图论及其应用 第一章答案

)2214(题后两个算法不作要求题，除第图的基本概念<1.>若G 是简单图，证明：()()2V G E G ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。

证明：()()1()()()1v Gd v V G d v V G V G ∈≤-∴≤-∑（当且仅当G 是完全图时取等号） 又11()()()()122v G E G d v V G V G ∈=≤-∑ ()()2V G E G ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭。

<2.>设G 是(,)p q 简单图，且12p q -⎛⎫>⎪⎝⎭。

求证G 为连通图。

证明：反证法，假设G 为非连通图。

设G 有两个连通分支1G 和2G ，且112212()1,()1,V G p V G p p p p =≥=≥+= 则1212()()22p p E G E G q ⎛⎫⎛⎫+=≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而1211221(1)(1)(1)(2)222222p p p p p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221212121222()2()222p p p p p p p p p p +-+-+-+++-==12(1)(1)0p p =--≤（因为121,1p p ≥≥），矛盾。

<3.>超图H 是有序二元组((),())V H E H ，其中()V H 是顶点非空有限集合，()E H 是()V H 的非空子集簇，且()()i i E E H E V H ∈=。

其中，()E H 中的元素i E 称为超图的边，没有相同边的超图称为简单超图。

证明：若H 是简单超图，则21υε≤-，其中,υε分别是H 的顶点数和边数。

证明：()V H υ=，有一条边的子集个数为1υ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有i 条边的子集个数为,1,,.i n i υ⎛⎫= ⎪⎝⎭又02,211i i υυυυυυυ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 。

<4.>若G 是二部图，则2()()4V G E G ≤。

证明：设G 为12,V V 且12,V m V n ==，则有22,()()()()44m n V G m n E G E k mn +≤=≤=。

<5.>m —部图：其顶点集合能划分成m 个子集合，且没有一条边其两端点都在同一子集合中的图；完全m —部图：不在同一子集中的每对顶点均存在边相连的m —部简单图，记为12,,,m n n n K 。

（1）完全m —部图12,,,m n n n K 有多少个顶点和多少条边？ （2）给出1,2,32,2,21,2,2,3,,K K K 的图形表示。

解：（1）顶点数是1mi i n =∑，边数是1()2miji i jn n =≠∑∑<6.>k —方体图是其顶点数为0与1的有序k 元组，并且两个顶点相邻当且仅当其一个坐标不相同。

证明：k —方体图是有2k个顶点，12k k -⋅条边的二部图。

例如，证明：（1）对于12(,,,)k a a a ，其中每个i a 都可取0或1，故共有2k个顶点。

（2） 两个顶点相邻当且仅当其一个坐标不相同∴对于某一点12(,,,)k a a a ，固定2,,k a a ，则跟其相邻的点为12(1,,,)k a a a - 或12(1,,,)k a a a + 其中之一。

同理改变其余的(2,,)i a i k = 项，跟其相邻的点都只有一个，共k 种情况。

又知共2k个顶点，固由顶点和边的关系知有等式22()kk G ε⋅=成立。

进而求得1()2k G k ε-=⋅。

（3）由图知顶点坐标为(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1,),(0,0,1)，将其分成两组：(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)和(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1,),(0,0,1)，前一组分量之和为偶数，后一组分量之和为奇数；即可记111(,,)kk i i V a a a =⎧=⎨⎩∑ 为奇数⎫⎬⎭，211(,,)kk i i V a a a =⎧=⎨⎩∑ 为偶数⎫⎬⎭，并且12V V ⋂=∅，这里显然可得12(,,)G V V E =是二部图。

<7.>已知n 阶简单图G 有m 条边，各顶点得度数均为3。

若36m n =-，证明G 在同构意义下唯一，并求,m n 。

证明：36m n =- ，且由各顶点得度数均为3知：32n m =。

∴联立可解得：4,6n m ==。

则G 为4K （因为426C =），在同构的意义下唯一。

<8.>无向图G 有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的度数均为2，求G 的阶数n 。

解：根据顶点度的关系有等式：123(2)2212n ⨯+-⨯=⨯，则15n =。

<9.>设连通图G 至少有两个顶点，其边数小于顶点数，则此图至少有一个悬挂点。

证明：反证法，设图G 没有悬挂点（即度为1的点），则,()1v G d v ∀∈>。

又()2V G ≥，且已知()()E G V G ε=<。

则2()()2()2v GV G d v E G ε∈≤==∑，从而()V G ε≤，与()()V G E G >矛盾。

<10.>若简单图G 中恰有两个奇点，则这两个奇点至少有一条通路。

证明：反证法，设这两个奇点为12,v v ，并且它们之间没有通路，则可得12,v v 分别在两个连通分支12,G G 上。

即1G 中只有1v 一个奇点，2G 中只有2v 一个奇点，与握手定理矛盾。

<11.>证明下列各题：（1）若2δ≥，则G 含有圈（2）若ευ≥，则G 含有圈，其中,ευ分别为图G 的边数和顶点数。

证明：（1）反证法：假设不存在圈，设{}12(),,,n V G v v v = ， 由于没有圈，不妨设从1v 出发的最长路为12,,,k v v v ，由于()2k d v δ≥≥，所以存在(,1)m v m k k ≠-使得m v 与k v 相邻：若{}1,2,,2m k ∈- ，则有路1,,,,m m k m v v v v + ，显然它是一个圈，矛盾； 若1m k ≥+，则1,,,k m v v v 比12,,,k v v v 长，矛盾。

（2）记顶点的度数和为D ，则22D ευ=≥：去掉度数为0的点，仍有'02D υ≥（'υ为去掉度数为0的点后包含的顶点个数）， 若存在度数为1的顶点i v ，去掉i v ，则有''02(1)222D υυ-=-≤-，记为112D υ≤，重复上述步骤可得：2k k D υ≥。

由于当只剩两个顶点时，简单图的度数和至多为2，不满足2D υ≥，所以上述步骤在只剩下两个顶点之前就已终止，此时，2δ≥，有（1）知余下点中存在圈。

<12.>对n 阶简单图G ，若(1)(2)()12n n G p ε--=++，则()1G p δ≥+。

证明：反证法，设()G p δ≤，则u G ∃∈使得()()d u G δ=， 那么u 最多与12,,,p u u u 个点相连，即最多有p 条边； 其余1n -个点可以任意两两相连构成完全图，即有21n C -条边21()n G p C ε-∴≤+，与已知矛盾。

<13.>在平面上有n 个点{}12,,,n S v v v = ，其中任两点之间的距离至少是1。

证明：在这n 个点中，距离为1的点对数不超过3n 。

证明：两点相邻当且仅当两点间的距离为1，将i v 放到单位圆的圆心上，则与i v 相邻的点最多有6个，即()6i d v ≤，则12()()6,()3.nii G d v n G n εε==≤≤∑<15.>证明：若G 不连通，则G 是连通的。

证明：设不连通的无向图{},G V E =仅有两个连通分支，并且这两个连通分支的顶点集分别是{}{}112212,,,,,,,r s V u u u V v v v == 。

（1）设12,i j u V v V ∈∈，显然边{},i j u v ()E G ∉，从而边{},()i j u v E G ∈；（2）设1,i j u u V ∈或2,i j v v V ∈时，对于2k v V ∀∈有边{}{},(),,()i k j k u v E G u v E G ∉∉，从而边{}{},(),,()i k j k u v E G u v E G ∈∈，尽管有{},()i j u u E G ∉，但,i j u u 可通过无向路,,i k j u v u 相连通。

<16.>设G 为n 阶简单图，2n >，且n 为奇数。

G 和G 的补图G 中奇点个数是否一定相等？试证明你的结论。

证明：一定相等。

对于有奇数个顶点的n 阶无向完全图，每个顶点的度数1n -为偶数：若G 含m 个奇点，则对应补图G 在这m 个点每个点的度数必为（偶—奇）奇数；对于G 中的偶点，在其补图G 中，这些点的度数仍为（偶—偶）偶数。

故综上可知，奇点和偶点在G 和G 中完全相同。

<17.>下列非负整数序列哪些是图的度序列？那些是图序列（简单图的度序列）？(1)(1,1,1,2,3),(2)(0,1,1,2,3,3),(3)(3,3,3,3),(4)(2,3,3,4,4,5)(5)(2,3,4,4,5),(6)(2,2,2,2,2),(7)(2,3,3,4,5,6),(8)(1,3,3,4,5,6,6)解：由讲义中定理“非负整数序列12(,,,)p d d d 是某个图的度序列当且仅当1pii d=∑是偶数”知(1)(2)(3)(5)(6)(8)是度序列。

下面判断图序列：根据讲义中定理“设12(,,,)n d d d d = 为非负整数的不增序列，则d 是图序列当且仅当11'2312(1,1,,1,,,)d d n d d d d d d ++=--- 为图序列”知(1)(2)(3)(6)是图序列。

下面以(8)为例进行图序列判断的具体操作： a.进行逆序排列：(6,6,5,4,3,3,1)；b.根据定理，去掉度数最大的点后再将原序列第12,,1d + 项进行减1：(0,5,4,3,2,2,0)；c.再进行排序：(5,4,3,2,2,0,0)；d.同b 步操作得序列：(0,3,2,1,1,1,0)-；e.出现了负数项，则可知这并非是图序列；如要是图序列最后可变为(0,0,,0) 。

（最后任何简单图的度序列有如下规律：因为简单图无环无重边，所以没去掉一个顶点，除去自身的度数变为零，还要有“这个点的度数”个顶点的度数减1） <18.>若G 是直径为2的(,)p q 简单图，且2p ∆=-，求证：24q p ≥-。