小专题10 利用相似三角形解决实际问题的基本模型
相似三角形的常见模型
初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【基本模型】①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，//DEBC ，则ADE ABC △△∽，AD AE DEAB AC BC．②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ，图2结论：~ADE ACB ；③模型拓展2： 如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC CDAC AB BC．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例1】如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走2米到达B 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于_________．【变式1-1】有一块直角三角形木板，∠B ＝90°，AB ＝1.5m ，BC ＝2m ，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式1-2】（2022•衢州二模）已知菱形ABCD ，E 是BC 边上一点，连接AE 交BD 于点F （1）如图1，当E 是BC 中点时，求证：AF ＝2EF ；（2）如图2，连接CF ，若AB ＝5，BD ＝8，当△CEF 为直角三角形时，求BE 的长； （3）如图3，当∠ABC ＝90°时，过点C 作CG ⊥AE 交AE 的延长线于点G ，连接DG ，若BE ＝BF ，求tan ∠BDG 的值．初中数学 ︵九年级 ︶培优篇 ③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB∽△CJD ⇔A B JA C D JC【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC 、BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式2-1】如图，在△ABC 中，BC ＝6，AEA F EBFC，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP ＋BP 的值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24【变式2-2】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD 于点F ，当AD =CD 时，求CE 的长．【变式2-3】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD的中点．求AN:NC的值．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BEEG的值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【变式3-1】（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例4】如图，在△ABC 中，45ABC ，AB A D A E ，D A E 90 ，C E，则CD 的长为______．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-1】矩形ABCD 中，AD ＝9，AB ＝12，点E 在对角线BD 上（不与B 、D 重合），EF ⊥AE 交CD 于F 点，连接AF 交BD 于G 点． （1）如图1，当G 为DE 中点时． ①求证：FD ＝FE ； ②求BE 的长．（2）如图2，若E 为BD 上任意点，求证：AG 2＝BG •GE ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-2】如图，ABC 中，,,AB AC AB AC 点D E 、分别是BC AC 、的中点，AF BE ⊥与点F ．（1）求证：2AE FE BE ；（2）求A F C 的大小；（3）若DF=1，求△ABF 的面积．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇结论：AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，GF AHBC AM【例5】如图1，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，正方形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上． （1）求正方形DEFG 的边长；（2）如图2，在BC 边上放两个小正方形DEFG 、FGMN ，则DE= ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式5-1】有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120cm ，高AD ＝80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示． （1）求矩形纸片较长边EH 的长；（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇 ②拓展：（1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【例6】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是（ ） A.15B ．215C ．17D ．217初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式6-1】如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，DE ⊥BC ，垂足分别为D 、E 两点，则图中与△ABC 相似的三角形有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式6-2】如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且AD AC ＝ACAB． （1）求证 △ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．【变式6-3】ABC 中，90ABC ，BD AC ，点E 为B D 的中点，连接A E 并延长交B C 于点F ，且有AF CF ，过F 点作FH AC 于点H ． （1）求证：AD E CD B ∽； （2）求证：=2A E EF ； （3）若FHB C 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇②如图所示，BDE 和ABC 则ABD CBE ∽△△，且相似比为总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例7】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ） A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【变式7-1】如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，相似比是：2，连接EB ，GD ．（1）求证：EB ＝GD ；（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝2，求GD 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式7-2】如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于O ，Q 为线段DB 上的一点，90MQN ，点M 、N 分别在直线BC 、DC 上．（1）如图1，当Q 为线段OD 的中点时，求证：1132DN BM BC ；（2）如图2，当Q 为线段OB 的中点，点N 在CD 的延长线上时，则线段DN 、BM 、BC 的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN ，交AD 、BD 于点E 、F ，若:3:1M B M C ，N Q ，求EF 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 补充：其他常见的一线三等角图形【例8】【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B D PC ．若4PD ，8P C ，6BC ，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，8AC BC ，12A B ，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-1】如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠AEB 43，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当A P D △是直角三角形时，PD 的值为（ ）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-2】（2022秋•温州校级月考） 【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ． （1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF ，9C E ，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC ，45HD HF ，求DEEC的值（用含k 的代数式表示）．。
中考数学相似三角形中的重要模型手拉手模型
相似三角形中的重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。
而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=α，A DA E kA BA C==； 结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；E CkB D=.2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，90A O BC OD ∠=∠=︒，O C O D kO AO B==（即△COD ∽△AOB ）；结论：△AOC ∽△BOD ；B DkA C=，AC ⊥BD ，12A B C DS A B C D=⨯.3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点； 结论：△BME ∽△CMF ；B EC F条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形； 结论：△ABD ∽△ACE.例1．（2022·山西·寿阳县九年级期末）问题情境：如图1所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，在图1中将ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM =12BD ，EN =12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB =AC ，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是_________． ②在图3中，猜想∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB ，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN 与∠BAC的数量关系？AM 与AN 的数量关系？直接写出你的猜想．例2．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．例3．（2022·山东·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．例4．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．例5．（2022•长垣市一模）在△AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若α＝60°，则∠EBA＝，AD与EB的数量关系是；（2）类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝，请直接写出线段EF的长度．例6.（2022·成都市·九年级课时练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E 、A 、D 在同一条直线上），发现B ED G=且B ED G⊥．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形A E F G 绕点A 按逆时针方向旋转（如图1），还能得到B E D G=吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形A E F G 和菱形A B C D ，将菱形A E F G 绕点A 按顺时针方向旋转（如图2），试问当E A G ∠与B A D ∠的大小满足怎样的关系时，B ED G=；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形A E F G 和矩形A B C D ，且23AE AB AGAD==，2A Ea=，2A Bb=（如图3），连接D E ，B G ．试求22D E B G+的值（用a ，b 表示）．课后专项训练1.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：3C．√5：2D．2：√32.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④3、如图，正方形A B C D的边长为8，线段C E绕着点C逆时针方向旋转，且3C E=，连接B E，以B E为边作正方形B E F G，M为A B边的中点，当线段F M的长最小时，ta n E C B∠=______．4．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．5．（2023·浙江·九年级课时练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：P A＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP D到CP的距离．6．（2022·重庆·九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边A B C中，点M 是边B C 上任意一点（不含端点B 、C ），连接A M ，以A M 为边作等边A M N，连接C N ，则A B C ∠与A C N ∠的数量关系是______． (2)类比探究：如图2，在等边A B C中，点M 是B C 延长线上任意一点（不含端点C ），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸:如图3，在等腰A B C中，B AB C=，点M 是边B C 上任意一点（不含端点B 、C ），连接A M ，以A M 为边作等腰A M N，使顶角A M NA B C∠=∠．连按C N ．试探究A B C ∠与A C N ∠的数量关系，并说明理由．7．（2022·江苏·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为斜边BC 上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一条直线上时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，过点C 作CA ⊥BD 于A ．将△ACD 绕点A 顺时针旋转，点C 的对应点为点E ．设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当C ，D ，E 在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE 的长度．8．（2022·山东·九年级课时练习）如图，A B C和A D E是有公共顶点直角三角形，90B A C D A E ∠=∠=︒，点P 为射线B D ，C E 的交点．（1）如图1，若A B C和A D E是等腰直角三角形，求证：C PB D⊥；（2）如图2，若30A D EA B C ∠=∠=︒，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，4A B =，3A D =，若把A D E 绕点A 旋转，当90E A C ∠=︒时，请直接写出P B 的长度9．（2023·广东·深圳市九年级期中）（1）如图1，Rt △ABC 与Rt △ADE ，∠ADE ＝∠ABC ＝90°，12A BA DB CD E==，连接BD ，CE ．求证：5B DC E=．（2）如图2，四边形ABCD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且12A B A D=，连接BC ，BC 、AC 、CD 之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，并放大2倍，点B 对应点D ．点C 落点为点E ，连接DE ，请你根据以上思路直接写出BC ，AC ，CD 之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD ，E 为线段AD 上一点，以CE 为边，在其右侧作矩形CEFG ，且12A B C EB CE F==，AB＝5，连接BE，BF．求BE的最小值．510．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：的值为，直线CD与AP所成的较小角的度数为°；（1）如图1，当α＝60°时，C DA P的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出C DA P拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2BD的长．11．（2023·湖北·九年级专题练习）在A B C和A D E中，B A B C∠=∠=，点=，D A D E=，且A B C A D EαE在A B C的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且90∠+∠=︒．A C E AB Eα=︒时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的【观察猜想】（1）如图①，当60数量关系为__________．α=︒时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，【探究证明】（2）如图②，当90请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若B C=B D E的面积．12．（2023··广西一模）如图，A C B△和D C E均为等腰直角三角形，,．现将D C E绕点C旋转．∠=∠=︒==A CB DC E A C B CD CE C90,（1）如图1，若,,A D E三点共线，A D=B到直线C E的距离；（2）如图2，连接,A EB D，点F为线段B D的中点，连接C F，求证：A E C F⊥；（3）如图3，若点G在线段A B上，且8,==，在A C G内部有一点O，请直接写出A C A G22O C A G++的最小值．13．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG 的两边分别在正方形ABCD 的边AB 和AD 上，连接CF ．填空：①线段CF 与DG 的数量关系为 ；②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为 ．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ＝10，O 为AC 的中点．若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 的运动过程中，线段OE 长的最小值为 （直接写出结果）．14、某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边A B C 中，点P 是边B C 上任意一点，连接A P ，以A P 为边作等边A P Q，连接CQ ，BP 与CQ 的数量关系是________； （2）变式探究：如图2，在等腰A B C中，A BB C=，点P 是边B C 上任意一点，以A P 为腰作等腰A P Q，使A PP Q=，A P QA B C∠=∠，连接C Q ，判断A B C ∠和A C Q ∠的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形A D B C 中，点P 是边B C 上一点，以A P 为边作正方形A P E F ，Q 是正方形A P E F 的中心，连接C Q ．若正方形A P E F 的边长为5，2C Q =A DBC 的边长．15、如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求证△ACF ∽△ABE ； （3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．16、已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出B F的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是A E否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时D F的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）D C。
相似三角形模型分析大全(非常全面,经典)
相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．ACDEB相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DCB上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
初中数学相似三角形的基本模型
微专题 相似三角形的判定及基本模型 A X AX K ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩相似三角形的相关概念相似三角形的判定相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型(型)相似三角形基本模型(母子型)相似三角形基本模型（旋转型）相似三角形基本模型(字型（一线三等角）)相似三角形常用辅助线基础知识点相似三角形的判定重难点题型（作平行线） 重难点题型题型1 相似三角形的判定【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
1．（2020·陕西西安·高新一中初三一模）如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ， ∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF ∽△EBA ，∴图中共有相似三角形5对，故选：B ．2．（2020·湖南茶陵·初三期末）如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．乙和丁，23；丙中的三角形的三边分别是：2，3只有甲与丙中的三角形的三边成比例：2==C ． 3．（2020·河南罗山·初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是 A ．EFB △B ．DEFC ．CFBD ．EFB △和DEF【解析】根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF BE ⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE ，即可得到结果.∵矩形ABCD ∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90° ∵EF BE ⊥∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE ∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE ∴ABE ∽DEF 故选B.4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中） 如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，要使△AED △与ABC 相似，不能添加的条件是( )A ．DE ∥BCB ．AD•AC=AB•AEC ．AD ：AC=AE ：AB D ．AD ：AB=DE ：BC【解析】A 、当DE ∥BC ，则△AED ∽ACB ，所以A 选项错误；B 、当AD•AC=AB•AE ，即AD ：AB=AE ：AC ，而∠A 公共，则△AED ∽ACB ，所以B 选项错误； C 、当AD ：AC=AE ：AB ，而∠A 公共，则△AED ∽△ABC ，所以C 选项D 、AD ：AB=DE ：BC ，而它们的夹角∠ADE 和∠ABC 不确定相等，则不能判断△AED 与△ABC 相似，所以D 选项正确．故选D ．5．（2020·广西蒙山县二中初三月考）能判定ABC 与A B C '''相似的条件是（ ）A ．ABAC A B A C ='''' B ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠ C ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠ D ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠【解析】解：Ａ．AB AC A B A C =''''，Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠， Ｄ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠，均不能判断ABC 与A B C '''相似，故错误； Ｃ．AB BCA B A C =''''且B A '∠=∠，能判定ABC 与A B C '''相似，本选项正确故选：C ． 6．（2020·合肥市第四十六中学月考）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的AB 、AC 边上，增加下列哪些条件：①AED B ∠=∠；②AE DE AB BC=；③AD AEAC AB =，使ADE ∆与ACB ∆一定相似（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解析】①∵A A ∠=∠ ,AED B ∠=∠ADEACB ∴,故正确；②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以ADE ∆与ACB ∆不一定相似，故错误； ③∵A A ∠=∠，AD AEAC AB=ADE ACB ∴,故正确；所以正确的是：①③故选：A ．7．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 【解析】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．8．（2020·安徽初三月考）如图，在ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，则下列命题中，属于假命题的是（ ）A ．若ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽B ．若AD ABAE AC =，则ADE ABC △△∽ C ．若AD AECD BE =，则ADE ACB ∽ D ．若AD AB DE BC=，则ADE ABC △△∽ 【解析】解：A 、若ADE ABC =∠∠，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题；B 、若AD ABAE AC=，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； C 、若AD AECD BE =，则AD AE AC AB =，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； D 、若AD AB DE BC=，由于条件不够，不能证明ADE ABC △△∽，故D 是假命题；故选：D.9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【解析】依题意，画图如下：2AC AD AB =⋅，即AB ACAC AD=， 又A A ∠=∠，ABC ACD ~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， 故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．10．（2020·山西太原·初三期中）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 任作一直线l ，过点A 作AD l ⊥于点D ，过点B 作BE l ⊥于点E ．（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当ABC CBE ∆∆时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可)【解析】解：ACD CBE ∆∆，证明：AD l ⊥于点,D BE l ⊥于点E 90ADC CEB ︒∴∠=∠=90ACB ︒∠=90DAC DCA BCE DCA ︒∴∠+∠=∠+∠=DAC ECB ∴∠=∠.ACD CBE ∴∆∆∽()2BAC BCE ∠=∠,,AC BC ABC CBE CE BE ⎛⎫∠=∠= ⎪⎝⎭答案不唯一 ∵BE ⊥DE ∴∠BEC=90°=∠ACB ，再添加BAC BCE ∠=∠ 根据两角对应相等的两个三角形相似，得到ABC CBE ∆∆；∵∠BEC=90°=∠ACB ，再添加AC BC CE BE= 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到ABCCBE ∆∆题型2相似三角形基本模型（A 字型）【方法点拨】基本模型：A 字型（平行） 反A 字型（不平行）1．（2020·江苏宝应·）如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE ABAF AC =．（1）求证：AEFABC ∆∆；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FGBD CD=．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE ABAF AC=，∴△AEF ∽△ABC ； （2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ， ∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AGCD AD =，∴EG FG BD CD=．2.（2020•东明县模拟）如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3．（1）求CE 的长．（2）在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别是AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．小明认为DPBQ=PE QC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【解答】解：（1）由DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AD+BD=AE AE+EC，∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，∴CE ＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ=AP AQ，同理可得：EPCQ=AP AQ，∴DPBQ=EP CQ3.（2020•松江区一模）已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．【解答】证明：（1）∵DE ∥AB ，∴CD AC=CE CB，∵CD 2＝CF •CA ．∴CD AC=CF CD，∴CFCD=CE CB，∴EF ∥BD ；（2）∵EF ∥BD ，∴∠CEF ＝∠CBD ， ∵AC •CF ＝BC •CE ，∴AC BC=CE CF，且∠C ＝∠C ，∴△CEF ∽△CAB ，∴∠CEF ＝∠A ，∴∠DBE ＝∠A ，∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠DBA ，且∠DBE ＝∠A ， ∴△BAD ∽△DBE ，∴BA BD=BD DE∴BD 2＝BA •DE4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EFDF的值．【解析】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∴CD =．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∴BC =BD BC CD =-=． ∵//DE CA ，∴BDE BCA ∽∴23DE BD CA BC ==．∴4DE =． （2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM =．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DMAG AM=．∴DF AG =． ∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ===∴23EF DF =． 5．（2019·全国初三专题练习）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，8AB =，6AC =．若动点D 从点A 出发，沿射线AB 运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．（1）求出y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，BDE 的面积S 有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？【解析】（1）①如图，当D 点在线段AB 上时， ∴ADE ∽ABC ，∴AD AEAB AC=又2AD x =，8AB =，AE y =，6AC =，∴296x y =，∴32y x =． ②如图，当D 在AB 延长线上时，∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =，∴862x y =，∴32y x =． （2）①如图，当D 在线段AB 上时，()2223336626222DEB ABE ADE S S S x x x x x =-=-+=-+=--+△△△．∴当2x =时，6S =最大 ．∴当2x =时，S 有最小值，且最小值为6-．不符合题意舍去． ②如图，当D 在AB 延长线上时，()223362622DEB ADE ABE S S S x x x =-=-=--△△△． 综上所述：当2x =时，S 有最大值，且最大值为6．6.（2020•东莞市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC=DF CG．（1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若AD AC=37，求AF FG的值．【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ，∴∠ADF ＝∠C ， 又∵AD AC=DF CG，∴△ADF ∽△ACG ；（2）解：∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC=AF AG，∵AD AC=37，∴AFAG=37，∴AF FG=34．7．（2020·广东华南师大附中初三零模）如图,在ABC 中，45B ∠=︒，5BC =，高4=AD ， 矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．(1)求证：AEF ABC ∽； (2)设EF x =，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求出最大面积； (3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线AD 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．【解析】解：（1）∵四边形EFPQ 为矩形，∴EF ∥BC ，∴AEF ABC ∽；（2）∵AEF ABC ∽∴AH EF AD BC =，即445HD x -=，∴HD=4-45x， ∴S 矩形EFPQ =EF•FQ=EF•HD=x （4-45x ）=-45x 2+4x ， 该函数为开口向下的二次函数，故当x=52时有最大值，最大值为5，即当x为52时，矩形的面积有最大值5；（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF=52，FQ=2，①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB 、AC 分别交与点M 、N 、R 、S ，与AD 交于J 、L ，连接RS ，交AD 于K ，由题意可知LD=JK=t ，则AJ=AD -LD -JL=4-t -2=2-t ，又∵RS=52，∴R 、S 为AB 、AC 的中点，∴AK=12AD=2，ES=FR=JK=t ，又∵MN ∥RS ，∴AJ MN AK RS =，即2522t MN-=，∴MN=52-54t ， ∴EM+FN=EF -MN=52-（52-54t ）=54t ，∴S △EMS +S △FNR =12ES （EM+FN ）=12t•54t=258t ，∴S=S 矩形EFPQ -（S △EMS +S △FNR ）=5-258t ；②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB 、AC 、AD 分别交于点Q′、P′、D′，根据题意D′D=t ，则AD′=4-t ，∵PQ ∥BC ，∴Q D AD BC P A ='''，即445P Q t =''-，解得P′Q′=5-54t ， ∴S=S △AP′Q′=12P′Q′•AD′=12（4-t ）（5-54t ）=258t -5t+10； 综上可知S=()()22502855102485t t t t t ⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜．题型3相似三角形基本模型（X 字型）【方法点拨】基本模型：X 字型（平行） 反X 字型（不平行）1.（2020•黄浦区期中）如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ， ∵BA •BC ＝BD •BE ．即AB BC=BD BE，∴△ABD ∽△EBC ；（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ， ∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BEC ， ∴△AED ∽△ABD ，∴AD BD=DE AD，即AD 2＝BD •DE ．2.（2020•朔城区期末）如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求GEED的值【解答】解：∵AG ∥BD ，∴△AFG ∽△BFD ，∴AG BD=AF BF=12，∵BCCD =2，∴CD =13BD ，∴AG CD =32，∵AG ∥BD ，∴△AEG ∽△CED ，∴GEED=AG CD=32．3.（2020•花都区期末）如图：已知▱ABCD ，过点A 的直线交BC 的延长线于E ，交BD 、CD 于F 、G ． （1）若AB ＝3，BC ＝4，CE ＝2，求CG 的长；（2）证明：AF 2＝FG ×FE ．【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ， ∴△EGC ∽△EAB ，∴CG AB=EC EB，即CG 3=22+4，解得，CG ＝1；（2）证明：∴AB ∥CD ，∴△DFG ∽△BF A ，∴FG FA=DF FB，∴AD ∥CB ，∴△AFD ∽△EFB ，∴AF FE=DF FB，∴FG FA=AF FE，即AF 2＝FG ×FE ．4.（2020•滨江区期末）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．【解答】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．∴OB OC=AO DO，∵∠AOB ＝∠COD ，∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ． （2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∴AE DF=OE OF，BE CF=OE OF，∴AEDF=BE CF．∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．5．（2020·江苏如皋·初三二模）已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）连接CD ，交AB 于点M ．①若6AB =，求BM 的长；②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN+=．【解析】（1）∵ABD △是等边三角形 ∴AD AB BD ==，60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒ 在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒∴60ABC ∠=︒ ∵点E 是线段AB 的中点∴12CE BE AE AB ===∴BCE 是等边三角形 ∴60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒，BC CE =∴60ABD CEB ∠=∠=︒∴//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴//BC FD ∴四边形BCFD 为平行四边形；（2）①如图，连接CD ，交AB 于点M ∵//BC FD ∴BCM ADM ~∴BM BCAM AD= ∵12BC CE AB ==，AB AD =∴12BM BC AM AD == ∵6AB BM AM =+=∴123BM AB ==； ②如图，作MN AC ⊥，垂足为N∵90ACB ∠=︒，306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MN AC ⊥∴////BC MN DA ∴AMNABC ，C CMN DA ~∴MN AN BC AC =，MN CNDA CA = ∴1MN MN AN CN AN CN ACBC DA AC CA AC AC ++=+=== ∴111BC AD MN+=．6．（2020·苏州市吴中区光福中学初二期末）如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．（1）求证：△PCQ ∽△RDQ ；（2）求BP ：PQ ：QR 的值．【解析】解：（1）∵PC DR ∥，∴PCQ RDQ ∠=∠． 又∵PQC RQD ∠=∠．∴PCQ RDQ △∽△．（2）∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形， ∴BC AD CE ==，//AC DE ．∴PB PR =，12PC RE =． 又∵点R 是DE 中点，∴DR RE =．由（1）知PCQ RDQ △∽△，∴12PQ PC PC QR DR RE ===，∴2QR PQ =． 又∵3BP PR PQ QR PQ ==+=，∴::3:1:2BP PQ QR =．7．（2020·山东乐陵·初三期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在ABC ∆中，点O 在线段BC 上，30BAO ∠=︒，75OAC ∠=︒，AO =:2:1BO CO =，求AB 的长．经过数学小组成员讨论发现，过点 B 作//BD AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造ABD ∆就可以解决问题（如图2）请回答：____ADB ∠=︒，______AB =．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，AC AD ⊥，AO =75ABC ACB ∠=∠=︒，:2:1BO OD =．求DC 的长．【解析】解: (1)//BD AC ，75ADB OAC ∴∠=∠=︒.BOD COA ∠=∠BOD COA ∴∆∆2OD OBOA OC∴==又3AO =2OD AO ∴==AD AO OD ∴=+=30,75,BAD ADB ∠=︒∠=︒18075,ABD BAD ADB ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠AB AD ∴==75；(2)过点B 作//BE AD 交AC 于点E ，如图所示.AC AD ⊥，//BE AD 90DAC BEA ∴∠=∠=︒. AOD EOB ∠=∠AOD EOB ∴∆∆==OB OE BEOD OA DA∴ :2:1BO OD ==2OE BEOA DA∴=3AO =,EO ∴=AE =75ABC ACB ∠=∠=︒30,BAC AB AC ∴∠=︒=2AB BE ∴=在Rt AEB ∆中，222BE AE AB +=，即(()2222BE BE +=，解得：3BE =6,6AB AC AD ∴===32AC ∴=在Rt CAD ∆中，CD ===CD = 题型4相似三角形基本模型（AX 型）【方法点拨】A 字型及X 字型两者相结合，通过线段比进行转化.1．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．【解析】如图，延长BQ 交射线EF 于点M、分别是、的中点ABC ∆6BC =E F AB AC P EF BP CE D CBP ∠CE Q 13CQ CE =EP BP+=E F AB AC //EF BC ∴M CBM ∴∠=∠平分 由得 即故答案为：12．2.（2020•丛台区三模）如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE ． （1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若DF ＝2，求FC 的长度．【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AD AB=AE AC=13，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ； （2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC=AD AB=13，∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DF CF=DE CB，即2CF=13，∴FC ＝6．3.（2020•江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE=23，求FEEG的值．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ． ∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF=BE DA ．又∵BC ＝BE +CE ，CEBE =23，∴BE =35BC =35DA ，∴EF =35AF ，∴AE =3+53EF =83EF ．∵CE ∥AD ，△CEG ∽DAG ，∴GE GA=CE DA=22+3，∴GE =25GA ，BQ CBP ∠CBM PBM ∴∠=∠PBM B ∴∠=∠BP MP ∴=EP BP EP M P EM ∴+=+=13CQ CE =2EQ CQ ∴=//EF BC EMQ CBQ ∆~∆2EM EQ BC CQ ∴==22612EM BC ∴==⨯=12EPBP +=∴GE =25−2AE =23×83EF =169EF ，∴FE EG =916．4．（2020·广东高州·初三其他）如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）连接ME ，若CE BE ＝CDCE，AF ＝2，求ME 的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠DAF ＝∠DCE ， 又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ﹣∠EDF ＝∠CDF ﹣∠EDF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，在△ADF 和△CDE 中，ADF CDFAD CD DAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CDE ，∴CE ＝AF ．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，由（1）得：CE ＝AF ＝2，∴BE ＝BF ，设BE ＝BF ＝x ，∵CE BE ＝CDCE，AF ＝2，∴222x x +=，解得x1，∴BE ＝BF1，∵CE BE ＝CD CE ，且CE ＝AF ，∴CE BE ＝CD CE ＝CD AF， ∵∠CMD ＝∠AMF ，∠DCM ＝∠AMF ，∴△AMF ∽△CMD ，∴CD CMAF AM=， ∴CD CM CEAF AM BE==，且∠ACB ＝∠ACB,∴△ABC ～△MEC, ∴∠CAB ＝∠CME=∠ACB ，∴ME=CE=2．5．（2019·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．ABCD CD AB AD BC E AC BD O EO AB M CD N AM BM【解析】相等．理由如下：∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴．∴． ∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴． ∴．∴．∴．∴． 6.（2019•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．（1）求证：△AFG ∽△CMG ；（2）求证：GF GM=EF EM．【解答】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠F AG ＝∠MCG ，∵∠AGF ＝∠CGM ，∴△AFG ∽△CMG ； （2）证明：∵△AFG ∽△CMG ，∴GF GM=AF CM，∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△BEM ，∴AFBM=EF EM又∵CM ＝BM ，∴AFCM=EF EM，∴GFGM=EFEM．7.如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 交DB 于点F ，已知AD ＝6，BC ＝8，AE ＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长；（2）求FG 的长．【解答】解：（1）∵EG ∥AD ，∴△BAD ∽△BEF ，∴BE BA=EF AD，即BEBE+6=26，∴EB ＝3．（2）∵EG ∥∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC=AE AB，即EG 8=66+3，∴EG =163，∴FG ＝EG ﹣EF =103．CD AB EDN △EAM △△ENC EM B △EDC △EAB DN DE AM AE =CN CE BM BE =DE CE AE BE =DN CN AM BM =BM CNAM DN=CD AB OND △OMB △ONC △OMA OCD OAB DN OD BM OB =CN OC AM OA =OD OC OB OA =DN CNBM AM =AM CN BM DN =BM AMAM BM=22AM BM =AM BM=题型5相似三角形基本模型（母子型）【方法点拨】图1垂直母子型条件：,AC BC AB CD ⊥⊥，图1结论：ABC ACD CBD ∽∽； 图2斜交母子字型条件：C ABD ∠=∠，图2结论：ABC ABD ∽；1、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【解析】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠， ∴ADC CDB ∽，∴CD ADBD CD=，∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =． 2、如图，在ABC 中，AB AC =，点P 、D 分别是BC AC 、边上的点，且APD B ∠=∠． （1）求证：AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）若10,12AB BC ==，当//PD AB 时，求BP 的长．【解析】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠．∵APD B ∠=∠，∴APD B C ∠=∠=∠． ∵,APC BAP B APC APD DPC ∠=∠+∠∠=∠+∠， ∴BAP DPC ∠=∠，∴ABP PCD ∽，∴BP ABCD CP=，∴AB CD CP BP ⋅=⋅． ∵AB AC =，∴AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）如图，∵//PD AB ，∴APD BAP ∠=∠．∵APD C ∠=∠，∴BAP C ∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BAP BCA ∽，∴BA BPBC BA=． ∵10,12AB BC ==，∴101210BP =，∴253BP =．3.（2019•越城区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：√13D ．2：√13．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AC BC=CD BD=64=32∴BC AC=23，故选：B ．4．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD AB=A′D′A′B′，∴AD A′D′=AB A′B′，∵CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′，∴CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∴△ADC ∽△A ′D ′C ，∴∠A ＝∠A ′，∵AC A′C′=AB A′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．故答案为：CDC′D′=AC A′C′=ADA′D′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB=DE BC =AE AC，同理，A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′，∵AD AB=A′D′A′B′，∴DE BC=D′E′B′C′，∴DE D′E′=BC B′C′，同理，AE AC=A′E′A′C′，∴AC−AE AC =A′C′−A′E′A′C′，即ECAC=E′C′A′C′，∴EC E′C′=ACA′C′，∵CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′，∴CDC′D′=DED′E′=ECE′C′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∵DE ∥BC ，∴∠CED +∠ACB ＝90°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°，∴∠ACB ＝∠A ′B ′C ′， ∵AC A′C′=CB C′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．5.（2019•张家口模拟）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB=12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵AD AB=12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =√5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC ∴a 2＝CE •√5a ，4a 2＝AE •√5a ，∴CE =√5a5，AE =4√5a5，∴CE AE =14， ∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CEAE）2=116，故选：A ． 6.（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP ，由AB=AC 即可得到AC•CD=CP•BP ；（2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．解：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵∠APD=∠B ，∴∠APD=∠B=∠C ． ∵∠APC=∠BAP+∠B ，∠APC=∠APD+∠DPC ，∴∠BAP=∠DPC ， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP ABCD CP=，∴AB•CD=CP•BP ．∵AB=AC ，∴AC•CD=CP•BP ； （2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ． ∵∠B=∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BP BC BA =．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253． 7、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【解析】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ADC CDB ∽， ∴CD ADBD CD=，∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =．题型6相似三角形基本模型（旋转型（手拉手））【方法点拨】基本模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1.如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB 与DE 交于点O ，AB ＝4，AC ＝3，F 是DE 的中点，连接BD ，BF ，若点E 是射线CB 上的动点，下列结论：①△AOD ∽△FOB ，②△BOD ∽△EOA ，③∠FDB +∠FBE ＝90°，④BF =56AE ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④【解答】解：∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADO ＝∠OBE ， ∵∠AOD ＝∠BOE ，∴△AOD ∽△EOB ，∴OD OB=OA OE，∴OD OA=OB OE，∵∠BOD ＝∠AOE ，∴△BOD ∽△EOA ，故②正确，∵△AOD ∽△EOB ，△BOD ∽△EOA ，∴∠ADO ＝∠EBO ，∠AEO ＝∠DBO ， ∵∠ADO +∠AEO ＝90°，∴∠DBE ＝∠DBO +∠EBO ＝90°，∵DF ＝EF ，∴FD ＝FB ＝FE ，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴∠FDB +∠FBE ＝∠FBD +∠FBE ＝90°，故③正确， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴BC =√32+42=5，∵△ABC ∽△ADE ，∴DE AE=BC AC=53，∵BF =12DE ，∴2BF AE=53，∴BF =56AE ，故④正确，∵∠ADO ＝∠OBE ，∴∠ADO ≠∠OBF ，∴无法判断△AOD ∽△FOB ，故①错误．故选：D ．2.（2019•福田区校级期末）如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ）A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【解答】解：∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，AC AB=AE AD，∵∠BAC +∠BAE ＝∠DAE +∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD ， ∵AC AB=AE AD，∴△ACE ∽△ABD ，∴BD CE=AB AC，∵AC ：BC ＝3：4，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5， ∴BD ：CE ＝5：3，故选：A ．3.（2020•昭平县期末）如图，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，AE ＝3，AD ＝4.5，DE ＝6，∠BAD ＝20°，则∠CAE 的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．40°D ．无法确定【解答】解：AC AE=23，AB AD=34.5=23，BC DE=46=23，∴AC AE=AB AD=BC DE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ， ∴∠CAE ＝∠BAD ＝20°，故选：B ．4．（2020·全国初三专题练习）在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．Rt ABC Rt DEF △30ABC EDF ∠=∠=︒90BAC DEC ∠=∠=︒BC DF C F 2AC =CED C 30BD AE 12EF AC =BDC AEC【解析】解：如图所示，过点D 作DM BC 于点M ，∵AC=2，，∴，又∵，， ∴在BAC 和DEC 中，，，由旋转性质知，，，∴BDC ∽AEC ，故， 在DMC 中，，，∴，∴， ∵BDC ∽AEC ，∴，∴，∴BDC 和AEC 的面积分别为2和． 5.（2020•亳州模拟）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【解答】证明：（1）∵AD ＝AF ，∴∠ADF ＝∠F ，∵AE •CE ＝DE •EF ，∴AE DE=EF CE，又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ，∴∠F ＝∠C ，∴∠ADF ＝∠C ， 又∵∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ． （2）∵AE •BD ＝EF •AF ，∴AE AF=EF BD，∵AD ＝AF ，∴AEAD=EF BD，∵∠AEF ＝∠EAD +∠ADE ，∠ADB ＝∠EAD +∠C ，∴∠AEF ＝∠ADB ， ∴△AEF ∽△ADB ，∴∠F ＝∠B ，∴∠C ＝∠B ，∴AB ＝AC ．⊥1EF=AC 2EC=1ABC=30∠︒EDC=30∠︒Rt △Rt △BC=2AC=4DC=2EC=2BCD ACE 30∠=∠=︒BC CD ==2AC EF BD BC==2AE ACRt △BCD=30∠︒DC=2DM=1BDC BC DM 41222S ⋅⨯===△2AEC BDC1124SS⎛⎫== ⎪⎝⎭AEC 11242S ⨯==△127．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ． （1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；【解析】（1）连接BF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵线段CE 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EC ＝EF ，∠CEF ＝60°，∴△EFC 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，EC ＝CF ，∠ACB ＝∠ECF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCF ， ∴△ACE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ，∴＝1． （2）不成立，结论：＝．证明：连接BF ， ∵AB ＝AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠BAC ＝∠CEF ＝90°， ∴△ABC 和△CEF 为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，BFAEBFAEAEBF 2∴＝，∴△ACE ∽△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝α，∴＝题型7相似基本模型（K 字型（一线三等角））【方法点拨】基本模型：如图1，∠B =∠C =∠EDF 推出△BDE ∽△CFD （一线三等角） 如图2，∠B =∠C =∠ADE 推出△ABD ∽△DC E （一线三等角）如图3，特别地，当D 时BC 中点时：△BDE ∽△DFE ∽△CFD 推出ED 平分∠BEF ，FD 平分∠EFC. 1．（2020·广西平桂·期末）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，点P 为BC 边上一动点，若AP ⊥DP ，则BP 的长为_____．【解析】设BP=x ，则PC=3-x ，∵AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C ， ∵AP ⊥DP ，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB ，∴△CDP ∽△BPA ，∴， ∵AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，∴，解得：x 1=1，x 2=2， ∴BP 的长为1或2，故答案为：1或22．（2020·湖北保康·初三其他）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos ∠α＝，下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或；④0＜CE ≤6.4．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上）AC BC CE CF AE BF AC BC AB PBPC CD=132xx =-45258【解析】解：①∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵∠ADE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠C ，∴△ADE ∽△ACD ，故①正确； ②作AG ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ＝10，∠ADE ＝∠B ＝α，cosα＝，∴BG ＝ABcosB ，∴BC ＝2BG ＝2ABcosB ＝2×10×＝16， ∵BD ＝6，∴DC ＝10，∴AB ＝DC ，在△ABD 与△DCE 中，∴△ABD ≌△DCE （ASA ），故②正确；③当∠AED ＝90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC ＝∠AED ， ∵∠AED ＝90°，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴∠ADE ＝∠B ＝α且cosα＝，AB ＝10，BD ＝8， 当∠CDE ＝90°时，易△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE ＝90°，∴∠BAD ＝90°， ∵∠B ＝α且cosα＝，AB ＝10，∴cosB ＝＝，∴BD ＝，故③错误； ④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC ＝16，设BD ＝y ，CE ＝x ，∴，∴， 整理得：y 2−16y ＋64＝64−10x ，即（y−8）2＝64−10x ，∴0＜x≤6.4，故④正确；故答案为：①②④． 3．（2020·江苏宝应·）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ． （1）求证：ABEDEF ∆∆；（2）连结BF ，若ABE EBF ∆∆，试确定点E 的位置并说明理由．4545BAD CDEB C AB DC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝4545AB BD 45252AB BDDC CE=10y 16y x =-【解析】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，ABE DEFA D∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴△ABE∽△DEF ；（2）∵△ABE∽△DEF，∴AB BE DE EF=，∵△ABE∽△EBF，∴AB BEAE EF=，∴AB ABDE AE=，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．4．（2020·浙江上城·初三一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE 为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．【解析】解：（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE为正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，B CBDP CPEPD EP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△CPE，∴BD BPPC CE=，即8BD BPBP BD=-整理得，BD，﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值为4．5．（2020·全国初三专题练习）如图，//AB CD ，CD BD ⊥且6AB =，4CD =，14BD =，在BD 上是否存在一点P ，使得以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似，若存在，求BP 的长，若不存在，请说明理由．【解析】解：存在．∵//AB CD ，CD BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，设BP x =，则14PD x =-． ①ABP PDC △△∽时，AB BPPD CD =，即6144x x =-，解得12x =，212x =， ∴当2BP =或12时，ABP PDC △△∽； ②当ABP CDP △△∽时，AB BPCD PD =，即6414x x=-，解得8.4x =， ∴当8.4BP =时，ABP CDP △△∽．综上所述，当2BP =或12或8.4时，以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似． 6．（2020·全国初三专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．【解析】（1）①证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠=∠=︒．∴135BAD ADB ∠+∠=︒． 又∵135ADB EDC ∠+∠=︒，∴BAD EDC ∠=∠．∴ABD DCE △△∽；②解：分三种情况：（i ）当AD AE =，45ADE AED ∠=∠=︒时，得到90DAE ∠=︒，点,D E 分别与,B C 重合，∴2AE AC ==．（ii ）当AD DE =时，在△ABD 和△DCE 中，B C ADB CED AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE △△≌，∴2AB CD ==， ∵=2BD CE ==，∴4AE AC CE =-=- （iii ）当AE DE =时，有45EAD ADE C ∠=∠=︒=∠， ∴90ADC AED ∠=∠=︒，AD=CD ，AE=CE=DE ，∴112DE AE AC ===． 综上所述，当ADE 是等腰三角形时，AE 的长为2，4-1． （2）解：存在．∵45ACB ∠=︒，∴CAD ADC 45∠+∠=︒．∵45ADE ∠=︒，∴45DAC DE A '∠+∠=︒．∴ADC DE A '∠=∠，∴ADC AE D '△△∽，∴AC ADDC E D='，当AD DE '=，2DC AC ==． （3）解：不存在．理由如下：如图，∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED ＝∠B ，则CE 的长为（ ）A ．152B ．223C ．365D ．649【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝∠B +∠BAE ，∠AED ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠BAE ，∴△BAE ∽△CED ，∴BA CE=BE CD，∵AB ＝AC ＝6，AD ＝DC ＝3，BE =52，∴6CE =523，∴CE =365，故选：C ．题型8 相似三角形常用辅助线（作平行线）【方法点拨】解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题.基本模型：1．（2020·湖北武汉·初三一模）如图，在中，，，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD ，AE 交于点F ．若，，则__________．【答案】2【解析】解：过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG ∥AE 交BC 于G 点， 在直角三角形ABC 中，，∴又，∴AD=，∴在等腰直角三角形AHD 中，AH=DH=2，∴CH=6－2=4， 在Rt △CHD 中，∵AE ∥DG ，∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，∴∠CDG=∠B ，又∠DCG=∠BCD ，∴△CDG ∽△CBD ，∴，∴ ， 即20=6CG ，∴CG= ，∴BG=BC －CG=6－=，又DG ∥AE ，∴△BDG ∽△BAE ，又，∴， 又BG=，∴BE=BG×=4，∴CE=6－4=2，故答案为：2．2．（2019·全国初三专题练习）如图，在中，是边上的中线，是上的一点，且Rt ABC 90ACB ∠=︒6AC BC ==45CFE ∠=︒2BD AD =CE =6AC BC ==2BD AD =CD CGCB CD=2CD CG CB =•103103832BD AD =23BD BG BA BE ==8332ABC △AD BC F AD，连结并延长交于点，则等于（______）．【解析】解：过点D 作GD ∥EC 交AB 于G ，∵AD 是BC 边上中线，，即BG=GE ， 又∵GD ∥EC ， 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE 、EB 、EG 之间的关系3．（2020·全国初三课时练习）已知：如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AB=4AE ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D ，求证：BC=2CD ．【解析】证明:（方法一）过点C 作CF ∥AB 交DE 于点F ，∴CDF ∆∽BDE ∆ ∴CF CDBE BD=∵点M 为AC 的中点，∴AM CM = ∵CFAB ∴BAC MCF ∠=∠又∵AME CMF ∠=∠ ∴AME ∆ ≌ CMF ∆ ∴AE CF = ∵4AB AE = ，BE AB AE =-，∴3BE AE = ∴13AE BE = :1:5AF FD =CF AB E :AEEB 1BG BDGE DC∴==15AE AF EG FD ∴==5EG AE ∴=::21:105EGAE EB EG ∴==。
相似三角形模型总结
相似三角形模型总结相似三角形是中学数学中常见的一个概念。
相似三角形有着非常重要的应用，尤其在建筑、地图、航空等领域中被广泛地运用。
在这篇文章中，我将对相似三角形的模型及其应用进行总结。
一、相似三角形的定义相似三角形是指形状相似而大小不同的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以推出相似三角形的判定定理：若两个三角形对应角度分别相等，则它们是相似的。
二、重心模型重心模型是一种抽象的几何模型，它是在研究固体对象的重心和转动惯量时得出的。
对于任意三角形 ABC，以其三条边的中点为顶点，连上互相垂直的直线，将它们相交于 G 点。
这里 G 点称为三角形 ABC 的重心，它与每个中点连成的线段相等。
同时，可以证明如果一个点在三角形内部且到三边距离的乘积等于其到三条中线距离的乘积，则该点一定是三角形的重心。
三、海龟图模型海龟图模型是一个很著名的相似三角形应用模型，它是由美国数学家T. N. Thiele 提出的。
在海龟图中，一个三角形符号代表前进一步，一个圆点符号则代表不动。
当这个图形以相似的规律继续扩展时，就能在图形中看到似乎随机且自相似的模式。
在实际操作中，我们可以将这个模型用于分形的制作和操作中，实现较好的效果。
四、印章模型印章模型是相似三角形的另一种应用模型。
在制作印章时，多会使用到相似三角形的概念。
根据相似三角形的定义，我们可以通过相似三角形来制造缩小复制的图案。
具体来说，我们可以通过将大三角形分割为单位面积相等的若干小三角形，然后根据相似的规律进行缩小，就可以得到与大三角形相似而更小的三角形。
五、三角剖分模型三角剖分模型是相似三角形的一种实际应用模型。
在三角剖分中，我们会把一个多边形分解为多个三角形，这些三角形可以保持相似性，这比将多边形分解成其它形状的图形更容易实现。
总结在本文中，我们总结了几种相似三角形的应用模型，这些模型不仅具有学术研究的意义，更能够应用于实际的生产和生活中。
模型构建专题：相似三角形中的基本模型(解析版)
模型构建专题：相似三角形中的基本模型1.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC的面积比为．【答案】1：4．【解析】【分析】先证明△ADE∽△ABC ，再根据相似三角形的性质求解.【详解】∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE=12BC ，DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC ，∴21()4ADE ABC S DE S BC ==V V ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．此处有视频，请去附件查看】2.如图，在△ABC 中，点E 、D 分别为AB 与AC 边上两个点，请添加一个条件：_____，使得△ADE ∽△ABC ．【答案】∠ADE ＝∠C(答案不唯一)【解析】【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．【详解】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B，答案不唯一.【点睛】这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性试题，答案不唯一．3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD AB =，M 为BC 上一点，AM 交DE 于N. (1)若AE ＝4，求EC 的长；(2)若M 为BC 的中点，S △ABC ＝36，求S △ADN 的值．【答案】（1）2（2）8【解析】试题分析：（1）首先根据DE ∥BC 得到△ADE 和△ABC 相似，求出AC 的长度，然后根据CE=AC －AE 求出长度；（2）根据△ABC 的面积求出△ABM 的面积，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ADN 的面积．试题解析：（1）∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC ∴23AE AD AC AB == ∵AE=4 ∴AC=6 ∴EC=AC －AE=6－4=2、∵△ABC 的面积为36 点M 为BC 的中点 ∴△ABM 的面积为：36÷2=18 ∵△ADN 和△ABM 的相似比为23∴:4:9ADN ABM S S ∆∆=∴=8考点： 相似三角形的判定与性质【此处有视频，请去附件查看】4.如图，在ABC V 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( )A. DF AEFC AC= B.AD ECAB AC=C. AD DEDB BC= D.DF EFBF FC=【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可. 【详解】A.∵DE BCP，∴DF DEFC BC=，AE DEAC BC=，∴DF AEFC AC=，故A正确；B. ∵DE BCP，∴AD AEAB AC=，故B不正确；C. ∵DE BCP，∴ AD DEAB BC=，故C不正确；D. ∵DE BCP，∴DF EFCF BF=，故D不正确；故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.5.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC·BC；③OE∶AC3∶6；④S△OCF＝2S△OEF.成立的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【详解】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°∵CE平分∠BCD交AB于点E∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等边三角形∴BE=BC=CE∵AB=2BC∴AE=BC=CE∴∠ACB=90°∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°∴AC=BC∵AO=OC，AE=BE∴OE=BC∴OE：AC=，∴OE：AC=：6；故③正确；∵AO=OC，AE=BE∴OE∥BC∴△OEF∽△BCF∴=∴S△OCF：S△OEF==∴S△OCF=2S△OEF；故④正确；故选D．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．6.如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________．【答案】4.5【解析】解：∵AB∥EF，∴，则，又EF∥CD，∴，则，∴，即，解得：AF=3，∴AD=AF+FD=3+1.5=4.5，即AD的长是4.5；故答案为4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出AF是解决问题的关键．7.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC 于点G.(1)若FD＝2，13EDBC，求线段DC的长；(2)求证：EF·GB＝BF·GE.【答案】（1）4（2）证明见解析【解析】【详解】试题分析:本题考查相似三角形的判定和性质,(1)由平行线得出△DEF ∽△CBF ,得出对应边成比例求出FC,即可得出DC 的长,(2)由平行线得出△DEF ∽△CBF ,△AEG ∽△CBG ,得出对应边成比例,,EF DE AE GE BF BC BC GB ==由已知条件得出AE =DE ,因此EF GE BF GB=,即可得出结论. (1)解：∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴FD 1=FC 3ED BC =，∴FC ＝3FD ＝6，∴DC ＝FC －FD ＝4. (2)证明：∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，△AEG ∽△CBG ，∴EF DE BF BC =，AE GE BC GB=.∵点E 是边AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴EF GE BF GB =，∴EF·GB ＝BF·GE. 8.如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE ∆∆∽的是（ ）A. AB AC AD AE =B. C AED ∠=∠C. B D ∠=∠D. AB BC AD DE= 【答案】D【解析】分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】∵∠1=∠2，∴∠DAE =∠BAC ．∵AB AC AD AE=，∠DAE =∠BAC ，∴△ABC ∽△ADE ，故A 正确； ∵∠C =∠AED ，∠DAE =∠BAC ，∴△ABC ∽△ADE ，故B 正确；∵∠B =∠D ，∠DAE =∠BAC ，∴△ABC ∽△ADE ，故C 正确；选项D 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故D 错误．故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．9.如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF 运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝__________．【答案】1或11 6【解析】首先由∠AEF＝∠B＝∠C,且∠AME＞∠C,可得AE≠AM,然后分别从AE=EM与AM=EM去分析,注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案,因为∠AEF＝∠B＝∠C,且∠AME＞∠C,所以∠AME＞∠C,所以AE≠AM,当AE=EM时,则△ABE≌△ECM, 所以CE=AB=5,所以BE=BC－EC=6－5=1, 当AM=EM时,则∠MAE＝∠EMA, 所以∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠C EM, 所以∠CAB=∠CEA, 又因为∠C＝∠C,所以CE AC AC CB =, 所以2256AC CE CB ==, 所以BE =2511666-=, 所以BE =1或11.6 10.如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，已知BC ＝2，AB ＝3，则BD ＝________．【答案】83【解析】本题考查相似三角形的判定与性质,因为∠BCD＝∠A,∠ABC＝∠CBD,所以△ABC∽△CBD,则,BD BC BC BA =即BD =()22228.33BC BA ==11.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为（ ）A. 15B. 10C. 152D. 5【答案】D【解析】 首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，因为△ABD 的面积为9，进而求出△ACD 的面积．解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3，∵△ABD 的面积为15，∴△ACD 的面积∴△ACD 的面积=5．故选D．“点睛”本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．)12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(【答案】C【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三对相似三角形．故选C．13.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F 处．若AD=3，BC=5，则EF的值是（）A. 15 B. 215 C. 17 D. 217【答案】A【解析】试题分析：先根据折叠的性质得EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC 于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH=2，所以EF=．解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故选A．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．14.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝34x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．【答案】28 5【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．【此处有视频，请去附件查看】15.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析:本题主要考查相似三角形的判定和性质,(1)由垂直可得∠BDF＝∠ADC,由三角形内角和等于180°得∠FBD ＝∠CAD ,由两角对应相等的两个三角形相似可判定△ACD ∽△BFD ,(2)根据△ACD ∽△BFD 可得:1,AC AD BF BD==即BF =AC =3. (1)证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC ＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC ，∴△ACD ∽△BFD.(2)解：∵AD ＝BD ，△ACD ∽△BFD ，∴＝＝1，∴BF ＝AC ＝3. 16.如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．【答案】7【解析】试题分析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC ．∴CD=BC －BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC ．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD ∽△DCE ．∴AB DC BD CE =，即96CE 23CE=⇒=． ∴AE AC CE 927=-=-=．17.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253. 【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP=，∴BP=253．“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．【此处有视频，请去附件查看】。
初中数学几何模型之相似三角形模型
数学模型-----相似三角形模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型． 一、模型类别二、相关结论的运用 （一）模型1：A 字型图1平行A 字型条件：//DE BC ，图1结论：~ADE ABC ； 图2斜交A 字型条件：C AED ∠=∠，图2结论：~ADE ABC ；典例精讲：如图，在Rt ABC 中，90,4cm,3cm C AC BC ∠=︒==．动点,M N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA CB 、向终点,A B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接,PM PN ，设移动时间为t （单位：秒，025t <<．）．（1）当t 为何值时，以,,A P M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】根据勾股定理求得5cm AB =．（1）根据模型1：平行A 字型的结论得出APM ABC ∽，和模型1：斜交A 字型模型的结论得出AMP ABC ∽两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值． （2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，构造平行线//PH AC ，根据模型1：平行A 字型的结论得出PBH ABC ∽，从而求得以t 表示的PH 的值；然后根据“ABCBPHSSS=-”列出S 与t 的关系式24321(0 2.5)525S t t ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值． 【详解】解：∵如图，在Rt ABC 中，90,4cm,3cm C AC BC ∠=︒==．∴根据勾股定理，得5cm AB ==．（1）以,,A P M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： ①当APM ABC ∽时，AM AP AC AB =，即45245t t--=，解得0t =（不合题意，舍去）．②当AMP ABC ∽时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解得32t =；综上所述，当32t =时，以A P M 、、为顶点三角形与ABC 相似．（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值． 如图，过点P 作PH BC ⊥于点H ．则//PH AC ， ∴PBH ABC ∽∴PH BPAC BA =， 即245PH t=． ∴85tPH =． ∴ABC BPN S S S =-△△()118343225t t =⨯⨯-⨯-⋅ ()24321=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭． ∵405>， ∴S 有最小值． 当32t =时，215S =最小值．答：当32t =时，四边形A P NC 的面积S 有最小值，其最小值是215． 【解题技法】作平行线构造A 字型相似，是解题中常用的一种作辅助线的方法实战演练：1. 如图，AD经过ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作//EG BC交AD 于点G，若12BC=，则线段GE的长为（）A. 6B. 4C. 5D. 3【答案】D【解析】【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到12AE GEAC CD==，从而求出GE.【详解】解：∵AD经过ABC的重心，∴点D是BC中点，∵BC=12，∴CD=BD=6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∵点E是AC中点，∴12AE GEAC CD==，即162GE=，解得：GE=3，故选D.【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键.2. 如图，在ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，则下列结论正确的是（ ）A.AD DEDB BC= B.BF EFBC AD= C.EF BFAB BC= D.AE DEEC FC= 【答案】D 【解析】【分析】由两直线平行，得到两对同位角相等，证明△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB ；由等代换可证明△ADE ～△EFC ，最后由相似三角形的性质判断四个答案的正误． 【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，DE AD ADBC AB DB∴=≠ ∴答案A 错舍去； 又∵EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A ，∠CFE=∠B ， ∴△CEF ∽△CAB ，EF CE FC BFAB AC BC BC∴==≠ ∴答案C 错舍去； ∵//DE BC ，//EF AB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF∵∠ADE=∠B ，∠CFE=∠B ， ∴∠ADE=∠CFE ， 又∵∠AED=∠C ， ∴△ADE ～△EFC ，EF BF BFAD FC D B E FC C∴==≠ ∴答案B 舍去 ∵△ADE ～△EFC ，AE DEEC FC∴= ∴答案D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，重点掌握三角形相似的判定与性质，易错点学生不会找两个相似三角形对应边的比相等．3. 如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A.ADANAN AEB.BD MNMN CEC.DN NEBM MCD.DN NEMC BM【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵//DE BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴,DN AN ANNE DN NEBMAM AM MC BM MC，故选C.【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.（二）模型2：8字型图1平行8字型条件：//AB CD ， 图1结论：AOB DOC ∽△△； 图2斜交8字型条件：A D ∠=∠，，图2结论：AOB DOC ∽△△；典例精讲：如图1，在矩形ABCO 中，8,6,,OA OC D E ==分别是,AB BC 上一点，2,3,AD CE OE ==与CD 相交于点F ．（1）求证：OE CD ⊥；（2）如图2，点G 是CD 的中点，延长OG 交BC 于H ，求CH 的长． 【思路点拨】（1）根据四边形ABCO 是矩形，可得8,6OA BC OC AB ====，根据模型1中的图1结论得出ADP OCP ∽，从而求出PA 和PO ，再根据模型2中的图1结论得出OPF ECF ∽，求出EF 和CF 的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE CD ⊥；（2）在Rt CBD △中，8,624CB BD AB AD ==-=-=，根据勾股定理可得CD =G 是CD 的中点，可得CG DG ==G 是CP 的三等分点，根据模型2中的图1结论得出OPG HCG ∽即可求出CH 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCO 是矩形， ∴8,6OA BC OC AB ====， 在Rt OCE 中，3CE =，∴OE ===∵//AB OC ，即//AD OC ，且2AD =， ∴ADP OCP ∽ ∴AD PAOC PO =， ∴268PA PA =+， ∴4PA =，∴12PO PA OA =+=， ∴在Rt OPC △中，6OC =，∴CP ===，∵//OA BC ，即//OP CE ， ∴OPF ECF ∽ ∴CE EF CFOP OF PF ==， ∴31124EF CF OF PF ===，∴15EF OE ==155CF CP ==∵22936955+=+=⎝⎭⎝⎭， ∴222EF CF CE +=， ∴CEF △是直角三角形， ∴90CFE ∠=︒， ∴OE CD ⊥；（2）在Rt CBD △中，8,624CB BD AB AD ==-=-=，根据勾股定理，得CD ===，∵点G 是CD 的中点，∴CGDG ==由（1）知：CP =，∴DP CP CD =-=∴点G 是CP 的三等分点， ∵//OA BC ，即//OP CH ， ∴APG HCG ∽ ∴CH CGOP GP=， ∴1122CH =， ∴6CH =． 答：CH 的长为6．【解题技法】利用A 字型和8字型混合模型得出三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例得出线段的长或比值，解决本题的关键实战演练：4. 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．（1）证明：AFG ∆∽CMG ∆ （2）求证：GF EFGM EM=； 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明AFG ∆∽CMG ∆；（2）由相似三角形的性质可知GF AF GM CM=，由AD∽BC 可知AF EFBM EM =，通过等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：AD ∥BCFAG MCG ∴∠=∠ AGF CGM ∠=∠ AFG ∴∆∽CMG ∆（2）证明：∵AFG ∆∽CMG ∆GF AFGM CM∴= ∽AD∽BC ， ∽AF EFBM EM= 又∵CM ＝BM ，AF EFCM EM∴=GF EFGM EM∴=【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果23CEBE=，求FEEG的值．【答案】916 FEEG=【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可证得△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，∴EF BE EG ECAF AD AG AD＝，＝，∵23 CEBE=，∴3255 BE CEAD AD＝，＝，∴3255FE EGAF AG==，，∴3283FE EGAE AE==，，∴916FEEG=．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．6. 如图， ,BD AC 相交于点P ，连结,,,,AB BC CD DA DAP CBP ∠=∠． (1)求证: ADP BCP ∽；(2)直接回答ADP △与BCP 是不是位似图形? (3)若8,4,3AB CD DP ===，求AP 的长．【答案】（1）详见解析；（2）不是；（3）6AP = 【解析】【分析】（1）根据已知条件可知DAP CBP ∠=∠，根据对顶角相等可知DPA CPB ∠=∠，由此可证明ADP BCP ∽；（2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）（3）由△ADP ∽△BCP ，可得AP BPDP CP=，而∠APB 与∠DPC 为对顶角，则可证△APB ∽△DPC ，从而得AP ABDP DC=，再根据8,4,3AB CD DP ===即可求得AP 的长．【详解】(1)证明:∵,DAP CBP DPA CPB ∠=∠∠=∠， ∴ADP BCP ∽；(2)点A 、D 、P 的对应点依次为点B 、C 、P ，对应点的连线不相交于一点，故ADP △与BCP 不是位似图形；(3)解:∵ADP BCP ∽ ∴=AP BP DP CP∵APB DPC ∠=∠，∴APB DPC ∽，AP ABDP DC∴= ∴8=43AP ∴6AP =．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义．熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．7. 在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AFBC ，交BE 的延长线于点F ，易得APPD的值为 ； （2）如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求APPD的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 【答案】（1）32；（2）23；（3）6【解析】【分析】（1）易证△AEF ≌△CEB ，则有AF=BC ．设CD=k ，则DB=2k ，AF=BC=3k ，由AF ∥BC 可得△APF ∽△DPB ，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（2）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据FP BP的值求出BFBP的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴32 PA AFPD BD==，故答案是：32；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k ，DB=DC+BC=3k ． ∵E 是AC 中点， ∴AE=CE ． ∵AF ∥DB ， ∴∠F=∠1．在△AEF 和△CEB 中，123F AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CEB ， ∴EF=BE ，AF=BC=2k ． ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP ， ∴2233PA FP AF k PD BP BD k ====； （3）当CD=2时，BC=4， ∵AC=6， ∴EC=AE=3， ∴EB=5=∴EF=BE=5，BF=10． ∵23FP BP =， 53BF BP ∴=， ∴BP=35BF=35×10=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．（三）模型3：k 字型图1一线三垂直条件：,,AB BD DE BD AC CE ⊥⊥⊥，图1结论：ABC CDE ∽△△； 图2一线三等角条件：B ACE D ∠=∠=∠，图2结论：ABC CDE ∽△△；典例精讲：如图，点P 是线段BD 上一个动点，90,6,4,B D AB CD BD a ∠=∠=︒===． （1）当90,14APC a ∠=︒=时，求BP 的长度；（2）若90APC ∠=︒时，点P 有两个符合要求即12,P P ，且122PP =，求a 的值； （3）若120APC ∠=︒时，点P 有且只有一个点符合要求，求a 的值．【思路点拨】（1）根据模型3：k 字型一线三垂直，证得ABP PDC △∽△，根据相似三角形的性质即可求得；（2）设BP x =，则PD a x =-，根据模型3：k 字型的一线三垂直证得ABP PDC △∽△，由相似三角形的性质得到2240x ax -+=，设方程的两个根为12,x x ，根据根与系数的关系可知1212,24x x a x x +=⋅=，根据题意即可得到()2121244x x x x =+-=，即可得到24244a -⨯=，解得即可；（3）作120AEP CFP ∠=∠=︒，解直角三角形求得33BE DF AE CF ====，根据模型3：k 字型的一线三等角证得EPA FCP ∽，由相似三角形的性质得到2320x a x ⎛--+= ⎝⎭，根据题意241320a ⎛∆=--⨯⨯= ⎝⎭，即可即可．【详解】解：（1）∵90,90B D APC ∠=∠=︒∠=︒， ∴90A APB CPD APB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴A CPD ∠=∠， ∴ABP PDC △∽△， ∴BP AB CD PD =，即6414BP BP=-， 解得2BP =或12；（2）设BP x =，则PD a x =-， 由（1）可知ABP PDC △∽△， ∴AB BP PD DC=，即64xa x =-， ∴2240x ax -+=，设方程的两个根为12,x x ，根据根与系数的关系可知1212,24x x a x x +=⋅=，∵122PP =， ∴122x x -=，∴()()2212121244x x x x x x -=+-=，∴24244a -⨯=， 解得10a =±（负数舍去）， ∴10a =；（3）作120AEP CFP ∠=∠=︒， ∴60AEB CFD ∠=∠=︒， ∵6,4AB CD ==，∴BE AB DF ====∴223AE BE CF DF ====∵120AEP CFP APC ∠=∠=∠=︒， ∴EAP CPF ∠=∠， ∴EPA FCP ∽， ∴AE EPPF FC=， 设EP x =，则3PF a x =--，=，∴2320x a x ⎛--+= ⎝⎭，∵0=，∴2413203a ⎛--⨯⨯= ⎝⎭， ∵0a >，∴3a =+【解题技法】通过运用模型3：k 字型中从特殊到一般的方法，证明出两组对应角相等，从而得出相似三角形，利用对应边成比例是解题的关键．实战演练：8. 如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP =；（3）当03x ≤≤时，24482525d x =+；当39x ≤≤时，33355d x =-+；（4）23t s =【解析】【分析】（1）根据当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，即可求出答案； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，证明△APQ ∽△ABC ，可得2APQ ABCS AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据S S 上下=45可得 24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23AP AB =，求出AB=5，即可解出MP ；（3）先讨论当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ ·sinC ，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，根据d=CP·sinC 即可得出答案； （4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小， ∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形， ∴PA min =tanC·2BC =34×4=3； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，S 上=S △APQ ， S 下=S 四边形BPQC ， ∵APQ B ∠=∠， ∴PQ ∥BC ， ∴△APQ ∽△ABC ，∴APAQPQAB AC BC ==， ∴2APQ ABCS AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴23APAB =， AE=2BC·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5， ∴2253APMP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2， ∴25APx PQAB BC +==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ， d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩； （4）AM=2<AQ=94， 移动的速度=936=14， ①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒， ②P 在BC 上时，K 与Q 重合时 CQ=CK=5-94=114， ∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B ∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-， 整理得y 2-8y=554-， （y-4）2=94， 解得y 1=52，y 2=112， 52÷14=10秒， 112÷14=22秒， ∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．9. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1 x 的图象上．若点B在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为_____．【答案】-4【解析】【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BD OD OB OC AC OA==＝2，然后用待定系数法求解即可．【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∴BD OD OB OC AC OA==，∵OB ＝2OA ，∴BD ＝2m ，OD ＝2n ，因为点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上， ∴mn ＝1，∵点B 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴B 点的坐标是(﹣2n ，2m)，∴k ＝﹣2n •2m ＝﹣4mn ＝﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B 的坐标(用含n 的式子表示)是解题的关键． 10. 如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】(1)理由见详解；（2）2BD =-1，理由见详解．【解析】【分析】∽1∽根据题目已知条件易得：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，问题得证．∽2∽由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE ，②AD=DE ，③AE=DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．【详解】（1）如图可知：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，∴ 180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒ 又B ADE C ∠=∠=∠∴EDC DAB ∠=∠∴BDA CED △∽△．（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC=2，∴AB=AC=2 ①当AD=AE 时，∴ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．②当AD=DE 时，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）结论可知：BDA CED ≌∴∴2BD =③当AE=DE 时，45ADE DAE ∠=∠=︒∴AED 是等腰直角三角形45B ∠=︒，∴==45B C DAE ∠∠∠=︒∴90ADC ∠=︒，即AD BC ⊥ ∴1=12BD BC =．综上所诉：2BD =1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．11. 感知：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，点P 在BC 边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝，BD＝4，则DE的长为．【答案】探究：见解析；拓展：52.【解析】【分析】感知：先判断出∠BAP＝∠DPC，进而得出结论；探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；拓展：利用△BDP∽△CPE得出比例式求出CE，结合三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝AB；最后在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．【详解】解：感知：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCD；探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD；拓展：同探究的方法得出，△BDP ∽△CPE ， ∴BD BP CP CE=， ∵点P 是边BC 的中点，∴BP ＝CP ＝，∵BD ＝4，CE=， ∴CE ＝92， ∵∠B ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝90°，即AC ⊥AB 且AC ＝AB ＝6，∴AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣92＝32，AD ＝AB ﹣BD ＝6﹣4＝2，在Rt △ADE 中，DE 52． 故答案是：52． 【点睛】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．解本题的关键是判断出△ABP ∽△PCD ．（四）模型4：母子型图1垂直母子型条件：,AC BC AB CD ⊥⊥，图1结论：ABC ACD CBD ∽∽； 图2斜交母子字型条件：C ABD ∠=∠，图2结论：ABC ABD ∽；典例精讲：1、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【思路点拨】根据垂直母子型模型4证得ADC CDB ∽△△，再根据对应边成比例，即可求出CD 的值．【详解】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ADC CDB ∽△△， ∴CD AD BD CD=， ∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =．2、如图，在ABC 中，AB AC =，点P 、D 分别是BC AC 、边上的点，且APD B ∠=∠．（1）求证：AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）若10,12AB BC ==，当//PD AB 时，求BP 的长．【思路点拨】（1）根据已知得出APD B C ∠=∠=∠，再根据斜交母子型模型4得出ABP PCD ∽，根据相似三角形的性质得到AB CD CP BP ⋅=⋅，由AB AC =即可得到AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）由//PD AB 根据斜交母子型模型4得出BAP BCA ∽，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．【详解】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠．∵APD B ∠=∠，∴APD B C ∠=∠=∠．∵,APC BAP B APC APD DPC ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴BAP DPC ∠=∠，∴ABP PCD ∽， ∴BP AB CD CP=， ∴AB CD CP BP ⋅=⋅．∵AB AC =，∴AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）如图，∵//PD AB ，∴APD BAP ∠=∠．∵APD C ∠=∠，∴BAP C ∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BAP BCA ∽， ∴BA BP BC BA=． ∵10,12AB BC ==， ∴101210BP =， ∴253BP =．【解题技法】利用母子型模型4中有一组隐含的等角，此时需要通过已知得出判定三角形相似的条件，把证明AC CD CP BP ⋅=⋅转化为证明AB CD CP BP ⋅=⋅是解题的关键． 实战演练：12. 如图，已知BC 是O 的直径，AC 切O 于点C ，AB 交O 于点D ，E 为AC 的中点，连接CD ，DE ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若4BD =，3CD =，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）154=AC ． 【解析】 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，EDC ECD ∠=∠，ODC OCD ∠=∠，然后利用等量代换即可得出DE OD ⊥，从而证明结论；（2）首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后证明BCD BAC ∽△△，最后利用CD BD AC BC=求解即可． 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BDC ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∵E 为AC 的中点， ∴12DE EC AC ==， ∴EDC ECD ∠=∠，∵OD OC = ，∴ODC OCD ∠=∠，∵AC 切O 于点C ，∴AC OC ⊥．∴90EDC ODC ECD OCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）解：在Rt BCD 中，∵4BD =，3CD =，∴5BC ==∵90BDC BCA ∠=∠=︒，B B ∠=∠．∴BCD BAC ∽△△， ∴CD BD AC BC=， 即345AC =， ∴154=AC ．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．13. 如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为（ ）A. 2aB. 52aC. 3aD. 72a 【答案】C【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到ACDBCA ∆∆，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵CAD B ∠=∠，ACD BCA ∠=∠，∴ACD BCA ∆∆， ∴2ACD BCA S AC S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即14BCAa S ∆=，解得，BCA ∆的面积为4a ，∴ABD ∆的面积为：43a a a -=，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.14. 如图，点D 是△ABC 的边BC 的中点，且∠CAD ＝∠B ，若△ABC 的周长为10，则△ACD 的周长是（ ）A. 5 C. 52 D. 【答案】B【解析】 【分析】先根据已知证明△ACD ∽△BCA ，再根据相似三角形的性质得到AC 2=CD•CB ，设BD=CD=x ，得到x ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：∵∠CAD=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴AC CD BC AC=，即AC 2=CD•CB ， 设BD=CD=x ，∵点D 是△ABC 的边BC 的中点，∴BC=2x∴x ，∴=ABC 22ACD AC BC ==的周长的周长，即102ACD =的周长;∴△ACD 的周长故选B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．。
九年级数学相似三角形常见模型
九年级数学相似三角形常见模型一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
二、常见模型1. 三角形的细节在解决相似三角形问题时，我们需要注意三角形的细节。
例如，三角形的对角线将三角形分成两个小的相似三角形，利用这一特点可以求解未知边长或角度。
2. 旗杆模型设有一根高度为h的旗杆，我们可以利用相似三角形的原理来求解旗杆的高度。
假设旗杆的阴影长度为a，阴影长度与旗杆的高度成比例。
设旗杆的高度为x，则有a/h = (a+x)/x。
通过解这个方程，我们可以求得旗杆的高度。
3. 相似三角形的证明当两个三角形的对应角相等时，它们就是相似三角形。
我们可以通过证明对应角相等来证明两个三角形的相似性。
4. 平行线与三角形当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形与其他三角形相似。
利用这一特点，我们可以求解未知边长或角度。
5. 高度与底边比例在一个直角三角形中，高度与底边的比例等于斜边与底边的比例。
这个比例关系可以帮助我们求解直角三角形的未知边长。
6. 海伦公式与三角形面积海伦公式可以用来计算任意三角形的面积。
通过将三角形分成两个相似三角形，我们可以利用海伦公式求解未知边长。
7. 等角三角形与相似三角形等角三角形是指具有相同内角度数的三角形。
等角三角形之间也是相似三角形。
通过利用等角三角形的特点，我们可以求解未知边长或角度。
8. 斜边比例当两个三角形的相邻两边成比例时，它们是相似三角形。
通过利用斜边比例，我们可以求解未知边长。
9. 三角形的相似定理在相似三角形中，相似定理成立。
即比例定理、高度定理和角平分线定理在相似三角形中仍然成立。
三、小结相似三角形是数学中重要的概念，广泛应用于几何学和实际问题中。
通过了解相似三角形的定义和常见模型，我们可以更好地解决与相似三角形相关的问题。
熟练掌握相似三角形的性质和定理，将有助于我们在解决实际问题时更加灵活和准确地运用相似三角形的知识。
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解：由题意，得∠BAD＝∠BCE， ∵∠ABD＝∠CBE＝90°， ∴△BAD∽△BCE. ∴BBDE＝ACBB.∴B9.D6＝11..72. 解得 BD＝13.6. 答：河宽 BD 是 13.6 米．
A．9 米
B．9.6 米
C．10 米
D．10.2 米
5．如图所示，要测量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先从 B 处出发 与 AB 成 90°角方向，向前走 80 米到 C 处立一标杆，然后方向不变向 前走 50 米至 D 处，在 D 处转 90°，沿 DE 方向走 30 米，到 E 处，使 A(目标物)，C(标杆)与 E 在同一条直线上，那么可测得 A，B 间的距离 是多少？
∴A1.B6 ＝212＋.82.8. 解得 AB＝13.6. 答：该校旗杆的高度 AB 为 13.6 m.
类型 3 利用镜面反射、倒影测高 △ CDE∽△ADB △ CEF∽△CBD
4．(西安莲湖区期中)如图，小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端 A 到
水平地面 BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶 BC 等高的
台阶 DE(DE＝BC＝0.6 米，且 A，B，C 三点共线)，把一面镜子水平
放置在平台上的点 G 处，测得 CG＝12 米，然后沿直线 CG 后退到点
E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端 A，测得 GE＝2 米，小明的
眼睛与直线 CG 的距离 EF＝1.6 米，则凉亭的高度 AB 约为( D ) 小专题10
利用相似三角形解决实际问题的基本模型 ——针对陕西中考第20题
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类型 1 利用太阳光下的影子测高 △ CED∽△ADB
1．(西安蓝田县二模)如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是 中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗 址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些 测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔 底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳 光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子 顶端 D 处竖直立一根木棒 CD，并测得此时木棒的影长 DE＝2.4 米；
①小明在 B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落 在树的底部点 D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 AB＝1.7 米； ②小明站在原地转动 180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心 下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的 点 E 处，此时小亮测得 BE＝9.6 米，小明的眼睛距地面的距离 CB＝ 1.2 米． 根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米？
解：∵∠B＝90°，DE⊥BD， ∴AB∥DE. ∴△ACB∽△ECD. ∴AB∶DE＝BC∶CD.
∴AB∶30＝80∶50.
∴AB＝48.
∴A，B 间的距离为 48 米．
类型 4 利用固定视角测高 △ CBE∽△ABD
6．(陕西中考)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测 量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边 选择了一点 B(点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直 线垂直于河岸)．
然后，小希在 BD 的延长线上找出一点 F，使得 A，C，F 三点在同一 直线上，并测得 DF＝2.5 米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒 高 CD＝1.72 米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔 的高度 AB.
解：由题意得，∠ABD＝∠CDE＝90°，∠ADB＝∠CED， ∴△CDE∽△ABD. ∴CADB＝BDDE. ∵∠F＝∠F，∴△CDF∽△ABF.∴CADB＝DBFF. ∴BDDE＝DBFF，即B2.D4 ＝BD2＋.52.5.∴BD＝60.
∴1A.7B2＝26.04.∴AB＝43. 答：小雁塔的高度 AB 是 43 米．
类型 2 利用标杆测高
2．(西安碑林区校级期末)如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量 旗杆(AB)的高度：将一根 5 米高的标杆(CD)竖在某一位置，有一名同 学站在点 F 处与点 D，B 在一条直线上，此时他看到标杆顶端与旗杆 顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆 3 米，离旗杆 30 米．如 果站立的同学的眼睛距地面(EF)1.6 米，求旗杆的高度．
3．(西安蓝田县四模)雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学 校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方 地面上的点 D 处时，笑笑在地面上找到一点 G，使得点 G、雯雯的头 顶 C 以及旗杆的顶部 A 三点在同一直线上，并测得 DG＝2.8 m；然后 雯雯向前移动 1.5 m 到达点 F 处，笑笑同样在地面上找到一点 H，使 得点 H、雯雯的头顶 E 以及旗杆的顶部 A 三点在同一直线上，并测得 GH＝1.7 m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH， EF⊥BH，雯雯的身高 CD＝EF＝1.6 m．请你根据以上测量数据，求该 校旗杆的高度 AB.
解：过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，交 CD 于点 G. 由题意可得：四边形 EFDG、GDBH 都是矩形，AB∥CD∥EF. ∴△ECG∽△EAH.∴ACGH＝EEHG. 由题意，得 EG＝FD＝3，EH＝BF＝30，CG＝CD－GD＝CD－EF＝5 －1.6＝3.4. ∴A3.H4 ＝330.∴AH＝34. ∴AB＝AH＋HB＝34＋1.6＝35.6(米)． 答：旗杆的高度为 35.6 米．
解：由题意知，CD＝EF＝1.6，DG＝2.8，DF＝1.5，GH＝1.7， ∴FH＝2.8－1.5＋1.7＝3. ∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴△CDG∽△ABG，△ EFH∽△ABH. ∴CADB＝DBGG，AEFB＝BFHH. ∴DBGG＝BFHH，即BD2＋.82.8＝BD＋23.8＋1.7. 解得 BD＝21.