6.2.1向量的加法运算(教案)-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册 (22)
【新教材】8.5.1 直线与直线平行（人教A版）直线与直线平行是所有平行关系的基础，在初中已经学过平行四边形，中位线与底边等平行关系，本节教材重点介绍了平面的基本事实4,等角定理，对平面中直线与直线的平行关系进一步深化.也为后续线面平行、面面平行打下基础.课程目标1.正确理解基本事实4和等角定理；2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.数学学科素养1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解；2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用.重点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.难点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？举例说明.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本133-135页，思考并完成以下问题1、平行于同一条直线的两条直线有什么关系？2、空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.平行线的传递性基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.四、典例分析、举一反三题型一基本事实4的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【答案】证明见解析.【解析】证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=12BD.同理，FG∥BD，且FG=12BD.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.解题技巧（证明两直线平行的常用方法）(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.跟踪训练一1、如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.【答案】证明见解析.【解析】如图所示,连接A′C′,因为M,N分别是A′D′,C′D′的中点,所以MN∥A′C′,且MN=12A′C′.由正方体的性质可知A′C′∥AC,且A′C′=AC.所以MN∥AC,且MN=12AC, 所以四边形ACNM是梯形.题型二等角定理的应用例2 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点,求证:∠BEC=∠B′E′C′.【答案】证明见解析．【解析】证明:如图所示,连接EE′.因为E,E′分别是AD,A′D′的中点,所以AE ∥A′E′,且AE=A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形.所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,且EE′=BB′.所以四边形BEE′B′是平行四边形.所以BE ∥B′E′.同理可证CE ∥C′E′.又∠BEC 与∠B′E′C′的两边方向相同,所以∠BEC=∠B′E′C′.解题技巧 (应用等角定理的注意事项)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补.跟踪训练二1、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为AD,AB 的中点,M,N 分别为B 1C 1,C 1D 1的中点. 求证:(1)MC ∥A 1E,A 1F ∥CN; (2)∠EA 1F=∠NCM. 【答案】D ．【解析】证明 (1)取A 1D 1的中点I,连接DI,MI,因为M 为B 1C 1的中点,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,所以C 1D 1CD,MI C 1D 1,根据基本事实4知CD MI,故IDCM 为平行四边形,所以MC ∥ID,又I,E 分别为A 1D 1,AD 的中点,所以A 1I ED,所以A 1IDE 为平行四边形,所以A 1E ∥ID.故MC ∥A 1E.同理可证A 1F ∥CN.（2)由(1)知A 1F ∥CN,MC ∥A 1E, 又A 1E,A 1F 与CM,CN 的方向分别相反,所以∠EA1F=∠NCM.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本135页练习.本节课的重点是利用基本事实4和等角定理解决一些简单的线线平行问题和等角问题，比较简单，只需让学生做题的时候注意：应用等角定理是注意两角的方向.。
2020-2021人教版数学第二册教师用书：第6章 6.26.2.1向量的加法运算含解析
2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第6章6.2 6.2.1向量的加法运算含解析6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习目标核心素养1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点）3．能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．（易混点）1。
教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则,结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养．2．对比数的加法,给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养。
有一名台湾商人想去拉萨游玩，但是由于台湾没有直达拉萨的航班,因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机要先从台北到香港，再从香港到拉萨．问题:这两次位移之和是什么?1．向量加法的定义(1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2）对于零向量与任意向量a,规定0＋a＝a ＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a,错误!＝b，则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!.平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!，错误!为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量错误!＝a＋b.[提示]不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法．3．｜a＋b|与｜a|、|b｜之间的关系一般地，我们有|a＋b|≤｜a｜＋|b｜,当且仅当a，b方向相同时等号成立．4．向量加法的运算律（1)交换律：a＋b＝b＋a。
（2）结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”）（1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(）(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．（)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()（4)|a｜＋|b｜＞｜a＋b|. （)［答案]（1）√（2)×(3）×（4）×2。
2021新教材高中数学第6章6.2.1向量的加法运算课件新人教A版必修第二册
[归纳提升] 应用向量解决平面几何问题的基本步骤
【对点练习】❸ 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆 子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳 子的重量忽略不计).
[解析] 如图，设C→E、C→F分别表示 A，B 所受的力，10 N 的重力用C→G 表示，则C→E＋C→F＝C→G.
[归纳提升] 向量运算中化简的两种方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾 相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量. 有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量. (2)几何法：通过作图，根据三角BC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点， F 为线段 DE 延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接 CD，那么(在横线 上只填上一个向量)：
则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B ＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km). 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km). 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
运算律
结合律 交换律
a＋b＝_b_＋__a___ (a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_) __
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 向量的加法及几何意义
典例 1 (1)如图，已知a、b，求作a＋b.
(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c. [分析] 用三角形法则或平行四边形法则画图.
高中数学人教A版必修二教案621向量的加法运算
第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算教学设计一、教学目标1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量的加法运算规律；2.理解平面向量的加法运算的几何意义.二、教学重难点1.教学重点平面向量的加法运算法则及其几何意义.2.教学难点对平面向量加法运算的几何意义的理解.三、教学过程（一）新课导入1.复习：向量的定义：既有大小，又有方向。
2.实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量能进行运算吗？下面一起来探究。
（二）探索新知1.如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C 的位移结果相同.因此，位移可以看成是位移与合成的.从运算的角度看，可以看作是与的和，即位移的合成可以看作向量的加法.2.如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A ，作，，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b.CAB求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.3. 如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1F 与2F 的作用，作出这个物体所受的合力F .合力F 在以OA ，OB 为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看，F 可以看作是1F 与2F 的和，即力的合成可以看作向量的加法.如图，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作OACB ，则以O 为起点的向量OC （OC 是OACB 的对角线）就是向量a 与b 的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.对于零向量与任意向量a ，我们规定00a a a +=+=.4. 例1（课本P8）.分小组讨论，探究：（1）如果向量a ，b 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？作出向量a +b . （2）结合例1，探究||a b +，||a ，||b 之间的关系.答：（1）如果向量a ，b 共线，它们的加法与数的加法类似.令，. A O B C当a ，b 共线且同向时，||||||a b a b +=+，如图.当a ，b 共线且反向时，不妨设||a >||b ，则||||||a b a b +=-，如图.（2）如果向量a ，b 不共线，如图，三角形两边之和大于第三边，所以||||||a b a b +<+.综上可知，||||||a b a b +≤+，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立. 5. 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 如图，作，，以AB ，AD 为邻边作ABCD ，容易发现，，故 .又，所以（交换律）.6. 由下图，小组讨论，验证()()a b c a b c ++=++.如图，，.在中，，在中， B A O B AO O A B，故()()a b c a b c ++=++（结合律）.综上所述，向量的加法满足交换律和结合律. 例2（课本P9）.（三）课堂练习课本P10 1—5题.（四）小结作业1. 小结：（1）向量的加法；（2）向量加法的三角形法则；（3）向量加法的平行四边形法则； （4）向量形式的三角不等式；（5）向量加法的运算律.2. 作业：四、板书设计6.2.1 向量的加法运算1. 向量加法的三角形法则；2. 向量加法的平行四边形法则；3. 向量形式的三角不等式；4. 向量加法的交换律和结合律.。
人教A版高中数学必修第二册--6.2.1 向量的加法运算 教学设计
6.2.1 向量的加法运算教学设计（人教A版）教材分析：本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.教学目标与核心素养：课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.教学重难点：重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.课前准备：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则和平行四边形法则 (1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=， 规定： a + 0= 0 + a(2)平行四边形法则ABCa +ba +baa bbaｂｂ ａa如图所示：AC →＝AB →＋BC →(三角形法则) ，又因为BC →＝AD →， 所以AC →＝AB →＋AD →(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a +b 与非零向量a ，b 的模及方向的关系(1)当a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |＜|a |＋|b |. (2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |≥|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |.若|a |＜|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.4．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．四、典例分析、举一反三题型一 向量的三角形法则和平行四边形法则例1 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ．解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤）(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练一1、如图，已知a，b，求作a＋b；【答案】见解析．【解析】如图所示．．题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)BC →＋CE →＋EA →； (2)OE →＋AB →＋EA →； (3)AB →＋FE →＋DC →.【答案】 (1) BA →. (2) OB →. (3) AC →.. 【解析】 (1)BC →＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →.(2)OE →＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →. (3)AB →＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.解题技巧： (向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二 1、化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【答案】(1)AD →. (2) 0.【解析】(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A →＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形． 【答案】见解析.【解析】证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →， ∴AB ＝DC 且AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的反向延长线及延长线上取点E ，F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见解析．【解析】证明 ∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又AB →＝DC →，FD →＝BE →， ∴AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等． ∴四边形AECF 是平行四边形．题型四 向量加法的实际应用例4 在水流速度为向东10 km/h 的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 3 km/h ，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．【答案】 船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】 如图所示，OA →表示水速，OB →表示船实际航行的速度，OC →表示船速，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，所以|OC →|＝20， 所以∠BOC ＝30°，所以∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20 km/h ， 方向与水流方向的夹角为120°.解题技巧： (向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A 地按北偏东35°的方向行驶800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km 送往C 地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【答案】救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设AB →，BC →分别表示救护车从A 地按北偏东35°方向行驶800 km ，从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次行驶的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°.所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本10页练习，22页习题6.2的1，2题.6.2.1 向量的加法运算1.向量加法概念 例1 例2 例3 例42.三角形和平行四边形法则3. 向量a +b 与非零向量 a ，b 的模及方向的关系教学反思：本节课重点是向量加法的定义，三角形法则和平行四边形法则，同时还涉猎到向量加法交换律和结合律。
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：6.2.1 向量的加法运算
3．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，当P→A＋P→B＝P→C成立 时，点 P 位于( D )
A．△ABC 的 AB 边上 B．△ABC 的 BC 边上 C．△ABC 的内部 D．△ABC 的外部
解析：如图，P→A＋P→B＝P→C，则 P 在△C 的外部．
第六章
平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
[目标] 1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2.理 解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计 算．
[重点] 向量加法的三角形法则及平行四边形法则． [难点] 向量加法的几何意义．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
类型二 向量的加法运算
[例 2] (1)化简：①B→C＋A→B；②A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. (2)如图，已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求下列向量： ①O→A＋O→E； ②A→O＋A→B； ③A→E＋A→B. [分析] 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量 的结合律，调整向量顺序相加．
典例讲练破题型 课时作业
要点整合夯基础
知识点一 向量的加法
[填一填] 1．定义：求两个向量和 的运算，叫做向量的加法．
2．三角形法则 前提：已知非零向量 a，b.
作法与图示：
(1)在平面内任取任意一点 A.
(2)作A→B＝a，B→C＝b，再作向量A→C.
→ (3)则向量 AC
叫做
a
与
b
的和，记作
解：连接 CN，∵N 是 AB 的中点，AB＝2CD，∴AN 綉 DC，
∴四边形 ANCD 是平行四边形，C→N＝－A→D＝－b. 又C→N＋N→B＋B→C＝0， ∴B→C＝－N→B－C→N＝－12a＋b. M→N＝C→N－C→M＝C→N＋12A→N＝14a－b.
6.2.1 向量的加法运算(课件)-2020-2021学年上学期高一数学(新教材人教版必修第二册)
(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结 合律调整向量顺序后相加．
(2)向量求和的多边形法则：A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An＝ A→1An.特别地，当 An 和 A1 重合时，A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1A1＝ 0.
化简：(1)B→C＋A→B；(2)D→B＋C→D＋B→C. 解：(1)B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C. (2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B＝(B→C＋C→D)＋D→B＝B→D＋D→B＝ 0.
素养导学
走了“一步”．马再从 A1 到 B 也可以用向量A→1B表示，那么马从 A 跳到 A1，再 从 A1 跳到 B 时，它的位移如何用A→A1，A→A2表示呢？
预习关键词
向量的加法、平行四边形法则、三角形法则、交换律、结合律
深度预习 分步思考 1．向量加法的定义及其运算法则 (1)向量加法的定义 求 两个向量和 的运算，叫做向量的加法． (2)向量求和的法则
在 Rt△ACD 中，|C→D|＝|A→B|＝|v 水|＝10 m/min， |A→D|＝|v 船|＝20 m/min，
∴cos α＝||CA→→DD||＝1200＝21， ∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成 120°的角． ∴船是沿与水流的方向成 120°的角的方向行进．
探究题 2 探究题 1 中的条件不变，则经过 1 h，该船的实际航 程是多少千米？
用三角形法则求向量和的关键是“首尾相连”，用平行四边形法 则求向量和的关键是“共起点”．
如图，已知向量 a，b，求作向量 c，使 c＝2a＋b.
解：作向量A→B＝a＋a，向量B→C＝b， 则向量A→C就是所求作的向量 c.如图所示．
《向量的加法运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.1 向量的加法运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
【教学目标与核心素养】A.理解向量加法的意义；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；C.理解向量的运算律；D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。
【教学重点】：两个向量的和的概念及其几何意义；【教学难点】：向量加法的运算律。
【教学过程】【答案】向量的大小：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
二、探索新知思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？【答案】 从运算的角度看， 可以认为是与的和，即位移、可以看作向量的加法。
1.已知向量和，如图在平面内任取一点O ，作，则向量叫做和的和，记作．即。
求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．【口诀】首尾相连首尾连。
思考2：某物体受到F 1，F 2作用，则该物体所受合力怎么求？【答案】 从运算的角度看， 可以认为是与的和，即力的合成可以看作向量的加法。
AC AB BC a b b AB a OA ==,OB a b b a +OB AB OA b a =+=+F 21F F 和2.向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量和为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就是和的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．【口诀】起点相同，对角线为和。
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第六章 平面向量及其应用
6.2.1向量的加法
一、教学目标
1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量；
3．理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。
4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。
二、教学重难点
1．两个向量的和的概念及其几何意义；
2．向量加法的运算律。
三、教学过程：
1、情景引入
在大型生产车间里，一重物被天车从A 处搬运到B 处，如图所示．它的
实际位移AB ，可以看作水平运动的分位移AC 与竖直运动的分位移AD 的合位移．
问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为AB ，AD ，AC 之间有什么关系？
【答案】AB ＝AC ＋AD .
问题2：向量AB ，AC ，CB 之间有什么关系？
【答案】AB ＝AC ＋CB .
2、探索新知
（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：AB BC AC +=． 规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．
说明：①共线向量的加法： a b a b +
②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a ，b ，求作向量a b +. 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .
（1） （2） b a
O B
A A
B C
（2）．向量加法的法则：
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：OB AB OA =+．【口诀】尾首相接首尾相连。
平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则 则以A 为起点的对角线AC 就是a
与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。
【口诀】共
起点，和为对角线。
小组合作探究： 问题1：若向量a 和b 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量b a +吗？
【答案】（1）当a 和b 同向时，AC BC AB b a =+=+；
（2）当a 和b 反向时，AC BC AB b a =+=+。
问题2：|||,||,|b a b a +之间具有什么样的关系。
【答案】当a 和b 反向或不共线时，||||||b a b a +<+；当a 和b 同向时，||||||b a b a +=+。
综上，||||||b a b a +≤+。
问题3：向量的加法能否像数的加法也满足交换律和结合律呢？
【答案】如图所示：在平行四边形ABCD 中，,+=+=
+=+=，所以+=+。
在图（2）中，++=+=++=)(，
)(c b a BD AB CD BC AB AD ++=+=++=，所以，
b a b
a A B C D
）（c b a c b a ++=++)(。
运算律： 交换律：a b b a +=+． 结合律：()(
)a b
c a b c +
+=+
+．
4．例题分析：
例1.化简下列各式：
(1)PB ＋OP ＋BO ；
(2)(
AB ＋MB )＋BO ＋OM ； (3) AB ＋BC ＋CD ＋DE .
解：(1)PB ＋OP ＋BO ＝(OP ＋PB )＋BO ＝OB ＋BO ＝0；
(2)(AB ＋MB )＋BO ＋OM ＝(AB ＋BO )＋(OM ＋MB )
＝AO ＋OB ＝AB ；
(3)AB ＋BC ＋CD ＋DE ＝AC ＋CD ＋DE ＝AD ＋DE
＝AE .
例2.如图，点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，则下列两个等式一定成立的是哪个？ ①AC AD AB =+; ② DA OC BO =+.
解：AC AD AB =+,故①正确； AD BC OC BO ==+，故②错误
注意：向量求和，注意“首尾顺次相连”；向量加法的结果还是向量.
例3. 小雨滴在无风时以4 m/s 的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何 ？
(提示：tan 37°＝34
)
解：如图，设OA 表示小雨滴无风时下落的速度，OB 表示风的速度，以OA ，OB 为邻边作
平行四边形OACB ，则OC 就是小雨滴实际飞行的速度．在Rt △OAC 中，|OA |＝4 m/s ，
|AC |＝3 m/s ，所以|OC |＝5 m/s.且tan ∠AOC ＝34
，即∠AOC ≈37°. 所以小雨滴实际飞行速度为5 m/s ，方向约为东偏南53°.
四、小结：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则以及向量加法的运算
律。
3.||||||+≤+
五、作业：习题3.1 6,7,9题。