高三第二次月考数学(理)试卷
广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高三下学期第二次月考试题数学试题
广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高三下学期第二次月考试题数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣ D ．(1,3⎤⎦2．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A 5-1B 3-1C 31+D 51+ 4．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]5．ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．5B ．22C ．65D ．26．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．7．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．6748．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}9．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．10．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．411．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3412．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津南开中学2024届高三第二次检测数学试卷及答案
2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()RA B ⋂=ð（）A.()0,1 B.(]0,1 C.[)0,1 D.[]0,12.设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（）A.B.C.D.4.设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b<< B.a b c<< C.b<c<aD.c a b<<5.设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（）A.116B.117C.16D.176.已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（）A.3log 15B.5log 15C.3log 45D.5log 457.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A.84B.66C.126D.1058.记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（）A.39B.40C.41D.429.将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A.()g x 为奇函数B.()3πcos 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.()g x 的最小正周期为2πD.()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11.在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12.已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13.锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14.D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD =______；若1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15.若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 的中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1A CD ；（2）求平面1A CD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1A CD 的距离．18.椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19.已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nkn i kd T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意的*n ∈N 都有212nn nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20.已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①.②.4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】①.1233a b + ②.π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）306；（3）63.【18题答案】【答案】（1）22154x y +=（2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2nn b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i ）1a <<，（ii ）证明见解析。
雅礼中学高三数学第二次月考试卷
雅礼中学高三第二次月考试卷数学（理科）命题人： 审题人：得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}220A=x x x -<，(){}1B y y lg x ==-，则A B =U （ ）A ．()0,+∞B ．()12,C ．()2,+∞D ．()0,-∞ （2）设x 、y 是两个实数，则“x 、y 中至少有一个数大于1”是“222x y +>”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 （3）已知直线m 、n 和平面α,β满足m n,m α,αβ⊥⊥⊥，则（ ）A ．n β⊥B ．n α∥C ．n βn β⊂∥或D ．n αn α⊂∥或（4）ABC 中，点D 在AB 上，满足2AD DB =u u u r u u u r，若CB α=u u u r ，CA b =u u u r ，则CD =u u u r （ ）A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b + （5）设()2a lg e,b lg e ,c lg e ===，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>（6）现有四个函数：y x sin x =，y xcos x =，y x cos x =，2xy x =⋅的图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图像对应序号排列正确的组是（ ）A ．B ．C ．D ． （7）数列{}n a 满足：()12321112*n n n a ,a ,a ,a a a n N++==-=-=-∈，则数列{}na 的前2019项的和（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．32-（8）若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ）A．1122,⎡⎤-+⎣⎦ B ．122122,⎡⎤-+⎣⎦ C ．1223,⎡⎤-⎣⎦ D ．123,⎡⎤-⎣⎦（9）若()0a ,π∈，()sin x,x af x cos x,x a >⎧=⎨≤⎩，的图像关于点()0a,对称，则()2f a =（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．3-（10）已知圆O 的半径为2，A 、B 是圆上两点，且23πAOB ∠=，MN 是一条直径，点C 在园内且满足()()101OC λOA λOB λ=+-<<u u u r u u u r u u u r，则CM CN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．3-B ．3-C ．0D ．2 （11）正三棱锥S ABC -的外接球半径为2，底边长AB =3，则此棱锥的体积为（ ）A ．934 B ．933344或 C ．2734D ．273344或 （12）已知函数()x a f x x e -=+， ()()24a x g x ln x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()003f x g x -=成立（ ）A ．21ln --B ．21ln -C ．2ln -D ．2ln第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）~（21）题为必考题，每个试题考试必须作答．第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知实数x 、y 、z 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为 ．（14）三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为 ．（15）等差数列{}n a 的公差0d ≠，3a 是2a ，5a 的等比中项，已知数列1224n k k k a ,a ,a ,a ,,a ,L L 为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为n T ，则29n T += ．（16）三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()12f f -=<0，()1f =()40f >，则111a b c++的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图所示，扇形AOB 中，圆心角∠AOB =4π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .(1)若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；(2)设∠COP =θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值。
湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案
湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。
高三第二次月考数学(理)试题
银川一中2010届高三年级第二次月考数 学 试 卷（理）姓名_________ 班级_________ 学号____ 2009.09命题人：宋彦东第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．12+12ππcoslog sin log 22的值为（ ）A ． 2B ．－2C ．4D ．－42. 3.已知,100tan k =则80sin 的值等于（ ） A ．21kk + B. 21kk +-C.kk 21+ D. kk 21+-3.函数y=log 2(1-x)的图象是（ ）A B C D 4.函数y=12sin(62π-x )-5sin(32π+x )的最大值是（ ）A.5B.12C.13D.15 5.若函数f(x)=3sin(ϕω+x )对任意实数x ，都有f(x +4π)=f(x -4π)，则f(4π)等于（ ）A.0B.3C.-3D.3或-36. f (x)是偶函数, 且当x ) ,0[∞+∈时, f (x)＝x －1, 则不等式f (x －1)＜0的解集为（ ）A. )0 ,1(-B. )0 ,(-∞∪)2 ,1(C. )2 ,0(D. )2 ,1( 7.将函数y=sin (6π+x )(∈x R)的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为（ ）A.sin =y (1252π+x )(∈x R) B.sin =y (1252π+x )(∈x R) C.sin =y (122π-x )(∈x R)D.sin =y (2452π+x )(∈x R) 8. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ）A. 21-B. 21C. 23D. 23- 9．在△ABC 中，若,2tan 12tan 1)12cos 2(222B BbA a +-=-则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形10. 已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,2ππ)，则α+β=（ ）A ．3πB ．3π或-π32 C ．-3π或π32D ．-π3211.已知函数f(x)=kπxsin3的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2+y 2=k 2上，则f(x)的最小正周期是（ ）A.1B.2C.3D.412.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则（ ）A. f （sin6π）＜f （cos 6π） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos3π2）＜f （sin 3π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23、24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13．tan2010°的值为 。
河南省周口市沈丘县长安高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考理科数学试题
B. a∈[ 3 ,1) 4
C. a∈(0, 1 ] 3
D. a∈[ 3 ,2) 4
8.
函数 y
3x 3x
cos
x
在区间
π 2
,
π 2
的图象大致为（）
1
A.
B.
C.
D.
9. 已知函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g(x) 的图象，且 g(x) 的
三、解答题：共 70 分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.
已知幂函数 f x m2 m 1xm1 2在0,
上为增函数.
（1）求实数 m 的值；
（2）求函数 g x f 2x 3 4x 5 的值域.
18. 已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对
边分别为
a，b，c，且
A. 2, 4
B. 0, 2, 4
2 f x x2 x 3 ，则 f 1 （）
C. 1,3,5
D. 0, 2, 4,6
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
3. 设命题甲：“ x2 3x 0 ”，命题乙：“ x 1 3 ”，那么命题甲是命题乙的（）
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
为 22. 已知函数 f x 2x2ex ， gx ax2alnxaR．
（1）求函数 f x 的单调区间和极值；
（2）若函数 h x f x g x 有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．
4
tan C
a2
ab b2
c2
．
（1）求角 C 大小；
2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。
2024届云南昆明一中月考二数学试题+答案
机密★启用前 【考试时间：9月26日15：00-17：00】昆明市第一中学2024届高中新课标高三第二次双基检测数学试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}3,4,e 32x AB yy===+ ∣，则()R A B ∪= （ ）A.3,42B.[)3,∞+C.()∞D.()3,3,2∞∞−∪+2.若复数z 是210x x ++=的根，则z =（ ）3.已知平面向量()(2,0,ab =，向量a b − 与a kb− 的夹角为6π，则k =（ ） A.3或13 B.2或12C.2或0D.3或124.函数()y f x =的图象与函数3x y =的图象关于直线y x =对称，则()193f f +=（ ） A.1 B.2 C.3 D.45.已知点()00,P x y 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅ ，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.已知圆22:2C x y +=，点Q 为直线:40l x y +−=上的一个动点，,QE QF 是圆C 的两条切线，E ，F 是切点，当四边形OEQF （点O 为坐标原点）面积最小时.直线EF 的方程为（ ）A.10x y +−=B.10x y −+=C.210x y +−=D.210x y −+= 7.“2642a a a +=”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件 8.函数()sin (0)6f x x πωω+>在区间0,3π上恰有三个零点，则ω的取值范围是（ ） A.111722ω< B.111722ωC.172322ω<D.172322ω 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知100个数据的第25百分位数是12.5，则下列说法错误的是（ ） A.这100个数据中一定有25个数小于12.5B.把这100个数据从小到大排列后，12.5是第25个数据C.把这100个数据从小到大排列后，12.5是第25个数据和第26个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后，12.5是第25个数据和第24个数据的平均数 10.下列命题正确的是（ ） A.()()1,00,,2x x x∞∞∀∈−∪++B.若0,0a b c d <<<<，则ac bd >C.若正数,m n ，满足2m n +=，则lg lg 0m n +D.4m n + 是4mn 的必要不充分条件，其中,m n 均为正数11.已知在正三棱台111ABC A B C −中，111114,2,AB A B AA BB CC =====（ ）A.该三棱台的高为2B.1AA BC ⊥C.该三棱台的侧面积为D.12.已知函数()y f x =满足：()11f =，且()f x 在R 上的导数()12f x ′<，则不等式()1ln ln 2x f x +>的整数解可以为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1三､填空题：本题共4小题，小题5分，共20分.13.从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中恰有两个面平行的不同选法共有__________种（用数字作答）.14.的半圆､则该圆锥的体积为__________. 15.若函数()sin cos f x a x x =+，且()3f x f x π=−，则a =__________. 16.已知双曲线22:13x E y −=的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与双曲线E 的左支交于A ，B 两点，若20AB AF ⋅=，则2ABF 的内切圆周长为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查､来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约､以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表.人数(万) [)0.0.2 [)0.2.0.4 [)0.4,0.6 [)0.6,0.8 [)0.8,1.0 [)1.0,1.2 []1.2,1.4频数（天）881624a48 32（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出a 的值和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X （单位：个）为进入该沙滩的人数(X 为10的整倍数.如有8006人，则X 取8000).每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y 为该店每日的利润（单位：元），求Y 和X 的函数关系式； （3）以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率. 18.（12分）在ABC 中.内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3a B b A b +=. （1）证明：3cb =；（2）若2a =，求ABC 的面积的最大值. 19.（12分）已知数列{}n a 满足()1*112,2n n n a a a n ++==∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设222log n n b a n =−，数列2112n n n n b b b +++⋅的前n 项和为n S ，求证：3182n S < . 20.（12分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面,,,ABC AB BC M N =分别为棱,AC PA 的中点.（1）证明：BM PC ⊥；（2）若2AB AC =，二面角A BN M −−，求三棱锥P ABC −的体积. 21.（12分）已知函数()2ln f x x ax x =−+−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求所有极值之和的取值范围. 22.（12分） 已知动圆过点1,02F，且与直线102x +=相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C ；过点F 的直线与曲线C 交于,A B 两点，曲线C 在,A B 两点处的切线交于点E . （1）证明：EF AB ⊥；（2）设AF FB λ=，当11,32λ ∈时，求ABE 的面积S 的最小值. 昆明一中2024届高三第2次联考数学参考答案一､选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBBADACC1.解析：因为()3,4,3,2A B ∞==+，所以()()3,3,2R A B ∞∞=−+，选D.2.解析：由复数求根公式，有z =，所以1z =，选B.3.因为(()1,,2,a b a kb k −=−=− ，所以()()2,22a b a b a kb k −=−⋅−=+，所以()()cos ,a b a kb a b a kb a b a kb −⋅−−−==−⋅− ，所以2k =或12，选B. 4.由题意，()3log f x x =，可得()191213f f +=−+=，选A. 5.解析：由已知，以12F F 为直径的圆与椭圆相交，所以c b ≥，所以12e ≤<，选D. 6.解析：由题意可得，当直线OQ 与直线l 垂直时，四边形OEQF （点O 为坐标原点）的面积最小，此时点Q 的坐标为()2,2；设()()1122,,,E x y F x y ，则切线11:2QE x x y y +=，切线22:2QF x x y y +=；因为直线QE 过点()2,2Q ，所以11222x y +=，即1110x y +−=①，又因为直线QF 过点()2,2Q ，所以22222x y +=，即2210x y +−=②，由①②可得点,E F 满足直线10x y +−=方程，所以直线EF 为10x y +−=，选A.7.解析：设(1)n n a n =−⋅，则2642,6,4a a a ===，所以26482a a a +==，但数列{}n a 不是等差数列； 若数列{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质可知，2642a a a +=成立.所以“3752a a a +=”是“数列{}n a 为等差数列”的必要不充分条件，选C. 8.解析：因为0,3x π∈，则,6636x ππωππω +∈+ ，由题意可得3436ωππππ≤+<，解得172322ω≤<，选C. 二､多选题题号 9 10 11 12 答案ABDABABDCD9.解析：因为10025%25×=为整数，所以根据百分位数的定义，可知将这100个数据从小到大排列后，12.5是第25个数据和第26个数据的平均数，所以这100个数据中一定有25个数小于或等于12.5，故A ，B ，D 错误，选ABD.10.解析：对于A ，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号，由于()1f x x x =+为奇函数，所以当0x <时，12x x+≤−，所以12x x +≥，A 正确：对于B ，若0,0a b c d <<<<，所以0,0a b c d −>−>−>−>，所以()()()()a c b d −−>−−，所以ac bd >，B 正确：对于C ，因为0,0m n >>且m n +≥，所以212m n mn + ≤=，所以()lg lg lg lg10,C m n mn +=≤=错误；对于D ，因为0,0,4m n m n >>+≤时，有4m n ≤+≤，所以4mn ≤；反之，当4,1m n ==时，满足4mn ≤，但是54,D m n +=>错误.选AB .11.解析：如图所示，延长正三棱台的三条侧棱相交于点P ，设111,ABC A B C 的中心分别是O 和1O ， 连接11,,AO A O OP对于A ，在ABC 中，根据正弦定理得2sin60AB R = ，得ABC 外接圆半径R =，即OA =，同理11O A =， 在平面11OAA O 中，过点1A 作1A G OA ⊥交OA 与G 点，显然，四边形1OO AG 为矩形，则11OG O A ==所以AG OA OG =−在直角1AA G 中，12A G =，所以112OO A G==，即该三棱台的高为2，故A 正确； 对于B ，由正三棱锥的性质可知，OP ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以OP BC ⊥， 因为O 是等边ABC 的中心，所以OA BC ⊥，又因为,OA OP ⊂平面,OAP OAOP O =，所以BC ⊥平面OAP ， 因为1AA ⊂平面OAP ，所以1AA BC ⊥，故B 正确：对于C ，如图所示，在梯形11AA B B 中，过点1A 作1A M AB ⊥交AB 于点M ，过点1B 作1B N AB ⊥交AB 于点N ，根据梯形性质易知，四边形11A MNB 是矩形，则112MN A B ==，则 1AM NB ==，在直角1AA M 中，1A M =所以梯形11AA B B 的面积为1112422A B AB A M ++⋅==，所以该三棱台的侧面积为，故C 错误；对于D ，因为1OA ===1OA OA =，则O ，故D 正确.选ABD . 12.解析：由()12f x ′<，得()102f x ′−<，令()()12g x f x x a =−+，由不等式()1ln ln 2x f x +>得()11ln ln 022f x x −−>，所以取12a =−，则函数()()1122g x f x x =−−在R 上是减函数，且()()1111022g f =−−=，所以当1x <时，()()10g x g >=，由()()11ln ln ln 022g x f x x =−−>，得ln 1x <，所以()0,e x ∈，选CD .三､填空题13.解析：从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有3620C =种，其中有三个面彼此相邻的有8种，所以恰有两个面平行的不同选法共有20-812=种.14.解析：设圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，则223h r +=，所以2r π=，r =，所以32h ==，所以圆锥体积21338V r h ππ==.15.解析：由已知2a +a =16.解析：由题意，223,1a b ==，则24,2c a c ==，所以1224F F c ==，2121AF AF BF BF −=−=20AB AF ⋅=，即22F AB π∠=，所以2222112AF AF F F +=，因此12AF AF +===2ABF 的内切圆半径是()()()222121111222R AB AF BF AF AF BF BF =+−=+−−=，所以2ABF 的内切圆周长为22R ππ=−.四､解答题17.解：（1）由总天数为160，则24a =，由图表知道人数在1.0以下的是50%，在1.2以下的是80%. 我们不妨假设数据1.0到1.2是均匀分布的，0.650.51.00.2 1.10.80.5−+×=−.所以65%分位数1.1；画出频率分布直方图如图所示：（2）由题意知，当10000X ≥时，10100010000Y =×=元； 当10000X <时，1010005 1.550001010X X Y X×−−×−. 所以()10000,(10000)1.55000,010000X Y X X >=−≤≤. （3）设销售的利润不少于7000元的事件记为A .实际上得到人数8000X ≥，此时()2448320.65160P A ++==.18.解：（1）因为cos cos 3a B b A b +=， 由正弦定理得：sin cos sin cos 3sin A B B A B +=，即()sin 3sin A B B +=， 即：sin 3sin C B =， 由正弦定理得：3c b =.（2）由（1）知，3AB AC =，且2BC =， 设()()(),,1,0,1,0A x y B C −整理得：225102x y x +−+= 即：2259416x y −+=所以，点A 的轨迹是圆心在直线BC 上，半径为34的圆（除去点,B C ） 设BC 边上的高为h所以1132224ABC S ah h h ==××=≤ 所以，ABC 的面积的最大值为34. 解法二：设AC x =，则3AB x =， 由余弦定理得：22(3)4cos 23x x A x x+−=⋅⋅，所以2253cos x A =− 21332sin 3sin 3sin sin 22253cos 53cos ABC A A S x x A x A A A =⋅⋅==×=−− 令3sin 53cos A t A=−，则3sin 3cos 5A t A t +=()5A t ϕ+=，其中tan t ϕ=则()sin 1A ϕ+=≤，整理得2916t ≤，即304t <≤ 所以，ABC 的面积的最大值为34. 19.解：（1）由已知()1*112,2n n n a a n a ++==∈N ， 所以()()1121221121222222n n n n n n n n n a a a a a n a a a +−−−−=⋅⋅=⋅⋅=≥ ， 当1n =时，12a =满足条件，所以()122n n n a +=.（2）由于222log n n b a n n =−=， 所以()()21111211221212n n n n n n n b n b b n n n n ++++++==−⋅+⋅+， 所以()2233411111111122222323242212n n n S n n + =−+−+−++ ××××××⋅+，所以()1111212n n S n +=−×+，因为n S 在*N 上为增函数，所以3182n S ≤<. 20.解：（1）因为AB BC =，点M 是AC 的中点，所以BM AC ⊥. 因为PA ⊥平面,ABC BM ⊂平面ABC ，所以PA BM ⊥.又因为,,PA AC A PA AC ∩=⊂平面PAC ，所以BM ⊥平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC ，所以BM PC ⊥.（2）因为2AB BC AC ===，所以2BM =， 取PC 中点D ，连接MD ，则MD PA ∥.因为PA ⊥平面ABC ，所以MD ⊥平面ABC .故以M 为坐标原点，分别以,,MB MC MD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设(0)ANa a =>，得()()()()0,0,0,0,1,0,2,0,0,0,1,M A B N a −−， 所以()()()()2,0,0,0,1,,0,0,,2,1,0MB MN a AN a AB ==−==. 设平面BMN 的法向量()111,,n x y z =，则 由00n MB n MN ⋅= ⋅= ，得111200x y az = −+=，令11z =，得()0,,1n a = . 设平面ABN 的法向量()222,,m x y z = ，则由00m AN m AB ⋅= ⋅= ，得222020az x y = += ，令21x =，得()1,2,0m =− .依题意，cos ,n m n m n m ⋅<>== ，因为0a >，所以解得3a =，所以26PA AN ==， 所以三棱锥P ABC −的体积1112264332ABC V S PA =⋅=××××=. 21.解：（1）()()21ln ,2(0)f x x ax x f x a x x x=−+−=−+> ′因为12x x+≥max ()f x a =−′所以当,a 时，()(),0,f x f x ′在()0,∞+上单调递减.又()21212(0)x ax f x a x x x x −+ =−+=−>′. 令()2221,Δ80g x x ax a −+−>即a <−或a > ()2210g x x ax =−+=有两个不相等的实数根 设()1212,x x x x <，则12x x =当a >120,0x x >>，所以()f x增区间为，减区间为,∞ +（2）因为()f x 存在极值，所以()2210x ax f x x−+=−=′在()0,∞+上有解， 即方程2210x ax −+=在()0,∞+上有解，即2Δ80a −≥， 显然当Δ0=时，()f x 无极值不合题意，所以方程2210x ax −+=必有两个不等的实根.设方程2210x ax −+=的两个不等实根分别为12x x ，则12121022x x a x x => +=由题意知：()()()()()22222121212121lm ln 1ln 1ln22424a a a f x f x a x x x x x +=+−+−+=−+−=++ 由28a >，得()()12121ln 3ln22f x f x +>+−=+， 即所有极值之和的取值范围为()3ln2,∞++.22.解：（1）由题意得，曲线C 的轨迹为抛物线，方程为22y x =，设l 的方程为12x my =+，代入22y x =，得2210y my −−=， 设221212,,,22y y A y B y，则122,y y m +=① 121,y y =−②切线AE 方程为：2112y y y x =+③ 切线BE 方程为：2222y y y x =+④ 由③､④得21212y y x y x +=，所以()22122112121222y y y y y y x y y −⋅===−−，③-④，得()()22121212y y y y y −=−， 即122y y y m +=.所以1,2E m −. 当0m =时，显然有EF AB ⊥.当0m ≠时，0111122EF AB m k k m −⋅=⋅=−−−，所以EF AB ⊥. （2）由题意得：AF FB λ=，得12y y λ=−，结合①､②得2222,111m m y λλλ =−=− −− 从而22(1)4m λλ−=.因为()2221AB y m =−==+，EF = 所以12ABE S AB EF =⋅= .因为11,32λ ∈ ，所以21124m λλ =+− 在区间11,32 上为减函数.所以，当12λ=时，2m 取得最小值18，从而可得min S =.。
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浙江青田县石门中学 高三年级第二次月考数学试题（理科）注意事项：1．本卷答题时间120分钟，满分150分。
2．本卷不得使用计算器，答案一律做在答卷页上。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题：若则、全为；命题：若，则．给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③④ ，其中真命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于 （ ）A ．B ．C ．D ．4．二次函数的二次项系数为正数，且对任意项都有成立，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．或C ．D ．或5．在中，，．若点满足，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在△ABC 中,tanA 是以为第3项,4为第7项的等差数列的公差;tanB 是以为第3项,9为第6项的等比数列的公比,则该三角形为（ ）p ,022=+y x x y 0q a b >11a b<p ⌝q ⌝},54|{},,1|{22N b b b y y B N a a x x A ∈+-==∈+==A B =B A ⊂≠A B ⊂≠φ=B A {}n a 134,,a a a 2a 4-6-8-10-)(x f R x ∈)4()(x f x f -=)21()21(22x x f x f -+<-x 2>x 2-<x 20<<x 02<<-x 2-<x 0>x ABC △AB =c AC =b D 2BD DC =AD =2133+b c 5233-c b 2133-b c 1233+b c b a b a 、，则2log 2log 0<<10<<<b a 10<<<a b 1>>a b 1>>b a 4-31A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．已知为锐角,则= （ ）A ．B ．C ．D ． 9．已知定义在R 上的函数f （x ）的图象关于点（－34,0）对称，且满足f （x ）＝－f （x ＋32），f （－1）＝1，f （0）＝－2，则f （1）＋f （2）＋…＋f （）的值为（ ）A ．－2B ．2C ．0D ．110．把数列{}（）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…循环分别为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43） （45，47）…则第104个括号内各数之和为 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．已知，则函数 ． 12．在函数中，若成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ．13．已知复数（）,若在映射f 下的象是，则在映射f 下的原象是 ．14．已知向量，，则的最大值为 ．15．计算：___________．16．函数图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ． 17．把实数排成形如的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的y x y x y x ,,32cos cos ,32sin sin 且=--=-)tan(y x -51425142-5142±28145±21n ++∈N n 2211()f x x xx -=+(3)f =2()f x ax bx c =++,,a b c (0)4f =-()f x bi a z bi a z -=+=,R b a ∈、i z +i z ⋅i+-2(1sin )a θ=，(13cos )b θ=，a b -=+++2ln 432lg 225lg 327log e 1(01)xy aa a -=>≠，A A )0(08>=-+mn ny mx 11m n+d c b a ,,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛d cb a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x dc b a ()y x ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a乙)作用下变换成点，则若曲线在矩阵的作用下变换成曲线，则的值为 。
三、解答题（本大题共5题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分14分）设≤，，求集合，使同时满足下列三个条件： （1）Z ；（2） 有两个元素；（3）．19（本题满分14分）已知函数 （1）要得到的图像，只需把的图像经过怎样的变换？ （2）设，求①函数的最大值及对应的的值；②函数的单调递增区间。
20．（本题满分14分）如图，沿河边AB 建一水站P 供甲、乙两个学校共同使用，已知学校甲离河边1千米，学校乙离河边2的水管送水．（1）设，试将表示成送水需要的水管总长的函数； （2）问水站P 建在什么位置，购买水管的费用最低？()dy cx by ax ++,1=+y x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛11b a 12=-y x b a +{|||A x x =1}2{|430}B x x x =++<C C ()C AB ⊆C C B ≠∅)322sin(21)(,21)3(cos )(2ππ+=-+=x x g x x f )(x f y =)(x g y =)()()(x g x f x h -=)(x h x )(x h ()0PA x x =>x y21．（本题满分15分） 已知是定义在上的奇函数，当时，（1）求的解析式；（2）是否存在实数a ，使得当的最小值是3？如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由。
22．（本题满分15分）对任意,给定区间,设函数表示实数与的给定区间内整数之差的绝对值． （1）当的解析式；当Z ）时，写出用绝对值符号表示的的解析式；（2）求的值，判断函数R ）的奇偶性,并证明你的结论； （3）当时，求方程的实根．（要求说明理由,）)(x f ],0()0,[e e -],0(e x ∈),0(,ln )(R a a x ax x f ∈<+=)(x f )(,)0,[x f e x 时-∈R x ∈)](21,21[z k k k ∈+-)(x f x x )(,]21,21[x f x 求出时-∈∈+-∈k k k x ](21,21[)(x f 44,33f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)(x f ∈x (121e a -<<()log 0a f x -=1212e->参考答案二、填空题 11．11 12．大、-3 13．1-i 14．2 15．16．17．2三、解答题18．解：≤≤，，∴≤，41521{|1A x =-x 1}{||31}B x x x =-<<-{|3AB x x =-<1}乙)∴Z ．∴，又，∴．又由有两个元素，知集合为或或．19．解：（1） ∵ ∴将的图像向左平移个单位得到的图像． （2）① ∴时取最大值． ②由 所以递增区间为，20．解：（1）由题意：AB=3，，故：（2）两边平方： 化简：()C A B ⊆{2,1,0,1}=--{2,1,0,1}C ⊆--C B ≠∅2C -∈C C {2,1}--{2,0}-{2,1}-)322cos(21212)322cos(1)(ππ+=-++=x x x f ]32)4(2sin[21)322cos(21)(πππ++=+=x x x f )(x g y =4π)(x f y =1212()()()cos(2)sin(2)2323211cos(2))234212h x f x g x x x x x πππππ=-=+-+=++=+)(2411212112.22)(max Z k k x k x x h ∈-==+=ππππ即当,24112423,2121122ππππππππ-≤≤-∴≤+≤-k x k k x k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2411,2423ππππk k 3)y x =<<'0y ===2222691613x x x x x x -+=+-+2230x x +-=所以答：时，也就是水站建在离A 点1千米处购买水管的费用最低。
21．解：（1）设上的奇函数，故函数的解析式为：（2）假设存在实数a ，使得当有最小值是3。
①当时， 由于故函数上的增函数。
解得（舍去） ②当解得1,(3)x x ==-舍去1x =],0(),0,[e x e x ∈--=则).ln()(x ax x f -+-=-∴],,0()0,[)(e e x f ⋃-是定义在 ).ln()()(x ax x f x f --=--=∴)(x f ⎩⎨⎧∈+-∈--=],0(,ln )0,[)ln()(e x x ax e x x ax x f ,]0,(时e x -∈)ln()(x ax x f --=.11)(xax x a x f -=-=' 01,1<≤--≤a ee a 即.0)(),0,[≥'-∈xf e x 则)0,[)ln()(e x ax x f ---=是,31)()(min =--=-=∴ae e f x f 所以ee a 14-<-=则时即,1,1ea e a -<->,3)1ln(1)1()(min =--==∴aa f x f 2e a -=综上所知，存在实数，使得当最小值3。
由定义知：最近的一个整数，故。
（Ⅱ） 对任何R ，函数都存在，且存在Z ，满足 Z ） 即Z ）． 由（Ⅰ）的结论，即是偶函数．（Ⅲ）解：（1）当没有大于1的实根； （2）容易验证为方程的实根； （3）当设 2e a -=)(,)0,[xf e x 时-∈x k 为与11()||,[,]()22f x x k x k k k Z =-∈-+∈4141,3333f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈x )(x f ∈k ∈+-≤-≤--+≤≤--=+≤≤-k k x k k x k k x x f k x k (21212121.||)(,2121可以得出由∈-+---∈-k k k x ](21,21[()()||||(),f x x k k x x k f x -=---=-=-=)(x f .0log 21||,0log )(=--=-x k x x x f a a即0log 21||,log 210||,1=--∴>≥->x k x x k x x a a 时1=x 0log 21||=--x k x a .0log 2110log 21||,121=--=--<<x x x k x x a a 变为方程时11()log (1)(1).22a H x x x x =--<<则 所以当为减函数， 所以方程没有的实根； （4）当 设为减函数， ，所以方程没有的实根． 综上可知，若有且仅有一个实根，实根为1．,0111ln 211ln 211log 121)(21<+-=+<+=+⋅='-xex ax e x x H a )(,121x H x 时<<,0)1()(=>H x H 121<<x 0log 210log 21||,210=-=--≤<x x x k x x a a 变为方程时)(),210(log 21)(x G x x x x G a 明显≤<-=0)21()21()(>=≥H G x G 210≤<x 121,()log 0a e a f x -<<-=方程。