命题逻辑的基本概念
第2章 命题逻辑(1)
析取
符号
读作“析取”
定义2.3：设p，q为两命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p Ú q ，符号 称为析取联结词。并规定p q为假当且仅当p与q
同时为假。
真值表：
PQ 00
P Q
0
例子 小李是学数学或者计算
01
1
10
1
11
1
机科学pq p：小李是学数学 q：小李是学计算机 科学
2.1.1 命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）3不是偶数。
复合命题
（7）林芳学过英语或日语。
复合命题
合取
例：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。
p q
（2）吴颖不仅用功而且聪明。
p q
（3）吴颖虽然聪明，但不用功。
p q
（4）张辉与王丽都是三好学生。
r s
（5）张辉与王丽是同学。
t
p:吴颖用功。
q:吴颖聪明。
r:张辉是三好学生。
s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
注意：若“和”、“与”连接的是主语成分，则该陈述句为简单命题。
FT
T
F
F
补充：翻译语句
因为语言（包括一切人类语言）常有二义性，把 句子译成逻辑表达式可以消除歧义
把语言翻译成由命题变量和逻辑联接词组成的表 达式
第2章_1节-命题逻辑基本概念
定义2.4 设p，q为两个 命题“如果p，则q” 称作p与q的蕴涵式， 记作 pq，并称p是 蕴涵式的前件，q为蕴 涵式的后件，称蕴 涵联接词.其真值表为 ： p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
pq也可表示为： （1）只要p，就q； （2）因为p，所以q （3）p仅当q； （4）只有q，才p； （5）除非q，才平； （6）除q，否则非p； （7）假如没有q，就没有p.
离散数学
主讲教师：易静
1
2.1 命题逻辑基本概念
关键知识点： • 命题与真值 •联结词(¬ , , , , , ) •命题公式(重言式,矛盾式,可满足式) •重要等值式 •重要推理规则 •个体,个体域与谓词 •全称量词与存在量词
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命题与真值
命题:所表达的判断是真（正确）或假（错误）但不能可 真可假的陈述句。通常用p,q,r等表示（即命题符号化） 命题的真值:作为命题所表达的判断只有两个结果：正确 和错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误 的，称此命题的真值为假。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用 1和0来表达，也有时分别用T(True)和F(False)来表 达。本书用1和0来表达。（即真值的符号化） 真命题:真值为真的命题 假命题:真值为假的命题 例如, p:2+2=4, q:3是偶数 它们都是命题, p是真命题, q是假命题.
定义2.2 设p，q为二 命题，复合命题“p并 且q”（或“p与q”） 称为p与q的合取式， 记作pq，称作合取 联接词. 其真值表为：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1
也可表示联接词： “既......,又.......”， “不但......而 且......”, “虽然......但 是.......”, “一面......一 面.......”等
1.1命题逻辑基本概念
(4) ┐p→┐q
例1.5 将下列命题符号化，并指出其真值
以下命题中出现的a是一个给定的正整数： (5) 只要a能被4整除，则a一定能被2整除。 (6) a能被4整除，仅当a能被2整除。 (7) 除非a能被2整除， a才能被4整除。 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 (9) 只有a能被2整除， a才能被4整除。 (10)只有a能被4整除， a才能被2整除。
例1.3 将下列命题符号化
(1)吴颖既用功又聪明。 (2)吴颖不仅用功而且聪明。 (3)吴颖虽然聪明，但不用功。 (4)张辉与王丽都是三好学生。
(5)张辉与王丽是同学。
p: q: r: s: t:
吴颖用功。 吴颖聪明。 张辉是三好学生。 王丽是三好学生。 张辉与王丽是同学。
解题要点： 正确理解命题含义。 找出原子命题并符号化。 选择恰当的联结词。
例1.2
将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化，并指出它 们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p： 2 是有理数 q：2是素数； r：2是偶数 s：3是素数； t：4是素数
0 1 1 1 0
非p； q并且(与)r； q或t； 如果q，则s； q当且仅当s。
1.1 命题符号化与联结词
称能判断真假的陈述句为命题 （proposition）。 作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。 真值只取两个：真与假。
真值为真的命题称为真命题。
真值为假的命题称为假命题。
说 明
感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。 判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。
关于真值（逻辑）联结词的说明
数学逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑的基本概念
数学逻辑是数学中的一门重要学科，它研究的是关于命题和谓词的逻辑关系。
命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念，它们在逻辑推理和论证中起着重要的作用。
首先，让我们来了解一下命题逻辑。
命题逻辑是逻辑学中研究命题和命题之间逻辑关系的一门学科。
命题是陈述句，可以是真或假的陈述句。
命题逻辑关注的是命题之间的“与”、“或”、“非”等逻辑关系。
在命题逻辑中，我们可以使用逻辑运算符来表示不同的逻辑关系。
例如，“与”运算符用符号“∧”表示，表示命题p和命题q都为真时整个命题为真。
同样地，“或”运算符用符号“∨”表示，表示命题p和命题q中至少有一个为真时整个命题为真。
此外，在命题逻辑中，还有一些常用的推理规则，如简化规则、析取规则、假言推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的命题推导出新的命题，并进行正确的推理和论证。
接下来，我们来了解一下谓词逻辑。
谓词逻辑是逻辑学中研究谓词和谓词之间逻辑关系的一门学科。
谓词是带有变量的物质，它表示一个属性或特征。
谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系以及变量的取值范围。
在谓词逻辑中，我们可以使用量词来表示变量的范围。
例如，“∀”表示全称量词，表示一个命题对于所有的变量都成立。
“∃”表示存在量词，表示存在一个变量使得命题成立。
与命题逻辑类似，谓词逻辑也有一些常用的推理规则，如全称推理规则、存在推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的谓词条件推导出新的谓词条件，并进行正确的推理和论证。
同时，命题逻辑和谓词逻辑在数学中具有广泛的应用。
它们可以帮助我们进行逻辑推理，判断论证的有效性。
在数学证明中，命题逻辑和谓词逻辑也是必不可少的工具。
利用命题逻辑和谓词逻辑，我们可以对命题进行分析和论证，从而得出正确的结论。
总而言之，命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念。
命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系和变量的取值范围。
这两个概念在逻辑推理和论证中起着重要的作用，并在数学中具有广泛的应用。
命题逻辑的基本概念和符号
命题逻辑的基本概念和符号命题逻辑作为逻辑学的一个重要分支，研究的是命题及其之间的关系。
在命题逻辑中，有一些基本概念和符号是我们必须要了解的。
一、命题命题是一个陈述性的句子，它要么是真的，要么是假的，不存在中间值。
比如，“天空是蓝色的”和“2加2等于5”都是命题。
我们可以用大写字母P、Q、R等来表示命题。
二、命题变项命题变项是指用小写字母p、q、r等来表示具体的命题。
它们通常用来表示多个具体的命题，而不是单个的命题。
三、命题运算符命题运算符是用来表示命题之间关系的符号。
常见的命题运算符有如下几种：1. 否定运算符（¬）：表示取反，即命题的否定。
若P为一个命题，那么¬P表示P的否定。
2. 合取运算符（∧）：表示逻辑“与”，即两个命题同时为真时结果才为真。
若P和Q都是命题，那么P∧Q表示P与Q同时为真。
3. 析取运算符（∨）：表示逻辑“或”，即两个命题其中一个为真时结果就为真。
若P和Q都是命题，那么P∨Q表示P或Q至少一个为真。
4. 条件运算符（→）：表示逻辑“如果...那么”，即若一个命题成立，则另一个命题也成立。
若P和Q都是命题，那么P→Q表示如果P成立，则Q也成立。
5. 双条件运算符（↔）：表示逻辑“当且仅当”，即两个命题同时为真或同时为假时结果为真。
若P和Q都是命题，那么P↔Q表示当且仅当P和Q同时为真或同时为假。
四、真值表真值表是用来列出命题在不同情况下的真值的表格。
通过真值表，我们可以确定命题在各种情况下的真假情况，从而帮助我们进行逻辑推理。
五、重言式和矛盾式重言式是指在所有情况下都为真的命题，矛盾式是指在所有情况下都为假的命题。
根据命题逻辑的基本规则，我们可以通过真值表判断一个命题是重言式还是矛盾式。
六、命题公式命题公式是由命题和命题运算符组成的复合命题。
常见的命题公式可以通过命题运算符的组合得到，如(P∧Q)→R。
综上所述，命题逻辑的基本概念和符号对于我们理解和分析命题之间的逻辑关系非常重要。
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
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命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
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命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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逻辑学的基本原理与概念
逻辑学的基本原理与概念逻辑学是一门研究思维和推理规律的学科，它关注的是我们如何正确地思考和推理。
逻辑学的基本原理和概念为我们提供了一种清晰、准确和合理的思维方式，帮助我们更好地理解和分析问题。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学的基础，它研究的是命题之间的关系。
命题是陈述性语句，可以被判断为真或假。
命题逻辑的基本原理包括“与”、“或”、“非”和“蕴涵”等。
其中，“与”表示两个命题同时为真时整个命题为真，“或”表示两个命题中至少有一个为真时整个命题为真，“非”表示命题的否定，“蕴涵”表示如果前提为真，则结论也为真。
命题逻辑的概念还包括真值表、逻辑联结词和命题公式等。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它研究的是命题中的对象和属性之间的关系。
谓词逻辑引入了量词和谓词，量词包括全称量词和存在量词，用来表示命题在某个范围内是否成立。
谓词表示对象的性质或关系，它可以是单个对象的属性，也可以是多个对象之间的关系。
谓词逻辑的基本原理包括量词的分配律、量词的对偶律和量词的去范围律等。
三、推理推理是逻辑学的核心内容，它研究的是从已知命题出发得出新的结论的方法和规则。
推理可以分为演绎推理和归纳推理两种。
演绎推理是从一般到个别的推理过程，它基于命题逻辑和谓词逻辑的规则，通过逻辑推理得出结论的正确性。
归纳推理是从个别到一般的推理过程，它通过观察和实验得出一般性的结论。
推理的基本原理包括假言推理、拒取式推理、假设演绎和归谬法等。
四、谬误谬误是逻辑学研究的一个重要内容，它指的是推理过程中的错误和伪命题。
谬误可以分为形式谬误和实质谬误两种。
形式谬误是指推理过程中违反了逻辑规则，导致结论不正确。
实质谬误是指推理过程中出现了事实错误或逻辑错误，导致结论不可靠。
谬误的常见类型包括偷换概念、诉诸个人攻击、虚假二选一和滥用类比等。
了解和识别谬误有助于我们避免在思考和推理过程中犯错。
总结起来，逻辑学的基本原理和概念为我们提供了一种清晰、准确和合理的思维方式。
逻辑与命题的基本概念与性质知识点总结
逻辑与命题的基本概念与性质知识点总结逻辑与命题是逻辑学的两个重要概念。
逻辑是研究思维、推理和判断的科学，而命题是逻辑讨论的基本单位。
在本文中，我们将对逻辑与命题的基本概念与性质进行总结。
一、逻辑的基本概念逻辑是一门研究思维规律和正确推理的学科。
它研究了推理的形式和结构，以及推理过程中的误区和常见的谬误。
逻辑分为形式逻辑和实质逻辑两个方面。
形式逻辑研究命题和推理的结构，而实质逻辑则关注具体领域中的思维与推理。
逻辑学中的基本概念包括命题、命题联结词、真值表、逻辑等值式、推理形式等。
其中，命题是逻辑讨论的基本单位。
二、命题的基本概念与性质命题是陈述语句，可以判断为真或假的陈述。
命题的基本性质如下：1. 真值性：命题必然具有确定的真值，即真或假。
2. 独立性：命题的真值与其他命题的真值相互独立，互不影响。
3. 完整性：命题必然具有确定的真值，不存在不确定或模棱两可的情况。
4. 互斥性：命题的真值只能是真或假，不能同时为真和假。
5. 排中律：任何一个命题，必然为真或假中的一个，不存在中间值。
通过命题联结词，我们可以对多个命题进行组合，形成复合命题。
常见的命题联结词有“与”、“或”、“非”等。
三、逻辑运算与真值表逻辑运算是通过对命题进行合理的组合，形成复合命题并进行推理的过程。
根据不同的逻辑运算，可以得到命题之间的真值关系。
1. 与运算：当且仅当所有参与运算的命题都为真时，结果命题才为真。
用符号“∧”表示。
2. 或运算：当至少有一个参与运算的命题为真时，结果命题就为真。
用符号“∨”表示。
3. 非运算：对一个命题取反，真命题变为假，假命题变为真。
用符号“¬”表示。
4. 异或运算：当参与运算的命题真值不同的时候，结果命题为真；否则为假。
用符号“⊕”表示。
5. 条件运算：若p为真，q为假，则条件运算“若p，则q”为假；否则为真。
用符号“→”表示。
通过构建真值表，我们可以清楚地展示不同命题组合运算的结果。
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命题逻辑的基本概念
命题逻辑（propositional logic），又称命题演算，是数理逻辑的一个分支，它研究命题与命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是语句或陈述，可以判断为真或假。
命题逻辑的基础概念包括命题、联结词和复合命题等。
一、命题
在命题逻辑中，命题是用来陈述某种事实或陈述的语句，可以判断为真或假。
命题通常用字母表示，如p、q、r等。
下面是一些例子：
1. p：今天是晴天。
2. q：明天会下雨。
3. r：1+1=2。
二、联结词
联结词是用来连接命题的词语，它们可以表示不同的逻辑关系。
常见的联结词有否定、合取、析取、条件、双条件等。
1. 否定（¬）：表示命题的否定，将命题的真值取反。
例如，¬p表示命题p的否定。
2. 合取（∧）：表示逻辑与的关系，表示两个命题都为真时，结果命题才为真。
例如，p∧q表示命题p和命题q都为真。
3. 析取（∨）：表示逻辑或的关系，表示两个命题中至少一个为真时，结果命题为真。
例如，p∨q表示命题p或命题q至少一个为真。
4. 条件（→）：表示逻辑蕴含的关系，表示命题p成立时，命题q
也必定成立。
例如，p→q表示命题p蕴含命题q。
5. 双条件（↔）：表示逻辑等价的关系，表示命题p和命题q有相
同的真值。
即当p和q同时为真或同时为假时，结果命题为真。
例如，p↔q表示命题p和命题q等价。
三、复合命题
复合命题是由多个命题通过联结词构成的新命题。
复合命题的真假
取决于其组成命题的真假以及联结词的逻辑关系。
例如：
1. (p∧q)→r：表示命题p和命题q的合取蕴含命题r。
2. ¬(p∨q)：表示命题p和命题q的析取的否定。
3. p↔q∧r：表示命题p和命题q等价，并且命题r为真。
在命题逻辑中，通过运用联结词的组合和推理规则，可以进行逻辑
推理和推断。
命题逻辑为我们提供了分析和解决复杂问题的思维工具。
总结：
命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，研究命题与命题之间的逻辑
关系。
命题逻辑的基本概念包括命题、联结词和复合命题等。
命题逻
辑为我们提供了分析和解决问题的思维工具。
通过掌握命题逻辑的基
本概念，我们可以更好地理解逻辑推理和推断的过程，提升我们的思
维能力和解决问题的能力。
命题逻辑的应用涉及到数学、计算机科学、哲学等多个领域，对我们的学习和研究具有重要意义。
（以上为AI助手根据题目所给内容自动生成正文，如需修改或补充，请提供更具体的要求。
）。