二次函数(一)——常见二次函数模型
常见的函数模型
常见的函数模型
函数模型是数学中常见的一种表达式形式，用来描述输入和输出之间的关系。
常见的函数模型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
线性函数的一般形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
该函数模型表示了一条直线的方程，可以用来描述许多实际问题，如物体的运动、经济学中的需求曲线等。
二次函数的一般形式为y=ax+bx+c，其中a、b、c为常数，a不为0。
该函数模型表示的是一个开口向上或向下的抛物线，可以用来描述自由落体、弹道问题等。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0
且a≠1。
该函数模型表示的是一条经过点(0,1)的递增或递减的曲线，可以用来描述复利计算、人口增长等问题。
对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1，x>0。
该函数模型表示的是一个递增但增长缓慢的曲线，可以用来描述音量、酸碱度等问题。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的一般形式为y=Asin(x)+B、y=Acos(x)+B和y=Atan(x)+B，其中A、B为常数。
这些函数模型可以用来描述周期性现象，如音波、光波等。
这些常见的函数模型在数学中有着广泛的应用，可以帮助人们更好地理解和解决各种实际问题。
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二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中的一种重要函数类型，其应用十分广泛。
本文将以实例的形式探讨二次函数在实际生活中的几个应用。
一、抛物线的模型二次函数的图像是抛物线，其常见模型有抛物线的顶点形式和描点形式。
以顶点形式为例，二次函数的一般形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k其中a,h,k是常数，(h,k)表示抛物线的顶点。
我们以一道题目为例：某物体以初速度30m/s向上抛出，经过2s达到最高点，求其下落的高度。
解：设物体下落的高度为f(t)，t为时间。
根据物理学的运动规律，物体自由落体的公式为：f(t) = -5t^2 + v0*t + h0其中v0为初速度，h0为初始高度。
题目中给出了初速度为30m/s，代入公式得：f(t) = -5t^2 + 30t + h0根据题目要求，物体经过2s达到最高点，即f(2)=0。
代入公式求解得：0 = -5*2^2 + 30*2 + h0= -20 + 60 + h0= 40 + h0可得h0 = -40，即物体的初始高度为-40m。
因此，物体下落的高度可以表示为：f(t) = -5t^2 + 30t - 40我们可以通过二次函数模型得出物体在任意时间t下的高度。
二、最值问题二次函数也常用于求解最值问题。
例如，我们考虑以下问题：用2根长为L的铁丝围成一个矩形，求该矩形的最大面积。
解：设矩形的长度为x，宽度为L-2x（由于必须用2根铁丝围成，所以长度和宽度之和为L）。
矩形的面积可以表示为：S = x(L-2x)= Lx - 2x^2显然，S是一个关于x的二次函数。
要求最大面积，即求函数的最大值。
通过求导的方法，我们可以得到该函数的极值点。
首先，将函数求导得：S' = L - 4x令导数等于0，求解可得极值点：L - 4x = 04x = Lx = L/4将x代入原函数得到最大面积：S = (L/4)(L-2(L/4))= (L/4)(L/2)= L^2/8因此，该矩形的最大面积为L^2/8。
二次函数知识点
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-321． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、根本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++〔a b c ，，是常数，0a ≠〕的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：〔上加下减〕3. ()2y a x h =-的性质：〔左加右减〕4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴与顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以与()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标与开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标与开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x 轴交点情况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数考察重点与常见题型1． 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 那么m 的值是2． 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔 〕3． 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
二次函数十大解题模型汇总(模型+例题+练习题)
角线 a 的关系．
2、已知：一等腰直角三角形的面积为 S，请写出 S 与其斜边长 a 的关系表达式，并分别求出 a=1，a= 2 ，
a=2 时三角形的面积．
1 3、在物理学内容中，如果某一物体质量为 m，它运动时的能量 E 与它的运动速度 v 之间的关系是 E= 2 mv2
（m 为定值）．（1）若物体质量为 1，填表表示物体在 v 取下列值时，E 的取值：
例 2、如果人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存， 到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和 y（元）与年利率 x 的 函数表达式．
例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服 装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表 达式．
二次函数十大解题模型汇总（模型+例题+练习题）
模型 1：根据二次函数的定义求字母的值
例 1：函数 y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 是二次函数，则 m=
．
对象：y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 角度：二次函数的稀疏，次数
常见的函数模型
常见的函数模型
1.线性函数模型：y=mx+b，用于描述两个变量之间的直线关系。
2. 二次函数模型：y = ax + bx + c，用于描述曲线关系，如开口向上或向下的抛物线。
3. 指数函数模型：y = ab^x，用于描述随着 x 增加而指数级增加或减少的关系。
4. 对数函数模型：y = logb(x)，用于描述递增速度逐渐减缓的关系。
5. 正弦函数模型：y = A sin (Bx + C) + D，用于描述周期性变化的关系。
6. 余弦函数模型：y = A cos (Bx + C) + D，与正弦函数类似，用于描述周期性变化的关系。
7. 常量函数模型：y = c，用于描述恒定不变的关系。
8. 分段函数模型：将函数在不同的区间定义为不同的函数，用于描述不同条件下的关系。
9. 概率密度函数模型：用于描述随机变量的分布规律，如正态分布、泊松分布等。
10. 非线性函数模型：除了上述函数模型外，还有各种非线性函数模型，如指数增长模型、对数减少模型、S形曲线模型等。
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二次函数的实际模型
二次函数的实际模型二次函数是数学中一类重要的函数形式，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
二次函数在实际问题中的应用非常广泛，可以描述许多自然现象和工程实践。
本文将介绍二次函数的实际模型，并讨论其在不同领域的应用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像为一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
b决定了抛物线的对称轴位置，c则是y轴截距。
二、1. 物理学中的自由落体模型自由落体是物体在无空气阻力作用下下落的运动。
根据牛顿的第二定律，物体的运动满足F=ma，其中F为物体所受的合力，m为物体的质量，a为加速度。
在自由落体运动中，物体所受的合力为重力，可以表示为F=mg，其中g为重力加速度。
假设一个物体从高度h自由落下，我们可以建立二次函数模型来描述物体的高度和时间的关系。
考虑时间t为自变量，物体的高度h为因变量，我们可以得到二次函数的实际模型为h=-gt^2+vt+h0，其中v为物体的初始速度，h0为物体的初始高度。
2. 经济学中的成本函数模型在经济学中，每个企业都需要考虑生产过程中的成本。
成本函数可以用二次函数来近似描述。
假设一个企业的固定成本为c，变动成本为q^2，其中q为企业的产量。
则企业的总成本为C=c+q^2，可以用二次函数来表示。
二次函数模型可以帮助企业分析成本与产量之间的关系，从而找到最优的生产策略。
对成本函数进行求导，可以得到边际成本函数，帮助企业制定最优产量。
3. 生物学中的生长模型生物的生长过程中，通常会存在一个生长极限。
在一定条件下，生物的生长速率与其规模呈二次函数关系。
例如，人体的身高与年龄之间的关系可以用二次函数来描述。
假设一个个体的身高h和年龄t之间存在二次函数关系，可以表示为h=at^2+bt+c。
通过研究二次函数的系数，可以得到个体的生长速率、生长极限等信息。
高考数学《2.9 函数模型及其应用》
f(x)=4
1
+
1 ������
,人均消费 g(x)(单位:元)与时间 x(单位:天)的函数关系
近似满足g(x)=104-|x-23|. (1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*) 的函数关系式; (2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率 来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资. 思考分段函数模型适合哪些问题?
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4
解析 答案
第二章
2.9 函数模型及其应用
知识梳理
核心考点
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考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 二次函数模型
例1A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x km处建一核电站给 A,B两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得小于10 km. 已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25 倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.
核心考点
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知识梳理 双基自测
12345
4.(教材例题改编P123例2)在某个物理实验中,测量得变量x和变量 y的几组数据,如下表.则x,y最适合的函数模型是( )
x 0.50 y -0.99
0.99
2.01
3.98
0.01
0.98
2.00
A.y=2x C.y=2x-2
B.y=x2-1 D.y=log2x
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(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
答案
第二章
2.9 函数模型及其应用
知识梳理
核心考点
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知识梳理 双基自测
12345
二次函数知识点总结[1]
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数复习专题讲义全
二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。
2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。
3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。
4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
6.对称轴：为x=-b/2a。
7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。
8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。
9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。
10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。
其中，顶点式和交点式可以相互转换。
注意，a≠0，而b和c可以为零。
1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。
当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。
3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。
当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。
4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。
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二次函数（一）——所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数一、 知识点回顾1.函数概念小结2.待定系数法求函数解析式3.图像平移法则二、 典例剖析考点1【二次函数的相关概念】例1下列函数中，哪些是二次函数？y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=21x x- (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²随堂练习11.下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).3．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2 B ．y C ．y =21x D ．y =a 2x考点2【二次函数的一般式】例2-1若y=（m ＋1）x 267m m --是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对例2-2．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.随堂练习21．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠02.已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？3．如果函数y=x 232k k -++kx+1是二次函数，则k 的值一定是______考点3【常见的二次函数模型】例3-1【面积问题】如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.例3-2【密植问题】某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式.例3-3【利率问题】人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本息合计自动转存，到支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税，我如果将10000元存入银行，请写出两年后支取时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式。
随堂练习31．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？2.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为每千克30元,物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元也不得低于30元,市场调查发现;单价定为70元时,日均销售60kg.单价每降低1元,日均多售出2kg,在销售过程中, 每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算).设销售单价为x元, 日均获利为y元,求y关于x的二次函数关系式.考点4二次函数的图像特点例4【对称性】填右表并填空：轴是,在侧,y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).（2）抛物线y=－1/3x²在x轴的方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值是，当x 0时，y<0。
随堂练习4．1. 二次函数y=3x2的图象是关于对称的曲线，这条曲线叫做，它的开口，与x轴交点坐标是。
当x＞0，y的值随x的值增大而。
当x＜0,y的值随着x值的增大而，当x= 时，y有最小值，最小值是2.. 点A（3,m）是抛物线y=－x2上一点，则m＝，点A关于y轴对称点B的坐标是点A 关于原点对称点C 的坐标是 ；点B 、C 关于 对称。
函数y =226a a ax--是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开口向下.（1）你能列出面积S 与边长a 的函数关系式吗？（2）S 是a 的 次函数；（3）a 能否小于零？（4）你能作出面积S 随边长a 变化而变化的函数图象吗？考点5【y=ax 2的图像特点】例5-1对于y=ax 2（a ≠0）的图象，下列叙述正确的是（ ） A ．a 越大开口越大，a 越小开口越小 B ．a 越大开口越小，a 越小开口越大C ．︱a ︱越大开口越小，︱a ︱越小开口越大D ．︱a ︱越大开口大，︱a ︱越小开口越小 例5-2抛物线①y=3x 2,②y=43x 2,③y=13x ，它们的图像在同一坐标系下开口大小顺序是（ ） A ．①＞②＞③ B ．②＞③＞① C ．③＞①＞② D ．③＞②＞①随堂练习51．抛物线y =－x 2不具有的性质是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是Y 轴C ．与Y 轴不相交D ．最高点是原点2．二次函数y=x 2，若y ＞0，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．可取一切实数B ．x ≠0C ．x ＞0D ．x ＜03．求直线y=x 与抛物线y=x 2的交点坐标。
4．已知二次函数的图象开口向下，且经过原点。
请写出一个符合条件的二次函数的解析式考点6【y=ax 2+c 的图像特点】例6．若二次函数y=ax 2＋c(a ≠0)中，a ＞0,c ＞0时，它的图象的开口方向是（ ）A ．向上B ．向下C ．向上或向下D ．无法判断随堂练习61．若二次函数y=ax 2＋c ，当x 取x 1,x 2（x 1≠x 2）时函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为（ ） A ．a ＋c B ．a －c C ．－c D ．c2．抛物线y=ax 2＋b （a ≠0）与x 轴有两个交点，且开口向上，则a,b 的取值范围是（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞03．抛物线y=x 2＋b 与抛物线y=ax 2－2的形状相同，只是位置不同，则a 、b 值分别是（ ）A ．a=1，b ≠－2B ．a=－2，b ≠2C ．a=1，b ≠2D ．a=2，b ≠24．函数y=kx 2－3与y=xk （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）考点7【图像的上下平移】例7．将抛物线y=3x 2向上平移两个单位得到抛物线的表达式（ ）A ．y=3x 2-2B ．y=3（x+2）2C ．y=3x 2＋2D ．y=3（x-2）2 随堂练习71．将抛物线y=－x 2－1向上平移两个单位得到抛物线的表达式（ ）A ．y=－x 2B ．y=－x 2－2C ．y=－x 2＋1D ．y=x 2＋12.抛物线y=3x 2＋4可以由抛物线y=3x 2沿 平移 得到；同样，y=3x 2－4可以由抛物线y=3x 2沿 平移 得到3. 二次函数y=－4x 2－2的图象与y=－4x 2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 三、经典习题一、选择题（10*3）1．已知332y x x +=-，那么y 是x 的（ ）A．一次函数B．二次函数C．正比例函数D．反比例函数2．如果二次函数y=ax2＋m的值恒大于0，那么必有（）A．a＞0，m取任意实数 B．a＞0，m＞0C．a＜0，m＞0 D．a，m均可取任意实数3．抛物线y=ax2＋c与y轴相交于坐标原点，则下列判断正确的是（）A．c＞0 B．c=0 C．c＜0 D．c的符号与a无关4．抛物线y=x2－4的顶点坐标是（）A．（2，0） B．（－2，0） C．（1，3） D．（0，－4）5．在半径为5㎝的圆面上，从中挖去一个半径为x㎝的圆面，剩下一个圆环的面积为y㎝2，则y与x的函数关系式为（）A．y=πx2－5 B．y=π（5－x）2 C．y=－（x2＋5） D．y=－πx2＋25π6.函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是A.a≠0，b≠0，c≠0B.a<0，b≠0，c≠0C.a>0，b≠0，c≠0D.a≠07．..函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是A.顶点坐标B.开口方向C.开口大小D.对称轴8.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为A.±2B.－2C.2D.319.下列结论正确的是A.y=ax2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数10.在图4中，函数y=－ax2与y=ax+b的图象可能是二、填空题（6*3））作一条与x轴平行的直线与抛物线y=4x2相交于点M、N，11．过点A（0，1则M ，N 两点的坐标分别是12．抛物线y=－31x 2－3的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝ 时，y 有最 值为13．已知函数①y=x 2＋1，②y=－2x 2＋1，函数（填序号） 有最小值，当x 时，该函数的最小值是14．已知，抛物线y=ax 2＋c 与抛物线y=－2x 2－1关于x 轴对称，则a= ，c=15．已知抛物线y=ax 2与直线y=kx ＋1交于A 、B 两点，其中A 点坐标是（1，4），则a= ，k= ,B 点坐标是16.函数y =622--a a ax 是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开口向下.三（计算题）17.(6分)已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？18．（6分）已知直线AB 过点A （－3，0）且与抛物线y=ax 2相交于B 、C 两点，若B 点坐标为（－1，1）.（1）求直线和抛物线的函数表达式；（2）求C 点坐标。
19．（7分）如图，二次函数y=－mx 2＋4m 图象的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD 的顶点B 、C在x 轴上，A 、D 在抛物线上，矩形ABCD 在抛物线与x 轴所围成的图形内。
（1）求二次函数的表达式（2）设点A 的坐标为（x ，y ），试求矩形ABCD 的周长P 关于自变量x 的函数表达式，并求自变量x 的取值范围。