3 理论分布与抽样分布

【例3.7】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)= 0.6826
P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) = 0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) = 0.9973
P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) = 0.95
P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)= 0.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不 同倍数标准差区间（μ-kσ , μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在 此区间之外的概率。
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的应用条件： （1）各观察单位 只具有相互对立 的一种结果，如合格或不 合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果 的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较 稳定的数值； （3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不
P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤u＜2） =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
x～N(μ,σ2) u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
0
正态分布
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994 有时会遇到给定Φ(u)值 ，例如Φ(u)=0.284，反 过来查u值。这时只需在附表1中找到与 0.284 最 接近的值0.2843，对应查出相应的u值为 u = - 0.57，即 Φ(-0.57)=0.284
λ是波松分布所依赖的唯一参数。 λ值愈小分布愈偏倚，
随着λ的增大 ，分 布趋于对称(如图所示)。当λ = 20时分布接 近于正态分布；当λ = 50时， 可以认 为波松分布呈正态分布。 所以在实际工作中，当 λ≥20时就可以用正态分布来近似地处 理波松分布的问题。
图3-3 不同λ的泊松分布
泊松分布
生时取0。那么，贝努利试验的概率公式可以表示为：
P（x＝1）＝p
P（x＝0）＝q
1，A事件发生，成功
其中x＝
0，A事件未发生，失败
也称为两点分布
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布---二项分布的定义及其特点
一般，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生 k(0≤k≤n)次的概率为 k =0,1,2…，n 二项概率公式
(3) P (｜u｜≥2.56)
=2Φ(-2.56)=2×0.005234
=0.010468
(4) P (0.34≤u＜1.53)
=Φ(1.53)-Φ(0.34)
=0.93669-0.6331=0.30389
对于标准正态分布，特殊区间的概率为：
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973 P（-1.96≤u＜1.96）=0.95
第三章 统计数据的理论分布与抽样分布
统计数据的理论分布与抽样分布---二项分布
重要的离散型分布
只有两种可能结果的随机试验称为贝努利试验
食品抽样中，产品合格或不合格，
种子发芽或不发芽，施药后害虫死或活等等。
二项分布---贝努利试验的概率公式
在贝努利试验中，事件A可能发生，也可能不发生，用随
机变量x表示贝努利试验的两种结果，记A发生时取1，A不发
由标准正态分布概率计算式及正态分布的对称性可推出
下列关系式：
P( 0≤u＜u1)＝ Φ(u1)-0.5
P(u≥u1) = Φ(-u1)
P(｜u｜≥u1)=
P(u< u2) = Φ(u2)
2 Φ(-u1)
P(｜u｜＜u1 ） ＝ 1-2 Φ(-u1) P(u1≤u＜u2)＝ Φ(u2) - Φ(u1)
项分布可由波松分布近似；当p＞0.1且n很大时，二项分布可由 正态分布近似。
对于波松分布，当λ→∞时 ，波松分布以正态分布为极 限。在实际计算中， 当 λ≥20 (也有人认为λ≥6)时，用波
正态分布（normal distribution）
正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。自 然现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。如食品
中各种成分的含量、有害物质残留量、瓶装食品的重量、分
析测定过程中的随机误差等等。许多统计分析方法都是以正 态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一 定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态 分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有十分重要的
【例3-6】 为监测饮用水的污染情况， 现检验某社区每毫升饮 用水中细菌数 ， 共得400个记录如下：
试分析饮用水中细菌数的分布是否服从波松分布。若服从， 按波松分布计算每毫升水中细菌数的概率及理论次数并将頻率分 布与波松分布作直观比较。
细菌数的波松分布
可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分 布是相当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述 单位容积(或面积)中细菌数的分布是适宜的。
标准正态分布的分布函数
随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)，分 布密度曲线如图所示。
0
图 标准正态分布曲线
正态分布
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x，都可以通 过标准化变换，
u = ( x - μ )／ σ
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u称为标准正 态变量或标准正态离差。
图3-5 σ相同而μ不同的3个正态分布比较
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大
正态分布
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1，即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附近，离均
数越远，其相应次数越少，在3σ以外的极少，这就是食品
工业控制中的3σ 原理的基础。
正态分布
标准正态分布 正态分布是依赖于参数 μ和 σ2 (或 σ) 的一簇 分布，正态
泊松分布ห้องสมุดไป่ตู้
注意，二项分布的应用条件也是波松分布的应用条件。 比如二项分布要求n 次试验是相互独立的，这也是波松分布 的要求。 然而一些具有传染性的罕见疾病的发病数，因为首例发
生之后可成为传染源，会影响到后续病例的发生，所以不符
合波松分布的应用条件。 对于在单位时间、单位面积或单位容积内，所观察的稀 有事件由于某些原因分布不随机时，如细菌在牛奶中成集落 存在时，不呈波松分布，不能用波松分布来描述其发生规律。
的次数，每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，
一批香肠中含有毛发的香肠数，1000袋面粉中含有金属物 的袋数等等，都是服从或近似服从波松分布的。
泊松分布
k=0，1，……
泊松分布
波松分布重要的特征
波松分布为离散型随机变量的概率分布，其平均数和方 差相等，都等于常数λ，即 μ = σ2 = λ
因此，计算一般正态分布的概率时， 只要将原区间的上下
限作适当变换(标准化)， 就可用查标准正态分布的概率表的方 法求取某一区间的概率。
已知x～N（100，22），试求P(100≤x＜102)＝？。
=P(0≤u＜1) =Φ(1) - Φ(0)
= 0.8413-0.5000
＝0.3413
关于一般正态分布，以下几个概率(即随机变量x落在μ
曲线的位置及形态随 μ和 σ2的不同而不同 。这就给研究具体
的正态总体带来困难， 通常将一般的N(μ，σ2) 转 换为 μ= 0， σ2=1的正态分布。记做u~N(0, 1)。 μ=0，σ2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal
distribution)。
正态分布
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作ψ(u) 和Φ(u)， 标准正态分布的概率密度函数
会影响到其它观察单位的观察结果。
泊松分布（poisson distribution）
波松分布是一种 可以用来描述和分析随机地发生在单位 空间或 时间里的稀有事件的概率分布。要观察到这类事件， 样本含量 n 必须很大 。 所谓稀有事件即是小概率事件。在生物、医学等研究中， 服从波松分布的随机变量也是常见的。例如，正常生产线中 单位事件生产出不合格产品个数，单位事件内机器出现故障
图3-2 p值不同的二项分布比较
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的概率计算及应用条件
（1）已知随机变量 x～ B(n，p)，求x正好有k次发生的概率。
【例p43】有一批食品，其合格率为0.85，今在该批食品中随 机抽取6份该食品，求正好有5份食品合格的概率？ 由题意可知，食品抽检结果有两种可能，合格与不合格，合格率 为0.85，即P(A)=0.85，相应不合格率为P（ ）＝1-0.85 ＝0.15，由概率公式得，正好有5个合格产品的概率为：
者间的关系如下：
对于二项分布，在n→∞,p→0， 且 n p =λ (较小常数)情 况下 ，二项分布趋于波松分布。在这种场合，波松分布中的参 数λ 用二项分布的n p代之；在n→∞, p→0.5时，二项分布趋 于正态分布。在这种场合 ，正态分布中的 μ 、σ 2用二项分布