将用于验证算法正确性的两幅图用邻接矩阵的形式保存，分别保存为文件Graph1.m,Graph2.m（注：矩阵的对角线元素设置为零。
）并在主程序finallyprim中直接进行调用。
2．在输入起点时应该给程序的阅读者就该图的顶点数作出提示，不然的话使用者很可能会输入越界下标。
采取的方法如下len=length(graph_adjacent);%求图中有多少个顶点k=sprintf('please input the point where you want to start ,do remember it must bebetween 1 and %d ',len);start_point=input(k);%输入最小生成树产生起点采取了sprintf格式化字符串的方法，就避免了编程的人每次根据输入图的顶点数手动对提示作修改。
效果如下：在对第一幅图进行算法验证时在workspace会如下输出:please input the point where you want to start ,do remember it must be between 1and 7在对第二幅图进行算法验证时在workspace会有如下输出：please input the point where you want to start ,do remember it must be between 1and 83．在输出结果时为了使结果在workspace中输出的清晰，使人一目了然，也使用了sprintf格式化字符串的方法，代码如下s=0;for ii=1:len-1k=sprintf('最小生成树第%d条边：（%d,%d），权值为%d',ii,tree(ii,1),tree(ii,2),graph_adjacent(tree(ii,1),tree(ii,2)));disp(k);disp(' ');s=s+graph_adjacent(tree(ii,1),tree(ii,2));enddisp('最小生成树的总代价为：')disp(s);4．下面对算法的核心部分进行说明：在len-1次循环中，每次循环要完成以下三项工作1.找到最小边，（需要求lowcost数组的最小非零值，因为0表示该边已经被加入到了最小生成树中）由于是求非零的最小值，就不能在直接用min函数了。
我采取的方法是这样的：k=lowcost>0;%k为一逻辑数组，它和lowcost同维，对于每一个位% 置i如果lowcost(i)>0则k(i)=1%否则k(i)=0;稍候将用这个数组进行辅助寻址cost_min=min(lowcost(k));%找出lowcost中除0外的最小值index=find(lowcost==cost_min);%找出此最小值在lowcost中的下标，即找到相应的节点index=index(1);%因为最小值的下标可能不止一个，这里取第一个下标进行处理lowcost(index)=0;%表明该节点已经加入了最小生成树中采用这种方法不仅充分利用了matlab的built_in函数，还避免了自己编写代码（循环+判断lowcost[v]是否为0）来实现寻找不为零的最小值的麻烦，提高了代码执行的效率。
2.对lowcost和adjvex进行更新，即：设刚加入最小生成树的顶点为index，比较对于U-V中的每个顶点v:比较lowcost(v)和（v，index）边的权值大小，如果（v，index）边的权值小，则令lowcost(v)的值为该边的权值，并将adjvex(v)的值等于indexfor j=1:lenif lowcost(j)>graph_adjacent(j,index);lowcost(j)=graph_adjacent(j,index);adjvex(j)=index;endend3.将该边保存tree(i,:)=[adjvex(index),index];ii.结果如下求第一张图的最小生成树：求第二张图的最小生成树：II .用Krusal算法（避圈法）求最小生成树i．算法分析及需求分析，程序设计Kruskal算法的基本思想是：设无向连通网为G=（V，E），令G的最小生成树为T=（U，TE），其初始状态为U=V，TE={},这样T中各顶点各自构成一个连通分量。
然后按照边的权值由小到大的顺序，依次考察边集E中的各条边。
若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边加入到TE中去，同时把两个连通分量连接成一个连通分量；若被考察边的两个结点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T 中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。
显然，Kruskal算法实现起来要比prim算法复杂些。
选择合适的存储结构存储图，采用合适的排序算法对程序执行效率的提高非常重要，采用简单而明了的方法判断边的两个端点是否在一个连通分支上更是尤为重要。
一般来说，涉及Kruskal算法多采取边集数组做为图的存储结构，但考虑到matlab不像C语言那样可以方便地动态的生成数组和释放内存，仍采取了邻接矩阵的形式保存图，用于测试的两幅图，分别保存为Graph11.M,Graph22.M.（注：邻接矩阵的对角线元素设定为100）这样既方便对边进行操作，又方便对边的顶点进行操作。
使用邻接矩阵容易引起的问题是：由于邻接矩阵是对称矩阵，比如graph_adjacent(1,2)和graph_adjacent(2,1)代表的是同一条边，所以当有一条边被选入最小生成树后，要对它的两个结点分别进行更新。
整个程序是以顶点为基本单位处理的。
由于一条边对应两个结点，取标号较小的顶点做为主要处理对象，并用它来寻址该边所对应的另一个结点。
这样规格化的好处在于：程序流程的每一步都会在自己的预测中，出现了错误易于查找。
下面介绍一下一个matlab的built_in排序函数sort这个函数的功能非常强，也正因为采用了这个函数才使我的程序简洁高效。
[Y，I]=sort（A）；其中A为矩阵。
则Y为将A中各列按从小到大排序后的结果，I为Y中的元素在原矩阵A中所在的行号。
举例如下对于判断两个点是否在同一个连通分支，我的方法如下：声明一数组tag保存每个结点所在的连通分支的标号，初始值为每个结点的标号，当两个连通分量相连后则将它们的tag值设为一致程序流程图：关键代码说明：1．如何判断两个点是否在同一个连通分支①将图中每个顶点的tag值设为自身标号for j=1:lentag(j)=j;%关联标志初始化，将每个顶点的关联标志设为其本身end;②当确定两个顶点不在同一个连通分支时，将它们对应的边加入最优边集superedge中，并修改其中一个顶点的及其所在连通分支的各个点的tag值，使其和另一连通分支具有相同的tag值。
if(tag(anotherpoint)~=tag(index))%当两个点不属于一个连通集时，这两个点之间的边为最小生成树的边superedge(i,:)=[index,anotherpoint];%将其加入最小生成树的边集中i=i+1;%下标加1%下面的语句的作用是将两个连通分支变成一个连通分支，即tag值一样for j=1:len%以index的tag值为标准if((tag(j)==tag(anotherpoint))&(j~=anotherpoint))%遍搜tag数组，先将和anotherpoint tag值一样的点的tag值变为index的tag值tag(j)=tag(index);endendtag(anotherpoint)=tag(index);%将anotherpoint的tag值变为index的tag 值endend注意：上面的红色代码部分，要先将连同分支的其他点的tag值变为tag（index），最后在改变tag（anotherpoint）的tag值，如果先将tag(anotherpoint)的值改变了，编号在anotherpoint之后的点的tag值就无法正确更新了2.寻找最小边[Y,I]=sort(temp);%将temp的每列按从小到大排序，数组Y保存temp 排序后的结果，I中保存相应结果对应的在temp中的下标cost_min=min(Y(1,:));%找出权值最小的边index=find(Y(1,:)==cost_min);%找出权值最小的边对应的顶点index=index(1);%一条边对应两个节点，且不同的边的权值可能一样，这里为了方便处理人为规定了顺序，取标号最小的顶点进行处理anotherpoint=I(1,index);%找到该边对应的另一个顶点%将该边对应的权值修改为最大，防止该边在下次循环中再次被选为最优边temp(index,anotherpoint)=100;temp(anotherpoint,index)=100;3.显示模块采用的代码参见prim算法。