常用积分公式
常用积分公式
13．
∫ ∫
x 2 dx ＝ 2 (ax − 2b) ax + b + C 3a ax + b x2 2 dx ＝ (3a 2 x 2 − 4abx + 8b2 ) ax + b + C 15a 3 ax + b
1 ln b ax + b − b + C (b > 0) ax + b + b
14．
⎧ ⎪ dx ⎪ ＝⎨ 15． ∫ x ax + b ⎪ ⎪ ⎩
∫
dx x2 − a 2
dx
x x arch + C1 = ln x + x 2 − a 2 + C x a
＝−
46．
x a2 x2 − a2
( x 2 − a 2 )3
+C
47．
∫
∫
x x −a
2 2
dx ＝ x 2 − a 2 + C 1 x − a2
2
48．
x (x − a )
2 2 3
dx ＝ −
dx ＝
+C
63．
∫
∫
x2 a2 − x2
x2
dx ＝ −
x 2 a2 x a − x 2 + arcsin + C 2 2 a
x a −x
2 2
64．
(a − x )
2
2 3
dx ＝
− arcsin
x +C a
65．
∫x ∫x
2
dx a2 − x2 dx
＝
1 a − a2 − x2 ln +C a x
2
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
高等数学积分公式
高等数学积分公式高等数学中的积分公式有很多，下面列举了一些常用的积分公式和相关的计算方法。
1.积分的线性性质：设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上可积，k为任意常数，则有：∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx2.基本积分公式：∫ x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数∫ dx = x + C∫ e^x dx = e^x + C∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ 1/(a^2 + x^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C，其中a≠0∫ 1/(sqrt(a^2 - x^2)) dx = arcsin(x/a) + C，其中a>03.积分的分部积分法：设函数u(x)、v(x)具有连续的一阶和二阶导数，则有积分的分部积分公式：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ u'(x) v(x) dx4.三角函数的积分公式：∫ sin^n(x) cos^m(x) dx，其中n、m均为非负整数，可用以下公式求解：a. 若n为奇数，m为偶数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简b. 若n为偶数，m为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的sin^2(x)进行积分c. 若n和m均为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的cos^2(x)进行积分5.带根号的积分公式：∫ sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) (x sqrt(a^2 - x^2) + a^2 arcsin(x/a)) + C，其中a>0∫ sqrt(x^2 + a^2) dx = (1/2) (x sqrt(x^2 + a^2) + a^2 ln，x + sqrt(x^2 + a^2)，) + C，其中a>06.积分的换元法：设u=g(x)是连续可导函数的微分函数，函数f(g(x))在区间[a,b]上连续，则有：∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du7.分式积分法：设f(x)、g(x)是多项式函数，g(x)≠0∫ f(x)/g(x) dx = [∑ A_i/(x-a_i) + B_j(x-b_j)^k_j +C_i*e^(a_i*x)]dx其中A_i、B_j、C_i为待求系数，a_i、b_j为g(x)的一阶或二阶零点，k_j为g(x)的重根的重数8.参数方程的积分公式：设平面上的点(x(t),y(t))的运动由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出，则有：∫[a, b] y(t) x'(t) dt = ∫[a, b] x(t) y'(t) dt以上列举的只是常用的积分公式，实际上积分的计算有时需要结合多种公式和方法进行推导和计算。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分公式是解决多种数学问题的重要工具。
积分是微积分的核心概念之一，是对函数进行求和的过程。
下面将介绍一些常见的积分公式。
一、基本积分公式1. 幂函数积分：$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n$为常数，$C$为常数项。
2. 正弦函数积分：$\int \sin x dx=-\cos x+C$。
3. 余弦函数积分：$\int \cos x dx=\sin x+C$。
4. 指数函数积分：$\int e^x dx=e^x+C$。
5. 对数函数积分：$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$。
6. 反正切函数积分：$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$。
7. 反正弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$。
8. 反余弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arccos x+C$。
二、常用积分公式1. 分部积分法：$\int u dv=uv-\int v du$，其中$u$和$v$是可导函数。
2. 三角函数积分：- $\int \sin^2 x dx=\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+C$。
- $\int \cos^2 x dx=\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x)+C$。
- $\int \sin^3 x dx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+C$。
- $\int \cos^3 x dx=\frac{1}{3}\sin^3 x+C$。
3. 积化和差公式：$\int \sin(a+b)x dx=-\frac{\cos(a+b)x}{a+b}+C$。
$\int \cos(a+b)x dx=\frac{\sin(a+b)x}{a+b}+C$。
4. 积化导法：$\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$，其中$F$为$f$的一个原函数。
求积分公式大全高等数学
求积分公式大全高等数学在高等数学中，积分是微积分中的重要概念之一，用于求解函数的面积、体积、曲线的长度以及求解微分方程等问题。
常见的积分公式包括原函数的求法、基本积分公式、常用函数的积分公式等。
下面将介绍一些常用的积分公式。
1. 原函数的求法原函数是指对于给定函数f(x)，找到一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)。
常见的函数对应的原函数公式包括：- 常数函数的原函数：∫kdx = kx + C，其中k是常数，C是常数项。
- 幂函数的原函数：∫x^ndx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
- 正弦函数的原函数：∫sinxdx = -cosx + C。
- 余弦函数的原函数：∫cosxdx = sinx + C。
- 指数函数的原函数：∫e^xdx = e^x + C。
2. 基本积分公式基本积分公式是指对于一些常见函数的积分形式，可以直接根据公式进行求解。
常见的基本积分公式包括：- 幂函数积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
- 三角函数积分公式：- ∫sinxdx = -cosx + C。
- ∫cosxdx = sinx + C。
- ∫sec^2xdx = tanx + C。
- ∫csc^2xdx = -cotx + C。
- 指数函数积分公式：∫e^xdx = e^x + C。
- 对数函数积分公式：∫1/xdx = ln|x| + C。
3. 常用函数的积分公式除了基本积分公式外，还有一些常用函数的积分公式：- 三角函数的复合函数积分公式：- ∫sin(ax)dx = -1/as * cos(ax) + C。
- ∫cos(ax)dx = 1/as * sin(ax) + C。
- ∫sec^2(ax)dx = 1/as * tan(ax) + C。
- ∫csc^2(ax)dx = -1/as * cot(ax) + C。
积分常用公式(最新整理)
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
58．
（八）含有 a x ( a 0) 的积分 59．
dx a2 x2 dx
＝ arcsin
x C a x C
60．
(a 2 x 2 )3 x a x
2 2
＝
a2 a2 x2
61．
dx ＝ a 2 x 2 C
5
62．
x x
30．
ax
2
x 1 b dx dx ＝ ln ax 2 bx c 2 bx c 2a 2a ax bx c x 2 a 2 ( a 0) 的积分
＝ arsh
（六）含有 31．
dx x a dx
2 2 2
x C1 ＝ ln( x x 2 a 2 ) C a x C
2 2
18．
（三）含有 x a 的积分 19． 20．
x
2
dx 1 x = arctan C 2 a a a
2
(x x
2
dx x 2n 3 dx = 2 n 2 2 2 n 1 2 2 a ) 2( n 1)a ( x a ) 2( n 1)a ( x a 2 ) n 1
dx 15． ＝ x ax b
16．
2 ax b arctan C ( b 0) b b
x
2
dx ax b a dx ＝ bx 2b x ax b ax b
17．
ax b dx dx ＝ 2 ax b b x x ax b ax b ax b a dx dx ＝ 2 x x 2 x ax b
48．
( x 2 a 2 )3
4
49．
x x
x2 x2 a2 x2
2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 x x a
2 2
50．
(x a ) dx x2 a2 dx
2 3
dx ＝
ln x x 2 a 2 C
3
36．
x x
x2 (x a ) dx x2 a2 dx
2 2 2 3
dx ＝
x x a
2 2
ln( x x 2 a 2 ) C
37．
＝
1 x2 a2 a ln C a x x2 a2 C a2x
38．
x2 a2
＝
39． 40．
x 2 a 2 dx ＝
24．
x2 x b dx ax 2 bdx ＝ a a ax 2 b
2
25．
1 x2 dx ln C ＝ x (ax 2 b) 2b ax 2 b 1 a dx dx 2 ＝ 2 bx b ax b (ax b)
26．
x
2
ax 2 b dx a 1 27． 3 ＝ 2 ln C 2 2 x (ax b) 2b x 2bx 2
80．
xa xa xa dx ＝ ( x b ) (b a ) arcsin C bx bx bx dx xa ＝ 2 arcsin C bx ( x a )(b x ) ( a b)
81．
82．
2x a b (b a ) 2 xa ( x a )(b x )dx ＝ ( x a )(b x ) arcsin C 4 4 bx ( a b)
28．
(ax
2
dx x 1 dx ＝ 2 2 b) 2b( ax b) 2b ax 2 b
2
（五）含有 ax bx c ( a 0) 的积分
2 2 ax b arctan C ( b 2 4 ac) 2 2 4ac b dx 4ac b 29． 2 ＝ ax bx c 1 2 ax b b 2 4 ac ln C ( b 2 4 ac) b 2 4ac 2ax b b 2 4ac
2
7．
(ax b) dx ＝ a
2
(ln ax b
b )C ax b
8．
1 b2 x2 ＝ ( ax b 2 b ln ax b )C d x (ax b) 2 a3 ax b
9．
x(ax b)
dx
2
＝
1 1 ax b 2 ln C b(ax b) b x
＝
44．
（七）含有 45．
dx x 2 a2 dx
2
x x arch C1 = ln x x 2 a 2 C x a
＝
46．
x a
2
(x a ) x x a x
2 2
2 3
x2 a2
C
47．
dx ＝ x 2 a 2 C dx ＝ 1 x2 a2 C
x (a x ) x2 a2 x2 x2 (a 2 x 2 )3பைடு நூலகம்dx a2 x2 dx
2 2 2 3
dx ＝
1 a x2
2
C
63．
dx ＝ dx ＝
x 2 a2 x a x 2 arcsin C 2 2 a x a2 x2 arcsin x C a
64．
77．
c bx ax 2 dx ＝ x c bx ax
2
78．
dx ＝
（十）含有
xa 或 ( x a )(b x ) 的积分 x b x b )C
79．
xa xa dx ＝ ( x b ) (b a ) ln( x a xb xb
56． x
2
x a4 x 2 a 2 dx ＝ (2 x 2 a 2 ) x 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 8 8
57．
a x2 a2 dx ＝ x 2 a 2 a arccos C x x x2 a2 x2 a2 ＝ d x ln x x 2 a 2 C 2 x x
（二）含有 ax b 的积分
2 ( ax b) 3 C 3a 2 (3ax 2b) ( ax b) 3 C 11． x ax b dx ＝ 2 15a 2 2 (15a 2 x 2 12abx 8b 2 ) ( ax b) 3 C 12． x ax b dx ＝ 105a 3
51．
＝
1 a arccos C a x
52．
2
x2 a2 ＝ C a2x x2 a2 x 2 a2 x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2
53． 54．
x 2 a 2 dx ＝
x 3 ( x 2 a 2 ) 3 dx ＝ (2 x 2 5a 2 ) x 2 a 2 a 4 ln x x 2 a 2 C 8 8 1 2 2 ( x 2 a 2 )3 C 55． x x a dx ＝ 3
常 用 积 分 公 式
（一）含有 ax b 的积分( a 0 ) 1．
ax b ＝ a ln ax b C
dx
1
2． ( ax b) dx ＝ 3． 4．
1 ( ax b) 1 C （ 1 ） a ( 1) ( ax b b ln ax b ) C
32．
(x a ) x x a x
2 2
2 3
＝
a
2
x2 a2
33．
dx ＝ x 2 a 2 C dx ＝ 1 x2 a2 C
34．
( x 2 a 2 )3 x2
35．
x 2 a2 2 dx ＝ x a ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 2 2 x a
3
ln 2ax b 2 a ax 2 bx c C
75．
x ax bx c
2
dx ＝
1 ax 2 bx c a b 2 a
3
dx c bx ax 2
ln 2ax b 2 a ax 2 bx c C
76．
＝
1 2 ax b arcsin C a b 2 4ac 2ax b b 2 4ac 2ax b c bx ax 2 arcsin C 4a 8 a3 b 2 4ac 1 b 2 ax b c bx ax 2 arcsin C 3 a 2 a b 2 4ac
70． x
2
x a4 x a 2 x 2 dx ＝ (2 x 2 a 2 ) a 2 x 2 arcsin C 8 8 a
71．
a a2 x2 a2 x2 C dx ＝ a 2 x 2 a ln x x a2 x2 a2 x2 x ＝ d x arcsin C 2 x x a
42． x
2
x a4 x 2 a 2 dx ＝ (2 x 2 a 2 ) x 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 8 8
43．
x2 a2 a x2 a2 2 2 ＝ x a a ln C dx x x x2 a2 x2 a2 ＝ d x ln( x x 2 a 2 ) C 2 x x x 2 a 2 ( a 0) 的积分
x 2 a2 x a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2
x 3 ( x 2 a 2 ) 3 dx ＝ (2 x 2 5a 2 ) x 2 a 2 a 4 ln( x x 2 a 2 ) C 8 8 1 2 2 ( x 2 a 2 )3 C 41． x x a dx ＝ 3