2012年高考数学总复习第一轮二次函数学生

第3讲 │ 规律总结
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布有关的结论： ．二次方程 的根的分布有关的结论： ＋ ＝ ≠ 的根的分布有关的结论 (1)方程 ＝0的两根中一根比 大，另一根比 小⇔a·f(r)＜0. 方程f(x)＝ 的两根中一根比 的两根中一根比r大 另一根比r小 方程 ＜ ∆＝b2－4ac>0， ， ＝ b (2)二次方程 ＝0的两根都大于 ⇔－ >r， 二次方程f(x)＝ 的两根都大于r⇔ ， 二次方程 的两根都大于 2a
第3讲 │ 要点探究
探究点2 ► 探究点 区间上的二次函数的最值
例2
试求二次函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间 ＝ ＋ 在区间[1,2]上的最小值． 上的最小值． 试求二次函数 ＋ 在区间 上的最小值
[思路 二次函数图像的对称轴为 ＝－ ，要求函数在区间 思路]二次函数图像的对称轴为 ＝－a， 思路 二次函数图像的对称轴为x＝－ [1,2]上的最小值就需要看对称轴与 上的最小值就需要看对称轴与[1,2]的位置关系，为此需结 的位置关系， 上的最小值就需要看对称轴与 的位置关系 合二次函数的图像对a进行分类讨论． 合二次函数的图像对 进行分类讨论． 进行分类讨论
第3讲 │ 要点探究
设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数 ． ＝ ＋ － 为实数)． 设函数 ∈ ， 为实数 (1)若f(x)为偶函数，求实数 的值； 若 为偶函数， 的值； 为偶函数 求实数a的值 (2)设a>2，求函数 设 的最小值． ，求函数f(x)的最小值． 的最小值
[思路 思路] 思路
根，则根与系数的关系是____________． 则根与系数的关系是 ． ∆ 弦长|M 弦长 1M2| ＝______＝ . ＝ |a|
第3讲 │ 知识梳理
5．二次函数在闭区间上的最值 ． 在闭区间[p， 上的最大值为 上的最大值为M， 若a＞0，二次函数 在闭区间 ，q]上的最大值为 ，最小值 ＞ ，二次函数f(x)在闭区间 为N. 1 令x0＝ (p＋q)， ＋ ， 2 b (1)若－ ＜p，则M＝______，N＝______； 若 ， ＝ ， ＝ ； 2a b (2)若－ ＞q，则M＝______，N＝______； 若 ， ＝ ， ＝ ； 2a b (3)若p≤－ ≤x0，则M＝________，N＝________； 若 ≤ ＝ ， ＝ ； 2a b ， ＝ ， ＝ (4)若x0＜－ ≤q，则M＝________，N＝________. 若 2a
[思路 思路] 思路
已知函数类型，利用待定系数法求解． 已知函数类型，利用待定系数法求解．
第3讲 │ 要点探究
(1)已知函数 已知函数f(x)＝2x2＋bx＋c，当－ 已知函数 ＝ ＋ ＋ ， 3<x<2时，f(x)<0，当x<－3或x>2时，f(x)>0，则b＝ 时 ， － 或 时 ， ＝ ______，c＝______. ， ＝
第3讲 │ 二次函数
第3 讲
二次函数
学友教育
坚持，你们就一定会取得成功！
第3讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．二次函数的解析式的三种形式 ． (1)一般式：____________ 一般式： ________； 一般式 ； (2)顶点式：__________________ 顶点式： __； 顶点式 ； (3)两根式：___________ 两根式： _________. 两根式 2．二次函数 ．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤 ＝ ＋ ≠ 配方法的步骤 (1)f(x)＝____________________； ＝ ； － 2 b 2 4ac－b (2)f(x)＝_____ _________＝ax＋2a ＋ . ＝ ＝ ＋ 4a 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条抛物线，对称 的图像是一条抛物线， 二次函数 ＝ ＋ ≠ 的图像是一条抛物线 轴方程为__________________，顶点坐标是 轴方程为 ， ______________________；当a＞0时，开口向上，当a＜0时， ； ＞ 时 开口向上， ＜ 时 开口向下． 开口向下．
第3讲 │ 要点探究
已知函数f(x)＝－ ＋2ax＋1－a在0≤x≤1 ＝－x2＋ 已知函数 ＝－ ＋ － 在 上有最大值2， 的值． 上有最大值 ，求a的值． 的值
第3讲 │ 要点探究
探究点3 ► 探究点 二次函数的综合应用
已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常 例3 已知函数 ＝ － ＋ － 为实常 数)． ． (1)若a＝1，作函数 的图像； 若 ＝ ，作函数f(x)的图像； 的图像 (2)设f(x)在区间 在区间[1,2]上的最小值为 上的最小值为g(a)，求g(a) 设 在区间 上的最小值为 ， 的表达式． 的表达式． [思路 思路] 思路 求解 利用分类讨论思路， 利用分类讨论思路，将函数转化为分段函数
第3讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1 探究点 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数 已知二次函数f(x)满足 满足f(2)＝－ ，f(－1)＝－ ， ＝－1， － ＝－ ＝－1， 满足 ＝－ 的最大值为8，试确定此二次函数的解析式． 且f(x)的最大值为 ，试确定此二次函数的解析式． 的最大值为
a·f(r)>0. ()
(3)二次方程 ＝0在区间 ，q)内有两根⇔ 二次方程f(x)＝ 在区间 在区间(p， 内有两根 内有两根⇔ 二次方程 ∆＝b2－4ac>0， ， ＝ p<－ b <q， － ， 2a ( ) ， a·f(q)>0， a·f(p)>0. ( )
(4)二次方程 ＝0在区间 ，q)内只有一根⇔f(p)·f(q)＜0，或f(p) 二次方程f(x)＝ 在区间(p， 内只有一根⇔ ＜ ， 二次方程 在区间 内只有一根 内或f(q)＝ ，另一根在(p， 内 ＝0，另一根在 ，q)内或 ＝0，另一根在 ，q)内． ，另一根在(p， 内或
第3讲 │ 要点探究
[点评 求二次函数的值域或最值，常用方法是配方 点评] 求二次函数的值域或最值， 点评 法．二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或区间端点 处取得；如果解析式中含参数， 处取得；如果解析式中含参数，需要对参数进行分类讨 根据对称轴与给定区间的位置关系， 论，根据对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数 的图像利用二次函数的单调性处理．反之，如果知道二 的图像利用二次函数的单调性处理．反之， 次函数的最值，也可以求参数的取值范围， 次函数的最值，也可以求参数的取值范围，如下面的变 式题． 式题．
(1)利用函数奇偶性的定义得到 满足的关系式；(2பைடு நூலகம்利用分段函数 利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式 利用函数奇偶性的定义得到 满足的关系式； 利用分段函数
的最值的求解方法解决． 的最值的求解方法解决．
第3讲 │ 规律总结 规律总结
1．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它 ．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值， 只能在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定” 只能在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定”和 轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图像特征(开 “轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图像特征 开 口方向、对称轴与该区间的位置关系)， 口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标 是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求 是否属于该区间， 解． 2．对于一元二次方程实根的分布问题，需要结合二 ．对于一元二次方程实根的分布问题， 次函数的图像，从三个方面考虑： 判别式 判别式； 区间端点 次函数的图像，从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点 函数值的正负；(3)对称轴与区间端点的关系，这就要求注 函数值的正负； 对称轴与区间端点的关系， 对称轴与区间端点的关系 意数形结合在解题中的应用． 意数形结合在解题中的应用．
第3讲 │ 要点探究
(2)二次函数 二次函数f(x)，对任意的 都有 都有f(x)≥f(1)＝－ 恒成 ＝－2恒成 二次函数 ，对任意的x都有 ＝－ 立，且f(0)＝1，则f(x)＝________. ＝ ， ＝
第3讲 │ 要点探究
(3)已知 已知f(x)是二次函数，且满足 ＋1)－2f(x－1)＝ 是二次函数， 已知 是二次函数 且满足f(x＋ － － ＝ x2－2x＋17，则f(x)＝________. － ＋ ， ＝
第3讲 │ 知识梳理
6．一元二次不等式的解集与二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的关系 ．一元二次不等式的解集与二次方程 ＋ ＋ ＝ 的根的关系 (1)若a>0，方程 若 有两个不等的实根x1， ，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根 ，x2(x1<x2)， ＋ ＋ ＝ 有两个不等的实根 ， 则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ＋ ＋ 的解集为___________________________； 则不等式 的解集为 ； 不等式ax2＋bx＋c<0的解集为 ＋ ＋ 的解集为__________________． 不等式 的解集为 ． (2)若a>0，方程 若 有两个相等的实根x0， ，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实根 ，则不等式 ＋ ＋ ＝ 有两个相等的实根 ax2＋bx＋c<0的解集为 ＋ ＋ 的解集为______． 的解集为 ． (3)若a>0，方程 若 无实根， ，方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则不等式 ＋ ＋ ＝ 无实根 则不等式ax2＋bx＋c>0 ＋ ＋ 的解集为______；不等式ax2＋bx＋c<0的解集为 ；不等式 的解集为______． 的解集为 ＋ ＋ 的解集为 ．
第3讲 │ 知识梳理
3．二次函数的单调性及最值 ．
b (1)当a＞0时，函数在－∞，－2a上______， 当 ＞ 时 ， b b ，＋∞ 在－2a，＋∞上______，并且当 ＝－ 时，f(x)min＝________. ，并且当x＝－ 2a b (2)当a＜0时，函数在－∞，－2a上______， 当 ＜ 时 ， b b ，＋∞ － ，＋∞ 在 时，f(x)max＝ 上______，当x＝－ ， ＝－ 2a 2a ____________. 4．根与系数的关系 ． 二次函数f(x)＝ 二次函数 ＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当∆＝b2－4ac＞0时，图像与 ＋ ≠ ， ＝ ＞ 时 图像与x 轴有两个交点M 是方程f(x)＝ 的两 轴有两个交点 1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的 1，x2是方程 ＝0的两 、 ，这里的x