山东理工大学离散数学07-08年试题

P ((P Q) (Q P)) 的主合取范式为 P Q
（3 分）
方法二：真值表法
P Q P ((P Q) (Q P))
FFT
FTT
TFF
TTT
（4 分）
P ((P Q) (Q P)) 的主析取范式为 m00 m01 m11 (P Q) (P Q) (P Q) （3 分）
a b
c
e
d
f
g
（答案不唯一）（6 分）评分细则：每画错一个结点扣 1 分，直到扣为 0 分止。若树高度画错此题记为 0 分。
a 对应的前缀码为：00
b 对应的前缀码为：10
c 对应的前缀码为：010
d 对应的前缀码为：111
e 对应的前缀码为：011
f 对应的前缀码为：1100 g 对应的前缀码为：1101
七、（10 分）Q 为有理数集，设*为定义在 Q 上的运算 a*b=a+b-4 1）.*在 Q 上可结合吗？*在 Q 上可交换吗？ 2）.求 Q 中关于运算*的幺元。 3）.集合 Q 上所有的元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解： 1).对于 Q 中的任意元素 a,b,c ,(a*b)*c=(a+b-4)*c= a+b-4+c-4=a+b+c-8=a*(b*c) ,所以*在 Q 上可结合。（2 分） 因为 a*b=a+b-4＝b*a 所以*在 Q 上可交换。（2 分） 2）设 e 为所求的幺元，则对于任意的 a∈Q 有 a*e=e*a=a =a+e-4 解得 e=4 ,所以 Q 中关于运算*的幺元为 4。(3 分) 3）任取 a∈Q，有 8-a∈Q, 而 a*(8-a)=a+(8-a)-4=4
（4 分）
山东理工大学《离散数学》试卷纸
共 3 页 第1 页
（A）卷
第 2007-2008 学年第 二 学期
班级：
姓名：
学号：
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五、简答题（10 分） 设集合 A={1，3，4，5，6，12，24}，D 为 A 上的整除关系，则 （1）.〈A ，D 〉是偏序集吗？ （2）.写出集合{3，4，6，12}的上确界、下确界、极大元、极小元、最大元、最小元。
适用专业 计算机科学与技术
题号
一
二
三
得分
评阅人
复核人
考核性质 考试 闭 卷
四
五六 七
命题教师 张艳华 石少俭 考试时间 100 分钟
八
九
十 十一
总分
一、判断题：(对者划√, 错者划× 10 分)
1．如果 A B ，则有 A B 。(√ ) 2．设 R 与 S 是集合 A 上的任意两个关系。若 R 与 S 是反对称的，则 RoS 也是反对称的。（× ）
八、（10 分）
1、（5 分）试画出一个无向图，它是欧拉图，但不是哈密尔顿图。
（5 分）（答案不唯一） 2、（5 分）求下图的最小生成树。（不写步骤）
4
2 13
2
12 11 5 6
8
9
7
9
10
（5 分） 评分细则：每画错一条边扣 1 分，直到扣为 0 分止。
13
56 8
九、（10 分）设在通信中 a，b，c，d，e，f，g 这 7 个字母，传输时出现的频率分别为 35%，20%，15%，9%，11%，5%，5%， 画出相应的最优二叉树，并写出每个字母对应的前缀码。
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山东理工大学《离散数学》答案及评分细则
（ A）卷
第 2007-2008 学年第二 学期
班级：
姓名：
学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
（3 分）
2）对称：因为 <<x,y>,<u,v>>∈R xv=yu, uy=vx, 所以<<u,v>,<x,y>>∈R
（3 分）
）传递：因为如果<<x,y>,<u,v>>∈R , <<u,v>,<s,t>>∈R ,xv=yu,ut=vs,xvut=yuvs,xt=ys, 所以<<x,y>,<s,t>>∈R
3．（0，1，3，3，3）可以构成简单图的度数序列。（ × ）
4．如一个有向图是欧拉图，则此图一定是强连通图。此命题真值为真。（ √ ）
5．若〈S，*〉是一个阿贝尔群，则在关于运算*的运算表中任意两行或两列都是不相同的。（ √ ）
二、填空题：（每空 2 分 共 20 分）
1．将命题符号化。“凡偶数均能被 2 整除”。其中 F(x)：x 是偶数。G(x)：x 能被 2 整除。（ x(F(x) G(x)) ）。
2．已知集合 A={1,2}，则 A 上可以定义（ 16 ）个不同的二元关系， A 的幂集为（{{1},{2},{1,2}, } ）。 3．设 M(x)：x 是人，G(x)：x 犯错误。则命题“没有不犯错误的人”形式化为（ x(M (x) G(x)) ）。
4．已知集合 A 和 B，|A|=3， |B|=4 则 A,B 间有（ 64 ）个函数；
答：（1）.〈A ，D 〉是偏序集。（4 分） （2）集合{3，4，6，12}的上确界为 12、下确界为 1、极大元为 12、极小元为 3，4、最大元为 12、最小元无 （每个 1 分，共 6 分）
六、证明题：(10 分) 设<G，*>是群，对任一 aG，令 H={y|y*a=a*y，yG},试证明<H，*>是<G，*>的子群。 证明：显然 H G,运算*在 H 中满足结合性。 对于任意的 x,yH,以及任意的 aG,因为 (x*y)*a=x*y*a=x*a*y=a*x*y=a*(x*y) 所以 x*yH,运算*关于 H 是封闭的。 （5 分） 记 e 为 G 的幺元，因为 e*a=a*e,所以 eH 对于任意的 xH，由于 x*a=a*x,所以 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1 即得 a*x-1=x-1*a 有 x－1 H 综上所述<H，*>是<G，*>的子群。 （5 分）
(8-a)*a=(8-a)+a-4=4 所以 Q 上任一的元素 a 都有逆元 8-a. .（3 分）
山东理工大学《离散数学》试卷纸
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（A ）卷
第 2007-2008 学年第 二 学期
班级：
姓名：
学号：
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5．若 G=<V, E>为 n 阶无向完全图，则每个结点的度数为（n-1 ）。
6．若某连通平面图有 10 个结点，12 条边，r 个面，则 r=（ 4 ）。
7．在代数系统<I,+>中，－5 的逆元为（ 5 ）,33=（ 9 ） 。
8．10 阶群的子群的阶数可能为（1，2，5，10 ）
三、（10 分）试求 P ((P Q) (Q P)) 的主析取范式与主合取范式。
P ((P Q) (Q P)) 的主合取范式为 M10 P Q
（3 分）
四、（10 分）. 设正整数的序偶集合 A，在 A 上定义二元关系 R 如下:
<<x,y>,<u,v>>∈R,当且仅当 xv=yu,
证明：R 是 A 上的等价关系。
பைடு நூலகம்证明：1）自反：因为 <x,y>∈A,xy=yx 所以<<x,y>,<x,y>>∈R
(4 分) 评分细则：每写错两个字母前缀码扣 1 分。
共 3页 第 3 页
解：方法一： P ((P Q) (Q P)) P ((P Q) (P Q)) P ((P (P Q)) (Q (P Q)))
P (P Q) (P P) (P Q) P Q M10 (4 分)
P ((P Q) (Q P)) 的主析取范式为 m00 m01 m11 (P Q) (P Q) (P Q) （3 分）