成正比例的量
《成正比例的量》讲义
能源利用效率与能源资源的配置成正比例。通过优化能源 资源配置，能够提高能源利用效率，减少能源浪费和环境 污染。
促进经济发展
生产力提升
成正比例的量能够促进生产力提升。例如，科技进步与生产力成正比例，通过引进先进的 生产技术和设备，能够提高生产效率和产品质量，推动经济发展。
投资吸引力
成正比例的量能够增强投资吸引力。例如，良好的法治环境和政府服务与投资吸引力成正 比例，通过改善法治环境和政府服务，能够吸引更多的国内外投资。
实际案例分析
案例一：速度与时间的关系
• 在匀速运动中，速度等于距离除以时间。当速度恒定 时，距离与时间的比值保持不变，即距离随着时间的 增长而线性增长。
• 当投资固定时，收益与时间成正比。
• 当速度恒定时，距离与时间成正比。
案例二：投资与收益的关系
• 在金融领域，当投资者购买某种资产并持有一定时 间后，收益通常与投资成正比。例如，股票、基金 等资产的收益与持有时间成正比。
代数证明方法
定义变量
设两个量x和y，它们的比例系数为k。
建立方程
成正比例的量满足等式 x/y = k。
证明方法
通过对方程进行变换，验证x和y的比例关系。
几何证明方法
定义变量
设两个量的比值为k，一个量为x，另一个量为y。
建立关系
成正比例的量在图形中对应的线段长度之间满足k的比值。
证明方法
通过相似三角形、平行线等几何性质证明x和y的比例关系。
正比例关系可以用函数表达式表示为 y=kx，其中 k 是常数，x 表示第一个 量，y 表示第二个量。
成正比例的量的特点
01
02
03
方向相同
成正比例的两个量的变化 方向是相同的，即当一个 量增加时，另一个量也增 加，减少时也减少。
人教版春季六年级 第八讲 比例(二) 基础版-教培星球
第8讲比例（二）知识点：1、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k（一定）2、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k（一定）3、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。
4、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
5、比例尺的分数（1）数值比例尺和线段比例尺（2）缩小比例尺和放大比例尺6、图上距离：实际距离=比例尺实际距离×比例尺=图上距离图上距离÷比例尺=实际距离7、应用比例尺画图（1）写出图的名称、（2）确定比例尺；（3）根据比例尺求出图上距离；（4）画图（画出单位长度）（5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺8、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。
（相似图形）9、用比例解决问题：根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。
考点1：正反比例的辨别【典例1】（隆回县）a 与b 成反比例关系的条件是（ ） A ．ab =c （一定）B ．a ×c ＝b （一定）C ．a ×b ＝c （一定）【典例2】（西安模拟）正方形的边长和它的周长（ ） A ．成正比例B ．成反比例C ．不成比例【典例3】（浦城县）在如表中，如果x 和y 成正比例，那么空格处应填 ；如果x 和y 成反比例，那么空格处应填 ． x 6 y1224考点2：比例的应用（比例尺，图形的变大）【典例1】（雁塔区期中）把一个长为5厘米，宽为4厘米的长方形按3：1放大，放大后的长方形的长为 厘米，宽为 厘米，面积是 平方厘米． 【典例2】（涡阳县）画一画，在方格图里把三角形按3：1进行放大．【典例3】（茶陵县）一幅地图的比例尺是1：3000000，这幅地图上两个城市之间的距离是20cm ，那么这两个城市之间的实际距离是 km ．【典例4】（江北区）王阿姨买了一辆电瓶车，七五折优惠付了1500元．这辆车比原来便宜了多少钱？先在线段图上补上缺少的信息和问题，再列式计算．【典例5】（海安市）甲、乙两地相距2千米，在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是4厘米，这幅图的比例尺是 ．在这幅图上量得乙、丙两地的距离是5厘米，则乙、丙两地间的实际距离是千米．综合练习一．选择题1．（邵阳模拟）两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的（ ）一定，这两种量就叫做成反比例的量． A ．和B ．差C ．积D ．比值2．（云梦县）表示x 和y 成正比例关系的式子是（ ） A ．x +y ＝10B ．x ﹣y ＝10C ．y ＝10x3．（天津模拟）下列等式中，a 与b （a 、b 均不为0）成反比例的是（ ） A ．2a ＝5bB ．a ×7=b2C ．a ×b3=14．（亳州）表格中，若x 和y 成正比例，则k 的值为（ ）x 2 k y 812A ．1.5B ．3C ．65．（天津模拟）a 和b 成反比例关系的式子是（ ） A ．5a ＝4bB ．a5=b4C ．5a =4bD ．5a ＝b +46．（广东期末）把一个长方形按3：1放大，得到的图形的面积与原图形的面积的比是（ ） A ．3：1 B ．9：1C ．1：3D ．1：97．（蕲春县）把改写成数值比例尺是（ ） A ．1：4000000B ．1：8000000C ．1：120000008．（蓬溪县）如图，长方形是按一定的比例放大或缩小，则x ＝（ ）A ．10B ．12C ．14D ．169．（临朐县）一幅地图的比例尺是1：1000000，下列说法不正确的是（ ） A ．这是一个数值比例尺B ．说明要把实际距离缩小1000000倍后，再画在图纸上C．图上距离相当于实际距离的11000000D．图上1厘米相当于实际1000000米10．（广州）一个正方形的面积是100cm2，把它按10：1的比放大．放大后图形的面积是（）A．1000cm2B．2000cm2C．10000cm211．（连江县）把一个边长为3厘米的正方形按2：1放大，放大后的正方形的面积是（）A．36平方厘米B．18平方厘米C．9平方厘米D．6平方厘米12．（长沙）把一个长4厘米，宽2厘米的长方形按3：1放大后，得到的新图形的面积是（）平方厘米。
成正比例的量的三要素
成正比例的量的三要素成正比例的量的三要素，听起来是不是有点复杂，其实它跟我们生活中很多事情都息息相关呢。
咱们得搞清楚什么是成正比例。
简单说，就是两件事儿的关系，比如你买水果，买的数量和花的钱是成正比例的。
你买得多，自然花的钱也多，这样的道理就叫成正比例。
说到这里，你可能会想，成正比例的量到底有哪些要素呢？别着急，咱们慢慢聊。
第一个要素就是“量的大小”。
想象一下，你去超市买苹果，买了五斤和十斤，花的钱可不一样吧。
五斤苹果可能二十块，十斤就得四十块。
这里的钱就是“量的大小”，简单明了。
这就像你和朋友一起去吃饭，点的菜多了，账单自然就高了。
每个人心里都有个小算盘，心里默默想着“我这一顿吃了多少，得分摊多少”，这就是量的大小在起作用。
接下来要说的就是“单位”。
这里的单位就像是咱们身边的“货币”，是计算成正比例的重要一环。
回到苹果的例子，你花了二十块买五斤，换算下来每斤四块。
这个单位让我们更好地理解每斤苹果的价值。
想想你买衣服的时候，常常会计算每件衣服的单价，对吧？这个单位的概念让我们的消费更理性，也让我们心里有底。
钱花得值不值，心里才有数。
最后一个要素，哎呀，这个可得好好说说，那就是“关系”。
成正比例的量有着紧密的关系，比如你喝水，每天喝两升水，那一周就是十四升。
这个关系让我们在生活中有所依赖，就像生活中有些朋友，总是会在关键时刻出现。
你的一举一动，似乎都在暗示着这份关系是如何建立的。
就像你和同事一起合作做项目，如果你们的分工明确、互相支持，那么项目自然会顺利进行。
这种关系的建立，就如同成正比例的量，彼此相辅相成，缺一不可。
所以说，成正比例的量就像生活中的调味剂，恰到好处才能让事情更加美味。
每当你在日常生活中遇到需要计算的事情，不妨想一想这些要素。
无论是买东西，还是做事情，搞懂了这些，就能让你在生活中游刃有余。
这样一来，生活中的那些小困扰就变得简单多了。
你会发现，原来成正比例的量并不是高深莫测的数学理论，而是生活中每时每刻都在上演的真实故事。
《成正比例的量》教案
一、教学目标：1. 让学生理解成正比例的量的概念，能够辨识两种相关联的量是否成正比例。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：成正比例的量的概念及辨识。
2. 教学难点：如何判断两种相关联的量是否成正比例。
三、教学方法：1. 采用情境教学法，让学生在生活情境中感受成正比例的量。
2. 采用合作学习法，让学生通过小组讨论、探究，共同解决问题。
3. 采用启发式教学法，引导学生主动思考、发现问题、解决问题。
四、教学准备：1. 课件、黑板、粉笔。
2. 相关生活情境的图片或视频。
3. 成正比例的实例数据。
五、教学过程：1. 导入新课：利用课件展示生活情境，如购物、交通等，引导学生发现其中存在的成正比例的量。
2. 讲解成正比例的量的概念：讲解成正比例的量的定义，让学生理解成正比例的量的特点。
3. 辨识成正比例的量：给出实例，让学生判断两种相关联的量是否成正比例，引导学生运用成正比例的量的特点进行辨识。
4. 练习巩固：设计练习题，让学生独立判断两种相关联的量是否成正比例，并及时给予反馈和讲解。
6. 布置作业：设计课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学拓展：1. 利用多媒体展示成正比例的自然现象，如植物的生长、人口的增长等，让学生感受成正比例的量在自然界的普遍性。
2. 引导学生思考成正比例的量在实际生活中的应用，如经济、科技、环保等领域。
七、课堂小结：2. 强调成正比例的量在生活中的重要性，激发学生学习兴趣。
八、课后作业：1. 设计课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，如购物、交通等。
2. 鼓励学生在生活中发现成正比例的量，并进行记录和分析。
九、教学反思：1. 教师在课后要对本节课的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足。
2. 根据学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
十、评价与反馈：1. 对学生的学习情况进行评价，关注学生在辨识成正比例的量、解决实际问题等方面的表现。
《成正比例的量》教案设计
《成正比例的量》教案设计第一章：正比例的概念介绍1.1 引入正比例的概念：两个变量x和y，如果它们的比值（x/y）始终保持不变，这两个变量就称为成正比例的量。
1.2 解释正比例的数学表达式：x/y = k（其中k是常数，称为比例常数）。
1.3 举例说明正比例的关系：如身高与脚长的关系，当身高增加时，脚长也随之增加，且它们的比值保持不变。
第二章：比例常数的确定2.1 解释比例常数k的意义：比例常数k表示两个成正比例的量之间的比例关系。
2.2 方法一：通过两组具体的成正比例的量，计算它们的比值，求得比例常数k。
2.3 方法二：利用图形（如直线图）观察成正比例的量的变化趋势，确定比例常数k。
第三章：正比例的性质3.1 成正比例的量的图像特点：成正比例的量在直角坐标系中形成一条通过原点的直线。
3.2 成正比例的量的运算性质：两个成正比例的量相加（或相减）后，它们的比值仍等于原来的比例常数k。
3.3 成正比例的量的比例运算：已知两个成正比例的量x1和y1，以及它们的比例常数k，求第三个成正比例的量x2和y2的关系。
第四章：正比例的应用4.1 成正比例的量在实际生活中的应用：如计算单价、计算速度等。
4.2 利用成正比例的关系解决问题：已知两个成正比例的量中的一个，求解另一个未知量。
4.3 成正比例的量在科学实验中的应用：如实验数据的处理和分析。
第五章：正比例的拓展5.1 反比例的概念介绍：两个变量x和y，如果它们的乘积（xy）始终保持不变，这两个变量就称为成反比例的量。
5.2 解释反比例的数学表达式：xy = k（其中k是常数）。
5.3 举例说明反比例的关系：如车速与时间的乘积等于路程，当车速增加时，所需时间减少，且它们的乘积保持不变。
第六章：正比例函数的图像与性质6.1 介绍正比例函数的图像：y = kx（k为常数）。
6.2 解释正比例函数的图像特点：通过原点的一条直线，斜率为k。
6.3 探讨正比例函数的性质：随着x的增大或减小，y值按比例增大或减小；当x=0时，y=0。
成正比例的量
《成正比例的量》教案教学背景：在2011年度本校的优质课比赛中，我选择了《成正比例的量》这一课进行参赛，这节课是新课标人教版六年级数学下册第二单元第3课时的内容，是在学生学习了比例的意义和基本性质之后的一个内容，通过学习，使学生理解正比例的意义，会正确判断成正比例的量，并初步了解表示成正比例的量的图像特征，并能根据图像解决简单的问题，进一步渗透函数思想。
教学内容：人教版六年级数学下册p39-41页内容成正比例的量教材分析：本节课是在比和比例的基础上进行教学的，着重使学生理解正比例的意义。
正比例是比较重要的数量关系，学生理解并掌握了这种数量关系，可以加深对比例的理解，并能应用它解决一些含正比例关系的实际问题。
同时通过这部分内容的教学，可以进一步渗透函数思想，为学生今后的学习打下基础。
教材还安排了正比例的图像，直接呈现两个变量之间的依存关系，使学生加深对正比例的认识。
教学目标:1、使学生理解正比例的意义,会正确判断成正比例的量。
2、使学生了解表示成正比例的量的图像特征，并能根据图像解决有关简单问题。
3、培养学生的抽象概括能力和分析判断能力．教学重点：正比例的意义。
教学难点：正确判断两个量是否成正比例的关系。
教学方法：问题探究式教学法教学准备：多媒体课件、小黑板教学过程：一、揭示相关联的量1．在现实生活中，我们常常遇到两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化，比如：当买铅笔时，买的支数增加了，付的钱也增加了。
你能举出一些这样的例子吗？（学生举例）引出：当一种量变化时，另一种量也随着变化，我们就把这样的两种量称为是相关联的量。
杯中水的体积和高度是相关联的量吗？为什么呢？二、观察实验，引入新课1．谈话引入同学们，你们喜欢做实验吗？今天的数学课我们也来看一个实验，这个实验是帮助我们来研究水的高度和体积之间的变化规律的。
请看屏幕。
[实验视频链接如下] /view/c5718b0f79563c1ec5da71ca.html?st=12．观察实验（1）观看课件。
成正比例的量
成正比例的量在数学中，我们经常会遇到成正比例的量。
成正比例的量指的是两个变量之间的关系符合比例关系，即当一个量的值增加（或减少）时，另一个量的值也相应地按照固定的比例变化。
概念成正比例的量与比例关系是数学中的重要概念。
它由两个变量组成，通常用字母表示。
我们假设两个变量分别为x和y，它们之间成正比例的关系可以表示为：y = kx其中，k是比例常数。
它是一个恒定的值，代表着两个变量之间的比例关系。
例子让我们来看一些实际生活中的例子，以更好地理解成正比例的量。
例子1：考试成绩与学习时间假设我们有两个变量x和y，分别表示考试成绩和学习时间。
如果两者成正比例，那么学习时间越长，考试成绩也会相应增加。
这个关系可以由下面的公式表示：y = kx这里的y表示考试成绩，x表示学习时间，k是一个常数。
例子2：人口增长与时间我们知道，人口增长和时间之间存在一定的关系。
如果人口的增长是成正比例的，那么随着时间的推移，人口数量也会按照一定的比例增加。
这个关系可以用下面的公式表示：y = kx这里的y表示人口数量，x表示时间，k是一个常数。
性质成正比例的量有一些重要的性质，这些性质对于我们理解和应用成正比例的量是非常有帮助的。
性质1：零点对于成正比例的量来说，它们之间的比例关系不会出现零点。
也就是说，当x 为零时，y也会为零。
性质2：相似三角形如果两个三角形的对应边成正比例，那么这两个三角形是相似的。
这是因为成正比例的量表示两个变量之间的比例关系，所以它们之间的比值总是相同的。
而相似三角形有着相同的比例关系，因此成正比例的量是判断两个三角形是否相似的一个重要条件。
性质3：图形变换成正比例的量还可以描述图形的变换关系。
例如，在平面几何中，如果将一个图形的边长按照一定的比例进行伸缩，那么这个图形的形状将保持不变，只是相似于原来的图形。
这是因为成正比例的量表示了图形的边长之间的比例关系，所以在进行伸缩时，图形的形状不会发生改变。
成正比例的量
常见的成比例的量速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
单价一定，总价和数量成正比。
数量一定，总价和单价成正比。
工作效率一定，工作总量和时间成正比。
工作时间一定，工作效率和工作总量成正比。
圆的直径和半径成正比。
圆的周长和直径成正比。
圆的周长和半径成正比。
圆的面积和半径的平方成正比。
正方形的周长和边长成正比。
正方体的表面积和棱长的平方成正比。
正方体的表面积和底面积成正比。
长方形的长一定，面积和宽成正比。
长方形的宽一定，面积和长成正比。
长方体的高一定，体积和底面积成正比。
长方体的底面积一定，体积和高成正比。
平行四边形的底一定，面积和高成正比。
平行四边形的高一定，面积和底成正比。
圆柱的高一定，体积和底面积成正比。
圆柱的底面积一定，体积和高成正比。
看的天数一定，总页数和每天看的页数成正比。
每天看的页数一定，总页数和看的天数成正比。
打字速度一定，总字数和打字时间成正比。
打字时间一定，总字数和打字速度成正比。
每行人数一定，总人数和行数成正比。
行数一定，总人数和每行人数成正比。
每公顷产量一定，总产量和公顷数成正比。
公顷数一定，总产量和每公顷产量成正比。
同一时间同一地点，物体的影子和物体实际高度成正比。
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<成正比例的量>教案
教学目标：1．使学生理解正比例的意义．2．能根据正比例的意义判断两种量是不是成正比例．3．培养学生的抽象概括能力和分析判断能力．
教学重点：使学生理解正比例的意义．
教学难点：引导学生通过观察、思考发现两种相关联的量的变化规律，即它们相对应的数的比值一定，从而概括出正比例关系的概念．
教学过程
一、复习准备：口答（课件演示：成正比例的量）1．已知路程和时间，怎样求速度？2．已知总价和数量，怎样求单价？3．已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？
二、新授教学（一）导入新课这些都是我们已经学过的常见的数量关系．这节课，我们继续研究这些数量关系中的一些特征．
（二）教学例1．（课件演示：成正比例的量）
1．一列火车1小时行驶90千米，2小时行驶180千米，3小时行驶270千米，4小时行驶360千米，5小时行驶450千米，6小时行驶540千米，7小时行驶630千米，8小时行驶720千米……
2．出示下表，并根据上述内容填表．
一列火车行驶的时间和路程
时间（时）路程（千米）
3．思考：在填表过程中，你发现了什么？
（1）表中有时间和路程两种量．（2）当时间是1小时，路程则是90千米，时间是2小时，路程是180千米……时间变化，路程也随着变化．时间扩大，路程随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小．
教师说明：像这样，时间变化，路程也随着变化，我们就说，时间和路程是两种相关联的量．
教师板书：两种相关联的量
（3）请每位同学先取一组相对应的数据，然后计算出路程与时间的比的比值．教师板书：4）教师提问：根据计算，你发现了什么？教师说明：相对应的两个数的比的比值都一样或固定不变，在数学上叫做“一定” 教师板书：相对应的两上数的比值一定
4．教师小结
刚才同学们通过填表、交流，我们知道时间和路程是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化．时间扩大，路程随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小．它们扩大、缩小的规律是：路程和时间的比的比值总是一定的．即
教师板书：
（三）教学例2（继续演示课件：成正比例的量）
例2．在一间布店的柜台上，有一张写着某种花布鞋的米数和总价的表．
时间（时）路程（千米）
1．观察上表（1）表中有数量（米数）和总价这两种量，它们是两种相关联的量．（2）总价随米数的变化情况是：米数扩大，总价随着扩大；米数缩小，总价也随着缩小．（3）相对应的总价和米数的比的比值是一定的．
2．师生小结通过刚才的观察和分析，我们知道总价和米数也是两种什么样的量？为什么？怎样变化？它们扩大、缩小的规律是怎样的？
教师板书：（一定）．
（四）抽象概括正比例的意义．1．比较例1、例2，思考并讨论，这两个例子有什么共同点？（1）例1中有路程和时间两种量；例2中有米数和总价两种量．即它们都有两种相关联的量；（2）例1中时间变化，路程就随着变化；例2中米数变化，总价也随着变化．
教师板书：一种量变化，另一种量也随着变化．
（3）两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定．
教师板书：两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定．
种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．
板书课题：成正比例的量
3．字母关系式：教师提问：如果字母和表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系怎样用字母表示出来？
教师板书：（一定）
4．教师质疑：根据正比例的意义以及表示正比例关系的式子想一想：构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件？
（五）教学例3（继续演示课件：成正比例的量）
例3．每袋面粉的重量一定，面粉的总重量和袋数是不是成正比例？
1．根据正比例的意义，由学生讨论解答．2．汇报判断结果，并说明判断的根据．
（六）反馈练习．出示图片：做一做1
三、课堂小结：通过这节课的学习，你们都知道了什么？怎样判断两种量是否成正比例？
四、课堂练习（课件演示：成正比例的量）
判断下面每题中两种量是不是成正比例，并说明理由．1．苹果的单价一定，购买苹果的数量和总价．2．轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间．3．每小时织布米数一定，织布总米数和时间．4．小新跳高的高度和他的身高．
五、课后作业：思考：正方形的边长和周长成正比例吗？正方形的边长和面积成正比例吗？
六、板书设计
成正比例的量
对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例的关系．。