一元二次方程复习课课件(公开课)
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《一元二次方程》复习课件
1 D. 2
2
解一元二次方程的方法
一元二次方程的几种解法 (1)直接开平方法 (2)因式分解法 (3)配方法 (4)公式法
一元二次方程的解法：（配方法） 例：（2）
x 6x 7 0
2
配方时应注意 ①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方
解： x2 6 x 7 2 x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2
一元二次方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 另一个根为__. 6
2 2 2.若关于X的一元二次方程 a 1x x a 1 0 的一 个根为0.则a的值为（ B ）
2
C. 2a b 2c 0
D. a 2b 2c 0
7. 若关于 x 的一元二次方程 x px 1 0 的一个 实数根的倒数恰是它本身, 则 p 的值为(C ) A. 2 B. 2 C. 2 D. 1
4 4. 已知 2 是方程 x c 0 的一个根, 则 c _____.
与5a 是同类项，则m 5或-1
9
3.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____ -7
它的另一个根______. -3/5
4.方程2 x ² -mx-m² =0有一个根为 – 1,则m= 2或-1 ，另一个根
为 2或1/2
。
5. 已知关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0, 且 满足 b a c, 则至少可以确定方程的一个根为(B ). A.1 B. 1 C. 0 D. 不能确定 6.已知 1 是关于 x 的一元二次方程(2a b) x 2 (2b c ) x 2c a 0的根, 则a, b, c满足的关系是(A ). A. a b c 0 B. a b c 0
2
解一元二次方程的方法
一元二次方程的几种解法 (1)直接开平方法 (2)因式分解法 (3)配方法 (4)公式法
一元二次方程的解法：（配方法） 例：（2）
x 6x 7 0
2
配方时应注意 ①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方
解： x2 6 x 7 2 x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2
一元二次方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. -7 1.已知x＝-1是方程x²ax＋6＝0的一个根.则a＝___, 另一个根为__. 6
2 2 2.若关于X的一元二次方程 a 1x x a 1 0 的一 个根为0.则a的值为（ B ）
2
C. 2a b 2c 0
D. a 2b 2c 0
7. 若关于 x 的一元二次方程 x px 1 0 的一个 实数根的倒数恰是它本身, 则 p 的值为(C ) A. 2 B. 2 C. 2 D. 1
4 4. 已知 2 是方程 x c 0 的一个根, 则 c _____.
与5a 是同类项，则m 5或-1
9
3.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____ -7
它的另一个根______. -3/5
4.方程2 x ² -mx-m² =0有一个根为 – 1,则m= 2或-1 ，另一个根
为 2或1/2
。
5. 已知关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0, 且 满足 b a c, 则至少可以确定方程的一个根为(B ). A.1 B. 1 C. 0 D. 不能确定 6.已知 1 是关于 x 的一元二次方程(2a b) x 2 (2b c ) x 2c a 0的根, 则a, b, c满足的关系是(A ). A. a b c 0 B. a b c 0
中考数学专题《一元二次方程》复习课件(共18张PPT)
一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2
2
b 4ac
2
bx c 0a 0根的判别式是: ax bx c 0a 0
定理与逆定理
一元二次方程
判别式的情况
根的情况
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
a, b, c能构成等腰三角形。
综上所述，m 4或3。
活动五 相信我 我是最棒的
若a为方程
的解，则 x x 5 0 2 3a 3a 5 的值为（ 20 ）
2
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
m 3
且把m 3代入方程，
且把m 4代入方程， 得x 2 4 x 4 0
16 4m 0, m 4
得x 2 4x 3 0，x1 3, x2 1。
三边分别为3、3、1
x1 x2 2
即b cb, c能构成等腰三角形。
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
例2、已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根 2
∴
[ ( 2 m 3 )] 4 ( m 2 )( m 2 ) 0
√ ×
1 3、x2+ ＝１ x
一元二次方程复习课公开课课件PPT
根的判别式及根与系数的关系：
1、已知方程 பைடு நூலகம்x2 kx 6 0的一个根为2，则
k=
，另一个根为
。
2、如果关于x的一元二次方程 x2 px q 0
的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别 是（ ）
3、如果方程 ax2 2x 1 0 有实数根，则实数a
的取值范围是（ ）
一元二次方程 复习课
配方法 直接开平方
公式法
因式分解法
一般形式
解法
意义
一 元 二 次 方 程
应用
问题一：
下列方程，是一元二次方程的是（ C ）
A、x 2 2(x 1) B、x2 2x y 2
C、 x2 2 2x D、2 x2 3
x
判定一元二次方程的三个条件：
查发现每降价1元，商场每天可以多售 2件。若每天实现盈利1200元，衬衫应 降价多少元？
例2： （4）某商场销售一批名牌衬衫，平均每 天可售出20件，每件售价60元，每件成 本20元，为了扩大销售量，增加盈利， 减少库存，商场决定采取适当的降价措施
经调查发现每降价1元，商场每天可以多 售2件。若每天实现盈利1200元，衬衫应 降价多少元？
4、已知α、β是一元二次方程 x2 4x 3 的0 两
实数根，则代数式 ( 3)( 3) _______
5、已知关于x的一元二次方程 x2 2 k 1x 1 0
有两个实根，求k的取值范围。
6.设一元二次方程 x2 3x 1 0
的两个根为x1，x2，则
x12
①方程两边都是整式 ②只有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次
问题二：
一元二次方程的一般形式是
一元二次方程复习课公开课课件
与一元二次方程相关的定理和推论
配方法
配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过配方可 以将方程转化为完全平方的形式，从而简化求解过程。
判别式法
判别式法是判断一元二次方程解的情况的一种常用方法 ，通过判别式可以判断方程是否有实数解、几个实数解 以及解的形式。
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一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是指满足标准形式但不限制 $a neq 0$ 的方程。
ห้องสมุดไป่ตู้详细描述
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a$ 可以等于0。当 $a = 0$ 时，方程退化为一次方程。
特殊形式
总结词
一元二次方程的特殊形式是指满足标准形式并且 $a neq 0$ 的方程。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
详细描述
一元二次方程的解的公式为x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)，其中a、b、c分别为 一元二次方程的系数。通过代入系数值，可以直接求解方程。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次方程转化为 两个一次方程，从而求解。
04 一元二次方程的应用
实际问题中的一元二次方程
总结词
解决生活中的实际问题
详细描述
一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用， 如计算物品的重量、速度、距离等。通过解 决实际问题，学生可以更好地理解一元二次 方程的概念和解题方法。
一元二次方程在几何中的应用
总结词
解决几何问题
详细描述
一元二次方程在几何中常用于计算面积、周长等。通过将几何问题转化为数学方程，学 生可以更方便地解决复杂的几何问题。
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法复习》公开课课件
) (
x-22)
强化训练
2、比一比，看谁做得快：
① (y+ 2 )(y- 2 )=2(2y-3) y1=y2=2
② 3t(t+2)=2(t+2)
t1=-2,t2=2/3
③ x2=4 3 x-11
x1=2 3 1 x2=2 3 1
④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
x1=-92,x2=-100
无论m取何值，此方程都是一元二次方程
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没
有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号 并整理为一般形式再选取合理的方法。
变1： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0
变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0
再变为： 2(x-2)2+5x-13=0
2(x-2)2+5x-10-3=0
2(x-2)2+5(x-2)-3=0
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b b2 4ac .b2 4ac 0 . 2a
填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0 ⑥ 5(m+2)2=8
6
36
开平方，得: x 5
6
1
x1
2, x2
. 3
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
一元二次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的最高次数为2的 整式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
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一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
最新一元二次方程解法复习课(课件)课件ppt
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
① 一般地，当一元二次方程一次项系数 为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方 法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选 用因式分解法；若一次项系数和常数项 都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式， 看一边的整式是否容易因式分解，若容 易，宜选用因式分解法，不然选用公式 法；不过当二次项系数是1，且一次项系 数是偶数时，用配方法也较简单。
0形式。
∴y1=-2 y2=1
按括号中的要求解下列一元二次方程：
（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）； （2）x2+4x+2=0（配方法）； （3）3x2+2x-1=0（公式法）； （4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
一元二次方程解法复习 课(课件)
一元二次方程
概念及 一般形式
a2 xb x c0a0
直接开平方法
方程的解法
因式分解法 配方法
公式法
xb b24abc 24a0 c 2a
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
先变为一般 形式，代入 时注意符号。
a=3 b=-4 c=-7
一元二次方程复习 全国优质课一等奖-课件
1.数字与方程
例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 :设 这 两 位 数 的 个 位 数 字 为 x,根 据 题 意 ,得
x2 10x 3 x.
整 理 得 x2 11x 30 0.
解 得 x1 5, x2 6 . x 3 5 3 2,或 x 3 6 3 3. 答 :这 个 两 位 数 为 25,或 36.
解 :设 小 路 的 宽 度 xm,根 据 题 意 ,得 20+2x
( 2 0 2 x )1 5 2 x 2 5 1 5 2 4 6 .
20
15+2x 15
整理得 :
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不 2
合 题 意,舍 去 ).
第22章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 因为当 a≠0，b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根， 即 k＋1≠0，b2－4ac＝22－4(k＋1)×(－1)＝8＋4k>0，
∴k≠－1，k>－2. ∴k 的取值范围是 k>－2 且 k≠－1.
方法技巧 根的判别式主要应用：(1)不解方程，判别一元二次方程根的情况； (2)已知一元二次方程根的情况，确定方程中某些字母的取值 (范 围)．在解题时一定要注意不能忽略二次项系数不为 0.
一元二次方程根与系数的关系
设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
b
c
x1+x2=
a , x1x2=
a.
回顾与复习 5
解应用题
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
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1.草莓营养丰富、味道鲜美。据以往经验，重庆某草莓 种植基地每年的上半年草莓的售价 y（元/千克）与月份 1 x之间满足一次函数关系 y 2 x 8 (1 x 6, 且x是整数) 。月 销售量P（千克）与月份x之间的相关数据如下表： 月份x
销售量P（千克）
1月 2月 4500 5000
3月 5500
4月 6000
5月 6500
6月 7000
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比 例函数或二次函数的有关知识求月销售量P（千克）与 月份x之间的函数关系式； （2）草莓在上半年的哪个月出售，可使销售金额W （元）最大？最大是多少元？并求出此时草莓的销售量；
（3）由于气候适宜，该种植基地今年收获了10000千 克的草莓，并按（2）问中求出的销售量售出新鲜草莓。 剩下的草莓与白糖、柠檬汁按4:2:1的比例制成草莓酱 并按每瓶500克的方式装瓶出售（制作过程中的损耗忽 略不计）。已知每瓶草莓酱的批发价是20元，大型超 市的零售价比批发价高 m%，大型商场的零售价比超市 ） 的零售价又提高了m%。该基地将这批瓶装草莓酱平均 分成两部分，分别在大型超市、大型商场出售后销售总 额达到了35万元。求m的值。（结果保留整数）
1.(2013沈阳)若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两 个不相等的实数根，则a的取值范围是______ a<4．
分析：根据题意得：△=42-4a＞0，即16-4a＞0. 解得：a＜4 2.（2013•张家界）若关于x的一元二次方程 kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是 1 ． 分析：根据题意得：△=16-12k≥0，且k≠0.
练习1：（2013重庆A卷）随着铁路客运量的不断增 长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通 的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程。 其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独 完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间 的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。 问：甲乙单独完成这项工程各需几个月？
为x=2，求另一个根为
5 x 3
.
考点二：一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判别式是:
b 4ac
2
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解)
步骤归纳
b 2 - 4ac 2a
考点一：一元二次方程的解法
例: １、用直接开平方法解方程：(x+2)2=９
2、用配方法解方程：4x2-8x-5=0 3、用公式法解方程: (x-1)(3x+2)=3x+5 4、用因式分解法解方程：(y+2)2=3(y+2）
已知关于x的二次方程
2 3x -(2a-5)x-3a-1=0,有一个根
一元二次方程的解法 配方法： 适应于任何一个一元二次方程
一 元 二 次 方 程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一 次式的积，右边是0的方程 列一元二次方程解应用题步骤： 审、设、列、解、检、答
※ 根与系数的关系：
x1+x2 = -b/a , x1x2 =c/a
解：设甲队单独完成需要x天，则乙队单独完成需要x﹣5天， 由题意得，x(x﹣5)=6(x+x﹣5)， 解得：x=15或x=2(不合题意，舍去)， 则 x﹣5=10， 答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工 程需要10个月；
练习2：（2010重庆改编） 今年9月第1周的蔬菜销售价格为2.4元/千克， 若第1周共销售100吨此种蔬菜．从9月份的第2周 起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将 在第1周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定 蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本 地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第1周 仅上涨0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第 2周的总销售额与第1周刚好持平. 则根据题意可列方程为 ____________ [100（1-a%）+2]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100
重庆中考命题趋势
在重庆中考中，往往会在填空题中考查一元
二次方程的根，根的判别式；在解答题中考 查一元二次方程的解法，尤其是在第23、25 和26题中考查一元二次方程在实际生活中的 应用，和二次函数或动点相结合的综合应用。
把握住：一个未知数，最高次数是2， 一元二次方程的定义 整式方程 一般形式：ax² +bx+c=0（a、 b、 c为常数 且 a0） 直接开平方法： 适应于形如（mx+n）² =p（p>0或p=0）型
解得：k≤4/3
则k的非负整数值为1．
考点三：一元二次方程的应用
例.（2013年重庆B卷）“4.20”雅安地震后，某商家 为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备 有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷.计划大货车比小 货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运 送一次，两天恰好运完. （1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少 顶？ （2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆 大货车每次比原计划少运 200m 顶，每辆小货车每次 比原计划少运300顶.为了尽快将帐篷运送到灾区，大 1 货车每天比原计划多跑 2 m次，小货车每天比原计划 多跑m次，一天刚好运送了帐篷14400顶，求m的值.
执教者：罗 念
新课标要求
1．理解并掌握一元二次方程及解的定义； 2．明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目 的，会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法 等方法解一元二次方程；（重点） 3．了解一元二次方程根的判别式，能用判别式判 定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的字母系数的取值范围； 4．会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与 二次函数综合考查。（重、难点）
参考数据： 10 3.162, 11 3.317, 12 3.464, 13 3.606
这节课你有哪些收获？
ห้องสมุดไป่ตู้
配方法步骤:
①移项； ②二次项系数化为1； ③配方(两边加上一次项系数一半的平方)； ④直接开平方。 公式法步骤： ① 先化为一般形式； ②确定a、b、c, ③求b2-4ac； b ± x= ④当 b2-4ac≥ 0时,代入公式: 若b2-4ac＜0,方程没有实数根。 因式分解法步骤: ①右边化为0,左边化成两个因式的积； ②分别令两个因式为0，求解。