数学建模期末作业

数学建模期末作业
一.问题的提出
某公共汽车站每隔30分钟到达一辆汽车，但可能有[0,3]分钟误差，此误差大小与前一辆汽车的运行无关。

汽车最多容纳50名旅客，到达该汽车站时车内旅客人数服从[20,50]的均匀分布，到站下车的旅客人数服从[3,7]的均匀分布，每名旅客下车的时间服从[1,7]秒的均匀分布。

旅客按照每30分钟到达12个人的泊松分布到达汽车站，单队排列等车，先到先上，如果某位旅客未能上车，他不再等候。

旅客上车时间服从[4,12]秒的均匀分布。

上下车的规则是：先下后上，逐个上车，逐个下车。

假设每天共发车25辆，现在要求模拟30天汽车的运行情况，了解平均一天中在站内等候汽车的总人数、能上车及不能上车的人数、旅客排队时间分布情况、不能上车人数的分布情况。

二．问题的分析
本问题涉及到两种数据：一是汽车运行状况，包括汽车到站、旅客下车、上车及汽车离站；二是旅客活动情况，包括到站、排队、上车及未能上车而离站。

这里我们用下次事件法推进模拟时间，具体做法是:首先确定汽车到站时间，然后再按旅客到站的分布情况计算出上一辆汽车至现在所到的旅客数，根据上下车旅客数确定该汽车离站的时间。

由于上下车时间以秒计算，因此，模拟过程中的时间均以秒为单位。

另外，旅客到站的分布可以转换成为间隔时间以150秒的指数分布。

这里假定汽车到站后，在旅客上下车期间未有旅客到达，于是，要在该汽车离站后才开始统计等待下一辆汽车的旅客数。

三．问题的假设：
1）候车队伍有良好的秩序；即要保证乘客先来后到的原则；
2）忽略其他情况对公交车的影响，即不计公交车启动，加速，制动时间的情况；
3）公交公司只对公交车进行调度，但是在允许的范围内不限制乘客上车，
即只要该车乘客数不大于50则允许乘客上车，直到达到50人为止。

4）排队方式为单一队列的等待制，先到先服务。

5）每天的乘客数量都一样，不考虑高峰期等因素。

四．符号说明与概念引进
下面是建立模拟模型时所用的符号的说明；
t------当前模拟时间；
上一辆汽车离开车站的时间；
t
l-----------
------当天到达汽车站候车的乘客总人数；
N
q
N
------当天在汽车站下车额乘客的总人数；
d
------当天候车乘客中能上车的总人数；
N
u
N
------当天候车乘客中不能上车的总人数；
o
-----当天候车乘客队列的最大长度；
Q
max
n
------到站汽车到达时等候的乘客数；
q
------到达汽车车内的乘客数；
n
b
n
------到站汽车下车的乘客数；
u
------到站汽车能载走的候车乘客数；
n
u
t
------到站汽车到达时，候车乘客的排队时间；
q
Q
------当天候车乘客总的排队时间；
t
N[i]----当天候车时间在i*300 -i*300+300秒的乘客数；
C[i]----当天有i个乘客不能上车的次数。

五．模型的建立与求解
经过模拟运行，得到下面描述的某一次运行结果：（1）系统总的特性：
到达旅客总数：307人；
下车旅客总数：126人；
能上车旅客数：271人；
未能上车旅客数：36人；
候车队列最大长度：17人；
旅客平均排队时间：882.72秒.
（2）旅客排队时间分布情况，见下表.
（3）旅客离去人数的分布情况，见下表：
六、模型的评价
为了准确的评价该系统，应该将此模型运行若干次。

为此，我们模拟运行10次之后算出：在每隔30分钟开出一辆公交汽车的情况下，约有9.34%的旅客不能上车，旅客平均候车时间也较长。

如果我们安排每隔25分钟发一辆汽车，一天共发出30辆，相应地修改程序并重新模拟运行后可以得出约有5.28%的旅客不能上车，以这些多种方案模拟得出的数据位依据那个为管理部门提供合理化的建议。

从建模的设想和实施过程，我们可以看到有如下的优点和不足：
优点：
（1）由模拟所得到理论结果与计算机模拟结果高度吻合；
（2）模型易推广到一般的情形；
（3）充分利用计算机资源；
缺点：
（1）尽管本模型求的的子优解很靠近全局最优解，但不能做出严密的证明；
（2）本模型不能代表所有的情形，未考虑特殊情形的发生，不具备一般性。

参考文献：
大学生数学建模案例精选罗万成西南交通大学出版社
实用数学建模教程刘建洲武汉理工大学出版社
数学建模案例分析白其峥北京:海洋出版社,2000.1
数学建模=方法与实例寿纪麟主编西安交通大学出版社,1993.12
数学建模案例精选朱道元北京:科学出版社,2003.3
数学建模方法及其应用韩中庚北京:高等教育出版社,2009。