高三上学期第二次月考(数学文)

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华南师大附中高三第二次月考数学(文)试题(答案不全)

学必求其心得，业必贵于专精2012—2013年华南师大附中高三综合测试(二）试题数学（文科)本卷共20小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =( ）A ．{1,0,1}-B ．{2,1,0,1,2}--C ．{0,1}D ．{10}-，2、设a ∈R ,若i i a 2)(-（i 为虚数单位)为正实数，则a =（）A ．2B ．1C ．0D ．1-3、一组数据20,30,40,50,50,60,70,80的平均数、中位数、众数的大小关系是A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．众数=中位数=平均数4、若 ]2,4[ππθ∈，47sin =θ，则θ2sin =（）A 。

错误! B. －错误! C. 错误! D. －错误!5、设 S n 为等差数列 {a n ｝的前 n 项和，若S 3 = 3,S 6 = 24，则a 9 =（）A. 13 B 。

14 C 。

15 D 。

166、已知－7，1a ，2a ，－1四个实数成等差数列，－4，1b ，2b ，3b ，－1五个实数成等比数列，则212b a a-=（）A ．1B ．－1C ．2D ．±17、函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A.[0，3π］B.［12π，12π7］C.［3π，6π5]D.[6π5，π］8、已知xx f )21()(=，其反函数为)(x g 则)(2x g 是（）A 。

奇函数且在),0(+∞上是增函数;B.偶函数且在),0(+∞上是增函数; C 。

奇函数且在)0,(-∞上是增函数；D.偶函数且在)0,(-∞上是增函数；9、△ABC 中，∠C = 60°，且CA = 2，CB = 1，点M 满足错误!= 2错误!,则错误!·错误!=（ )A. 4 + 错误! B 。

三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷含答案

三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}{}22,3,4,230A B x x x ==∈+-<N ，则A B 中元素的个数是A.2B.3C.4D.52.复平面内表示复数622iz i+=-，则z =A. B. C.4 D.3.若非零实数,a b 满足a b >，则A.22ac bc> B.2b a a b+> C.e1a b-> D.ln ln a b>4.函数()cos f x x x =的图像大致是A ．B ．C ．D ．5.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，点M ，N 在线段AB 上，且1AM MN NB ===，则MD 与NC所成角的余弦值为A ．13B ．45C ．23D ．356.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为A.256π B.9π C.92π D.98π7.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =A.361B.374C.385D.3958.在ABC 中，角A、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，b a λ=，则实数λ的最大值是A.B．32+C．D．2二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第二次月考数学(文科)试题

2020年石嘴山市三中11月月考数学试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. C5. C6. C7. D8. D9. A10. B11. B12. D13.14.15.16司长生批 13. (−2,2) 14. {2(n =1)2n−1(n ≥2)15. 2cos x 16. 1：√3：217董红香批17（10分）解：(1)由a ⃗ ⊥b ⃗ 得，2x +3−x 2=0，即(x −3)(x +1)=0，解得x =3或x =−1；(2)由a ⃗ //b ⃗ ，则2x 2+3x +x =0，即2x 2+4x =0，得x =0或x =−2．当x =0时，a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(3,0)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(−2,0)，此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)，则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b ⃗ |=√22+(−4)2=2√5．18董红香批18. （12）解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2=10，a 4−a 3=2，可得a 1+a 1+d =10，d =2，解得a 1=4，d =2，可得a n =4+2(n −1)=2n +2； (2)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 2=a 3，b 3=a 7，可得b 1q =8，b 1q 2=16，解得b 1=4，q =2，则数列{b n }的前n 项和为S n =4(1−2n )1−2=2n+2−4．19(12分 ) .寇西宁批解：(Ⅰ)因为△ABC 的外接圆直径为200√573m.由正弦定理BCsin∠CAB =200√573，即200sin∠CAB=200√573，所以sin∠CAB =3√57，cos∠CAB =4√3√57，在△ABC 中，sin∠B =sin(∠CAB +∠ACB)=sin∠CABcos∠ACB +cos∠CABsin∠ACB =√57⋅12+√3√57⋅√32=2√57，由正弦定理可得ACsin∠B =BCsin∠CAB ，所以AC =sin∠Bsin∠CAB ⋅BC =152√573√57⋅200=500m所以AC 的值是500m ；(Ⅱ)由题意可得AD =BC =200，cos∠AED =cos60°=12，在△ADE 中，由余弦定理可得AD 2=AE 2+ED 2−2AE ⋅ED ⋅cos∠AED =(AE +ED)2−3AE ⋅ED ，所以(AE +ED)2−AD 2=3AE ⋅ED ≤3⋅(AE+ED 2)2，所以14(AE +ED)2≤AD 2=2002，所以可得：AE +DE ≤400，所以△ADE 的最大周长为：AD +AE +DE =200+400=600m ．20.（12分）寇西宁批解：(1)∵f(x)在x =2处有极值，∴f′(2)=0．∵f′(x)=3x 2+2ax ，∴3×4+4a =0，∴a =−3．经检验a =−3时x =2是f(x)的一个极值点，故a =−3；(2)由(1)知a =−3，∴f(x)=x 3−3x 2+2，f′(x)=3x 2−6x ．令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可知f(x)在区间[−1,3]上的最大值是2，最小值是−2．21.（12分）司长生批解：(Ⅰ)当0<x <70时，y =100x −(12x 2+40x −400=−12x 2+60x −400)，当x ≥70时，y =100x −(101x +6400x−2060)−400=1660−(x +6400x).∴y ={−12x 2+60x −400,0<x <70且x ∈N1660−(x +6400x ),x ≥70且x ∈N； (Ⅱ)当0<x <70时，y =−12x 2+60x −400=−12(x −60)2+1400，当x =60时，y 取最大值1400万元；当x ≥70时，y =1660−(x +6400x )≤1660−2√x ⋅6400x=1500，当且仅当x =6400x，即x =80时y 取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22.（12分）司长生批解：(I)f′(x)=cosx −sinx −a ，当a =1时，f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1，令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增，在(0,π2)上单调递减，故f(x)max =f(0)=1， ∵f(−π4)=π4，f(π2)=1−π2<π4， ∴f(x)min =f(π2)=1−π2， (II)f(−π)=aπ−1≤1，故a ≤2π，f′(x)=−√2sin(x−π4)−a，∵−π≤x≤0，∴−5π4≤x−π4≤−π4，∴−1≤sin(x−π4)≤√22，−1≤−√2sin(x−π4)≤√2，(i)a≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在[−π,0]上单调递增，f(x)<f(0)=1恒成立，(ii)−1<a≤2π时，当−π≤x≤−π4时，f′(x)单调递增，当−π4≤x≤0时，f′(x)单调递减，∴f′(π)=−1−a<0，f′(−π4)=√2−a>0，f′(0)=1−a>0，∴存在a∈(−π,−π4)，使得f′(a)=0，所以当−π≤x<a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当a<x≤0时，f′(x)>0，函数单调递增，又因为f(−π)=aπ−1≤1，f(0)=1≤1，∴f(x)≤1，∴a≤2π【解析】1. 解：∵集合A={−1,0，4}，集合B={x|x2−2x−3≤0,x∈N}={−1,0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)={4}故选A由已知中的韦恩图，我们可得图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)，根据已知中的集合A，B，可得答案．本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中分析出图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)，是解答本题的关键．2. 解：根据题意，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB=4，则△ABC为Rt△，且cosC=35，△ABD满足勾股定理，则△ABD为Rt△，且∠ADB=90°，则有∠DAB=∠C，又由<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=∠DAB ，则cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=cos∠DAB =cosC =35，故选：A ．根据题意，可得△ABC 中cosC =35，由相似三角形的性质可得∠DAB =∠C ，而<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=∠DAB ，即可得答案．本题考查向量夹角的计算，注意向量夹角的定义，属于基础题．3. 【分析】由已知展开两角差的正切求得tanα，再由万能公式求得cos2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了万能公式的应用，是基础题．【解答】解：由tan(α−π4)=−13，得tanα−tanπ41+tanαtanπ4=−13，即tanα−11+tanα=−13，解得tanα=12，∴cos2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−141+14=35．故选：A ．4. 解：由已知得f′(x)=a x , g′(x)=12√x ，设切点横坐标为t ，∴{alnt =√t a t=12√t ，解得t =e 2,a =e 2．故选：C ．根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于基础题．5. 【分析】本题考查向量数量积及向量垂直的充要条件，同时考查正弦定理及两角和与差的三角函数，根据向量垂直，可得√3cosA −sinA =0，分析可得A ，再根据正弦定理可得，sinAcosB +sinBcosA =sin 2C ，进而可得sinC =sin 2C ，可得C ，再根据三角形内角和定理可得B ，进而可得答案．【解答】解：根据题意，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，可得m⃗⃗⃗ ·n⃗=0，即√3cosA−sinA=0，即，又0<A<π，∴A=π3，因为acosB+bcosA=csinC，正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sin2C，即sin(A+B)=sinC=sin2C，又0<C<π，∴sinC=1，C=π2，故选C.6. 解：向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，由b⃗ ⊥(2a⃗−λb⃗ )知，b⃗ ⋅(2a⃗−λb⃗ )=0，2b⃗ ⋅a⃗−λb⃗ 2=0，2×2×1×cos60°−λ⋅22=0，解得λ=12．故选：C．根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的数量积与垂直的应用问题，是基础题．7. 解：函数f(x)=12(√3sin2|x|−cos2|x|)=sin(2|x|−π6)，定义域为R，f(−x)=sin(2|−x|−π6)=sin(2|x|−π6)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，f(x)=sin(2x−π6)，x≥0令2x−π6=π2，解得x=π3，所以x=π3时f(x)最大，故选：D．由三角函数的化简可得函数的解析式，再由函数的奇偶性可得函数f(x)是偶函数，再由x≥0的函数的最大值时的x值可选出结果．本题考查求函数的解析式即函数奇偶性的性质，属于中档题．8. 解：设12x−1=t，则x=2t+2，∴f(t)=4t+7，∴f(m)=4m+7=6，解得m=−14．故选：D．本题考查函数的解析式，属于基础题．设12x−1=t，求出f(t)=4t+7，进而得到f(m)=4m+7，由此能够求出m．9. 解：由题意可得a22=a1a4，∴(a1+2)2=a1(a1+6)，解得a1=2，故选：A．由题意可得a1的方程，解方程可得．本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题．10. 解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=22−1，最小正方形的边长为2，第2代“勾股树”中，正方形的个数为3+4=7=23−1，最小正方形的边长为(√2)2，第3代“勾股树”中，正方形的个数为15=24−1，最小正方形的边长为(2)3，以此类推，第n代“勾股树”中，正方形的个数为2n+1−1，最小正方形的边长为(√2)n，若“勾股树”上共得到8191个正方形，则2n+1−1=8191，解得n=12，此时最小正方形的边长为(√2)12=164．故选：B．第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=22−1，最小正方形的边长为√2，第2代“勾股树”中，正方形的个数为7=23−1，最小正方形的边长为(√2)2，第3代“勾股树”中，正方形的个数为15=24−1，最小正方形的边长为(√2)3，以此类推，第n代“勾股树”中，正方形的个数为2n+1−1，最小正方形的边长为(√2)n，根据已知可求得n值，即可求解．本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．11. 解：∵函数y=2sin(2x−π3)(A>0,ω>0)的图象为C，故函数的最小正周期为2π2=π，故A错误；令x=π6，求得f(x)=0，可得图象C关于点(π6,0)对称，故B正确；图象C向右平移π2个单位后，得到y=2sin(2x−π−π3)=−2sin(2x−π3)的图象，显然，所得图象不关于原点对称，故C错误；当x∈区间(−π12,π2)，2x−π3∈(−π2,2π3)，函数f(x)在区间(−π12,π2)上没有单调性，故D错误，故选：B．由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．12. 解：由题设可得：当n=2k−1(k∈N∗)时，有a2k=[cos(2k−1)π]⋅a2k−1+22k−1，即：a2k−1+a2k=22k−1(k∈N∗)，∴(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a39+a40)=21+23+25+⋯+239=2(1−420)1−4=2(420−1)3．故选：D．由题设条件推出相邻项之间的关系式，即可得到结果．本题主要考查由数列的递推式求数列的和，属于基础题．13. 解：∵a⃗,b⃗ 的夹角是180°∴a⃗,b⃗ 共线，∴设b⃗ =(λ,−λ)，∵|b⃗ |=2√2，∴√λ2+(−λ)2=2√2，∴λ=±2，∵a⃗,b⃗ 的夹角是180°∴λ<0 ∴b ⃗ =(−2,2)故答案为：(−2,2)根据两个向量的夹角是180°，得到两个向量共线且方向相反，设出要求的向量，根据之金额各向量的模长做出向量的坐标，把不合题意的舍去．本题考查向量的数量积的坐标表示，是一个基础题，解题时注意向量的设法，这是本题要考查的一个方面，注意把不合题意的舍去．14. 解：由log 2S n =n ，得S n =2n ．当n =1时，a 1=S 1=2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， n =1时不成立． ∴a n ={2(n =1)2n−1(n ≥2)．故答案为{2(n =1)2n−1(n ≥2)．由对数式变形得到数列{a n }的前n 项和S n ，分类讨论求解其通项a n ．本题考查阿勒数列的概念及简单表示法，考查了由数列前n 项和求通项，关键是注意分类讨论，是基础题．15. 解：将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y =cos(2x −π2)=sin2x =2sinxcosx的图象又因为得到函数y =f(x)⋅sinx ，则f(x)=2cosx ，故答案为：2cos x ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．16. 解：∵三个内角度数之比∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，∴a ：b ：c =sin30°：sin60°：sin90°=12：√32：1=1：√3：2．故答案为：1：√3：2．由三个内角度数之比，求得三角形的内角，再利用正弦定理，即可求得结论．本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．17. 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件．(1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．18. (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式，解方程可得公差和首项，进而得到所求通项公式；(2)设等比数列{b n }的公比为q ，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19. (Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理可得sin∠CAB =√57，cos∠CAB =√3√57，再由三角形的内角和π，可得sin∠B =sin(∠CAB +∠ACB)的值，由正弦定理可得AC 的值；(Ⅱ)由余弦定理和均值不等式可得DE +AE 的最大值，进而可得三角形的周长的最大值．本题考查三角形的正余弦定理及均值不等式，属于中档题．20. (1)由x =−2是f(x)的一个极值点，得f′(2)=0，解出可得；(2)由(1)可求f(x)，f′(x)，令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况列成表格，由极值、端点处函数值可得函数的最值；本题考查利用导数研究函数的极值、最值，属中档题，正确理解导数与函数的关系是解题关键．21. (Ⅰ)直接由已知分类写出分段函数解析式；(Ⅱ)当0<x <70时，利用配方法求最值，当x ≥70时，利用基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题．22. (I)把a =1代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对a 进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。

2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

四川省内江市第六中学2022-2023学年高三上学期第二次月考《文科》数学(解析版)

内江六中2022—2023学年（上）高2023第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知向量()1,2a =r ，()1,1b = ，若c a kb =+ ，且b c ⊥ ，则实数k =（）A. 32B. 53-C. 53D. 32-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量坐标的线性运算得c得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数k 的值.【详解】解：因为向量()1,2a =r ，()1,1b = ，所以()1,2c a kb k k =+=++ ，又b c ⊥，所以120b c k k ⋅=+++= ，解得32k =-.故选：D.2. 复数13i2iz -=+的虚部为（）A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可得复数的虚部.【详解】解：复数13i (13i)(2i)17i 17i 2i (2i)(2i)555z -----====--++-故z 的虚部为75-.故选：A ．3. 若集合{1A =-，0，1}，2{|1B y y x ==-，}x A ∈，则A B = （）A. {0} B. {1}C. {0，1}D. {0，1}-【答案】D 【解析】【分析】把A 中元素代入B 中解析式求出y 的值，确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：把A 中=1x -，0，1代入B 中得：0y =，1，即{0B =，1}，则{0A B = ，1}-，故选：D ．4. 若变量x 、y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+取最大值时的最优解是（）A. 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,1-【答案】C 【解析】【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线20x y +=，即可得出结果.【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.2z x y =+可化为20x y z +-=，平移直线20x y +=，当其经过点C 时，目标函数2z x y =+取得最大值，联立21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得13x =，23y =，故最优解是12,33⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C.5. 若a ，b 均为实数，则“ln ln a b >”是“e e a b >”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数ln y x =与e x y =解不等式，即可判断.【详解】解：因为ln ln a b >，由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增得：0a b >>又e e a b >，由于函数e x y =在R 上单调递增得：a b >由“0a b >>”是“a b >”的充分不必要条件可得“ln ln a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件.故选：A.6. 如图是函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象的一部分，则函数()f x 的解析式为（）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由图象可确定()f x 最小正周期T ，由此可得ω；根据712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得ϕ；由()0f =可求得A ，由此可得()f x .【详解】由图象可知：()f x 最小正周期23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==；又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()73262k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()23k k πϕπ=+∈Z ，又02πϕ<<，3πϕ∴=，()sin 23f x A x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()0sin 3f A A π=== ，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故选：B.7. 已知向量,a b 的夹角为4π，且1||4,(23)122a a b a b ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，则向量b 在向量a 方向上的投影是（）A.B. 3C. D. 1【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据数量积的运算，化简等式，解得模长，结合投影的计算公式，可得答案.【详解】由()123122a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，22323122a a b a b b -⋅+⋅-= ，2213122a a b b +⋅-= ，21164cos 31224b b π+⨯⋅-=，230b -= ，(30b += ，解得b = b 在向量a 方向上的投影为cos 14b π= ，故选：D.8. 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系．用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个．落入其内切圆中的点有22个，则圆周率π≈（）A.6320B.3310C.7825D.9429【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.【详解】直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即268104r =+-=，由几何概型得2222140682π⨯≈⨯⨯，从而3310π≈.故选：B.9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（）A. 28h B. 28.5hC. 29hD. 29.5h【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h.故选：B .10. 已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为（）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先根据()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦，得到()2f x =或1()2f x =-，然后利用导数分析0x ≥时函数的单调性，结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.【详解】由()()()22320g x f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，得()2f x =或1()2f x =-.当0x ≥时，2()121212(1)f x x x x x '=-=-，所以当(0,1)x ∈，()0,()'<f x f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0,()'>f x f x 单调递增，所以1x =时，()f x 有极小值(1)4611f =-+=-.又0x <时，()x f x e =，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知：函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为3.故选：B .11. 已知()f x 是定义在R 上的函数满足(4)()f x f x -=-，且满足(31)f x -为奇函数，则下列说法一定正确的是（）A. 函数()f x 图象关于直线=2x 对称B. 函数()f x 的周期为2C. 函数()f x 关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D. (2023)0f =【答案】D 【解析】【分析】对于A.令2x x =+代入(4)()f x f x -=-即可判断.对于C.可考虑图像平移或者将3x 换元进行判断.对于BD.通过AB对称轴和对称中心即可判断出函数周期，继而计算出(2023)f 【详解】因为函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线2x =对称，A 错误；因为(31)f x -为奇函数，所以(31)(31)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故C 错误;由()(4)f x f x =--与()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---，即(4)(2)f x f x -=--，故(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故B 错误；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故D 正确．故选:D的的12. 已知关于x 的不等式(e )e ->x x x x m m 有且仅有两个正整数解（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是（）A. 43169(,]5e 4eB. 3294(,4e 3eC. 43169[,5e 4eD. 3294[,e 3e 4【答案】D 【解析】【分析】问题转化为2(1)e x x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，讨论0m ≤、0m >并构造()(1)f x m x =+、2()ex x g x =，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.【详解】当0x >时，由2e e 0xxx mx m -->，可得2(1)ex x m x +<（0x >），显然当0m ≤时，不等式2(1)ex x m x +<在(0,)+∞恒成立，不合题意；当0m >时，令()(1)f x m x =+，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，令2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=，故(0,2)上()0g x '>，(2,)+∞上()0g x '<，∴()g x 在(0,2)上递增，在(2,)+∞上递减，又(0)(0)0f m g =>=且x 趋向正无穷时()g x 趋向0，故()240,e g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，(),()f x g x 图象如下：由图知：要使()()f x g x <有两个正整数解，则()()()()()()11{2233f g f g f g <<≥，即2312e 43e 94e m m m ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得32944e 3e m ≤<．故选：D【点睛】关键点点睛：问题转化为2(1)ex x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.第Ⅱ卷非选择题（满分90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 1289log 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ ．【答案】116##516【解析】【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.【详解】112388893111log 2log 8log 84236⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：116.14. 曲线123x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为________．（用一般式表示）【答案】530x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义即得.【详解】由123x y x -=+，得22(23)2(1)5(23)(23)x x y x x +--'==++，所以切线的斜率为255(23)k ==-+，所以所求的切线方程为(2)5[(1)]y x --=--，即530x y -+=.故答案为：530x y -+=.15. 已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】725##0.28【解析】分析】利用倍角余弦公式求得2π7cos(2)325α+=-，由诱导公式π2πsin(2cos(263αα+=-+，即可求值.【详解】22ππ167cos(212sin 12332525αα⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪⎝⎭，而πππ2π7sin(2cos(2)cos(2)662325ααα+=-++=-+=.故答案为：72516. 已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω>0)，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，令3x k πωπ+=，Z k ∈，可得52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，可得f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而有5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令3x k πωπ+=，Z k ∈，得x ＝33k ππω-，Z k ∈，∴f (x )的第2个、第3个正零点分别为53πω，83πω，【∴52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得542ω≤<，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，∴52266k k x ππππωωωω-+≤≤+，Z k ∈，令k ＝0，f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴5,,42466ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1003ω<≤，综上，ω的取值范围是51023ω≤≤.故答案为：510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin sin ,2A Ca b A b +==.（1）求角B 的大小；（2）求2a c -的取值范围.【答案】（1）3π（2）()0,6【解析】【分析】（1）结合A C B π+=-，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简26a c A π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合A 的范围即得解【小问1详解】A CB π+=- ，sinsin 2B a b A π-∴=cos sin 2B a b A ∴=sin cos sin sin 2B A B A ∴=cos sin 2sin cos 222B B B B ∴==1sin 22B ∴=，又B 为锐角,263B B ππ∴==【小问2详解】由正弦定理4sin sin sin a b c A B C ====，214sin ,4sin 4sin 4sin 2sin 32a A c C A A A A A π⎫⎛⎫∴===-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，128sin 2sin 6sin cos 2a c A A A A A A A ⎫∴-=--=-=-⎪⎪⎭6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由锐角ABC ，故20,0232A C A πππ<<<=-<故(),sin ,20,6626A A a c πππ⎛⎛⎫<<∴-∈∴-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2512a a +=，424S S =．（1）求n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）()2111n T n =-+【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式得到关于首项和公差的方程组求出1a 和d ，进而求出n a 及n S ；（2）利用（1）求出n b ，再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11125124344(2)2a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()12121n a n n =+-=-，()21212n n n S n n -⨯=⨯+=．【小问2详解】由（1）得：+121n a n =+，21(1)n S n +=+，则()()122221211111n n n n a n b S S n n n n +++===-⋅++，所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+()22222222111111122331114n n =-+-+-+⋅⋅-+⋅+()2111n =-+..19. 已知()2ex x a f x -=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）10x y --=（2）1a ≥【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数a ，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.【小问1详解】当1a =时，()21ex x f x -=，()01f =-，()22(1)ex x x f x --'=，(0)1k f '∴==，所以切线方程为：11(0)y x +=⨯-，即10x y --=.【小问2详解】()1f x x ≤-恒成立，即2(1)e x a x x ≥--在[)1,x ∞∈+上恒成立，设2()(1)e x g x x x =--，()(2e )x g x x '=-，令()0g x '=，得120,ln 2x x ==，在[)1,+∞上，()0g x '<，所以函数2()(1)e x g x x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，max ()a g x ∴≥，故有1a ≥.20. 2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）的数据如下表：日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日第x 天12345人数y （单位：万人）4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.300.75r <<，则线性相关程度一般，若0.75r ≥，则线性相关程度较高，计算r 时精确度为0.01）（2）求参与预售人数y 与预售的第x 天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.参考数据：()()()55211460, 6.78i i i i i y y x x y y ==-=--=≈∑∑，附：相关系数()()()121ˆˆˆ,n i i i n i i x x y y r b ay bx x x ==--===--∑∑【答案】（1）具有较高的线性相关程度（2）ˆ 6.641.2yx =+，146.8万人【解析】【分析】（1）根据已知数据计算出相关系数r 可得；（2）由已知数据求出回归方程的系数得回归方程，然后在回归方程中令16x =代入计算可得估计值．【小问1详解】由表中数据可得1234545566468723,6155x y ++++++++====，所以()52110i i x x =-=∑又()()()55211460,66i i i i i y y x x y y ==-=--=∑∑所以0.970.75nx x y y r --==≈>所以该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数y 与天数x 之间的关系.【小问2详解】由表中数据可得()()()12166ˆ 6.610ni ii n i i x x y y b x x ==--===-∑∑则ˆˆ61 6.6341.2a y bx=-=-⨯=所以ˆ 6.641.2yx =+令16x =，可得ˆ 6.61641.2146.8y=⨯+=（万人）故预测2022年2月20日该电商平台预售人数146.8万人21. 已知()()2e 2ln x f x x a x x =-+（1）当e a =时，求()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点个数．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当0e ≤<a ，0个零点；当e a =或a<0，1个零点；e a >，2个零点【解析】【分析】（1）求出函数的导函数()()e 2e x f x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，可得()10f '=，令()e e x g x x x =-，利用导数说明()g x 的单调性，即可求出()f x 的单调区间；（2）依题意可得()()2ln e 2ln 0x x f x a x x +=-+=，令2ln t x x =+，则问题转化为e t at =，R t ∈，利用零点存在定理结合单调性可判断方程的解的个数.【小问1详解】解：因为e a =，0x >，()()2e e 2ln x f x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x x x x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e xg x x x =-，()()2e 1e 0x g x x x '=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0x g x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()e e 0x g x x x =->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增【小问2详解】解：因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 零点转化为()()2ln e 2ln e 0x x t f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，的设()e t g t at =-，则()e tg t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当a<0时，()e 0t g t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或a<0时，1个零点；e a >时，2个零点；【点睛】思路点睛：导数背景下的零点问题，注意利用零点存在定理结合函数单调性来讨论.（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线1C 的参数方程为e e e e t tt t x y --⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程4cos ρθ=.（1）求1C 的极坐标方程；（2）若曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 、曲线2C 分别交于两点A ，B ，点(40)P ，，求△PAB 的面积.【答案】（1）24ππ(cos 244ρθθ=-<<（2）【解析】【分析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;（2）联立方程，分别求得点A ，B 的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.【小问1详解】由e e e et tt t x y --⎧=+⎨=-⎩消去参数t ，得224x y -=,因为e e 2t t -+≥，所以曲线1C 的直角坐标方程为224(2)x y x -=≥，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的极坐标方程为24ππ()cos 244ρθθ=-<< ；【小问2详解】由2π64cos2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得:A ρ=所以曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于点A π)6，由π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,得:B ρ=，所以曲线π(0)6θρ=>与曲线2C :4cos ρθ=交于点B π6，则PAB S =△PA PBS S -△O △O 1π4()sin 26B A ρρ=⨯⨯-=选修4-5：不等式选讲23. 己知函数()221f x x a x a =+++-．（1）当0a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若对于任意x ∈R ，都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）32a ≤-或1a ≥．【解析】【分析】（1）分0x ≥，102x -≤<，12x <-三种情况打开绝对值，求解即可；（2）打开绝对值，将函数()f x 写成分段函数，结合单调性求解即可【小问1详解】()21f x x x=++当0x ≥时，()312f x x =+≥，解得13x ≥，当102x -≤<时，()12f x x =+≥，解得x ∈∅，当12x <-时，()312f x x =--≥，解得1x ≤-，所以不等式()2f x >的解集为()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【小问2详解】因为222172()12148(0222a a a a a +++++--==>，故212a a +>-所以()2222231,11,2131,2x a a x a a f x x a a x a a x a a x ⎧⎪++-≥⎪+⎪=+++-≤<⎨⎪+⎪---+<-⎪⎩所以函数()f x 在1,2a +⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递减，在1,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，所以函数()f x 在R 上的最小值为21122a a f a ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．所以2122a a ++≥，即223(23)(1)0a a a a +-=+-≥解得32a ≤-或1a ≥。

(安徽皖智1号卷)全国高三数学上学期月考试卷(二)文(含解析)

（安徽皖智1号卷）全国2023届高三数学上学期月考试卷（二）文（含解析）第I 卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合U ={-2，-1，0，1，2，3，4}，A={一1，0}，B={0，1，2，3，4}，那么=( )A.{-2,1}B.{-2}C.{-2,0}D.{0,1,2,3,4}2．以下命题中，真命题是( )A ．存在x<0，使得2x>1B ．对任意x ∈R ，x 2 -x+l>0C ． “x>l ”是“x>2”的充分不必要条件D ．“P 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的必要而不充分条件3. 已知向量|a |=2,| b |=l ，且a 与b 的夹角为争那么a 与a +2b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π 4．已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，那么2223sin -cos θθ=( ) A ．103 B ．一103 C ．1013 D ．一1013 5．设a=0.520152,log 2016,sin1830b c -︒==，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A. a>b>cB. a >c> bC. b> c > aD. b > a > c6．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是（）7．假设向量m= (-1，4)与n=(2，t)的夹角为钝角，那么函数f (t)=t 2—2t+1的值域是 ( )A ．()1,8181,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. [0,81) (81,+∞)D. [0,+∞)8．在△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b, c ，假设3,a b c b a =，3，那么tanA=( )AB ．1 C．3D.9．在边长为2的正三角形ABC 中，2,3BC BD CA CE AD BE ==⋅=，则A ．1B ．-1C ．3D ．-310已知12()2cos ,,()2,()0,12f x x x R f x f x πω⎛⎫=+∈== ⎪⎝⎭又且|x 1-x 2|的最小值是53π，那么正数ω的值为( ) A ．310 B ．35 C ．103 D ．5311．假设对∀x ，y 满足x> y>m>0，都有yInx<xlny 恒成立，那么m 的取值范围是( ) A. (0,e) B.(0,e] C. [e,e 2] D.[e, +∞)12．定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x+1)=f （一x ），当x ∈(0，1)时， 1211log ||,22()10, 2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，那么f (x)在区间[1，32]内是( ) A ．增函数且f （x ）>0 B ．增函数且f (x)<oC ．减函数且f (x)>0D ．减函数且f （x ）<0第II 卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．函数1()tan 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为。

湖南师大附中2025届高三上学期月考(二)数学试卷(原卷版)

湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是（） A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−2. 已知a 是单位向量，向量b 满足3a b −=，则b 的最大值为（） A. 2 B. 4 C. 3 D. 13. 已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（） A. 23− B. 13− C. 23 D. 134. 已知函数()2e 33,0,x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x −>−，则实数a 的取值范围为（） A 34a ≤ B. 34a ≥ C. 1a ≤ D. 1a ≥ 5. 如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD −的体积为83，则圆柱的表面积为（）.A. 10πB. 9π2C. 4πD. 8π 6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A. 52+B. 5+C. 10+D. 117. 设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线114y x =−的交点个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−，且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−，则下列说法正确的是（）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=，则()()202420242f g += 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（）A. 一个样本的方差()()()22221220133320s x x x =−+−++−，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 标准差为8，则数据1221,21,x x −− ，1021x −的标准差为16C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10. 已知函数()32f x ax bx =−+，则（） A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2的C. 当30b a −>时，()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时，()f x 有两个极值点11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈− 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切，则a =__________. 13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c ，则椭圆C 的离心率为______. 14. 设函数()()44x f x ax x x =+>−，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +−=−. （1）求B ；（2）若ABC ，且2AD DC = ，求BD 的最小值.16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.17. 如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3n n n a n b =−=，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .19 已知函数()24e 2x f x x x−=−，()2233g x x ax a a =−+−−（a ∈R 且2a <）. （1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；的.（2）若()()f x g x ≥对任意()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.的。

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阳信二中质量检测文科数学试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．)1、设全集I 是实数集R ，{}24M x x =>与{}13N x x =<≤都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A ．{}2x x < B ．{}21x x -≤< C ．{}22x x -≤≤ D ．{}12x x <≤2、曲线x x y 2212-=在点(1 ，23-)处切线的倾斜角为（） A ．1 B ．︒45 C ．︒-45 D ．︒1353、定义在R 上的函数()f x 满足下列各条件，不能得出函数()f x 的具有周期性的是A ．()(2)2009f x f x +=B ()(4)f x f x =-C ．(1)()(2)f x f x f x +=++ D.()f x 为奇函数且()(2)f x f x =-4、设函数则不等式的解集是（）A BC D5、设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则122009x x x ⋅⋅⋅的值为 A 12009 B 12010 C 20092010 D. 16．函数131)(23+++=x ax ax x f 有极值的充要条件是（）A ．1a ≥或0a ≤B ．1a >或0a <C ．1a ≥或0a <D ．10<<a7、集合A 是集合1{1,0,,1,2,3}2M =-的子集，且,x A ∀∈都有1,A x ∈则集合A 的个数有A ．2个B 3个C ．6个 D. 7个8、下列函数中不是奇函数的是⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f )1()(f x f >),3()1,3(+∞⋃-),2()1,3(+∞⋃-),3()1,1(+∞⋃-)3,1()3,(⋃--∞1.()lg 1x A f x x +=-21.()21x x B f x -=+.())C f x x = 11.()()212x D f x x =+-9、函数的零点所在的区间为（）w. .A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ） 10、已知123(),(),()log ,x a a f x a f x x f x x ===（其中0,1)a a >≠在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的函数部分图象，其中正确的是（）11、若2()8f x x kx =---在[5,10]上不是单调函数，则（）．A ．10k ≥B ．10k ≥-或20k ≤-C ．20k ≤-D ．2010k -<<-12、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的常数k ，定义函数(),(),()k f x f x k f k f x k ≤⎧=⎨>⎩，取函数()sin f x x =，恒有()()k f x f x =，则A ．k 有最大值1B ．k 有最小值1C ．k 有最大值1-D ．k 有最小值1-x x x f ln )(+=第Ⅱ卷（共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13、已知,,(0,1)a b c∈且123113{2,,log}{,,}242a b c=-，则_______b=14、函数22()lg[(1)(1)6]f x a x a x=-+-+的定义域为(2,1)-，则_______a=15、函数1()1xf xx+=-的单调减区间是____________16、已知函数3()sin,F x x x b=++若(2)3F=，求(2)F-。

解答如下：332sin23,-2sin-2(2),bb F++=++=-①（）（）②①＋②得(2)23F b-=-。

请借鉴以上题的特点和解答过程，自编一道类似的题目，不用解答。

已知函数_________________________若____________，求____________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17、若2()lg(1)f x x ax=++的定义域为R，（1）求实数a的取值范围构成的集合A（2）若B={}|121x m x m+≤≤-且B A⊆,求实数m的范围。

18、列出你对函数()()af x x a Rx=+∈的认识，（提示：从函数的定义域、奇偶性、单调性、值域、图像等多个方面，有理有分）19、已知函数21 ()21xxf x-=+（1）判断()f x的奇偶性并给出证明（2）若()2xf x k=⋅有两个不同的实数根，求k的取值范围。

20、设a为实数，3()3f x x x a=-++（1）求()f x的极值．（2）当a为何值时,()0f x=恰有两个实根．21、已知21()(1)2x f x e a x =-+（1）求()f x 在0x =处的切线方程．（2）若()f x 在区间(0,2]x ∈为增函数，求a 的取值范围。

22、已知函数2()|23|f x x x =--. (1)作出()f x 的图像。

（2）求k 的取值范围，使方程()f x k =总有两个不同的解；（3）若方程()f x k =有四个不同的根，且这四个根成等差数列，求实数k 的值.文科数学参考答案1.D2.D3.选B ，为对称性，D 中()(2)(2)4f x f x f x T =-=--∴=4.选A 。

2(1)3,46331f x x x x =-+>>≤<由得或0，由633x x +>>>-得0 5.选B ，切线方程(1),1n ny n x n x n =+-=+，6.选B ，2'()210f x ax ax =++=有两解0∴∆> 7.选D ，1111{1},{1},{2,},{1,1},{1,2,},{1,2,},{1,1,2,}2222A =---- 8.D 为偶函数9.B10.选C 。

A 中是一个指数函数与一个幂函数图像，从指数函数看a>1而从幂函数上看a<1B 中是一个指数函数与一个幂函数图像，从指数函数看a<1而从幂函数上看a>1 D 中是一个对数函数与一个幂函数图像，从对数函数看a>1而从幂函数上看a<1[11. ()f x 的增区间为(,)2k -∞-，减区间为(,)2k -+∞，故5102k <-<选D12.k f 就是取()f x 与k 两个中小的那个值，()sin f x x =有最大值1，恒有()()k f x f x =说明sin ,1k x k ≥∴≥13. 由,,(0,1)a b c ∈得11223121,01,log 0,4a b c b ><<<∴= 得116b =14.2a =-15. (,1)(1,)-∞+∞和16. 已知()()f x g x 与都是奇函数且函数()()(),F x f x g x b =++若()3F t =，求()F t -。

（若()()f x g x 与都是具体函数只得2分，有创新者得4分）17.（1）{|11}A a a =-<<（2）当B =∅时，2m >，当B ≠∅时221111m m m ≤⎛ -≤ +≥-⎝解得21m -≤≤综上得21m -≤≤或2m >18.（1）定义域为R 1()121122()()12121()12x xx x x x f x f x ------====-+++ （2）21()21x x f x -=+2x k =⋅即2(2)(1)210x x k k ⋅+-⋅+=有两个不同解即2(1)10k t k t ⋅+-⋅+=有两个不同正根，故01010kk k ⎧⎪∆>⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩解得03k <<-19，①_函数的定义域{|0}x x ≠（1分）②当0a =时，(),f x x =在R 上为增函数（1分）③当0a <时，()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上为增函数（1分）④奇函数（1分）⑤当0a >时，()f x在(,(,)-∞+∞和减和增（4分） ⑥当0a >时，当0x >，2a y x x =+≥；当0x <，2a y x x =+≥-（2分） ⑦当0a >时，图像为（图略）（1分）⑧当0a >时，()f x 在区间[,]m n上的单调性要讨论,m n 的关系。

（1分）其它只要正确就给1分20（1）令.2'()330f x x =-+=得1x =±，(1)2,(1)2f f a f f a =-=-==+极小极大（2）()0f x =恰有两个实根，则2a =或2a =-21.'()(1)x f x e a x =-+，切线：y x = '()(1)0x f x e a x =-+≥在区间(0,2]x ∈上恒成立即(1)xe a x +<在02x <≤上恒成立. 令2(1)(),'()x xe x e g x g x x x -==当x=1时()xe g x x =有最小值e 所以1a e <-22解：22223,13()|23|23,13x x x x f x x x x x x ⎧--≤-≥=--=⎨-++-<<⎩或（1）①当0k <时，显然，()f x k =无解；②当0k =时，()f x k =有两个解；③当0k >时，方程 ()f x k = 即 2230x x k ---= 总有两个解；根据题意，方程－()f x k = 即 2230x x k -+-= 无解，△＝224(3)0k --< 即 4k >，所以，当 0k = 或 4k > 时，()f x k = 有两个解。

…………………5分（2）设方程2230x x k ---= 的两根为14,x x ，由韦达定理，得：141423x x x x k +=⎧⎨⋅=--⎩，设方程2230x x k -+-=的两个根为23,x x ，由韦达定理，得：232323x x x x k +=⎧⎨⋅=-⎩，不妨设 1234x x x x <<<，则1234,,,x x x x 成等差数列， 41323()x x x x -=-，224132()9()x x x x -=-，2241413232()49[()4]x x x x x x x x +-=+- 即：2224(3)9[24(3)]k k ---=-+， ∴165k =……………12分。