罚函数 原理与应用
第二节 罚函数法
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
惩罚函数法
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。
罚函数法与障碍函数法
罚函数法与障碍函数法罚函数法与障碍函数法罚函数法与障碍函数法是求解约束极⼩化问题的较好的算法，其基本原理是在原⽬标函数中加上⼀个罚（障碍）函数，⽽得到⼀个增⼴⽬标函数。
罚（障碍）函数的功能是对⾮可⾏或企图穿越边界⽽逃离可⾏域的点赋予⼀个极⼤的函数值。
可以作⼀个形象的⽐喻：在约束极⼩化问题中，约束条件是⼀条“法律”，凡是不服从这条“法律”的点被处以“罚款”的“经济制裁”，⽽且“罚款”的数额极⾼。
这样，在对新的⽬标函数进⾏⽆约束极⼩化的过程中，就会迫使迭代点逐步逼近（当迭代点在可⾏域外时）或者不能离开可⾏域（当迭代点在可⾏域内时），这样所得的关于增⼴⽬标函数的⽆约束极⼩化的解就会逼近于原⽬标函数的约束极⼩化的解。
也就是说，可以将约束极⼩化问题通过增⼴⽬标函数⽽化成⽆约束极⼩化问题，⽽后者可以⽤前⼏节所介绍的算法来求解。
⼀、罚函数法（外点法）1．罚函数法的基本原理定理4.12 设对给定的参数µ,F(X,µ)的⽆约束极⼩点为Xµ, 那么Xµ成为f(X)的约束极⼩点的充要条件是：Xµ是原问题的可⾏点。
证明必要性显然成⽴，下⾯证明充分性。
设原问题的可⾏域为D,Xµ∈D，则由a(X)的构造可知：a(Xµ)=0, Xµ∈D由于已知Xµ是F(X,µ)的⽆约束极⼩点，故存在Xµ的⼀个领域N(X,ε)，使得F(Xµ,µ)≤0,X∈D∩N(Xµ,ε)所以F(Xµ,µ)= f(Xµ)+µa(Xµ)=f(Xµ)F(X,µ)= f(X)+ µa(Xµ)=f(X)因此f(Xµ)≤f(X)，当X∈D∩N（Xµ,ε）表明，Xµ是原问题的约束极⼩点。
2．罚函数法算法在⽤计算机求解F(X,µ)的⽆约极⼩点时，必须事先给µ的值，例如，令µ=µ0，才能求出F(X,µ)的极⼩点Xµ0。
罚函数-原理与应用
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ,F(x,μ)的无约
束极小值为xμ。那么，xμ成为f(x)的约束极小点的
充要条件是：xμ是原问题的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
1) 取初始点X0为非可行点,μ0＞0(通常取μ0=1), ε＞0,c＞1(通常取
c=10),k=0
2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题：
= 12 + 222 + 21 + (1 + 2 − 1)2
(, )
= 12 + 222 + 21
+ (1 + − 1)2
例题
= 2, 2 = 100
(1) = (−0.2,0.4), ( (1) ,μ0 ) = 1.5237
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ0)的
问题转化为：
minF(x)
min() = 12 + 222 + 21
..
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式：
F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]²
其中，μ是一个充分大的正数。记
α(x)=[max(0,-x+2)]²
(3-98)
(3-99)
通常将μα(x)称之为罚函数，记为
点正是X=2
解题步骤
一般情况下：
设原问题为
minf(x)
(3-100)
s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101)
hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102)
则可以构造无约束极小化问题：
minF(x,μ)=f(x)+μα(x) (3-103)
罚函数详解范文
罚函数详解范文罚函数是在优化算法中使用的一种数学函数，用于表示目标函数所需最小化或最大化的约束条件。
它用于惩罚不满足约束条件的解，使优化算法能够到符合约束条件的最优解。
罚函数通常在约束条件无法直接融入目标函数时使用。
罚函数的基本思想是引入惩罚项，将违反约束条件的解的目标函数值增加一个惩罚项，从而避免到不满足约束的解。
罚函数的形式多种多样，可以根据具体问题的约束条件和优化目标灵活选择。
一般来说，罚函数可以分为外罚函数和内罚函数。
外罚函数是将约束条件转化为约束项，增加到目标函数中。
内罚函数则是将罚项直接添加到目标函数中。
外罚函数的一种常见形式是将约束项乘以一个罚系数加到目标函数中，如：F(x)=f(x)+c*g(x)其中，F(x)为带罚函数的目标函数，f(x)为原始目标函数，g(x)为约束函数，c为罚系数。
当约束条件不满足时，g(x)的值较大，从而使罚函数的值增加，从而对目标函数进行惩罚。
目标函数的最小化过程中，在使得f(x)值小的前提下，也要尽量减小g(x)的值。
内罚函数则可以通过定义一种惩罚项，将违反约束的解进行惩罚。
一种常见的内罚函数是将约束条件的差值平方作为罚项，如：F(x)=f(x)+c*g(x)^2其中，F(x)为带罚函数的目标函数，f(x)为原始目标函数，g(x)为约束函数，c为罚系数。
当约束条件不满足时，g(x)的值较大，从而使罚函数的值增加，从而对目标函数进行惩罚。
罚系数c的选择需根据具体问题进行调整，较大的c会对不满足约束条件的解进行更大的惩罚。
除了上述的外罚函数和内罚函数，还有一种常见的罚函数是逻辑约束罚函数。
逻辑约束罚函数是通过引入逻辑变量，并将约束条件转化为逻辑约束，来对边界违反条件进行惩罚。
例如，对于变量x的约束条件0<=x<=10，可以定义逻辑变量y和z，并引入逻辑约束y=0并且z=0，再对y和z进行罚函数处理。
当x违反约束条件时，y或z的值会违反逻辑约束，从而增加罚函数值。
罚函数课件
CHAPTER
06
罚函数的未来发展与研究方向
罚函数的改进与优化
动态调整罚因子
根据问题的复杂性和数据特性，动态调整罚因子的大小，以获得 更好的优化效果。
多目标优化罚函数
将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过设计合理的罚函 数，实现多个目标的平衡优化。
引入机器学习算法
利用机器学习算法对罚函数进行训练和优化，提高罚函数对复杂 问题的适应性。
02
在机器学习中，罚函数常用于解决模型的过拟合问题。通过在损失函数中加入 正则化项（即惩罚项），使得模型在训练过程中不仅要最小化损失函数，还要 尽量满足某些正则化条件（如参数的范数约束）。
03
常见的正则化项包括L1正则化、L2正则化以及弹性网正则化等。这些正则化项 在模型训练过程中起着重要的角色，能够有效地防止过拟合，提高模型的泛化 能力。
罚函数在深度学习中的实现方式
软阈值化
在优化过程中，将权重向量的元素值与阈值进行比较，将 超过阈值的元素置为零，实现L1正则化。
权重衰减项
在损失函数中添加权重衰减项，使得权重向量的平方和变 小，实现L2正则化。
自定义罚函数
根据具体问题定义自己的罚函数，并在损失函数中添加该 罚函数项，以实现特定的正则化效果。
系数估计
Ridge回归使用L2范数作为 惩罚项，对系数进行估计， 能够得到更平滑、更稳定的 模型。
模型选择
Ridge回归在选择模型时， 通常需要预先设定一个阈值 或交叉验证来确定惩罚参数 的大小。
L1与L2罚函数的比较
稀疏性
Lasso回归具有稀疏性，能够自动选 择重要变量，而Ridge回归则不具备 这一特性。
罚函数与其他算法的结合
与进化算法结合
罚函数详解
罚函数详解
罚函数是一种用于优化问题中的约束的技术。
通常，在优化过程中，
我们面临许多约束问题，其中一些可能会使优化问题变得更加复杂。
罚函
数的目的是将这些约束问题转换为约束条件。
罚函数的基本思想是在原优化问题中添加一个“惩罚”项，在该项下
违反约束条件的解将被“惩罚”，而在该项下满足约束条件的解将不受影响。
这将使优化问题在满足约束条件的情况下更容易求解。
一般来说，罚函数是由三个因素组成的：
1.目标函数：它是优化问题的主要部分，尝试最大化或最小化其价值。
2.约束条件：这些条件规定了目标函数的值必须满足的限制条件。
3.罚项：这是一个额外的项，它在目标函数的基础上对约束条件进行
惩罚，以防止超出约束条件而导致的不良解。
罚函数通常采用两个步骤：
1.定义罚函数：在目标函数的基础上添加“惩罚”项，该项惩罚解决
方案违反约束条件的行为，使其不受欢迎。
2.解决优化问题：将添加“惩罚”项的目标函数与约束条件一起考虑，并确定最佳解决方案。
罚函数的主要优点是可以将约束条件集成到目标函数中，从而简化问
题的解决方案。
此外，它还可以帮助避免无法满足约束条件的解决方案，
并确保生成的解决方案符合所有要求。
第五章 惩罚函数法
入口 给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2 k←0 用无约束优化方法求罚函数 * 的优化点 x k F F ( x k* )
x* x k , F * F ( x k )
* *
内 点 法 流 程 图
出口
+
K=0?
-
F F0 F0
2
+
r
( k 1)
Cr
(k )
F0 F x k 1 x k
x∈Rn 任选初始点x(0)，初始法罚因子r(0)>0,罚因子递增系数C>1 对于r(k)为某一值，同过对惩罚函数的无约束求优，可 得最优点 。随着k的增大，得无约束最优点列
在k←∞的过程中，点列将趋近于原问题的最优点
实线为原目标 函数等值线
虚线为罚函数 等值线
总结 由上图可见，两种等值线在可行域内部及边界上是重合 的；而在非可行域中，罚函数的等值线升高了。即只有在 可行域外部惩罚项才起到惩罚的作用。r(k)值越大，惩罚作 用越大。 由上b图可知，在起作用约束边界处罚函数等值线变得越 密集和越陡峭。随r(k)的增大，最优点列将越接近于原约束 优化问题的最优点x*。但须注意，近似的最优点是落在边 界处非可行域一侧。
(0) *
-
k k 1ຫໍສະໝຸດ ㈦内点罚函数的特点内点法只适用于解不等式约束优化问题。由于内点法 需要在可行域内部进行搜索，所以初始点必须在可行域 内部选取可行设计点。 内点法的突出优点在于每个迭代点都是可行点 因此，当迭代达到一定阶段时，尽管尚没有达到最优点， 但也可以被接受为一个较好的近似解。
5.3.4.2 外点法
出口
外 点 法 流 程 图
k←0
用无约束优化方法求罚函数 * 的优化点 x k F F ( x k* )
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F(X )
f ( x ),当 x 20 ,当 x 20
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式： F(x,μ )=x+μ [max(0,-0+2)]² 其中，μ 是一个充分大的正数。记 α (x)=[max(0,-x+2)]² 通常将μ α (x)称之为罚函数，记为 P(x,μ)=μα(x)
例题
2 k 3, μ 3 1000 , F ( X , μ 3 ) x12 2 x2 2 x1 1000 ( x1 x2 1) 2
以X(3)为出发点，可求得F(X, μ 3)的极小点为
X ( 4) (0.3324 ,0.6662 ), F ( X ( 4) , μ 3 ) 1.663
例题
2 k 1, μ1 10, F ( X , μ1 ) x12 2 x2 2 x1 10( x1 x2 1) 2
以X(1)为出发点，可求得F(X, μ 1)的极小点为
X ( 2) (0.32,0.625), F ( X ( 2) , μ1 ) 1.5237
i 1 j 1
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ ,F(x,μ ) 的无约束极小值为xμ 。那么，xμ 成为f(x) 的约束极小点的充要条件是：xμ 是原问题 的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
(1) 取初始点X0为非可行点,μ 0＞0(通常取μ 0=1), ε ＞0,c＞1(通常取c=10),k=0 (2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题： minF(X,μ k )=f（X）+μ kα (X) 设无约束极小点为Xμ k (3) μ kα (Xμ k)≤ε ，输出Xμ k，计算停止；否则， 转(4) (4)μ k+1=cμ k，k=k+1，转(2)
1.罚函数法的基本原理
例3.23 求解：
minf(x) x s.t. – x 2 0
基本原理
利用无约束极小化的算法来求解这个不 等式，假设存在这样一个函数F(x),当x是原 约束的可行域中点时，F(x)与f(x)的值相同； 当x不属于可行域时，则F(x)→∞,所以问题 转化为：
minF(x)
例题
2 k 2, μ 2 100, F ( X , μ 2 ) x12 2 x2 2 x1 100 ( x1 x2 1) 2
以X(2)为出发点，可求得F(X, μ 2)的极小点为
X (3) (0.325,0.662 ), F ( X (3) , μ 2 ) 1.537
解题步骤
一般情况下： 设原问题为 minf(x) (3-100) s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101) hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102) 则可以构造无约束极小化问题： minF(x,μ )=f(x)+μ α (x) (3-103) m l 其中 2 2
α ( x) [max( 0, g i ( x)] [hi ( x)]
(3-98)
(3-99)
而把新目标函数F(x,μ )=f(x)+P(x,μ )称之为 增广目标函数
基本原理
增广目标函数的性质与参数μ 有密切的联系：μ 越大，F(x,μ )的无约束极小点就越接近于f(x) 的约束极小点xμ ，可得
1 Xμ 2 2 μ Xμ 2，当μ
而利用图解法不难看出，原问题的约束极小 点正是X=2
2 X ( 0) (1,1), μ 0 1, F ( X , μ 0 ) x12 2 x2 2 x1 ( x1 x2 1) 2
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ 0)的无 约束极小点为
X (1) (0.2,0.4), F ( X (1) , μ 0 ) 1.5237
例题
例3.24 用罚函数法(外点法)求解：
要求以X(0)=(1,1)为初始点，C=10,迭 代3次
min f ( X ) x 2 x 2 x1 x1 x2 1 0 s.t.
2 1 2 2
例题
2 F ( X , μ k ) x12 2 x2 2 x1 μ(x1 x 1) 2
例题
而原问题的精确极小点与极小值为
1 2 15 X * ( ， )，f ( Xห้องสมุดไป่ตู้*) 1.6666 3 3 9
X (4)已经很接近X*。同时可以看出， F(Xk+1，μk) 单调上升，并趋于f（X*）
我的讲课结束
Thank you all ！
第十三节
罚函数法与障碍函数法
主要内容：
1
罚函数法（外点法）
2
障碍函数法（内点法）
混合罚函数法
3
罚函数的功能
在原目标函数中加上一个罚（障碍） 函数，而得到一个增广目标函数，罚 （障碍）函数。罚（障碍）函数的功 能是对非可行点或企图穿越边界而逃 离可行域的点赋予一个极大的函数值。
基本原理
一. 罚函数法（外点法）