二次函数(一)
二次函数图象(1)
?
做一做
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作Βιβλιοθήκη 二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和 y=3(x+1)2的图象． 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值, 它们之间有什么关系?
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x 2
y 3x 1 y 3x 1
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3 x2
27
12 27
3 12
0 3
3 0
12 3
27 12
48 27
3(x-1)2 48
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
做一做
y=3x2 (3)函数y=3(x-1)2的 图象与 y =3 x 2 的图象 有什么关系 ? 它是轴 对称图形吗 ? 它的对 称轴和顶点坐标分别 是什么?
?
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x² , y=3(x-1)2有什么关系?它 的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x-1)2+2 的图象可以看作是抛 x=1 物线y=3x2先沿着x轴向 开口向上 右平移1个单位,再沿直 对称轴仍是平行于 y轴的直 ,当 x=1 时有最小 线x=1向上平移2个单 线x=1;增减性与y=3 x2 类似. 值,且最小值为2. 位后得到的. 顶点是(1,2).
独立 作业
知识的升华
P48 习题2.4
1题.
祝你成功！
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什 么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什 么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有 什么关系? (3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函 数y=3(x+1)2+4呢?
二次函数(1)
初三数学练习——二次函数（1）◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________．4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点．6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h 值为正右移，为负左移；k 值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式） ◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x +1）2的顶点坐标是______，对称轴是_____，当x ______时，y •随x 的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=______，当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为_______，x•的取值范围是_______，当x_______时，y 有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k_____时，抛物线与x 轴有两个交点；当k______时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是_______． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式____________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为_________，对称轴是_________，顶点坐标是_______． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ ）．A ．5个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ ）．A ．y =－ax 2+bx+cB ．y =－ax 2－bx+cC ．y =－ax 2－bx －cD ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点头在一条固定的直线上．初三数学练习——二次函数（1）◆考点链接1．通过对实际问题的分析确定二次函数的关系式，了解二次函数的意义．2．能用描点法画出二次函数的示意图，能利用图象认识二次函数的性质，二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值、•抛物线平移以及增减性． 3．求抛物线解析式的三种常用方法，并会灵活运用． ◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________． 4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点． 6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h值为正右移，为负左移；k值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式）◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x+1）2的顶点坐标是_（－1，_____，对称轴是_ x=－1____，当x_ >－1_____时，y•随x的增大而增大；当x__<－1____时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=__=－2____，当x_<0____时，y随x的增大而增大；当x_>0____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为__ y=－2x2+20x _____，x•的取值范围是_52≤x≤10______，当x___ =5____时，y有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_=2____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k__<2___时，抛物线与x轴有两个交点；当k__>2____时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有 5 个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（B ）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.解：设y=ax2+bx+c，再将A（－1，0），B（0，－3），C（4，5）代入可求得a=1，b=－2，c=－3．∴y=x2－2x－3，即y=（x－1）2－4．∴顶点（1，－4），对称轴是直线x=1，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大．（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．解：∵A （－1，0），B （3，0）在x 轴上，∴设y=a （x+1）（x －3），再将C （0，－3）代入得a=1，y=（x+1）（x －3）， 即y=x 2－2x －3．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式． 解：∵抛物线的顶点是（－1，2），∴设解析式为y=a （x+1）2+2，再将（0，1）代入得a=－1， ∴y=－（x+1）+2，即y=－x 2－2x+1． ◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是__（5，0），（－1，0）_____． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式_如：y=－x 2+3x －4 ___________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为__ y=x 2－2x+1__，对称轴是__ x=1___，顶点坐标是__（1，0）_____． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ A ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ C ）． A ．y =－ax 2+bx+c B ．y =－ax 2－bx+c C ．y =－ax 2－bx －c D ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ B ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．解：（1）)0(212222>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x y（2）画图象注意实际问题自变量的取值范围8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点都在一条固定的直线上． 解：()122-+-=m m x y ∴顶点在12-=x y 上。
二次函数(一)
二次函数（一）
（2）用待定系数法求二次函数的解析式． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
练习题部分：
1．已知：二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图，则下列答案正确的是？（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2
C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
12．已知二次函数 y＝ax2+4x+c，当 x 等于﹣2 时，函数值是﹣1；当 x＝1 时，函数值是 5．则
此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2+4x﹣1
B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1
D．y＝2x2+4x+1
B．﹣1
C．﹣1 或 2
D．以上都不对
6．已知抛物线 y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（2，7）
C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）
7．在函数 y＝（x﹣1）2+3 中，当 y 随 x 的增大而减小时，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1
B．x＞0
C．x＜3
D．x≤1
2x2 相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y 随 x 的增大而减小；x＞﹣ 时，y 随 x 的增大而增大；
2.2 二次函数的图象(一)
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
y 2 x2 3
...
-6
8 3
1.5
2 3
0
2
3
1.5
8 3
-6
...
练一练2
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）
函数图象画法
描点法
列表
y2 x
y x2
y1 x
描点
连线
y x2
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
(3) y 2 x2 3
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
.
抛物线在x轴的
方（除顶点外）.
已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 求出这个二次函数的最大值或最小值；
(3) 在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
第二十四节二次函数图象与性质-(一)
二次函数图象与性质 (一)【知识要点】1．你能用描点法作出二次函数2ax y =图像吗？你能总结出2ax y =有什么性质吗？ 2．通过2ax y =作图，我们能得到c ax y +=2和2)(h x a y -=有哪些图像性质吗？ 3．你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗?4．你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数c ax y +=2的数学模型？【典型例题】例1 、在同一坐标轴中作出二次函数y=x 2和y=-x 2的图象，并在下表总填出它的性质。
例2 试在同一坐标系内画出22x y -=与322+-=x y 以及322--=x y 的图像，并依据图像回答问题：抛物线22x y -=与322+-=x y 和322--=x y 有什么关系？小结：y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象形状①其对称轴为 轴 ②顶点坐标为（ , ）③当a>0时，开口 ，y=ax 2+c 图象有最 点；当x=0时，y 有最 值为 ；当a<0时，开口 ，图象有最 点，当x=0时，y 有最大值为 。
④当c>0时，是由y=ax 2向 平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向 平移|c|个单位。
简称“ ”例3 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象； y= －21x 2 ， y= －21(x+1)2 ， 与y=－21(x-1)2结合图象分析研究以下问题： （1）抛物线y=－21(x+1)2，y=－21(x-1)2与y=－21x 2的相同点与不同点是什么？ （2）抛物线y=－21 (x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____； （3）抛物线y=-－21 (x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是______。
小结：y=a(x －h)2的图象与y=ax 2的图象形状 ，①对称轴为平行y 轴的直线x= ②顶点坐标为( ,___)③当a>0时，开口向上，图象有最_____点，当x=h 时，y 有最 值为0； 当a<0时，开口向下，图象有最 点，当x=h 时，y 有最大值为0④当h>0时，由y=ax 2的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2向左平移|h|个单位，简称“ ” 例4 函数32-=kx y 与y=xk（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）例5 如果二次函数m ax y +=2的值恒大于0，那么必有（ ） A 、a ＞0，m 取任意实数B 、a ＞0，m ＞0C 、a ＜0，m ＞0D 、a ，m 均可取任意实数例 6 若二次函数c ax y +=2，当x 取)(,2121x x x x ≠时，函数值等，则当x 取21x x +时，函数值为（ ）．A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c例7 已知抛物线)0(2>=a ax y 上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.例8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。
二次函数及其图象和性质(一)教案
教学过程一、复习预习我们已经学了一次函数，请大家回忆一下1.一次函数的定义2.一次函数的图像①画图②待定系数法求解析式3.一次函数的性质本节课我们将继续学习二次函数，请同学们先来看我们手里的课本复页.二、知识讲解提问：在式子2510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数不同，猜想它是二次函数。
该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。
1.二次函数定义：一般地，形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。
2.二次函数基本形式： 2y a x =的图像性质： 画图步骤（1）列表：画二次函数的图象，必须先配方找到顶点，再将x 取五个数，正中取顶点，向两边平均取点；（2）描点：根据表格中每个(,)x y 的实数对，在坐标系中描出相应的点；（3）连线：按照从左到右的顺序沿着各点用平滑的线连起来。
2y a x c =+的性质：上加下减()2y a x h =-的性质： 左加右减()2y a x h k =-+的性质： 左加右减，上加下减注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.(2)理解并掌握平移的过程，由2y ax c =+，()2y a x h =-的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 考点/易错点1定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。
二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值 有关.
到
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
小练习: 抛物线
y 1 x2 2
y 5x2 2
y 2(x 1)2
y (x 1)2 2
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数 式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函 数式是 y=-5x2-4 。
回顾:
(1)怎样的抛物线可以通过平移得到? 二次项系数a值相同的抛物线可以通过平移得到
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
二次函数的图像与性质(1)
4.在y轴左侧，y都随着x的增大而减小；
在y轴右侧，y都随着x的增大而增大。
不同点：
1.顶点不同
2.最小值不同
你还能得出哪些结论呢？大胆的说出来！
想一想
二次函数y=2x2，y=2x2+1 和y=2x2-1，它们的图像 有什么联系呢？能通过怎 样的变换得到呢？
问题2
在同一平面直角坐标系中，怎 样画出函数y=-x2，y=-x2+1和 y=-x2-1图像呢？
学习心得交流
（1）这节课大家在交流、活动过程中有 哪些体验和收获？
（2）对函数y=ax2+k与y=ax2的图像的画 法和性质还有哪些困惑？a，c的取值 对二次函数的图像和性质有何影响？
巩固练习
课本第12-13页练习
课后作业
习题21.2 第1题
下课了， 同学们再见！
想一想
二次函数y=ax2与y=ax2+k 的图像有什么联系呢？ 可以通过怎样的变换得到？
归纳总结
1.抛物线y=ax2+k与y=ax2的形状， 开口方向和开口大小相同，只 是位置不同。
2.抛物线y=ax2+k可以看成抛物线 y=ax2 沿着y轴方向平移 k 个单 位得到。当k>0时，向上平移； 当k<0时，向下平移。
3.当x取何值时，二次函数y=2x2，y=2x2+1和 y=2x2-1取得最小值？最小值分别是多少？
观察
二次函数y=2x2，y=2x2+1和y=2x2-1图像有什么相同点和不同 点？
相同点：
1.都是抛物线，且开口大小，开口方向都相同
2.都是轴对称图形，且对称轴都是y轴
3.图像都有最低点，函数都有最小值
二次函数(1)PPT课件(人教版)
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
第十二课时二次函数(一)
已知点A（-3，y1）、B（-1，y2)、C（2，y3）都在抛物线y=a(x-1)2+c(a
＜0）上，则y1、y2、y3的大小关系是
（用＜连接）
在下列函数图象上任取不同两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使
＜0 成立的是
（） A．y＝3x﹣1（x＜0） C．y＝﹣ （x＞0）
B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
(2019·温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取
值范围内，下列说法正确的是(
)
A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1
C. 有最大值7，有最小值－1
D. 有最大值7，有最小值－2
知识点4 二次函数图象的平移
1. 二次函数一般式平移：
平移前的 解析式
第12课时 二次函数的图象和性 质(一)
课时目标
1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3. 会用配方法将二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到 二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道 二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律.
考点六 二次函数与几何的综合运用 例6 (2019·玉林中考改编)已知抛物线C：y＝12(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平
方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交 于点Q.若∠DQD1＝60°，求m的值．
[方法归纳] 本题是抛物线的平移、中点坐标公式、等边三角形的判定、平面直角坐标系中 两点间距离公式的综合运用，用含m的代数式表示出点D，D1，Q的坐标是解题的关键．
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二次函数（一）
主讲：黄冈中学数学高级教师李平友
考点回顾：
1、二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
2、二次函数的图像与性质
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；
（2）抛物线的顶点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为；
（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；
3、二次函数一般有三种形式：
（1）一般式：；
（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为（h，k）；
（3）交点式：，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式．
4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．
考点精讲精练：
1、二次函数y＝－4x2＋2x＋的对称轴是直线__________．
解：
a＝－4，b＝2，c＝，对称轴直线是．
或y＝－4x2＋2x＋＝－4（x－）2＋，所以对称轴直线是．
答案：x＝
变式练习1
1、抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（）
A．直线x＝－3 B．直线x＝3
C．直线x＝－2 D．直线x＝2
答案：D
2、二次函数的顶点坐标是（）
A.(2，－11)
B.（－2，7）
C.（2，11）
D. （2，－3）
答案：A
例2、将y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
解：
．
答案：y＝3x2＋18x＋25
变式练习2
1、把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）
A．y＝3(x＋3)2－2 B．y＝3(x＋3)2＋2
C．y＝3(x－3)2－2 D．y＝3(x－3)2＋2
答案：D
2、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ _____，c＝_____．
解：
依题意，把函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得的图象．把配方得．则，即 b＝－8，c＝7．答案：－8，7
例3、已知二次函数的图象如图所示，则点在第_____象限．
解：
由图象知a<0，c＞0．
又∵，∴b＜0．
∴bc＜0，在第三象限．
答案：三
变式练习3
在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为（）
答案：A
例4、已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
解：
（1）设这个抛物线的解析式为．
由已知，抛物线过A（－2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得
解这个方程组，得a＝2，b＝2，c＝－4．
∴所求抛物线的解析式为．
也可以设二次函数解析式为交点式求解．
（2）
∴该抛物线的顶点坐标为
变式练习4
在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
解：
（1）设二次函数解析式为，
二次函数图象过点B（3，0），，得a＝1．
∴二次函数解析式为，即．
（2）令y＝0，得，解方程，得，．
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（－1，0）．
∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为（4，0）
例5、函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
答案：C
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备考模拟
一、选择题
1、在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（）A．关于y轴对称，开口向上
B．关于y轴对称，y随x的增大而增大
C．关于y轴对称，y随x的增大而减小
D．关于y轴对称，顶点是原点
2、把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）
A．b＝3，c＝7 B．b＝－9，c＝－15
C．b＝3，c＝3 D．b＝－9，c＝21
3、把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（）
A. B.
C. D.
4、二次函数的图像与x轴的交点个数是（）
A．0 B．1
C．2 D．3
5、已知二次函数的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象(如图)，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是
（）
A．－1.3 B．－2.3
C．－0.3 D．－3.3
二、综合题
6、如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是
________．
7、用配方法将二次函数化成的形式，那么y ＝________．
8、二次函数的对称轴是x＝2，则b＝_______．
9、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值
随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是________（只写一个即可）．
10、抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为________．
隐藏答案
答案：
6、－1
7、y＝（x－6）2＋3
8、
9、如等（答案不唯一）
10、1
三、综合题
11、已知二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的一元二次方程的解．
隐藏答案
答案：，
12、如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，求在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度．
隐藏答案
解：以直线AB、MC为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线解析式
为，x＝5时，y＝15，即离中心M处5米的地方桥的高
度为15米．
13、已知二次函数图象的对称轴是，图象经过(1，－6)，且与y轴的交点为(0，).
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值随x的增大而增大?
隐藏答案
解：(1)设抛物线的解析式为，
由题意可得，
解得，所以
(2)或－5
(3)
14、某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式
（0＜t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.
隐藏答案
解：（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去．所以当爆竹点燃后1秒离地15米．
（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标
，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升．
15、如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
隐藏答案
解：（1）将x＝－1，y＝－1；x＝3，y＝－9分别代入
得
解得
∴二次函数的表达式为．
（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，－10）．
（3）将（m，m）代入，得，
解得m1＝－1，m2＝6．∵m＞0，∴不合题意，舍去．
∴m＝6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．
-END-。