2021届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学(理)试题 PDF版
宁夏银川一中2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题含答案
（﹣a，+∞）上是增函数．
（2）∵
f
'x
xa x2
，x＞0．由（1）可知：
13．已知扇形 AOB 面积为 4 ，圆心角 AOB 为120 ，则该扇形的半径为_________.
3
14．若 a (1,1) ， b 2 ，且
a
b
a
，则
a
与
b
的夹角是_______________.
15．已知函数 f x Asin x ， A 0, 0, π
2
的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.
已知函数 f x aex bx（ a ，b 为常数），点 A 的横坐标为 0，曲线 y f x 在点 A 处的切
线方程为 y x 1.
（1）求 a ， b 的值及函数 f x 的极值；
（2）证明：当 x 0 时， ex x2 ．
21．(本小题满分 12 分)
已知函数 f x lnx a a R ．
e3 p(x) x
1 x
e3 x2
e3 x x2
，
当 7 x e3 时， p(x) 单调递增，当 x e3, p(x) 单调递减，
(9 分) (10 分)
当 x e3 时， p(x) 取最大值 p(e3) 15 ln e3 1 11 （万元），
(11 分)
11 10 当 x e3 20 时， p(x) 取得最大值11万元，
3
x
件产品售价为 6 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润 P(x) （万年）关于年产量 x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入
-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取
宁夏银川市第一中学2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析
银川一中2021届高三年级第二次月考文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{}12A x x =-≤≤，{}3log 1B x x =≤，则A B =（ ）A. {}02x x <≤B. {}12x x -≤≤C. {}12x x ≤≤D.{}03x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B ，再利用交集的定义计算即可．【详解】解：由已知{}{}3log 103B x x x x =≤=<≤， 则{}02A B x x ⋂=<≤． 故选：A【点睛】本题考查交集的运算，考查对数不等式，是基础题．2. 如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A. sin cos tan ααα<<B. tan sin cos ααα<<C. cos sin tan ααα<<D. cos tan sin ααα<<【答案】C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.3. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则AB AD⋅＝（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，=＝(2，3)，AB＝(4，1)，AD BC∴⋅＝4×2＋1×3＝11，AB AD【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 4. 若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A.725B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．5. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ）A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率 【答案】D 【解析】 【分析】根据新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，提取出需要的信息，逐项判定，即可求解. 【详解】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得：对于A 中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为321873>，故A 正确； 对于B 中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；对于C 中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确；对于D 中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了988858844-=， 2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了887477437-=， 显然753744>，故D 错误. 故选：D .【点睛】本题主要考查了图表的信息处理能力，其中解答中根据曲线图，提取出所用的信息是解答的关键，着重考查信息提取能力.6. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，6AB =，2BD =，则AB AD ⋅=（ ） A. 12 B. 18C. 24D. 30【答案】D 【解析】 【分析】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算AB AD ⋅即可. 【详解】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算数量积．因为6AB =，2BD =，则13BD BC =，13=+AD AB BC所以221111··666303332AB AD AB AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅=+=+=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，属基础题.7. 1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin 、tan 、sec （正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos 、cot 、csc （余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中1sec cos θθ=，1csc sin θθ=.若(0,)a π∈，且322csc sec αα+=，则tan α=（ ）. A.513B.1213C. 0D. 125-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得3sin 2cos 2αα+=，然后使用二倍角的正弦、余弦公式以及齐次化化简可得226tan22tan 222tan 12ααα+-=+，进一步求得tan 2α，最后根据二倍角的正切公式计算即可.【详解】∵3sin 2cos 2αα+=，22226sincos2cos sin 22222cos sin 22αααααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴=+ ∴226tan22tan 222tan 12ααα+-=+，∴23tan1tan 22αα+-=2tan 12α+，解得tan02α=或32. 又∵(0,)απ∈，∴tan02α>，∴3tan22α=，则22tan122tan 51tan 2ααα==--， 故选：D .【点睛】本题考查弦切互换以及齐次化化简，还考查二倍角公式的应用，着重考查对公式的记忆，属基础题 8. 设f (x )＝lg (21x-＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是（ ） A. (－∞，＋∞)上的减函数 B. (－∞，＋∞)上的增函数 C. (－1，1)上的减函数 D. (－1，1)上的增函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得f (0)＝0，代入求出a ，并验证()f x 为奇函数，再求出函数的定义域，根据对数函数的单调性即可得出结果.【详解】由题意可知，f (0)＝0，即lg (2＋a )＝0， 解得a ＝－1，故f (x )＝lg11xx+-， 函数f (x )的定义域是(－1，1)，1()lg()1xf x f x x--==-+， 所以f (x )＝lg11xx+-为奇函数， 在此定义域内f (x )＝lg 11xx+-＝lg (1＋x )－lg (1－x )，函数y 1＝lg (1＋x )是增函数，函数y 2＝lg (1－x )是减函数， 故f (x )＝y 1－y 2在(－1，1) 是增函数. 故选：D.【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求参数值、利用对数函数的单调性判断复合函数的单调性，属于基础题.9. 将函数()sin f x x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（ ）A.224+ B.22- C. 1 D.12【答案】A 【解析】 【分析】先求得()g x 的解析式，然后求得()()⋅f x g x 的解析式，利用降次公式和辅助角公式进行化简，根据三角函数的取值范围求得()()⋅f x g x 的最大值. 【详解】由题可知()sin 4g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()sin sin 4y f x g x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭222cos x x x == 22sin 222sin22cos2444x x x π⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=，所以()()y f x g x =的最大值为224+.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，属于中档题. 10.ABC 的三个内角为A B C 、、，若关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=有一根为1， 则ABC 一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可知21cos cos cos 02CA B --=， ∵()21cos cos 11cos cos sin sin cos 2222A B C C A B A B-++-+===∴1-cosAcosB-1cos cos sin sin 2A B A B-+=0，整理得cos （A-B ）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形 考点：解三角形11. 函数f (x )是偶函数，对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝1()f x ；当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为（ ） A. (1，3)B. (－1，1)C. (－1，0)∪(1，3)D. (－1，0)∪(0，1)【答案】C 【解析】 【分析】 根据f (x ＋2)＝1()f x ，得到函数的周期，再结合x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，且函数f (x )是偶函数，作出函数f (x )的图象，分x ∈(－1，0)，x ∈(0，1)，x ∈(1，3)求解.【详解】因为f (x ＋2)＝1()f x ，所以()()4f x f x +=， 所以T=4.又因为x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，且函数f (x )是偶函数， 所以f (x )的图象如图所示.当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)； 当x ∈(0，1)时，由xf (x ) >0，得x ∈∅； 当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3). ∴x ∈(－1，0)∪(1，3)， 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质以及图象法解不等式，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b -＝cos cos CB，b ＝4，则ABC 的面积的最大值为（ ） 33C. 2 D.3【答案】A 【解析】 【分析】由已知式子和正弦定理可得3B π=，再由余弦定理可得16ac ≤，由三角形的面积公式可得所求．【详解】∵在△ABC 中2a c b －＝cos cos CB， ∴()2cos cos -=a c B b C ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=． 又sin 0A ≠， ∴1cos 2B =， ∵0B π<<， ∴3B π=．在△ABC 中，由余弦定理得22222b 162cos 2a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+--=，∴16ac ≤，当且仅当a c =时等号成立． ∴△ABC 的面积13sin 32S ac B ==≤故选：A ．【点睛】求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.二、填空题13. 已知扇形AOB 的面积为43π，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【详解】圆心角AOB 为12023π= 扇形AOB 的面积为2241124232233S r r r πππα⇒==⨯=⇒= 故答案为2【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.14. 若()1,1a =-，2b =，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是________. 【答案】4πθ=【解析】 【分析】先求出向量的模2,2a b ==，再利用向量的数量积运算展开，即可得出结果.【详解】由题意可知：2,2a b ==，2()00222cos ,0a a b a a b a b ⋅-=⇒-⋅=⇒-⋅⋅<>=2cos ,,24π∴<>=⇒<>=a b a b 故答案为：4π 【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积运算求角，考查了运算求解能力，属于基础题目. 15. 已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0A >，0>ω，2πϕ<的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.【答案】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由函数图象的最值可得A ，然后将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭、()0,1代入解析式，利用ϕ、ω的范围即可得到ϕ、ω值，从而得到函数解析式．【详解】由图象得到()f x 的最大值为2，所以2A =将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭、()0,1代入解析式()()sin f x A x =+ωϕ， ()112sin 0122sin 01πωϕϕ⎧⎛⎫⨯+=⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎩，因为0>ω，2πϕ<，可得6π=ϕ，2ω= 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，注意函数解析式的求法，考查计算能力，属于常考题型．16. 对于任意实数12,x x ，当120x x e <<<时，有122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】0a ≤ 【解析】【分析】 转化为ln ()x ag x x+=在(0,)e 上单调递增，再利用导数可得到结果. 【详解】当120x x e<<<时， 122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立等价于2121ln ln x a x a x x ++>恒成立，等价于ln ()x a g x x+=在(0,)e 上单调递增， 所以221ln 1ln ()0x x ax a x g x x x ⋅----'==≥在(0,)e 上恒成立， 所以1ln a x ≤-在(0,)e 上恒成立， 因为当(0,)x e ∈时，1ln 1ln 0x e -≥-=， 所以0a ≤ 故答案为：0a ≤.【点睛】本题考查了转化划归思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225,105（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值． 【答案】（1）tan()3αβ+=-（2）324παβ+= 【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得cos α 与cos β的值，进而可得出sin α与sin β的值，从而可求tan α与tan β的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出()()tan 2tan αβαββ⎡⎤+=++⎣⎦ 的值，再根据,αβ的取值范围，可得出2αβ+的取值范围，进而可得出2αβ+的值.由条件得cosα＝，cosβ＝.∵ α，β为锐角， ∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.(2) ∵ tan2β＝＝＝，∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝18. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取320e =）.【答案】（1）23142,073()15,7x x x P x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分07x <<和7x ≥两种情况，得到()P x 与x 的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案. 【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为6x 万元. 依题意得，当07x <<时，2211()6224233P x x x x x x =---=-+-， 当7x ≥时，33()6(6ln 17)215ln e e x x x x x x P x=-++--=--，23142,073()15,7x x x P x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪--≥⎪⎩. （2）当07x <<时，21()(6)103P x x =--+， 所以当6x =时，()P x 的最大值为(6)10P =（万元），当7x ≥时，333221()15ln ()e e e xP x x P x x x x x -=--∴'=-+=，∴当37x e ≤<时，()P x 单调递增，当3,()x e P x ≥单调递减， ∴当3x e =时，()P x 取最大值33()15ln 111P e e =--=（万元），1110>，∴当320x e =≈时，()P x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元. 【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.19. 已知向量(2sin 3)a x x =，(sin ,2sin )b x x =-，函数()f x a b =·． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边且()1f C =，1c =，23=ab a b >，求a ，b 的值．【答案】（1）单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】 【分析】（1）根据函数()f x a b =·．利用向量坐标关系即可求解()f x 化简，结合三角函数性质即可求解()x 的单调递增区间（2）根据()1f C =，求解C ，结合余弦定理，1c =，23=ab a b >，即可求解a ，b 的值．【详解】解：（1）由2()2sin 23sin cos 3sin 2cos212sin(2)16f x a b x x x x x x π==-++-=+-；令， 得：36k xk ππππ-+，k Z ∈．()f x ∴的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）由（1）可得f （C ）2sin(2)116C π=+-=即sin(2)16C π+=，0C π<< 262ππ∴+=C ，可得：6C π=．由余弦定理：221cos 62a b abπ+-=，可得：2261a b =+-⋯⋯① 23ab =⋯⋯②，由①②解得：23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，向量坐标的运算，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．20. 已知函数()xf x ae bx =-（a ，b 为常数），点A 的横坐标为0，曲线()y f x =在点A 处的切线方程为 1.y x =-+（1）求a ，b 的值及函数()f x 的极值； （2）证明：当0x >时，2x e x >．【答案】（1）1a =，2b =，极小值为22ln 2-；无极大值（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得a ，b ，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数()2x h x e x =-，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．【详解】（1）由已知()0,A a 代入切线方程得1a =，()x f x ae b '=-，∴()01f a b '=-=-， ∴2b =∴()2xf x e x =-，()2x f x e '=-，令()0f x '=得ln 2x =，当ln 2x <时()0f x '<，()f x 单调递减； 当ln 2x >时()0f x '>，()f x 单调递增； 所以当ln 2x =时，()22ln 2f x =-即为极小值；无极大值（2）令()2xh x e x =-，则()2xh x e x '=-，由（1）知()min 22ln 20h x '=-> ∴()h x 在()0,∞+上为增函数 ∴()()010h x h >=>， 即2x e x >.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式．属于中档题. 21. 已知函数()()ln af x x a R x=-∈． （1）判断()f x 在定义域上的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2，求a 的值． 【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在0,上是增函数；当0a <时，()f x 在(]0,a -上是减函数，在(),a -+∞上是增函数；（2）a e =-. 【解析】 【分析】（1）先确定()f x 的定义域为(0,)+∞，再求导，由“()0f x '>，()f x 为增函数()0f x '<，()f x 在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论．（2）因为2()x af x x'+=，0x >．由（1）可知①当0a 时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()()1min f x f =当01a <-时，即1a -时，()f x 在(0,)+∞上也是增函数，()()1min f x f =③当1a e <-<时，即1e a -<<-时，()f x 在[1，]a -上是减函数，在(a -，]e 上是增函数，()()min f x f a =-④当a e -时，即a e -时，()f x 在[1，]e 上是减函数，()()min f x f e =最后取并集．【详解】解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()2x af x x +'= ①当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞上为增函数； ②当0a <时，由()0f x '=得x a =-；由()0f x '>得x a >-； 由()0f x '<得x a <-；∴()f x 在(]0,a -上为减函数；在(),a -+∞上为增函数．所以，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当0a <时，()f x 在(]0,a -上是减函数，在(),a -+∞上是增函数． （2）∵()2x af x x+'=，0x >．由（1）可知： ①当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上为增函数，()()min 12f x f a ==-=，得2a =-，矛盾! ②当01a <-≤时，即1a ≥-时，()f x 在()0,∞+上也是增函数，()()min 12f x f a ==-=， ∴2a =-（舍去）．③当1a e <-<时，即1e a -<<-时，()f x 在[]1,a -上是减函数，在(],a e -上是增函数， ∴()()()min ln 12f x f a a =-=-+=，得a e =-（舍去）．④当a e -≥时，即a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上是减函数，有()()min 12af x f e e==-=， ∴a e =-． 综上可知：a e =-．【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2222x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(0,)P m ，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值. 【答案】（1）22(1)1y x +-=；0x y m -+=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）在极坐标方程是2sin ρθ=的两边分别乘以ρ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式cos ,sin x y ρθρθ==及222x y ρ=+即可得到曲线C 的直角坐标方程；消去直线l 的参数方程222x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩中的参数t 得到直线l 的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造m 的方程，进一步解的答案.【详解】（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，∵ cos sin x y ρθρθ==，，代入得：222x y y +=，∴ 曲线C 的普通方程为222x y y +=，即：22(1)1y x +-=由l 的参数方程2222x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，消去参数t 得：0x y m -+=.()2当0t =时，得0x y m =⎧⎨=⎩，∴ ()0,p m 在直线l 上，将l 参数方程代入曲线C 的普通方程得： 22222+20222t m t m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：)222120t m t m m -+-=.设以上方程两根为1t ，2t ，由()()22=21420m m m ∆--->解得：1212m <<由参数t 的几何意义知21221PA PB t t m m =⋅-⋅==， 得221m m -=或221m m -=-，解得12m (舍去)或1m =,∴1m =．【点睛】考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，同时考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题．[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()1f x x a x =-+-． （1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值． 【答案】（1）()1,3-；（2）1或2． 【解析】 【分析】（1）()|1|2f a a =-<，即可得a 的取值范围是(1,3)-； （2）对a 分类讨论，由单调性即可得()f x 的单调性．【详解】解：（1）()12f a a =-<，得212a -<-<．即13a -<<，故a 的取值范围()1,3- （2）当1a ≥时，函数()f x 在区间[],a a k +上单调递增．则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得2a =，()()max 213f x f a k a k =+=+-=⎡⎤⎣⎦，得1k =．高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 21 - 当1a <时，()21,11,121,x a x f x a a x x a x a --≥⎧⎪=-<<⎨⎪-++≤⎩则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得0a =，()()max 213f x f a k a k =+=+-=⎡⎤⎣⎦，得2k =．综上所述，k 的值是1或2．【点睛】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．。
《精编》宁夏银川一中高三数学第二次月考 理 新人教A版.doc
银川一中2021届高三年级第二次月考数 学 试 卷〔理〕姓名_________ 班级_________ 学号____第一卷一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕 1．12+12ππcoslog sin log 22的值为〔 〕A ． 2B ．－2C ．4D ．－42. 3.,100tan k = 那么 80sin 的值等于〔 〕 A ．21kk + B. 21k k +-C. k k 21+ D. kk 21+-3.函数y=log 2(1-x)的图象是〔 〕A B C D 4.函数y=12sin(62π-x )-5sin(32π+x )的最大值是〔 〕A.5B.12 C 5.假设函数f(x)=3sin(ϕω+x )对任意实数x ，都有f(x +4π)=f(x -4π)，那么f(4π)等于〔 〕A.0B.3 C6. f (x)是偶函数, 且当x ) ,0[∞+∈时, f (x)＝x －1, 那么不等式f (x －1)＜0的解集为〔 〕A. )0 ,1(-B. )0 ,(-∞∪)2 ,1(C. )2 ,0(D. )2 ,1( 7.将函数y=sin (6π+x )(∈x R)的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，那么所得到的图象的解析式为〔 〕 A.sin =y (1252π+x )(∈x R) B.sin =y (1252π+x )(∈x R) C.sin =y (122π-x )(∈x R)D.sin =y (2452π+x )(∈x R) 8. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，假设)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，那么)35(πf 的值为〔 〕A. 21-B. 21C. 23D. 23- 9．在△ABC 中，假设,2tan 12tan 1)12cos 2(222B BbA a +-=-那么△ABC 是〔 〕 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形10. tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，假设α，β∈(-2,2ππ)，那么α+β=〔 〕 A ．3πB ．3π或-π32 C ．-3π或π32D ．-π3211.函数f(x)=kπx sin3的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2+y 2=k 2上，那么f(x)的最小正周期是〔 〕A.1B.2 C R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x 〕=f 〔x +2〕，当x ∈［3，5］时，f 〔x 〕=2－|x －4|，那么〔 〕A. f 〔sin 6π〕＜f 〔cos 6π〕 B.f 〔sin1〕＞f 〔cos1〕 C.f 〔cos3π2〕＜f 〔sin 3π2〕 D.f 〔cos2〕＞f 〔sin2〕 第II 卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23、24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，总分值20分) 13．tan2021°的值为 。
宁夏银川一中2021届高三数学上学期第二次月考试卷 文 (1)
银川一中2021届高三年级第二次月考 数 学 试 卷（文）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1．设集合212{|10},{|log }A x xB x y x =-<==，那么A∩B 等于（ ）A ．{|1}x x >B ．{|01}x x <<C ． {|1}x x <D ．{|01}x x <≤ 2．已知复数 z 知足(131i z i +=+，则||z =（ ） A 2 B ．21C ．2D ． 23．在△ABC 中，“3sin A >3πA >”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件4．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且知足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，那么ABC ∆的形状必然为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．斜三角形 5．设向量b a ,知足b a +=10，b a -=6，那么=⋅b a （ ）A ．5B ．3C ．2D ．1 6．函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ） 7．假设角α的终边在直线y ＝2x 上，那么ααααcos 2sin cos sin 2+-的值为( )A ．0 B. 34C ．1D. 548．ABC ∆的内角A B C 、、的对边别离是a b c 、、,假设2B A =,1a =,3b =,那么c = （ ） A ．23B ．2C 29．假设f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，那么b 的取值范围是（ ） A.[-1，+∞） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1] D.（-∞，-1） 10．函数()()xx x f 21ln -+=的零点所在的大致区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）11．)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 部份图象如图,若2||AB BC AB =⋅,ω等于（ ）A ．12πB ．4πC ．3π D ．6π 12．函数()x f 是R 上的偶函数，在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，那么（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部份．第13题～第21题为必考题，每一个试题考生都必需做答．第22题～第24题为选考题，考生依照要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，那么((2))f f 的值为 .14．若sin cos θθ+=那么tan 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ___________.15．设奇函数()x f 的概念域为R ，且周期为5，假设()1f ＜—1，(),log 42a f =那么实数a 的取值范围是 . 16．以下命题:①假设||||||a b a b ⋅=⋅,那么a ∥b ; ②a =(-1,1)在b =(3,4)方向上的投影为15; ③假设△ABC 中,a=5,b =8,c =7,那么BC ·CA =20;④假设非零向量a 、b 知足||||a b b +=,那么|2||2|b a b >+.所有真命题的标号是______________. 三、解答题： 解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤. 17、（本小题12分）已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,sin x m ，()02cos 3,cos 3>⎪⎭⎫⎝⎛=A x A x A n ，函数()f x m n =⋅的最大值为6.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原先的12倍，纵坐标不变，取得函数()y g x =的图象.求()g x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上的值域.18．（本小题12分）设函数)0(19)(23<--+=a x ax x x f ，且曲线)(x f y =斜率最小的切线与直线612=+y x 平行.求：（1）a 的值；（2）函数)(x f 的单调区间.19．（本小题12分）a ax e x f x,1)(2+=为正实数（1）当34=a ，求)(x f 极值点；（2）假设)(x f 为R 上的单调函数，求a 的范围.20．(此题总分值12分)已知,,a b c 别离为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=。
宁夏回族自治区银川一中2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
银川一中2021届高三年级第一次月考理 科 数 学命题人：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合22(,)14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4xB x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．函数()xx x f 2log 12-=的定义域为A ．()+∞,0B ．()+∞,1C ．()1,0D ．()()+∞,11,03．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1>0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为A ．128.5米B ．132.5米C ．136.5米D ．110.5米5．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是A ．1ln||y x = B ．()ln(1)ln(1)f x x x =--+C ．e e ()2x xf x -+=D ．e 1()e 1x x f x -=+6．设函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)7．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．1-B ．12-C ．12D ．28．函数)1(1)(-+=x x e x e x f 的图像大致为A B C D 9．若x x f 2)(=的反函数为)(1x f-，且4)()(11=+--b fa f，则ba 11+的最小值是 A ．1B ．21 C ．31 D ．41 10．设0.51()2a =，0.50.3b ＝，0.3log 0.2c ＝，则a b c 、、的大小关系是A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．已知定义在(0，+∞)上的函数)(x f 满足0)()('<-x f x xf ，且2)2(=f ，则0)(>-x x e e f的解集是 A ．)2ln ,(-∞B ．),2(ln +∞C ．),0(2eD ．),(2+∞e12．已知函数1,0,()ln 1.0.x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解..a b c ()a b c <<，则()a b c +的取值范围是A.]25,2[B.22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.]25,2(D.)25,2(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分,13．若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知1)(-=x xx f 为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 14．若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 15．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-,函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-,1[2,2]x ∀∈-,总0[2,2]x ∃∈-,使得01()()g x f x =成立,则实数a 的取值范围为________________.16．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
宁夏银川一中2021届上学期高三年级第一次月考数学试卷(理科)
∴直线L的普通方程为： ，
∵曲线C的参数方程为 （α为参数），
∴曲线C的普通方程为（－5）2＋y2＝1．
（2）设Q（5＋cosα，sinα），Q到直线L的距离：
，
当 时，即 ，dmin＝2，
此时点Q坐标为 ．
23．解：（1）
当 时， ，则 ，所以 ，
质量指标值
产品等级
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1 000件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．设 ，当 时，满足 ．
（1）试估计样本质量指标值 的平均值 及方差 ；
（2）从样本质量指标值小于90的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取2件产品，求至少有1件D级品的概率．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题
做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．
在平面直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L： ，曲线C的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求直线L和曲线C的普通方程；
（2）在曲线C上求一点Q，使得Q到直线L的距离最小，并求出这个最小值
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟因此第二种生产方式的效率更高
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高
令 ，则 ，
，易知 时递减
故当 时， 的最大值为
宁夏银川一中2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析
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理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B 的子集的个数是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，集合A 表示椭圆，集合B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.
【详解】集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 则()2
214=,14x y x A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩
⎭，画出图形如图： 由图可知，A
B 的元素有2个，则A B 的子集有22=4个，
故选：A。
宁夏银川一中2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析
银川一中2021届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由题意，集合A 表示椭圆，集合B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.【详解】集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 则()2214=,14x y x A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎭，画出图形如图：由图可知，A B 的元素有2个，则A B 的子集有22=4个，故选：A【点睛】本题考查交集及其运算，考查集合的性质，用数形结合的思想将问题转为图象交点的个数，属于基础题. 2. 函数()221log x f x x-=的定义域为（ ） A. ()0,∞+B. ()1,+∞C. ()0,1D.()()0,11,+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意，2log 00x x ≠⎧⎨>⎩，解得0x >且1x ≠，即函数()221log x f x x-=的定义域为()()0,11,+∞.故选：D.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型. 3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，则A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或1x =-，则“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++”，故C 错误．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定．4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5米 B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米【答案】C 【解析】 【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．5. 下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ） A. 1ln||y x = B. ()ln(1)ln(1)f x x x =--+C. e e ()2x xf x -+=D. e 1()e 1x xf x -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，A 选项，1()ln()||f x f x x -==是偶函数，不符合条件； B 选项，定义域{|1}x x >不关于原点对称，不符合条件；C 选项，e e ()()2x xf x f x -+-==是偶函数，不符合条件；D 选项中，因为()()1111x xxxe ef x f x e e -----====-++，所以函数()11x x e f x e -=+为奇函数，将函数式变为()211xf x e =-+，随着x 增大函数值也增大，()f x 是单调递增函数，符合条件， 故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，要考虑函数的定义域. 6. 设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3(1,log 2)--B. 3(0,log 2)C. 3(log 2,1)D.3(1,log 4)【答案】C 【解析】试题分析：∵单调函数32()log x f x a x+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0 又则解得，故选Ｃ．考点：函数零点的判定定理．7. 已知函数(),1log ,1x aa x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 1- B. 12-C.12D.2【答案】C 【解析】 【分析】由()12f =可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.【详解】函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），()12f a ==，则()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，121212f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11222112log 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C【点睛】本题考查分段函数求函数值问题，考查计算能力，属于基础题.8. 函数1()||(1)x x e f x x e +=-的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．【详解】函数1()||(1)x xe f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ， 又11()()(1)(1)x xx x e e f x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法． 9. 若()2xf x =的反函数为()1fx -，且()()114f a f b --+=，则11ab+的最小值是（ ） A. 1 B.12C.13 D.14【答案】B 【解析】 【分析】 先求出()1fx -，根据题中条件，求出16ab =，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】由2xy =得2log x y =，所以()12log f x x -=，又()()114fa fb --+=，所以22log log 4a b +=，即2log 4ab =，所以16ab =，因此112142a b +≥==， 当且仅当11a b=，即4a b ==时，等号成立. 故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求和的最小值，涉及反函数以及对数的运算，属于基础题型.10. 设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）． A. b a c << B. a b c <<C. a b c >>D. a c b <<【答案】A【解析】 【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题. 11. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<'，且()22f =，则()0x x f e e ->的解集是（ ）A. (),ln2-∞B. ()ln2,+∞C. ()20,eD. ()2,e +∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()g x =()f x x，求导确定其单调性，()0xxf ee->等价为()()2x g e g >，利用单调性解不等式即可 【详解】令()g x =()()()()()2,0,g x f x xf x f x g x xx-=<∴'' 在()0,+∞上单调递减，且()()221,2f g ==故()0xxf e e ->等价为()()2,2x xf e f e>即()()2xg e g >,故2xe<,解x<ln2,故解集为(),ln2-∞ 故选A【点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题12. 已知函数1,0,()ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c <<，则()a b c +的取值范围是（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出m 以及a +b 的值和c 的范围，进一步求出答案. 【详解】画出()f x 的图像，因为方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c << 可知m 的范围(]0,1由题可知a +b =-2，0ln 11c <+≤ 所以11c e<≤ 所以()22-≤+<-a b c e. 故选：B.【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.二、填空题13. 若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知()1xf x x =-为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 【答案】2. 【解析】【分析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f （x ）的对称点，即可得到结论． 【详解】由()(2)2f x f a x b +-=知“准奇函数”()f x 关于点(,)a b 对称； 因为()1xf x x =-=111x +-关于(1,1)对称，所以1a =，1b =，2a b +=. 故答案为2.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性的表示方式，属于基础题． 14. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 【答案】51[,)8+∞ 【解析】【详解】函数()323f x x tx x =-+，()2'323f x x tx =-+又函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减∴23230x tx -+≤在区间[]1,4上恒成立即323048830t t -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得:518t ≥， 当518t =时，经检验适合题意． 故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】f (x )为增函数充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 15. 已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x），函数()1=-g x ax ，2,2x ，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________. 【答案】55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可.【详解】因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，又函数()1=-g x ax ，2,2x，因此，当0a =时，{}1B =-，不满足题意；当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.16. 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线2x =对称； ③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】试题分析：由()()20f x f x ++=，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由()()4f x f x -=，得的图像关于直线对称；由()()4f x f x -=与，得，即，即函数为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 一、必考题：17. 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-. 【解析】 【分析】（1）由()()23f f >，得到240m m -<，从而得到04m <<，又由m Z ∈，得出m 的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到122a a -<+且120,20a a -≠+≠，由此即可求解实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数， 所以240m m -<，解得04m <<， 又由m Z ∈，且函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =， 所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18. 已知函数()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩满足()298f c =.（1）求常数c的值； （2）解不等式()18f x >+. 【答案】（1）12c =；（2）58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到01c <<，所以2c c <，再由函数解析式，根据()298f c=，得到3918c +=，求解，即可得出结果； （2）先由（1）得到4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，分102x <<，112x ≤<两种情况，解对应的不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为01c <<，所以2c c <；由()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩，()298f c =，可得3918c +=，解得：12c =；（2）由（1）得4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，由()1f x >+得， 当102x <<时，11128x +>+，解得4x >，则142x <<； 当112x ≤<时，42118x -+>+，解得58x <，则1528x ≤<；所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由分段函数值求参数，考查根据分段函数解不等式，属于基础题型. 19. 已知函数()21log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101xx +>-，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数()21log 1axf x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax axx x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101xx +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >；（2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=. 因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立， 所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.20. 已知函数22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅. （1）求曲线()y f x =在()0,2处的切线方程； （2）若23a =，证明：()2f x ≥. 【答案】（1）2y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出()00f '=，再由导数的几何意义，即可求出切线方程； （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）得到()2(1)e 13x f x x x '⎡⎤=-⋅+⎣⎦，设函数()(1)e 1xg x x =-⋅+，对()g x 求导，研究()g x 单调性，求出()()00g x g ≥=，判定()f x 单调性，求出最小值，即可得出结果.【详解】（1）由22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅得()()()()()2222e (22)2121e 21x x x f x ax x ax e a x a x ax a x '⎡⎤=-++-+⋅+-=-+⋅+-⎣⎦，所以()00f '=，由导数的几何意义可知：曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =， 曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=⨯-，即2y =. （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）可知，()22222e (1)e 13333x x f x x x x x x ⎛⎫'⎡⎤=-+⋅+=-⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭，设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，则()e xg x x '=⋅，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+单调递增， 故()()00g x g ≥=，又()()23f x xg x '=⋅， 故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增， 故()()02f x f ≥=.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法证明不等式，熟记导数的几何意义，根据导数的方法判定单调性，求函数最值即可，属于常考题型. 21. 已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a R =-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值. 【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据结果分0a >、0a =、0a <三种情况，令导函数等于0，分别求出每种情况的单调区间即可； （2）结合第一问的单调性，分2e a ≤-、122e a -<<-和102a -≤<两种情况，分别讨论每一段的最小值即可.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+， （Ⅰ）.()()()2222x a x a x ax a f x x x+-+-'==， （1）当0a =时，()0f x x '=>，所以()f x 在定义域为()0,∞+上单调递增； （2）当0a >时，令()0f x '=，得12x a =-（舍去），2x a =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,a 单调递减，在区间(),a +∞上单调递增； （3）当0a <时，令()0f x '=，得12x a =-，2x a =（舍去）， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （Ⅱ）.由Ⅰ知当0a <时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （1）当2a e -≥，即2ea ≤-时，()f x 在区间[]1,e 单调递减， 所以()f x 的最小值为()22122f e a ea e =-++；（2）当12a e <-<，即122e a -<<-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，在区间()2,a e -单调递增，所以()f x 的最小值为()()222ln 2f a a a -=--，（3）当21a -≤，即102a -≤<时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，所以()f x 的最小值为()112f a =+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、最值问题．二、选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为133x ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长. 【答案】（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a .【解析】 【分析】（1）化简得到直线方程为33y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案 . 【详解】（1）由133x ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t 得，30x y -=即3y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生计算能力和应用能力.[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()|31||33|f x x x =-++ （1）求不等式()10f x ≥的解集； （2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()f x a b ≥++，即证min ()f x a b ≥++min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥.综上，不等式()10f x≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞.（2）证明：因为,a b ≥等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立. 又因()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤，12a b+≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.。
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∴ sinα＝ 因此 tanα＝
＝ ，sinβ＝
＝7，tanβ＝
＝.
＝.
(1) tan(α＋β)＝
＝
＝－3.
(2) ∵ tan2β＝
＝
＝，
∴ tan(α＋2β)＝
＝
＝－1.
∵ α，β 为锐角，∴ 0<α＋2β< ，
2 3 4
18.（1）产品售价为 6 元，则万件产品销售收入为 6x 万元.
依题意得，当 0 x 7 时， p(x) 6x 1 x2 2x 2 1 x2 4x 2 ，
银川一中 2021 届高三年级第二次月考
理科数学
命题人：
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
2
2 2
2 sin 4x 2
2 2
cos
4x
2 2
sin
4x
cos
4
cos
4 x sin
4
2 2
sin
4
x
4
．
函数
y
f
x 的最小正周期为T
2 4
2
，
令 2k 4x 2k 3 k Z ，解得 k x k 5 k Z .
2
4
2
2 16
2 16
所以，函数
银川一中 2021 届高三第二次月考数学（理）参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B D B A D B C B C B
二、填空题：
13、 1 14、 2 2
三、解答题：
15、 7 9
16、 a 0
17.由条件得 cosα＝ ，cosβ＝ .∵ α，β 为锐角，
坐标系，直线
l
的参数方程是
x
2t 2
(t 为参数)．
y
2 tm 2
（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（2）设点 P(0, m) ，若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且| PA | | PB | 1 ，求实数 m 的值 .
23．[选修 4－5：不等式选讲] 已知函数 f（x）=|x﹣a|+|x﹣1 |． （1）若 f（a）<2，求 a 的取值范围； （2）当 x∈[a，a+k]时，函数 f（x）的值域为[1，3]，求 k 的值．
A． 0 x 1
B． 0 x 4
C． 0 x 3
D． 3 x 4
7．已知 0 a ，且 sin cos
4
2
5 5
，
sin
4
4 5
则
sin(
)
A． 3 10 10
B． 15 5
C． 15 5
D． 3 10 10
8．已知定义在
R
上的奇函数
f
x
，对任意实数
x
，恒有
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分)
17．（本题满分 12 分）
如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆
15．
f
(x)
sin
x
6 cos
x
2x
3 4
cos
2x在
x
x0 处取得极值，则
cos 2x0
_________.
16．对于任意实数 x1, x2 ，当 0 x1 x2 e 时，有 x1 ln x 2 x2 ln x1 ax2 ax1 恒成立， 则实数 a 的取值范围为___________
e3 20 ）.
19．（本题满分 12 分）
已知函数 f x 2cos2 x 1 sin 2x 1 cos 4x . 2
（1）求 f x 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若
0,
，且
f
4
8
2 2
，求 tan
3
的值.
20．（本题满分 12 分）
已知函数 f x aex bx（ a ，b 为常数），点 A 的横坐标为 0，曲线 y f x 在点 A 处的切
B．①④
C．②③
D．②④
4．1626 年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号： sin 、 tan 、 sec （正割），1675 年，英国
人奥屈特最早推出余下的简写三角符号： cos 、 cot 、 csc （余割），但直到 1748 年，经过数学
家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中 sec 1 ， csc 1 .若 a (0, ) ，且
所以当 x ln 2 时， f x 2 2 ln 2 即为极小值；无极大值
（2）令 h x ex x2 ，
则 h x ex 2
，x 由（1）知
h x min
2 2ln
2
0
∴ h x 在 0, 上为增函数∴ h x h 0 1 0 ，即 ex x2 .
21. 证明： g(x) f (x),则f (x) g(x) 1 sin x x cos x ， x
cos
sin
3 2 2 ，则 tan . csc sec
A． 5 13
B． 12 13
C．0
D． 12 5
5．已知角
和角
的终边垂直，角
的终边在第一象限，且角
的终边经过点
P
3 5
,
4 5
，则
sin
A．- 3 5
B． 3 5
C． 4 5
D． 4 5
6．设函数 f (x) ex2 3x （e 为自然底数），则使 f ( x) 1成立的一个充分不必要条件是
1．若集合 A x 1 x 2, B x log3 x 1 ，则 AI B A．x 0 x 2 B．x 1 x 2 C．x 1 x 2 D．x 0 x 3
2．如果 ，那么下列不等式成立的是
4
2
A． sin cos tan
B． tan sin cos
C． cos sin tan
f
x
3
f
x
，且当
x
0,
3 2
时，
f x x2 6x 8 ，则 f 0 f 1 f 2 f 2020
A．6
B．3
C．0
D． 3
9．已知函数 f (x) | sin x | | cos x | ，则以下结论错误的是
A． f (x) 为偶函数
B． f (x) 的最小正周期为 2
B．
ln 3 9
,
ln 2 4
C．
ln 2 4
,
1 2e
D．
ln 2 4
,
1 2e
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．正弦函数 y sin x 在[0, ] 上的图像与 x 轴所围成曲边梯形的面积为__________. 3
14．已知扇形 AOB 面积为 4 ，圆心角 AOB 为120 ，则该扇形的半径为_________. 3
y
f
x
的单调递减区间为
k 2
, 16
k 2
5 16
k
Z
；
（2） Q
f
4
8
2 2
，即
sin
4
1
，Q
0,
，
4
4
3 4
.
4
，故 2
3 4
，因此
tan
3
1
tan 3 tan
4
3
tan 3 tan
1 1
3 3
2
3
4
3
20.（1）由已知 A0, a 代入切线方程得 a 1， f x aex b ，∴ f 0 a b 1，∴ b 2 ∴ f x ex 2x ， f x ex 2 ，令 f x 0 得 x ln 2 ， 当 x ln 2 时 f x 0 ， f x 单调递减；当 x ln 2 时 f x 0 ， f x 单调递增；
相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 , 2 5 10 5
（1）求 tan( ) 的值； （2）求 2 的值．
y
A B
O
x
18．（本题满分 12 分） 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需
投入固定成本 2 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 C(x) 万元，当年产量小于 7 万件时，
C(x) 1 x2 2x （万元）；当年产量不小于 7 万件时， C(x) 6x ln x e3 17 （万元）.已知每
3
x
件产品售价为 6 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润 P(x) （万年）关于年产量 x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入
-固定成本-流动成本） （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取
C． f (x) 的最大值为 2
D．
f
(x)
在
2
,
3 4
上单调递增
10．已知函数 f (x) x x ln x ，曲线 f (x) 在 x x0 的切线 l 的方程为 y kx 1 ，则切线 l 与坐标