2018届高考数学(文)大一轮复习检测第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含答案

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式, [学生用书P64])1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1.教材习题改编 tan(－233π)的值为( )A ．3B ．－ 3C ．33D ．－33A [解析] tan (－233π)＝tan (－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A ．35B ．－35C ．45D ．－45D [解析] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3.教材习题改编 已知tan α＝2，则3sin α－2cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．12D [解析] 由tan α＝2得sin α＝2cos α， 所以原式＝6cos α－2cos α6cos α＋2cos α＝4cos α8cos α＝12.4.教材习题改编 化简(1＋tan 2α)cos 2α的结果为________．[解析] 原式＝(1＋sin 2αcos 2α)cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.[答案] 15.教材习题改编 若sin α－cos α＝13，则sin αcos α＝________．[解析] 由sin α－cos α＝13得(sin α－cos α)2＝19，即1－2sin αcos α＝19，所以2sin αcos α＝89，即sin αcos α＝49.[答案] 49同角三角函数基本关系式(高频考点)[学生用书P64]同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．在高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625(2)(2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________．【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎨⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.【答案】 (1)A (2)0求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系．若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用．[题点通关]角度一 知弦求弦1．已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．[解] (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由x ∈(－π，0)，知sin x <0， 又sin x ＋cos x >0，所以cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.角度二 知弦求切2．(2017·辽宁省五校高三联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．±34B [解析] 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三 知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________．[解析] 因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64.[答案] ±64诱导公式的应用[学生用书P65][典例引领](1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34. (2)因为f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α ＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 【答案】 (1)34(2)3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．[通关练习]1．(2016·高考全国卷乙)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________．[解析] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π＜θ＜2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π＜θ－π4＜2k π－π4，k ∈Z ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－43.[答案] －432．若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin （－α－3π2）sin （3π2－α）tan 2（2π－α）cos （π2－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝( )A ．35B ．53C ．45D ．54B [解析] 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α（－cos α）tan 2αsin α（－sin α）（－sin α）＝－1sinα＝53.,[学生用书P253(独立成册)])1．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan(π－α)＝( )A ．34B ．－43C ．－34D ．43D [解析] 由sin(2π－α)＝45，得sin α＝－45.因为α∈⎝⎛⎭⎫32π，2π，所以cos α＝35，所以tan α＝－43. 故tan(π－α)＝－tan α＝43.故选D.2．(2017·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35B [解析] 由tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.3．(2017·哈尔滨模拟)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3D [解析] 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( )A ．223B ．－223C ．13D ．－13D [解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.5．(2017·杭州一模)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－253π的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32A [解析] 由于f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α）＝sin αcos αcos αtan α＝cos α，所以f ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－8π－π3＝12. 6．已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( )A ．22B ． 2C ．－22 D ．－ 2A [解析] 因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 7．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝________．[解析] cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α.[答案] －cos 2α8．sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． [解析] 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.[答案] －3349．若f (α)＝sin[（k ＋1）π＋α]·cos[（k ＋1）π－α]sin （k π－α）·cos （k π＋α）(k ∈Z )，则f (2 017)＝________．[解析] ①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )， 原式＝sin （2n π＋π＋α）·cos （2n π＋π－α）sin （－α）·cos α＝sin （π＋α）·cos （π－α）－sin α·cos α＝－1；②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )， 原式＝sin[（2n ＋2）π＋α]·cos[（2n ＋2）π－α]sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin α·cos （－α）sin （π－α）·cos （π＋α）＝－1. 综上所述，当k ∈Z 时，f (α)＝－1，故f (2 017)＝－1. [答案] －110．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________．[解析] 由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，所以sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.[答案]31011．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．[解] 因为sin α＝255＞0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcosα＝－52.12．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.[解析] 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，所以1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.所以(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25.因为θ为第二象限角，tan θ＝－13，所以2k π＋3π4<θ<2k π＋π，k ∈Z ，所以sin θ＋cos θ<0， 所以sin θ＋cos θ＝－105. [答案] －10513．已知sin α＝1－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，求sin 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋1的取值范围．[解] 因为sin α＝1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝1－cos β，所以cos β＝1－sin α. 因为－1≤cos β≤1，所以－1≤1－sin α≤1，0≤sin α≤2， 又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0，1]．所以sin 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＋1＝sin 2α＋cos β＋1＝sin 2α－sin α＋2＝⎝⎛⎭⎫sin α－122＋74(*)．又sin α∈[0，1]，所以当sin α＝12时，(*)式取得最小值74；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为⎣⎡⎦⎤74，2.14．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin 2 θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．[解] (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12，或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.π6或θ＝π3.又θ∈(0，2π)，故θ＝。