2021-2022学年广西玉林市高二(上)期末数学试卷(理科)(附答案详解)

2021-2022学年广西玉林市高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.双曲线C：x23−y29=1的虚轴长为()A. √3B. 2√3C. 3D. 62.已知椭圆C：x2a2+1+y2a2=1(a>0)的短轴长和焦距相等，则a的值为()A. 1B. √2C. 32D. √33.在区间(−1,3)内随机取一个数x，则使得2x>6−x的概率为()A. 14B. 12C. 13D. 234.“m>n>0”是“方程x2m +y2n=1表示焦点在x轴上的椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知空间向量a⃗=(1,2,−1),b⃗ =(3,−2,−1)，则()A. |a⃗|=√5B. a⃗//b⃗C. a⃗⊥b⃗D. (a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =106.如果在一实验中，测得(x,y)的四组数值分别是A(2,6)，B(4,7.6)，C(6,10.4)，D(8,12)，则y与x之间的回归直线方程是()A. ŷ=2x+1.8B. ŷ=1.04x+3.8C. ŷ=1.04x+2.8D. ŷ=2x−1.87.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是()A. 128B. 64C. 16D. 328.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为()A. 15B. 310C. 25D. 129.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则直线A1E与平面A1BC1所成角的正弦值为()A. √35B. √55C. √515D. √151510.已知点P是抛物线C：y2=8x上的动点，过点P作圆M：(x−2)2+y2=1的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为()A. 1B. √2C. √3D. 3211.某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50,100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为81.25，则b−a的值为()A. 0.01B. 0.005C. 0.008D. 0.00612.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆C相交P，Q两点，若PF1⊥PF2，且|PF2|=2|QF2|，则椭圆C的离心率为()A. 23B. √53C. √32D. 34二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.随机抽取某社区15名居民，调查他们某一天吃早餐所花的费用(单位：元)，所获数据的茎叶图如图所示，则这15个数据的众数是______．14.将车行的30辆大巴车编号为01，02，…，30，采用系统抽样方法抽取一个容量为3的样本，且在某组随机抽得的一个号码为08，则剩下的两个号码依次是______(按号码从小到大排列)．15.如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=3，AA1=4，则异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为______．16.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F在直线2x−y−2=0上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAF的面积是△OBF面积的4倍，则直线l的方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：甲6978856乙a398964经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的．(1)求实数a的值；(2)请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定？18.同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)．(1)求两颗骰子向上的点数相等的概率；(2)求两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率．19.命题p：存在x0∈R，使得x02+ax0+a=0；命题q：对任意的x∈[0,+∞)，都有a≤log2(x+2)+2−1．(1)若命题p为真时，求实数a的取值范围；若命题q为假时，求实数a的取值范围；(2)如果命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．20.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为√5．(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)过F1作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若|AF2|=|BF2|，求k的值．21.如图，已知等腰梯形ABCD，DA=AB=BC=12CD=1，△ABF为等腰直角三角形，BF⊥AB，把△ABF沿AB折起．(1)当AD⊥AF时，求证：AD⊥FC；(2)当平面ABF⊥平面ABCD时，求平面FAD与平面FBC所成二面角的平面角的正弦值．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，椭圆的离心率为12，点(−√3,√32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且TF2与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线MN的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为双曲线C：x23−y29=1，b2=9，所以b=3，所以双曲线的虚轴长为2b=6．故选：D．直接利用双曲线方程求解b，即可得到结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由椭圆的方程可得：椭圆的短轴长和焦距相等可得b′=c，而b′2=a2，c2=a2+1−a2=a2，可得a=1．故选：A．由椭圆的方程可得短半轴及半焦距的表示，可得a的值．本题考查椭圆的方程及性质的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由2x>6−x得x>2，即2<x<3，则所求概率为P=3−23−(−1)=14．故选：A．根据不等式的性质求出x的范围，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质求出x的取值范围是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由“方程x 2m+y 2n=1表示焦点在x 轴上的椭圆”可知“m >n >0”， 由“m >n >0”可知“方程x 2m+y 2n=1表示焦点在x 轴上的椭圆”，∴“m >n >0”是“方程x 2m+y 2n=1表示焦点在x 轴上的椭圆”充要条件．故选：C ．根据椭圆的标准方程可解决此题．本题考查椭圆标准方程，考查数学逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为a ⃗ =(1,2,−1),b ⃗ =(3,−2,−1)，所以|a ⃗ |=√12+22+(−1)2=√6，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，a ⃗ ≠λb ⃗ ，a ⃗ +b ⃗ =(3,0,−2)， 所以(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =11． 故选：C ．根据条件，结合选择分别判断即可．本题考查的知识要点：向量共线和向量垂直的充要条件，向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意可得，x −=14×(2+4+6+8)=5，y −=14×(6+7.6+10.4+12)=9， 回归直线方程过样本中点(x −,y −)，对于A ，y ̂=2×5+1.8=11.8≠9，不符合题意，舍去， 对于B ，y ̂=1.04×5+3.8=9，满足题意，对于C ，y ̂=1.04×5+2.8=8≠9，不符合题意，舍去， 对于D ，y ̂=2×5−1.8=8.2≠9，不符合题意，舍去． 故选：B ．根据已知条件，求出x ，y 的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得第一次执行循环体后，S=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=4，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=16，满足退出循环的条件，故输出S值为16．故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，基本事件总数n=C52=10，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出包含的基本事件个数m=C32=3，∴小王和小张都没有被挑出的概率为P=mn =310．故选：B．基本事件总数n=C52=10，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出小王和小张都没有被挑出的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：设正方体A1B1C1D1−ABCD的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵E 为AB 中点，∴A 1(2,0,2)，E(2,1,0)， B(2,2,0)，A 1(2,0,2)，C 1(0,2,2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)， 设平面A 1C 1B 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，取x =1，得n⃗ =(1,1,1)， 设直线A 1E 与平面A 1C 1B 所成角为θ，则sinθ=|cos <A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅A 1E⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣n⃗⃗ ∣×∣A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣|=√1+4×√1+1+1=√1515． ∴直线A 1E 与平面A 1C 1B 所成角的正弦值为√1515．故选：D ．设正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求平面A 1C 1B 的法向量与直线A 1E 的方向向量，利用向量法求直线A 1E 与平面A 1BC 1所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．10.【答案】C【解析】解：点P 为抛物线y 2=8x 上的动点，过点P 作圆M ：(x −2)2+y 2=1的切线，切点为Q ，则|PQ|=√|PM|2−1，设P(m,n)，则n 2=8m ，m ≥0，由圆M ：(x −2)2+y 2=1的圆心M(2,0)，半径为1，可得|PM|2=(m −2)2+n 2=(m −2)2+8m =m 2+4m +4=(m +2)2， 因为m ≥0，所以(m +2)2≥4，当m =0时，|PM|取得最小值2， 所以|PQ|的最小值为√4−1=√3， 故选：C ．由圆的切线的性质和勾股定理，结合二次函数的性质，求出P 到圆M 的圆心M 的距离的最小值，然后求解|PQ|的最小值．本题考查圆与抛物线的位置关系的综合应用，两点间距离公式的应用，勾股定理和二次函数的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意有：10a+10b+0.025×10+0.04×10+10b=1，得a+2b= 0.035，又由10a+10b+0.025×10+(81.25−80)×0.04×10=0.5，得a+b=0.02，解得：a=0.005，b=0.015，有b−a=0.015−0.005=0.01．故选：A．根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及中位数的定义，即可求解．本题主要考查频率分布直方图的性质，以及中位数的定义，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：设|F2Q|=m，|PF2|=2m，椭圆的焦距为2c，则|PF1|=2a−2m，|QF1|=2a−m，可得(2a−m)2=(2a−2m)2+9m2，解得m=a3，由|PF1|=43a，|PF2|=23a，由勾股定理可得：4c2=(43a)2+(23a)2=20a29，可得c2=59a2，得e=ca =√53．故选：B．由PF1⊥PF2，且|PF2|=2|QF2|，设|F2Q|=m，由椭圆的定义可得|PF1|，|QF1|的表达式，由勾股定理可得m，a的关系，进而可得c，a的关系，求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属于中档题．13.【答案】11【解析】解：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，根据茎叶图的数据知这组数据的众数为11．故答案为：11．根据众数是一组数据中出现次数最多的数，结合茎叶图中数据得出众数的值． 本题考查了众数的概念与应用问题，是基础题．14.【答案】18，28【解析】解：由于从30辆大巴车中抽取3辆车，故分组的间距为10， 又第一组的号码为08，所以其它两个号码依次是18，28． 故答案为：18，28． 求出样本间隔即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔即可，比较基础．15.【答案】8√525【解析】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示：所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,3,0)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)， 所以AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,4)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,4)， 计算AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+16=16，|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+0+16=2√5，|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√0+9+16=5，cos <AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×5=8√525， 即异面直线AC 1与CB 1所成角的余弦值为8√525．故答案为：8√525． 根据题意建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出两向量的夹角余弦值，即可求出两异面直线所成角的余弦值．本题考查了利用空间向量求两条异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题．16.【答案】y =±(43x −43)．【解析】解：设点A ，B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，焦点F 的坐标为(1,0)，可求得p =2， 由S △OAF =12×1×|y 1|=12|y 1|,S △OBF =12×1×|y 2|=12|y 2|， 有12|y 1|=2|y 2|，可得y 1=−4y 2， 设直线l 的方程为my =x −1，联立方程{y 2=4xmy =x −1，消去x 后整理为y 2−4my −4=0，有{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4，代入y 1=−4y 2，有{−3y 2=4m −4y 22=−4，可得m =±34， 则直线l 的方程为y =±(43x −43)， 故答案为：y =±(43x −43)．首先求得抛物线方程，设直线l 的方程为my =x −1，将直线方程与抛物线的方程联立可得{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4，由面积间的关系可得y 1=−4y 2，进而可得m 的值，从而求得直线的方程．本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，∴17(6+9+7+8+8+5+6)=17(a +3+9+8+9+6+4)， 解得a =10．(2)甲、乙两名射击运动员平均数为17(6+9+7+8+8+5+6)=17(10+3+9+8+9+6+4)=7，∴甲的方差为：17[(6−7)2+(9−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(8−7)2+(5−7)2+(6−7)2]=127，乙的方差为：17[(10−7)2+(3−7)2+(9−7)2+(8−7)2+(9−7)2+(6−7)2+(4−7)2]=447，∵甲、乙两名射击运动员的平均成绩一样，甲的方差小，∴甲、乙两名射击运动员甲的成绩更稳定．【解析】(1)由甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，列方程能求出a．(2)求出甲、乙两名射击运动员平均数为7，分别求出甲的方差和乙的方差，由此得到甲、乙两名射击运动员甲的成绩更稳定．本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)同时掷两颗骰子包括的基本事件共36种，掷两颗骰子向上的点数相等包括的基本事件为6种，故所求的概率为636=16．(2)两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数时，用坐标记为(2,4)，(4,2)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(5,1)，(1,5)，(1,6)，(6,1)，(2,6)，(6,2)，(3,6)，(6,3)，共包括16个基本事件，故两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数的概率为1636=49．【解析】(1)根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．(2)根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查列举法求解古典概型的概率公式，属于基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，若p真，则方程x02+ax0+a=0有实数根，则有Δ=a2−4a≥0，解可得{a|a≤0或a≥4}，若q真，则a≤log2(0+2)+20−1=32，则有a≤32，故若q为假时，实数a的取值范围为{a|a>32}.(2)∵命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，即p、q一真一假，则有{0<a<4a≤32①或{a≤0或a≥4a>32②，解①可得a≥4，解②可得0<a≤32，故a的取值范围为{a|a≥4或0<a≤32}.【解析】(1)根据题意，若p 真，则方程x 02+ax 0+a =0有实数根，由一元二次方程的性质分析可得a 的取值范围，对于q ，先分析q 为真时，a 的取值范围，由此分析可得q 为假时a 的取值范围；(2)根据题意，分析可得p 、q 一真一假，由此可得关于a 的不等式组，解可得答案． 本题考查复合命题真假的判断，涉及特称命题和全称命题真假的判断，属于基础题．20.【答案】解：(1)设c 2=a 2+b 2，则c a =√a 2+b 2a =√1+(b a)2，又ca =√5，所以√1+(ba )2=√5，得ba =2，所以双曲线的渐近线方程为y =±2x ； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB 的中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，c =√a 2+b 2， 由|AF 2|=|BF 2|，可知MF 2⊥AB ，所以y 1+y 2x 1+x 2−2c×k =−1，即k(y 1+y 2)=−(x 1+x 2−2c)， 因为AB 的方程为y =k(x +c)(k ≠±2)， 双曲线的渐近线方程可写为4x 2−y 2=0，由{4x 2−y 2=0y =k(x +c)消去y ，得(4−k 2)x 2−2k 2cx −k 2c 2=0， 所以x 1+x 2=2k 2c4−k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2+2c)=8kc4−k 2，所以8k 2c 4−k 2=−2k 2c4−k 2+2c ，因为c >0，所以k 2=23， 即k =±√63．【解析】(1)由双曲线的离心率可得a ，b 的关系，进而可得渐近线的方程；(2)设A ，B 的坐标，可得AB 的中点M 的坐标，由|AF 2|=|BF 2|，可知MF 2⊥AB ，设直线l 的方程，与渐近线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由直线MF 2⊥AB ，可得k 的值．本题考查直线与双曲线的位置关系等解析几何的基础知识，考查学生的运算能力与分类整合、转化化归的数学思想，属中档题．21.【答案】(1)证明：取CD 的中点M ，连接AM ，MB ，AC ，DA =AB =BC =12CD =1，所以CM =DM =1，又因为AB//DC ， 所以AB//CM ，且AB =CM ，所以四边形AMCB 是平行四边形，同理四边形ADMB 是平行四边形， 又MC =BC =1，MB//AD所以四边形AMCB 是菱形，所以AC ⊥MB ，所以AD ⊥AC ， 又AD ⊥AF ，AC ∩AF =A ，AC ，AF ⊂平面AFC ， 所以AD ⊥平面AFC ，又AC ⊂平面AFC ， 所以AD ⊥FC ；(2)解：取CM 中点N ，连接BN ，由平面ABF ⊥平面ABCD ，BF ⊥AB ，BF ⊂平面ABF ，平面ABF ∩平面ABCD =AB ， 所以BF ⊥平面ABCD ，又BN ⊂平面ABCD ，所以BF ⊥BN ， 由(1)易证BN ⊥CD ，可得BN ⊥AB ，以B 为坐标原点，BA ，BN ，BF 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则F(0,0,1)，B(0,0,0)，C(−12,√32,0)，A(1,0,0)，D(32,√32,0)，所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)， 设平面FAD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x +√32y =0−x +z =0令y =√3，则z =√3，x =−3，z =−3，所以平面FAD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(−3,√3,−3)， 设平面FBC 的一个法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{c =0−12a +√32b =0，令b =√3，则a =3，c =0， 所以平面FBC 的一个法向量为n ⃗ =(3,√3,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√9+3×√9+3+9=−√77，所以平面FAD 与平面FBC 所成二面角的平面角的正弦值为√427．【解析】(1)取CD 的中点M ，连接AM ，MB ，AC ，可证四边形AMCB 是平行四边形，同理四边形ADMB 是平行四形，进而证AC ⊥MB ，可证AD ⊥AC ，结合已知可证AD ⊥平面AFC ，可证AD ⊥FC ；(2)取CM 中点N ，连接BN ，可证BN ⊥AB ，BN ⊥CD ，以B 为坐标原点，BA ，BN ，BF 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面FAD 与平面FBC 的法向量，用向量法可求两平面所成角的余弦值，再求正弦值．本题考查线线垂直的证明与二面角的正弦值的求法，属中档题．22.【答案】解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，由题意有ca =12，可得a =2c ， 有b =√a 2−c 2=√4c 2−c 2=√3c ， 可得椭圆C 的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，代入点(−√3,√32)的坐标有34c 2+312c 2=1，解得c =1，可得b =√3,a =2， 故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由已知，可得T(1,32)，解法一：设直线TM 的方程为y −32=k(x −1)，由{x 24+y 231y −32=k(x −1)消去y ， 整理得(3+4k 2)x 2+8k(32−k)x +4k 2−12k −3=0， 因为此方程有一个根为x =1，所以M 的横坐标为x M =4k 2−12k−33+4k 2，纵坐标y M =k(x M −1)+32=−12k 2−12k+98k 2+6，故M 的坐标为(4k 2−12k−33+4k 2,−12k 2−12k+98k 2+6)， 用−k 代替k ，得N 的坐标为(4k 2+12k−33+4k 2,−12k 2+12k+98k 2+6)，所以k MN =y M −y Nx M−x N=12，所以直线MN 的斜率为定值，且定值为12．解法二：由已知直线MN 的斜率存在，故可设直线MN 的方程为y =kx +m ， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{x 24+y 23=1y =kx +m 消去y ，整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以x 1+x 2=−8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2−123+4k 2，因为k TM +k TN =y 1−32x1−1+y 2−32x2−1=0，又y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ，代入整理，得2kx 1x 2+(m −32)(x 1+x 2)−k(x 1+x 2)−2(m −32)=0， 所以(4k 2−8k +3)+2m(2k −1)=0，即(2k −1)(2k −3+2m)=0， 若2k −3+2m =0，则直线MN 过点T ，不合题意， 所以2k −1=0.即k =12，所以直线MN 的斜率为定值，且定值为12．【解析】(1)由椭圆的离心率及椭圆经过的点的坐标，可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)法(一)由(1)可得右焦点F 2的坐标，由题意可得T 的坐标，设直线TM 的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和，可得M 的坐标，同理求出N 的坐标，求出直线MN 的斜率的表达式，可得为定值；法(二)，设直线MN 的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线TM ，TN 的斜率之和，且和为0，可得直线MN 的斜率为定值． 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．。