高中同步创新课堂数学讲义课件(北师大版必修1)：第二章§3 (1)

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第二章 函数
利用函数图像确定函数的单调区间，具体的做法是：先化简 函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与 草图的位置、形状，确定函数的单调区间． 注意单调区间不能随便合并，如 y＝1x的单调区间不可写为(－ ∞，0)∪(0，＋∞).
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第二章 函数
2.画出函数 f(x)＝|x－3|＋|x＋3|的图像，并指 出函数的单调区间．
试一试：教材 P39 练习 T2 你会吗？
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第二章 函数
1．函数单调性的定义 在函数 y＝f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两 数 x1，x2∈A，当 x1<x2 时，都有__f(_x_1_)<_f_(_x_2)___，就称函数 y ＝f(x)在区间 A 上是增加的． 类似地，在函数 y＝f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对 于任意两数 x1，x2∈A，当 x1<x2 时，都有__f(_x_1_)_>_f(_x_2_)_，就称 函数 y＝f(x)在区间 A 上是减少的． 如果函数 y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少 的，那么就称函数 y＝f(x)在这个子集上具有单调性．相应的 子集叫作__单__调__区__间_____． 如果函数 y＝f(x)在整个定义域内是增加的或减少的，我们分 别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
(2)已知函数 f(x)＝x－ax在(1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的 取值范围． [解] (1)设 1≤x1＜x2≤3， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋x41－x42
＝(x1－x2)1－x14x2.
又因为 x1＜x2，所以 x1－x2＜0，
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第二章 函数
当 1≤x1＜x2≤2 时，1－x14x2＜0. 所以 f(x1)－f(x2)＞0，所以 f(x)在[1，2]上是减函数． 当 2＜x1＜x2≤3 时，1－x14x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0， 所以 f(x)在(2，3]上是增函数． 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2＋42＝4. 又因为 f(1)＝5，f(3)＝3＋43＝133＜f(1)， 所以 f(x)的最大值为 5.
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第二章 函数
3．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( C )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－x＋1 1
D．f(x)＝－|x|
解析：A 中函数在(0，＋∞)上是递减的，B 中函数在0，32上
是递减的，D 中函数在(0，＋∞)上是递减的，故选 C.
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第二章 函数
2．对函数的单调区间的两点说明 (1)若函数的单调增(或减)区间有多个，区间之间一般不能用 “∪”来表示，可以用“，”“和”等来连接两个区间． (2)区间端点的书写，对于单独的一点，由于它的函数值是唯 一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因 此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但 是对于某些点无意义时，即不在定义域范围内的点，单调区 间就不包括这些点，只能用开区间．
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第二章 函数
探究点一 函数单调性的证明与判断 已知函数 f(x)＝xx＋－21，x∈[3，5]，判断函数 f(x)的单 调性，并利用单调性的定义证明． (链接教材 P37 例 2)
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第二章 函数
[解] 函数 f(x)在[3，5]上为增函数．证明如下： 设任意 x1，x2∈[3，5]且 x1＜x2，则 x2－x1＞0， 所以 f(x2)－f(x1)＝xx22－＋12－xx11－ ＋12＝（x13＋（2x）2－（xx12）＋2）. 因为 3≤x1＜x2≤5， 所以 x2－x1＞0，(x1＋2)(x2＋2)＞0， 所以 f(x2)－f(x1)＞0， 所以 f(x)在[3，5]上为增函数．
＝ 1－x2－ 1－x1
＝
x1－x2
，由假设可知
1－x2＋ 1－x1
x1－x2＜0, 1－x2＋ 1－x1＞0， 所以 f(x2)－f(x1)＜0，即 f(x1)＞f(x2)，
故函数 f(x)＝ 1－x在(－∞，1]上是递减的．
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第二章 函数
探究点二 用图像法确定函数的单调区间 画出函数 f(x)＝|x＋1|的图像并指出函数的单调区间． [解] 因为 f(x)＝x－＋x1－，1，x≥x－ ＜1－，1的图 像如图所示： 由图像可知 f(x)在(－∞，－1)上是下降 的，在[－1，＋∞)上是上升的． 所以 f(x)在区间(－∞，－1)上是递减的，在区间[－1，＋∞) 上是递增的．
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第二章 函数
2．最大值与最小值 (1)最大值 函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指的是：函数在这 个区间上所有点的函数值都不超过 f(x0)． (2)最小值 函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指的是：函数在这 个区间上所有点的函数值都不小于 f(x0)． 函数的最大值和最小值统称为最值．
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第二章 函数
(2)任取 x1，x2，且 1<x1<x2. 因为函数 f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以 f(x1)－f(x2)＝x1－xa1－x2－xa2 ＝(x1－x2)1＋x1ax2<0.
又因为 x1－x2<0，所以 1＋x1ax2>0，即 a>－x1x2. 因为 1<x1<x2，x1x2>1，－x1x2<－1. 所以 a≥－1，即 a 的取值范围是[－1，＋∞)．
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第二章 函数
2．设定义在 R 上的函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)( D ) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
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第二章 函数
解析：因为 f(x)＝x|x| ＝x－2，x2，x≥x＜0，0， 其函数图像如图所示，所以 f(x)在 R 上既 无最大值，也无最小值．
f(x)，对于任意 x1，x2∈A，x1≠x2，都有f（x1）x1－－xf（2 x2）＜ 0，则 y＝f(x)在 A 上是减少的．( √ ) (3)若函数 y＝f(x)在闭区间 A 上单调，则函数 y＝f(x)在区间 A 上存在最大值和最小值．( √ ) (4)若函数 y＝f(x)的最大值和最小值分别为 M，m，则函数 y ＝f(x)的最大值(最小值)点是唯一的．( × ) (5)由于函数的单调性是一个局部性概念，所以叙述函数的单 调性要指出对应的区间．( √ )
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第二章 函数
2．定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b， 总有f（a）a－ －bf（b）＞0 成立，则必有( B ) A．函数 f(x)是先增加后减少的 B．f(x)在 R 上是增函数 C．函数 f(x)是先减少后增加的 D．f(x)在 R 上是减函数 解析：由题意知对任意 a，b∈R，若 a＜b，f(a)＜f(b)；若 a ＞b，f(a)＞f(b)，所以 f(x)在 R 上是增函数．
第二章 函数
4．函数 y＝x＋1 1在单调区间[0，1]上的最大值、最小值分别 为__1_，__12___．
解析：令
0≤x1 ＜ x2 ≤ 1 ， 则
y1
－
y2
＝
1 x1＋1
－
1 x2＋1
＝
（x1＋1x）2－（x1x2＋1）＞0，
所以 y＝x＋1 1在[0，1]上是递减的，当 x＝0 时，y 最大＝1，当
x1，x2 有什么样的大小关系？ (4)什么 是增函数(减函 数)？什么是 单调函数？
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第二章 函数
2．例题导读 (1)P37 例 1.通过本例学习，理解求函数的单调区间，应先确 定函数的定义域． (2)P37 例 2.通过本例学习，理解函数的图像在判断函数单调 性中的作用，掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．
由 x＜1 时，函数 f(x)＝ax＋1 是减函数，得 a＜0， 分段点 1 处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1， 解得 a≥－2， 所以－ 2≤ a＜ 0.
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第二章 函数
[错因与防范] (1)因忽略分段点 x＝1 处函数值应满足的条 件而出现错误，造成失分． (2)应注意列出的条件符合单调函数的定义．
－2x，x≤－3， 解：f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝6，－3＜x≤3，
2x，x＞3.
图像如图所示． 由图像知， 函数在区间(－∞，－3]上是递减的， 在区间[3，＋∞)上是递增的．
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第二章 函数
探究点三 函数单调性的应用
(1)求函数 f(x)＝x＋4x在[1，3]上的最小值和最大值．
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第二章 函数
x2－ax＋5，x＜1，
4．已知函数 f(x)＝1＋1x，x≥1
在 R 上单调，则实数
a 的取值范围为( D )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞)
D．[2，4]
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第二章 函数
解析：由题意知需 x2－ax＋5 在(－∞，1)上是递减的，且 12 －a＋5≥1＋1.
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第二章 函数
3.已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1，2]上具 有单调性，求实数 a 的取值范围． 解：函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图像开口向上，对称轴为直线 x＝ a，画出草图如图 所示．
由图像可知函数在 (－∞， a]和 [a，＋∞ )上都具有单调性，因 此要使函数 f(x)在区间[1，2]上 具有单调性，只需 a≤1 或 a≥2， 从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).
x＝1 时，y 最小＝12.
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第二章 函数
1．增(减)函数概念中 x1，x2 的三个特征 (1)属于同一区间：判断“函数 f(x)在区间 M 上是增(减)函 数”，x1，x2 必须同属于“区间 M”(区间 M⊆A)． (2)任意性：“x1，x2 是区间 M 中的任意两个值”． (3)有大小：“Δx＝x2－x1＞0”这是固定的．