二次函数1
二次函数_课件_第1课时
x1、x2 是抛物线与x轴交点的横坐标
初中数学
例1：将二次函数 y x2 2x 3 的图象向左
向下
3个单位后得到的函数表达式 为
表达式 a
顶点
平移前
平移后
y ( x 1)2 4 y ( x 1)2 1
a=-1
a=-1
（1,4）
（-1,1）
点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 > y2.
数形结合
初中数学
课堂小结
1. 梳理一下二次函数图象和性质有哪些？ 2. 体会数形结合思想在解决二次函数问题中的重要性.
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
配方 法
b 4ac b2 ( 2a , 4a )
顶点式 y a( x h)2 k
(h, k)
函数最值
初中数学
4.二次函数的增减性 由开口方向和对称轴决定 当a>0时，左减右增 当a<0时，左增右减
初中数学
一般式
顶点式
交点式 （存在的情况下）
y ax2 bx c
y a(x h)2 k
2个单位， .
初中数学
练习：二次函数 y x2 2x 3 关于
y=3
函数表达式为
.
对称前
表达式 y ( x 1)2 4
a 顶点
a=-1 （1,4）
对称后
y = (x-1)2+2
a=1 （1,2）
的
数形结合
初中数学
（1）先将表达式化为顶点式 y a( x h)2 k 2 确定图象变换后的a和顶点坐标（h,k） 3 按顶点式写出变换后的函数表达式
二次函数1教案
第12部分 二次函数第1课时 二次函数的意义课标要求通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 中招考点二次函数的概念及意义.典型例题例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y ； （2）2)1()2)(2(---+=x x x y ；（3）xx y 12+=； （4）322-+=x x y . 分析：形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 为常数，且a ≠0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否为二次函数时，必须先把它化成y=ax 2+bx+c 的形式，如果a ≠0，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数.例2 m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得0≠m 且1≠m ．因此，当0≠m 且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．归纳反思形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例3 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．解：（1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；（2）由题意，得 )0(42>=x x y π，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数；（4）由题意，得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数． 例4 正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．解:（1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）．强化练习一、选择题：1．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（ ）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -=2．下列各式中，y 是x 的二次函数的是 （ ）A ．xy=x 2＋1 B.x 2+y –2= 0 C.y 2–ax =–2 D.x 2–y 2+1=03．若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2 – 2m – 3的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A ．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定4.对于抛物线y=x 2+2和y=x 2的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个 输入x y=x+2 －2≤x ≤－1 y=x 2 －1＜x ≤1 y=x+2 1＜x ≤2输出y 值 第5题图C ．2个D ．3个5.根据如图的程序计算出函数值，若输 入的x 的值为32，则输出的结果为（ ）. A ．72 B.94 C.12 D.92二、填空题：6．当=m 时，函数m x m x m m y +-+--=)2()32(22是二次函数.7．当k 为 值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数.8．如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 .9．已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，则m 的值为 ．10．已知抛物线y =（m – 1）x 2，且直线y = 3x + 3 – m 经过一、二、三象限，则m 的范围是 .11．若函数y =（m 2 – 1）x 3 +（m + 1）x 2的图象是抛物线，则m = .12．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．13．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．14．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是 ．15．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．16．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．。
初中复习讲义--二次函数1(学生版)
初中复习讲义--二次函数（学生版）补：1.两条直线平行，21k k =，两条直线垂直，121-=⨯k k2.两点间距离公式;若点),(),,(n m B b a A 则22)()(||b n a m AB -+-=3.点到直线的距离公式：若直线l ：0=++c by ax ，点),(n m A ，则点A 到l 的距离h 为：||22ba c by am h +++=4.两条平行线之间的距离公式：若0:,0:2211=++=++c by ax l c by ax l ，则21,l l 间的距离为：||2221ba c c h +-=5.点在图像上满足函数解析式（重点）一、函数解析式求法问题一般我们根据题设条件来设函数解析式，分别从： 一般式：c bx ax y ++=2顶点式;b h x a y +-=2)(，二次函数的顶点坐标为：),(b h交点式（双根式）：))((21x x x x a y --=，二次函数与x 轴的交点为：)0,(),0,(21x x 对称式：c n x m x y +--=))((，二次函数的对称点为：),(),,(c n c m二、三角形问题研究1.三角形面积。
常采用方法：分割法（这里就有很多种分割方法，具体哪一种比较简单，需要同学们慢慢理解），直接法（点到直线的距离，一般是求三角形的高）例1：（2016•贵阳模拟改编）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）满足交点式，则设函数解析式为：))((21x x x x a y --=，将A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）带入得：4212-+=x x y （2）方法一：分割法：连接OM 则，S=S △AOM +S △OBM ﹣S △AOB 又点M 在二次函数上且横坐标为m ，则)421,(2-+m m m M ，且0<m 21|421|||2⨯-+⨯=∆m m AO S AOM ，21||||⨯⨯=∆m OB S OBM21|0|||⨯⨯=∆B OA S AOB ,带入数据得：4)2(4214421)(421)421(4222+--=--=⨯⨯-⨯-⨯+⨯+--⨯=m m m m m m S所以当2=m 时，S 取的最大值为4。
二次函数复习教案1-人教版正式版
课题；二次函数（1）教学目标：1．理解并掌握二次函数的性质，能熟练运用图象性质解决简单的数学问题.2．学会灵活应用待定系数法求二次函数关系式,能正确确定抛物线的对称轴和顶点.3．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题.4．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，解决二次函数的综合应用.教学重、难点：重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．】难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．教法与学法指导：本节课主要采用“解读考试要求----知识梳理----师生构建知识网络-----题组训练，夯实基础-----考点剖析----针对训练----回顾反思-----当堂检测----布置作业的课堂教学模式.在教学过程中，以学生总结为主，教师给予适当的指导.本节课我通过回顾知识点来巩固二次根式的主要内容，然后利用知识树,帮助学生梳理本章的内容，通过自主学习，小组合作及师生互动完成典型例题，揭示解题技巧,再通过变式训练得到发展和提高. 在整个复习过程中, 始终抓住中考这条主线, 从中考命题趋势分析入手,引导学生针对中考的热点问题复习回顾,让学生积极主动参与教学,真正体会到学习数学的成就感.课前准备：教师：导学案、课件.学生：课前完成学案：知识要点回顾，以及知识树的构建.教学过程：一、解读中考，弄清目标活动内容1：中考要求1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.2．会运用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质.3．会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并解决简单的实际问题.4．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.}处理方式：先让学生独立思考，再小组交流，师生互动，补充完善，达成共识．设计意图：让学生明确中考对本节知识点的要求，使学生在复习过程中把握复习的方向,明确复习的重点，掌握解题的方法与技巧．二、知识梳理，厚积薄发（多媒体展示，课前学案完成）活动内容1：导入新课导语：华罗庚教授说：读书要从薄到厚，又从厚到薄。
二次函数(1)
初三数学练习——二次函数（1）◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________．4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点．6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h 值为正右移，为负左移；k 值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式） ◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x +1）2的顶点坐标是______，对称轴是_____，当x ______时，y •随x 的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=______，当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为_______，x•的取值范围是_______，当x_______时，y 有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k_____时，抛物线与x 轴有两个交点；当k______时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是_______． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式____________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为_________，对称轴是_________，顶点坐标是_______． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ ）．A ．5个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ ）．A ．y =－ax 2+bx+cB ．y =－ax 2－bx+cC ．y =－ax 2－bx －cD ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点头在一条固定的直线上．初三数学练习——二次函数（1）◆考点链接1．通过对实际问题的分析确定二次函数的关系式，了解二次函数的意义．2．能用描点法画出二次函数的示意图，能利用图象认识二次函数的性质，二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值、•抛物线平移以及增减性． 3．求抛物线解析式的三种常用方法，并会灵活运用． ◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________． 4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点． 6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h值为正右移，为负左移；k值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式）◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x+1）2的顶点坐标是_（－1，_____，对称轴是_ x=－1____，当x_ >－1_____时，y•随x的增大而增大；当x__<－1____时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=__=－2____，当x_<0____时，y随x的增大而增大；当x_>0____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为__ y=－2x2+20x _____，x•的取值范围是_52≤x≤10______，当x___ =5____时，y有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_=2____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k__<2___时，抛物线与x轴有两个交点；当k__>2____时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有 5 个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（B ）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.解：设y=ax2+bx+c，再将A（－1，0），B（0，－3），C（4，5）代入可求得a=1，b=－2，c=－3．∴y=x2－2x－3，即y=（x－1）2－4．∴顶点（1，－4），对称轴是直线x=1，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大．（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．解：∵A （－1，0），B （3，0）在x 轴上，∴设y=a （x+1）（x －3），再将C （0，－3）代入得a=1，y=（x+1）（x －3）， 即y=x 2－2x －3．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式． 解：∵抛物线的顶点是（－1，2），∴设解析式为y=a （x+1）2+2，再将（0，1）代入得a=－1， ∴y=－（x+1）+2，即y=－x 2－2x+1． ◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是__（5，0），（－1，0）_____． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式_如：y=－x 2+3x －4 ___________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为__ y=x 2－2x+1__，对称轴是__ x=1___，顶点坐标是__（1，0）_____． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ A ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ C ）． A ．y =－ax 2+bx+c B ．y =－ax 2－bx+c C ．y =－ax 2－bx －c D ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ B ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．解：（1）)0(212222>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x y（2）画图象注意实际问题自变量的取值范围8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点都在一条固定的直线上． 解：()122-+-=m m x y ∴顶点在12-=x y 上。
二次函数(一)
二次函数（一）
（2）用待定系数法求二次函数的解析式． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
练习题部分：
1．已知：二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图，则下列答案正确的是？（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2
C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
12．已知二次函数 y＝ax2+4x+c，当 x 等于﹣2 时，函数值是﹣1；当 x＝1 时，函数值是 5．则
此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2+4x﹣1
B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1
D．y＝2x2+4x+1
B．﹣1
C．﹣1 或 2
D．以上都不对
6．已知抛物线 y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（2，7）
C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）
7．在函数 y＝（x﹣1）2+3 中，当 y 随 x 的增大而减小时，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1
B．x＞0
C．x＜3
D．x≤1
2x2 相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y 随 x 的增大而减小；x＞﹣ 时，y 随 x 的增大而增大；
二次函数(一)
二次函数（一）主讲：黄冈中学数学高级教师李平友考点回顾：1、二次函数的概念一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．2、二次函数的图像与性质（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；（2）抛物线的顶点坐标为；（3）抛物线的对称轴为；（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；3、二次函数一般有三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为（h，k）；（3）交点式：，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式．4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．考点精讲精练：1、二次函数y＝－4x2＋2x＋的对称轴是直线__________．解：a＝－4，b＝2，c＝，对称轴直线是．或y＝－4x2＋2x＋＝－4（x－）2＋，所以对称轴直线是．答案：x＝变式练习11、抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（）A．直线x＝－3 B．直线x＝3C．直线x＝－2 D．直线x＝2答案：D2、二次函数的顶点坐标是（）A.(2，－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）答案：A例2、将y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．解：．答案：y＝3x2＋18x＋25变式练习21、把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝3(x＋3)2－2 B．y＝3(x＋3)2＋2C．y＝3(x－3)2－2 D．y＝3(x－3)2＋2答案：D2、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ _____，c＝_____．解：依题意，把函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得的图象．把配方得．则，即 b＝－8，c＝7．答案：－8，7例3、已知二次函数的图象如图所示，则点在第_____象限．解：由图象知a<0，c＞0．又∵，∴b＜0．∴bc＜0，在第三象限．答案：三变式练习3在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为（）答案：A例4、已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．解：（1）设这个抛物线的解析式为．由已知，抛物线过A（－2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得解这个方程组，得a＝2，b＝2，c＝－4．∴所求抛物线的解析式为．也可以设二次函数解析式为交点式求解．（2）∴该抛物线的顶点坐标为变式练习4在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．解：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点B（3，0），，得a＝1．∴二次函数解析式为，即．（2）令y＝0，得，解方程，得，．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（－1，0）．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为（4，0）例5、函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根答案：C- 返回 -备考模拟一、选择题1、在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（）A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小D．关于y轴对称，顶点是原点2、把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）A．b＝3，c＝7 B．b＝－9，c＝－15C．b＝3，c＝3 D．b＝－9，c＝213、把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. B.C. D.4、二次函数的图像与x轴的交点个数是（）A．0 B．1C．2 D．35、已知二次函数的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象(如图)，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）A．－1.3 B．－2.3C．－0.3 D．－3.3二、综合题6、如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________．7、用配方法将二次函数化成的形式，那么y ＝________．8、二次函数的对称轴是x＝2，则b＝_______．9、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是________（只写一个即可）．10、抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为________．隐藏答案答案：6、－17、y＝（x－6）2＋38、9、如等（答案不唯一）10、1三、综合题11、已知二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的一元二次方程的解．隐藏答案答案：，12、如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，求在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度．隐藏答案解：以直线AB、MC为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线解析式为，x＝5时，y＝15，即离中心M处5米的地方桥的高度为15米．13、已知二次函数图象的对称轴是，图象经过(1，－6)，且与y轴的交点为(0，).(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值随x的增大而增大?隐藏答案解：(1)设抛物线的解析式为，由题意可得，解得，所以(2)或－5(3)14、某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式（0＜t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.隐藏答案解：（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去．所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升．15、如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．隐藏答案解：（1）将x＝－1，y＝－1；x＝3，y＝－9分别代入得解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，－10）．（3）将（m，m）代入，得，解得m1＝－1，m2＝6．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴m＝6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．-END-。
二次函数(1)课件_PPT
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
函数: 在一个变化过程中,如果有两个
变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数
函 数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
m2－7 例2. y=(m+3)x
(1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1 2 k 2 k 1 0 1.函数 y (k ) x 是一次函数，求k的值。 2
2.函数 y (m 1) x 求m的值。
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2 ①
1 2 3 d n n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
反比例函数
k y= x
(k≠0)
思考:
问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方 形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y 都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可 y=6x2① 以表示为
思考:
问题2： 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从 一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
（4）x的取值范围是 任意实数 。
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
二次函数(第一课时)
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c
不一定是，缺少a≠0的条 件.
② y=3-2x²
③y=x2
④ y= 1
x2
不是，右边是 分式.
解： 由题意得： m2 9 0
∴m≠±3
3.若函数y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
问题2:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m²) 与矩形一边长x(m)之间的关系是什么? s x(30 x)
x2 30x
问题3:某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增 长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y
y 2(1 x)2
以上三个关系式有什么共同特点? 请归纳出二次函数的概念
x2 30x
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
6.写出下列各函数关系，判断它们是什么类型的函
数，并求出自变量的取值范围.
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
cm）之间的函数关系； S 6a2(a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)