(完整版)2-4已知单调性求参数取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
已知函数单调性求参数取值范围
技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要：利用导数根据函数单调性（区间）求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考点，下面将这类问题举例分析。
关键词：导数；单调性；参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增，则f′(x )≥0；若函数f (x )在(a ,b )上单调递减，则f′(x )≤0，将问题转化为函数最值问题求解。
一般地，分离变量后，若得到a ≥h (x )，则只需a ≥h (x )max ；若得到a ≤h (x )，则只需a ≤h (x )min 。
注意：f (x )在(a ,b )上为增函数（减函数）的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。
例1，已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减，求a 的取值范围。
解：因为f (x )在[1,]4上单调递减，所以当x ∈[1,]4时，f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立，即a ≥1x 2-2x 恒成立。
设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。
而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。
当x ∈[1,]4，h′(x )>0，所以h (x )在[1,]4上单调递增。
所以当h (x )max =h (4)=-716，所以a ≥-716，即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。
评析：由f (x )在[1,]4上单调递增，得到f′(x )≤0，进而分离参数a ，构造新的函数h (x )，本题转化为求h (x )max 。
例2，已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减，求实数a 的取值范围。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78543．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．3204x dx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2536．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．437．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-8．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．929．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞10．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．211．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．已知0a >，6x x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(0224a x x x dx -++-=⎰______.14．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________15．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 16．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）. 17．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 18．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________．19．曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为_______________． 20．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积. 22．已知函数1()ln ()f x x b x b R x=--∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）设2()g x x =，求证()()2ln 2g x f x >-．23．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-.24．求曲线6y x =-和y =y ＝0围成图形的面积．25．在(11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求1x α⎰d x26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()0211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()22321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰， 1201x dx -⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，12014x dx π∴-=⎰，()()1122110143113412f x dx x dx x dx ππ--+∴=++-=+=⎰⎰⎰.故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.2．B解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题3．D解析：D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.4．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．C解析：C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知()()323222002882344489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰．考点：定积分的几何意义．6．A解析：A 【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()2232328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.7．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e-==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用8．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
利用函数的单调性求参数的取值范围
利用函数的单调性求参数的取值范围函数的单调性是指在一定范围内，函数的增减性质的统一性。
对于有单调性的函数，可以通过研究函数的导数来判断参数的取值范围。
首先，我们来回顾一下导数的定义和性质。
对于函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)，导数表示函数在其中一点的变化率。
导数的正负号可以告诉我们函数的单调性。
1.若在[a,b]上f'(x)≥0，则函数在[a,b]上为单调递增函数。
2.若在[a,b]上f'(x)≤0，则函数在[a,b]上为单调递减函数。
3.若在[a,b]上f'(x)>0，则函数在[a,b]上为严格递增函数。
4.若在[a,b]上f'(x)<0，则函数在[a,b]上为严格递减函数。
步骤1：确定函数的定义域，即参数的取值范围。
步骤2：求出函数的导函数。
步骤3：利用导函数的性质来判断函数的单调性。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
步骤5：验证参数的取值范围是否符合要求。
下面我们通过具体例子来说明求解参数取值范围的方法。
例子：求函数f(x) = ax^2 + bx + c 在定义域上的参数a、b、c的取值范围。
步骤1：确定函数的定义域。
对于二次函数，其定义域是整个实数集R。
步骤2：求出函数的导函数。
对f(x)求导得到f'(x) = 2ax + b。
步骤3：利用f'(x)的性质来判断函数的单调性。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增，所以a>0。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减，所以a<0。
然后，我们可以根据b和c的取值范围来进一步限定a的取值范围。
当a>0时：根据二次函数的几何性质，对于抛物线开口朝上的情况，函数的最小值出现在顶点处，顶点的x坐标为 -b/2a，对应的y坐标为 c - b^2/4a。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例3：设函数f (x) 1 ax2 (2a 1)x 2 ln x.试讨论f (x)的单调区间 2
解：函数的定义域(0,)
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
解： f '( x) 3x2 6ax 2a2 , x [0,2]
则f '( x) 0在[0,2]上恒成立
即3x2 6ax 2a2 0恒成立，x [0,2]
即f '( x)min 0, x [0,2]
而f '(x)为二次函数，开口向上， 对称轴为x a
f '( x) 3x2 6ax 2a2 0, x [0,2]
2
(3)当0 a 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,)上为增函数;
2
a
f (x)在（2，1 ）上为减函数。 a
(4)当a 1 时，f (x)在（0，1 ）和（2,)上为增函数;
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。 a
练习1：
(2011辽宁理）已知函数f(x)= ln x ax2 （2 a）x,讨论函数f(x)的单调性
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解：
f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0, 恒成立x [2,4]
方法：（分离参数） 2ax 3x2 3恒成立
(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-4．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 16．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．927．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．508．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．010．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2311．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <12．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．()222sin 4x x dx -+-=⎰______.14．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 17．2222(sin 4)x x x dx -+-⎰=______．18．()1||214x ex dx -+-=⎰__________________19．二项式33()a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．已知函数1ln(1)()x f x x++=（1）求函数的定义域；（2）判定函数()f x 在(1,0)-的单调性，并证明你的结论； （3）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值. 22．计算下列定积分. （1）1211e dx x +-⎰； （2）342x dx -+⎰.23．如图：求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2， y ＝e －1所围成的平面图形面积.24．已知函数1()ln 2f x x x =-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间． 25．已知函数()22()x f x e x x R =-+∈． （1）求()f x 的最小值；（2）求证：x ＞0时，221x e x x >-+． 26．计算下列各式的值． （1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）2132d x x x +-⎰．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．B解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.4．A解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.5．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.6．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
(完整版)2-4已知单调性求参数取值范围
【知识点4】已知单调性求参数取值范围1•思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题•⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题(如在给定区间上恒为正或负以及根的分布等)，往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解例1：已知函数f(x) 3ax42(3a 1)x22(3a 1)x24x1(I )当a 时，求f (x)的极值；6(ll )若f (x)在1,1上是增函数，求a的取值范围3 2例2：已知函数f (x) x ax x 1(a R)(I )讨论函数f (x)的单调区间；3 1(ll)设函数f(x)在区间(—，-)内是减函数，求a的取值范围2 3例3：已知函数f (x) (2ax x2)e ax，其中a为常数，且a 0.(l )若a 1,求函数f (x)的极值点；(ll )若f (x)在区间C 2,2)内单调递增，求a的取值范围•3 2例4：已知函数f(x) ax bx (x R)的图像过点P( 1,2)，且在点P处的切线恰好与直线x 3y 0垂直•(I )求函数f (x)的解析式；(ll)若函数f (x)在区间m,m 1上单调递增，求实数m的取值范围•例5：已知函数f(x) x3(1 a)x2a(a 2)x b(a,b R).(I )若函数f (x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值; (II)若函数f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围•e x例6：设f (x) ，其中a为正实数1 ax4(I)当a 时，求f (x)的极值点；3(n)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围xe例7：设f(x)—，其中a为正实数•2「3(I )当a —时，求f (x)的极值点；4(n )若f (x)为R上的单调函数，求a的取值范围1 3 12 例& 设f(x) x3 x22ax3 22(I)若f(x)在(-,)上存在单调递增区间，求3 a的取值范围.(II )当0 a 2时，f (x)在［1,4］的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值.例9：已知a,b是实数，函数f (x) x3ax,g(x) x2bx, (x)和g (x)是f (x), g(x) 的导函数，若 f (x)g(x) 0在区间I上恒成立，则称 f (x)和g(x)在区间I上单调性一3(I)设a 0,若函数f (x)和g(x)在区间［1,)上单调性一致，求实数b 的取值范围; b ，若函数f (x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致,求a b 的最大值. 1例10 :已知函数f X -x 3 x 2 ax b 的图像在点P(0,f 0 )处的切线方程为 y 3x 2(i )求实数a,b 的值；(n )设g(x) f x — 是［21,］上的增函数。
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【知识点4】已知单调性求参数取值范围
1. 思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区
间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题.
⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可
结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解.
⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题（如在给定区间上恒为正或负
以及根的分布等），往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解.
例1：已知函数422()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++
（I ）当16
a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围
例2：已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈
（I ）讨论函数()f x 的单调区间；
（II ）设函数()f x 在区间31(,)23
--内是减函数，求a 的取值范围.
例3：已知函数2()(2)ax f x ax x e =-，其中a 为常数，且0a ≥.
（I ）若1a =，求函数()f x 的极值点；
（II ）若()f x 在区间内单调递增，求a 的取值范围.
例4：已知函数32()f x ax bx =+()x R ∈的图像过点(1,2)P -，且在点P 处的切线恰好与直线30x y -=垂直.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；
（II ）若函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增，求实数m 的取值范围.
例5：已知函数32
()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈.
(Ⅰ)若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；
（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围.
例6：设()1x
e f x ax
=+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43
=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.
例7：设()2
x
e f x =，其中a 为正实数. (Ⅰ)当34
a =时，求()f x 的极值点； (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.
例8：设3211()232
f x x x ax =-++ (I)若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．
（II ）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163
-
，求()f x 在该区间上的最大值．
例9：已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致
(I)设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （II ）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求a b -的最大值.
例10：已知函数()3213
f x x x ax b =-++的图像在点()0,0P f （）处的切线方程为32y x =-
(Ⅰ)求实数,a b 的值；
(Ⅱ)设()1
m g x f x x =+-（）是[21,]+∞上的增函数。
（i ）求实数m 的最大值；
(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.
例11：设函数()()32
6322f x x a x ax =+++． (I)若()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且121x x =，求实数a 的值；
（II ）是否存在实数a ，使得()f x 是(),-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
例12：设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =
+++f ，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1,4.
（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。
例13：已知函数()(1)ln 15,a f x x a x a x
=++-+其中a<0,且a≠-1. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）设函数()()()33223646,1,1x x ax ax a a e x g x e f x x ⎧-++--≤⎪=⎨⋅>⎪⎩
（e 是自然数的底数）。
是否存在a ，使()g x 在[],a a -上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
例14：已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++
（I ）当16
a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.
例15： 已知函数()2()x
f x ax bx c e ＝＋＋在[]0,1上单调递减且满足()()0110.f f ＝，＝ (I)求a 的取值范围；
(II)设()()()g x f x f x '＝－，求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值．
例16：已知函数2()ln (0)f x x ax x a =-->
(I)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程； (II)若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.
例17：已知函数).0(32ln )(≠+-=a ax x a x f
(I)设1a =-，求函数)(x f 的极值；
(II)在(I)的条件下，若函数])(3
1)(23m x f x x x g +'+=(其中)(x f '为)(x f 的导 数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．。