高中数学必修2：直线与方程导学案(有答案)

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高一下学期数学必修2直线与方程导学案全套

§ 3.2.1直线的点斜式方程【学习目标】理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确求直线方程；【学习过程】一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完后和本组同学讨论）1．经过两点)),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中（斜率公式为=k . 2．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则；如果12l l ⊥，则 .3．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 .4．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标5．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学：探究一：设点),(000y x P 为直线上的一定点,那么直线上不同于0P 的任意一点),(y x P 与直线的斜率k 有什么关系？（请和你的小组交流你写的结果，并把下面的内容补充完整.）1、直线的点斜式方程：已知直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率k ，设(,)p x y 为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，00y y k x x -=- 即： ⑴ . 点斜式方程是由直线上及其确定。

（自学课本P92－P93，小组讨论：）（1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程（1）（2）适合方程（1）的任意一组解),(y x 为坐标的点是否都在直线l 上？（3）方程⑴能不能表示过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 的方程？思考：①x 轴所在直线的方程是______ ____; y 轴所在直线的方程是____________ __； ②经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是______________； ③经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是______________；④直线的点斜式方程能不能表示平面上的所有直线？若不能，请说明哪类直线不能.探究二：已知直线l 的斜率为k ，l 且与x 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。

高中数学必修二第三章__直线与方程导学案及课后作业加答案

§3.1.1倾斜角与斜率【学习要求】1．理解直线的斜率和倾斜角的概念；2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．【学法指导】通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.【知识要点】1．倾斜角的概念：当直线l与x 轴相交时，我们取作为基准，正向与直线l之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.2．斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示,即.3．倾斜角与斜率的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°<α<180°斜率(范围)0大于0斜率不存在小于0【问题探究】[问题情境]在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．探究点一直线的倾斜角及斜率的概念问题1我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？问题2怎样描述直线的倾斜程度呢？问题3依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？问题4任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？问题5日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？问题6如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？小结我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率．探究点二直线的斜率公式导引有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？问题1如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？图1图2问题2设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？问题3根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？问题4当P2P1的方向向上时，tan α＝y2－y1x2－x1成立吗？为什么？问题5当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？小结经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1.例1如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．小结应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．跟踪训练1求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）(1,1)，(2,4)；（2）(－3,5)，(0,2)；（3）(2,3)，(2,5)；（4）(3，－2)，(6，－2)．例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4.小结已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点．跟踪训练2已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_______【当堂检测】1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于()A．1 B．4 C．1或3 D．1或43．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x等于()A．1 B．－1 C．0 D．7【课堂小结】1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线.【课后作业】一、基础过关1．下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为() A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3 C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为()A ．－2 3B ．0 C． 3 D．2 34．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A．[0°，90°]B．[90°，180°) C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．二、能力提升9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°10．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k211．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．12．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，试比较f(a)a，f(b)b，f(c)c的大小．§3.1.2两条直线平行与垂直的判定【学习要求】1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；3．能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．【学法指导】通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合的能力.【知识要点】1．两条直线平行与斜率的关系（1）对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔.（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与垂直，故l1l2.2．两条直线垂直与斜率的关系（1）如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2⇔.（2）如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是．【问题探究】[问题情境]为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一两条直线平行的判定问题1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？问题2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？小结对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．例1已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论．小结判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等．一般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题．跟踪训练1试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．小结熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 跟踪训练2 求证：顺次连接A (2，－3)，B (5，－72)，C (2,3)，D (－4,4)四点所得的四边形是梯形．探究点二两条直线垂直的判定问题1 如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k 1、k 2，且α1<α2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？问题2 已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出问题1 中两直线的斜率k 1、k 2之间的关系？问题3 如果两直线的斜率存在且满足k 1·k 2＝－1，是否一定有l 1⊥l 2？为什么？问题4 对任意两条直线，如果l 1⊥l 2，一定有k 1·k 2＝－1吗？为什么？小结如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即k 1k 2＝－1⇒l 1⊥l 2.例3 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标．小结在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解．两条直线垂直与斜率之间的关系：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线斜率为零，另一条斜率不存在．跟踪训练3 已知A (－6,0)，B (3,6)，P (0,3)，Q (6，－6)，试判断直线AB 与PQ 的位置关系．【当堂检测】1．已知点A (1,2)，B (m,1)，直线AB 与直线y ＝0垂直，则m 的值为 ( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 2．已知直线l 1的斜率为k 1＝2，直线l 2的斜率为k 2＝－12，则l 1与l 2 ( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合 3．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝0的位置关系是_______4．已知A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)三点，试判断△ABC 的形状．【课堂小结】1．代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l 1、l 2存在斜率k 1、k 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2(其中l 1，l 2不重合)；若l 1、l 2可能重合，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 2．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行.【课后作业】一、基础过关1．下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10 3．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．－45°D ．120° 4．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( ) A ．1B ．0C ．0或2D ．0或15．经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝________. 6．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.7．（1）已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .（2）已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a 的值．8．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．二、能力提升9．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对10．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的位置关系是____________．11．已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________．12．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6，6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4，2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．§3.2.1 直线的点斜式方程【学习要求】1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探究出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.【知识要点】1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点P (x ，y )的坐标之间的关系．2．直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，当直线斜率不存在时，直线方程为；当斜率为k 时，直线方程为，该方程叫做直线的点斜式方程．3．方程叫做直线的斜截式方程，其中叫做直线在轴上的截距． 4．对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔ ；l 1⊥l 2⇔ .【问题探究】[问题情境]给出一定点P 0和斜率k ，直线就可以唯一确定了．如果设点P (x ，y )是直线上的任意一点，那么，如何建立P 和P 0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一直线的点斜式方程问题1 求直线的方程指的是求什么？问题2 如图，直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，怎样建立x ，y 之间的关系？问题3 过点P 0(x 0，y 0)，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足问题2中得出的方程吗？为什么？问题4 坐标满足方程y －y 0＝k (x －x 0)的点都在过点P 0(x 0，y 0)且斜率为k 的直线上吗？为什么？小结由上述问题2和问题3的讨论可知，方程y －y 0＝k (x －x 0)就是过点P 0(x 0，y 0)且斜率为k 的直线的方程．方程y －y 0＝k (x －x 0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．问题5 如何求x 轴所在的直线方程？如何求出经过点P 0(x 0，y 0)且平行于x 轴的直线方程？问题6 y 轴所在的直线方程是什么？如何求过点P 0(x 0，y 0)且平行于y 轴的直线方程？例1 直线l 经过点P 0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l . 小结由点斜式写直线方程时，由于过P (x 0，y 0)的直线有无数条，大致可分为两类：（1）斜率存在时方程为y －y 0＝k (x －x 0)；（2）斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.跟踪训练1 一条直线经过点P (－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．探究点二直线的斜截式方程问题1 已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，得到的直线l 的方程是什么？小结我们称b 为直线l 在y 轴上的截距．方程y ＝kx ＋b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程．问题2 直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距b 是直线与y 轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？问题3 一次函数的解析式y ＝kx ＋b 与直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 有什么不同？例2 已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，试讨论：（1）l 1∥l 2的条件是什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？小结已知l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1. 跟踪训练2 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．【当堂检测】1．方程y ＝k (x －2)表示 ( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线2．已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为________． 3．写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点A (2,5)，且与直线y ＝2x ＋7平行；（2）经过点C (－1，－1)，且与x 轴平行．【课堂小结】1．已知直线l 经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P (x 0，y 0)，斜率不存在的直线方程为x ＝x 0.直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 是点斜式的特例．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．【课后作业】1．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为 ( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－3x －2 D ．y ＝3x －22．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 ( ) A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y －5＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．2x ＋y －5＝03．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <04．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为_______． 6．已知一条直线经过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋3平行，则该直线的点斜式方程是________． 7．求满足下列条件的直线方程：（1）过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；（2）过点P (3，－4)，且与x 轴平行；（3）过点P (5，－2)，且与y 轴平行；（4）过点P (－2,3)，Q (5，－4)两点．8．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边上的高所在的直线方程．二、能力提升9．集合A ＝{直线的斜截式方程}，B ＝{一次函数的解析式}，则集合A 、B 间的关系是( ) A ．A ＝B B ．B A C ．A B D ．以上都不对 10．直线kx －y ＋1－3k ＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点( )A ．(1,3)B ．(－1，－3)C ．(3,1)D ．(－3，－1)11．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．正确的为________(填序号)．12．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.（1）求证：直线l恒过一个定点；（2）当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．三、探究与拓展13．等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为3，点B(－3,2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线的方程．§3.2.2直线的两点式方程【学习要求】1．掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．【学法指导】通过应用过两点的斜率公式，探究出直线的两点式方程，经历通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的过程，感知事物之间的普遍联系与相互转化，形成用联系的观点看问题的习惯．【知识要点】1．直线的两点式方程：经过直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．2．直线的截距式方程：我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的．3．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段P1P2的中点坐标公式为【问题探究】[问题情境]已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在y轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？探究点一直线的两点式方程导引已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？问题1经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？问题2能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样转化？小结经过直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．小结我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程xa＋yb＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．跟踪训练1三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．探究点二直线两点式、截距式方程的应用问题如图所示，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，如何用A，B点的坐标表示M点的坐标？小结已知P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则⎩⎨⎧x＝x2＋x12，y＝y2＋y12，这个公式为线段的中点坐标公式．例2已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．小结当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．跟踪训练2已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上的高AD所在直线的方程；（3）BC边上的中线AE所在直线的方程．【当堂检测】1．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是()A．x－3＋y4＝1 B．x3＋y－4＝1 C．x－3－y4＝1 D．x4＋y－3＝12．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是_________________________3．直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程．【课堂小结】1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．点斜式与斜截式要注意斜率不存在的情况．两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．截距式要注意两个截距都不为0的条件限制，另外截距相等也包括截距均为零的情况，不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．2．方程y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)(x1≠x2)与y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同.【课后作业】一、基础过关1．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝02．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程() A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是() A．|b| B．－b2C．b2D．±b4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝05．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．6．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是______．7．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．8．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：（1）△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；（2）BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．二、能力提升9．直线xm－yn＝1与xn－ym＝1在同一坐标系中的图象可能是()10．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是() A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝011．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|P A|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．12．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．（1）求边AC和AB所在直线的方程；（2）求AC边上的中线BD所在直线的方程；（3）求AC边上的中垂线所在直线的方程．三、探究与拓展13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．§3.2.3直线的一般式方程【学习要求】1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．【学法指导】通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般式；通过直线方程的五种形式间的相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与相互转化.【知识要点】1．关于x，y的二元一次方程(其中A，B)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2形式方程局限点斜式不能表示k不存在的直线斜截式不能表示k不存在的直线两点式121121xxxxyyyy--=--21xx≠，截距式1=+byax不能表示一般式无【问题探究】[问题情境]前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x，y这两个变量，并且x，y的次数都是一次的，即它们都是关于x，y的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．探究点一直线的一般式方程问题1平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？问题2每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？小结直线方程都是关于x，y的二元一次方程；关于x，y的二元一次图象又都是一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式．问题3直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合．例1已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－43，求直线的点斜式和一般式方程．小结对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．跟踪训练1若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，求实数m的取值范围．探究点二直线方程五种表达形式的转化例2把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．小结任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了．由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．跟踪训练2 求直线3x ＋2y ＋6＝0的斜截式和截距式方程．探究点三综合问题例3 已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：（1）过点A 和直线l 平行的直线方程；（2）过点A 和直线l 垂直的直线方程．小结一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练3 已知直线l 经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程，并将直线的方程化为一般式．【当堂检测】1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为 ( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过 ( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 3．直线mx ＋y －m ＝0，无论m 取什么实数，它都过点______． 4．求经过点A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．【课堂小结】1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，分别求得直线在y 轴上的截距和在x 轴上的截距；二是移常项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可.【课后作业】一、基础过关1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．32．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则 ( ) A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0 D ．AB >0，C ＝03．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．32B ．32或0C ．0D ．－2或04．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝05．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．6．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________． 7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：（1）斜率为3，且经过点A (5,3)；（2）过点B (－3,0)，且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为－2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C (－1,5)，D (2，－1)两点；（6）在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1.8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．二、能力提升9．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )10．直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足( )A ．a ＝bB ．|a |＝|b |且c ≠0C ．a ＝b 且c ≠0D ．a ＝b 或c ＝011．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________________． 12．已知直线l 1：(m ＋3)x ＋y －3m ＋4＝0，l 2：7x ＋(5－m )y －8＝0，问当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．三、探究与拓展13．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．§3.3.1 两条直线的交点坐标【学习要求】1．理解直线和直线的交点与相应直线的方程组成的二元一次方程组的解的关系；2．会求两直线交点坐标以及判断两直线的位置关系．【学法指导】通过两直线交点与两直线方程组解的对应关系，掌握直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置关系的方法，从而认识事物之间的内在联系，学会能够用辩证的观点看问题.【知识要点】1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.。

人教A版2019必修二第3章《直线与方程》导学案设计(含答案)3.3.1~3.3.2

人教版高中数学必修精品教学资料3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离[学习目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.知识点一两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1,B 1不同时为0),l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2,B 2不同时为0). (1)基本知识——点与坐标的一一对应关系(2)两条直线的交点一般地,将两条直线的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标；若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0,y 0),则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系,不包括直线l 2.思考若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点？答不一定.两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多个解,则两直线重合. 知识点二两点间的距离公式 1.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|2.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |(2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时,|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时,|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考当两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在同一坐标轴上时,两点间距离公式还适用吗？答适用.当两点都在x 轴上时,|AB |＝|x 1－x 2|；当两点都在y 轴上时,|AB |＝|y 1－y 2|.题型一两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解方法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点, ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ,即x ＋y ＝0.方法二 ∵l 2不过原点,∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R ),即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ＝1,∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0,即x ＋y ＝0. 反思与感悟过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线；②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.跟踪训练1 求经过两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解把直线l 1和直线l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，所以交点P 的坐标是(0,2).由题意知直线l 3的斜率为34,且直线l 与直线l 3垂直, 所以直线l 的斜率为－43,所以直线l 的方程为y －2＝－43(x －0),即4x ＋3y －6＝0.题型二两点间距离公式的应用例2 已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3,－3)、C (1,7),试判断△ABC 的形状. 解方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213, |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213, 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226, ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2, 且|AB |＝|AC |,∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32,k AB ＝－3－13－(－3)＝－23,则k AC ·k AB ＝－1,∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213, |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213, ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.反思与感悟 1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑：一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 跟踪训练2 已知点A (3,6),在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10,求点P 的坐标.解设点P 的坐标为(x,0),由|P A |＝10,得(x －3)2＋(0－6)2＝10,解得：x ＝11或x ＝－5. 所以点P 的坐标为(－5,0)或(11,0). 题型三坐标法的应用例3 求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.证明如图,以A 为原点,边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,其中D ,E 分别为边AC 和BC 的中点. 设A (0,0),B (c,0),C (m ,n ), 则|AB |＝|c |.又由中点坐标公式,得D (m 2,n2),E (c ＋m 2,n 2),∴|DE |＝⎪⎪⎪⎪c ＋m 2－m 2＝|c 2|,∴|DE |＝12|AB |. 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.反思与感悟利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系,用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算关系“翻译”成几何关系.跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,对角线为AC 和BD . 求证：|AC |＝|BD |.证明如图所示,建立直角坐标系,设A (0,0),B (a,0),C (b ,c ),则点D 的坐标是(a －b ,c ).∴|AC |＝(b －0)2＋(c －0)2＝b 2＋c 2, |BD |＝(a －b －a )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2. 故|AC |＝|BD |.数形结合思想例4 已知两点A (2,3),B (4,1),直线l ：x ＋2y －2＝0,在直线l 上求一点P , (1)使|P A |＋|PB |最小； (2)使|P A |－|PB |最大.分析作出几何图形,借助三角形的几何性质可求|P A |＋|PB |取最小值与|P A |－|PB |取最大值时的点P 的坐标.解 (1)如图,可判断A ,B 在直线l 的同侧,设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1,y 1).则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A ′B 的方程为y ＝711(x －4)＋1,由平面几何知识可知,当点P 为直线A ′B与直线l 的交点时,|P A |＋|PB |最小,此时|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |,若P 不在此点时,|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＞|A ′B |,即直线A ′B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎫5625，－325. (2)由两点式求得直线AB 的方程为y －1＝－(x －4),即x ＋y －5＝0.由平面几何知识可知,当点P 为直线AB 与l 的交点时,|P A |－|PB |最大,此时|P A |－|PB |＝|AB |. 直线AB 与l 的交点为所求点P (8,－3).解后反思本题通过对称问题的转换,将求距离的最值问题转化为共线问题,这是一种常用的解题思路.另外通过图形探求问题也是一种常用方法.利用函数的几何意义求最值例5 已知函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8,求函数的最小值.分析被开方数可以写成两个数的平方和的形式,联想到距离公式的结构特征和几何意义,从而求解.解 y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8＝(x －0)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2,上式表示：在x 轴上的一点P (x,0)到A (0,1),B (2,－2)两点距离之和,如图,|P A |＋|PB |≥|AB |,当且仅当点P 与P 0重合时,|P A |＋|PB |有最小值,最小值为|AB |＝22＋(－3)2＝13,解得此时直线AB 与x 轴的交点为P 0⎝⎛⎭⎫23，0.所以当x ＝23时,函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是13.解后反思因为x 2＋1＝(x －0)2＋(0－1)2表示点P (x,0)到点A (0,1)的距离,x 2－4x ＋8＝(x －2)2＋(0＋2)2表示点P (x,0)到点B (2,－2)的距离,所以函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值问题就可以转化为几何问题：在x 轴上求一点P (x,0),使其到A (0,1),B (2,－2)两点距离之和最小.这类利用几何意义转化问题的技巧在今后的学习中经常用到,注意掌握.1.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点,且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0答案 A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1,6).由垂直关系,得所求直线的斜率为－2,则所求直线方程为y －6＝－2(x －1),即2x ＋y －8＝0.2.直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点,则a 的值为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案 B解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴交点坐标为(4,－2),代入方程ax ＋2y ＋8＝0,解得a ＝－1.3.两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上,那么m 的值为( ) A.－24 B.6C.±6 D.以上答案均不对答案 C解析直线2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3,直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m .∵两直线的交点在y 轴上,∴12m ＝m3,解得m ＝±6.4.直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ,B 两点,若线段AB 的中点为M (1,－1),则直线l 的斜率为( ) A.32 B.23 C.－32 D.－23 答案 D解析设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1),与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2,y 2).∵M (1,－1)为AB 的中点,∴－1＝1＋y 22,则y 2＝－3.代入直线x －y －7＝0,得x 2＝4,则点B 坐标为(4,－3).∵点B ,M 都在直线l 上,∴k l ＝－3＋14－1＝－23.5.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P (2,－1),则|AB |＝________. 答案 2 5解析设A (x,0),B (0,y ),∵AB 中点P (2,－1), ∴x 2＝2,y2＝－1, ∴x ＝4,y ＝－2,即A (4,0),B (0,－2), ∴|AB |＝42＋22＝2 5.1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.一、选择题1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4,1) B.(1,4)C.⎝⎛⎭⎫43，13 D.⎝⎛⎭⎫13，43 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13，即交点坐标是⎝⎛⎭⎫43，132.经过两点A (－2,5),B (1,－4)的直线l 与x 轴的交点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－13，0 B.(－3,0)C.⎝⎛⎭⎫13，0 D.()3，0 答案 A解析由两点式得过A ,B 两点的直线方程为y ＋45＋4＝x －1－2－1,即3x ＋y ＋1＝0.令y ＝0,得x ＝－13.故直线l 与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，0 3.过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点,且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A.x －3y ＋7＝0 B.x －3y ＋13＝0 C.3x －y ＋7＝0 D.3x －y －5＝0答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，即交点坐标为(－1,4).因为第一条直线的斜率为－3,所以所求直线的斜率为13.由点斜式,得y －4＝13(x ＋1),即x －3y ＋13＝0.4.若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限,则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫－23，0C.⎝⎛⎭⎫－32，2 D.(2,＋∞) 答案 C解析解出两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －63＋m 2，6＋4m 3＋m 2.由交点在第二象限,得⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m 2＜0，6＋4m 3＋m 2＞0.解得m ∈⎝⎛⎭⎫－32，2. 5.设集合A ＝{(x ,y )|4x ＋y ＝6},B ＝{(x ,y )|3x ＋2y ＝7},则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析 A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7＝{(1,2)},则集合C 是{(1,2)}的子集.又因为集合{(1,2)}的子集有∅,{(1,2)},共2个,所以集合C 有2个. 6.以A (5,5),B (1,4),C (4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝17,|AC |＝17,|BC |＝32, ∴三角形为等腰三角形.故选B.7.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ,B ,则|AB |的值为( ) A.895 B.175C.135 D.115答案 C解析直线3ax －y －2＝0过定点A (0,－2),直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0,过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25,由两点间的距离公式,得|AB |＝135. 二、填空题8.点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________. 答案 (－4,－1)解析设对称点的坐标为(x 0,y 0), 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－2·(－1)＝－1，x 0＋22＋y 0＋52＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－1.所以所求对称点的坐标为(－4,－1).9.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0,x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点,则k ＝_______. 答案－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.又因为点(－1,－2)也在直线x ＋ky ＝0上, 所以－1－2k ＝0,k ＝－12.10.若动点P 的坐标为(x,1－x ),x ∈R ,则动点P 到原点的最小值是________. 答案22解析由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12,∴最小值为12＝22. 11.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限,则k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫33，＋∞解析由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限,故x >0,y >0,解得k >33. 三、解答题12.已知直线l 的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为37,求直线l 的方程. 解设直线l 的方程为y ＝6x ＋b . 令x ＝0,得y ＝b ；令y ＝0,得x ＝－b6.所以直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－b6，0,(0,b ). 这两点间的距离为⎝⎛⎭⎫－b 6－02＋(0－b )2＝3736b 2＝376|b |. 由题意,得376|b |＝37.所以b ＝±6. 所以所求直线l 的方程为y ＝6x ＋6或y ＝6x －6, 即6x －y ＋6＝0或6x －y －6＝0.13.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图),另外△AEF 内部有一文物保护区不能占用,经测量AB ＝100 m,BC ＝80 m,AE ＝30 m,AF ＝20 m,应如何设计才能使草坪面积最大？解如图建立平面直角坐标系,则E (30,0),F (0,20).所以线段EF 的方程是x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).在线段EF 上取点P (m ,n ),作PQ ⊥BC 于点Q ,作PR ⊥CD 于点R ,设矩形PQCR 的面积为S ,则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n ). 又因为m 30＋n20＝1(0≤m ≤30),所以n ＝20⎝⎛⎭⎫1－m 30, 所以S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30). 于是当m ＝5时,S 有最大值.这时|EP ||PF |＝30－55＝51. 故当矩形草坪的两边在BC ,CD 上,一个顶点在线段EF 上,且|EP ||PF |＝5时,草坪的面积最大.。

【人教A版】高中数学必修二：第3章《直线与方程》导学案设计(含答案) 第三章 3.3.3~3.3.4

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离[学习目标] 1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离.知识点一点到直线的距离1.概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.2.公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d思考在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？答点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式. 知识点二两平行直线间的距离1.概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.2.公式：两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d思考两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？答两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等.题型一点到直线的距离例1 求过点P (1,2)且与点A (2,3)，B (4，－5)的距离相等的直线l 的方程.解方法一由题意知k AB ＝－4，线段AB 的中点为C (3，－1)，所以过点P (1,2)与直线AB 平行的直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0.此直线符合题意.过点P (1,2)与线段AB 中点C (3，－1)的直线方程为y －2－1－2＝x －13－1，即3x ＋2y －7＝0.此直线也符合题意.故所求直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0. 方法二显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ＋b ，根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，|2k －3＋b |k 2＋1＝|4k ＋5＋b |k 2＋1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，k ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，3k ＋b ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝6，或⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝72.所以所求直线l 的方程为： y ＝－4x ＋6或y ＝－32x ＋72，即4x ＋y －6＝0，或3x ＋2y －7＝0.反思与感悟 1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式.2.当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合.3.几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点P 0(x 0，y 0)到直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |； (2)点P 0(x 0，y 0)到直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |.跟踪训练1 若点(a ，2)到直线l ：y ＝x －3的距离是1，则a ＝________. 答案 5±2解析直线l ：y ＝x －3可变形为x －y －3＝0. 由点(a,2)到直线l 的距离为1，得|a －2－3|1＋(－1)2＝1，解得a ＝5± 2.题型二两平行线间的距离例2 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程. 解方法一设所求直线的方程为5x －12y ＋m ＝0， ∵两直线间的距离为2， ∴|6－m |52＋(－12)2＝2，∴m ＝32或m ＝－20.∴所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0.方法二设所求直线的方程为5x －12y ＋c ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝⎛⎭⎫0，12，点P 0到直线5x －12y ＋c ＝0的距离为：d ＝⎪⎪⎪⎪－12×12＋c 52＋(－12)2＝|c －6|13，由题意得|c －6|13＝2，则c ＝32或c ＝－20.∴所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 反思与感悟 1.针对这个类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两条平行直线间距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 2.当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决. (1)两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|；(2)两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.跟踪训练2 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2间的距离为5，求l 1，l 2的方程.解若直线l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1与l 2的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0；由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0. 在直线l 1上取点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125.∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0， l 2的方程为12x －5y －60＝0.若直线l 1，l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，满足条件. 则满足条件的直线方程有以下两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0； l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.题型三距离公式的综合应用例3 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限的点；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由. 解 (1)因为l 2可化为2x －y －12＝0，所以l 1与l 2的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋12＝7510.因为a ＞0，所以a ＝3.(2)设存在点P (x 0，y 0)满足②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或c ＝116.所以满足条件②的点P 满足2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|. 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.因为点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能. 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)，联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以P ⎝⎛⎭⎫19，3718即为同时满足条件的点.反思与感悟解决探究性问题时，可先假设需探究的问题存在，以此为出发点寻找满足的条件.若求出的结论符合要求，则问题有解.若求出的结论与要求不符，则说明原探究问题无解.另外，运用公式解决问题要注意适用的范围及使用特点.跟踪训练3 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使P A ＝PB ，且点P 到直线l 的距离等于2.解方法一设点P 的坐标为P (a ，b )，由P A ＝PB ，得(4－a )2＋(－3－b )2＝(2－a )2＋(－1－b )2， ① 化简，得a －b ＝5.由点P 到直线l 的距离等于2，得 |4a ＋3b －2|42＋32＝2. ②由①②方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.所以，所求的点为P (1，－4)或P (277，－87)方法二设点P 的坐标为P (a ，b )，因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 中点M 的坐标为(3，－2).而直线AB 的斜率k AB ＝－3－(－1)4－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －(－2)＝x －3，即x －y －5＝0.而点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，故a －b －5＝0，①由已知点P 到l 的距离为2，得|4a ＋3b －2|42＋22，② 由①②方程联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.所以，所求的点为P (1，－4)或P (277，－87).数形结合思想例4两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的取值范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程.分析由于平行线的倾斜角不同，两平行线间的距离不同，故可以利用几何图形探索d的取值变化情况.解(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜d≤310，即所求的d的取值范围是(0,310].(2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－1k AB＝－12－(－1)6－(－3)＝－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.解后反思通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围.忽略斜率不存在的情形致误例5求经过点A(1,2)，且到原点的距离等于1的直线方程.分析当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，验证此直线到原点的距离是否等于1；当斜率存在时可设为y－2＝k(x－1)，利用点到直线的距离公式求k.解当过点A的直线垂直于x轴时，因为它到原点的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x－1＝0；当过点A的直线不垂直于x轴时，设所求的直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx －y －k ＋2＝0.因为原点到此直线的距离等于1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1.解得k ＝34.故所求直线的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.综上，所求直线的方程为x －1＝0或3x －4y ＋5＝0.解后反思本题易出现的错误是直接利用点斜式设出方程，由点到直线的距离得方程求k ，漏掉了直线x ＝1.用直线的点斜式方程来解题，一定要考虑斜率不存在的情况，对于斜率不存在的特殊直线，很多情况也符合题意.1.P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意的点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.3 D.6 答案 C解析将6x ＋8y ＋6＝0化为3x ＋4y ＋3＝0，由两平行线间的距离公式得d ＝|3－(－12)|32＋42＝3，则|PQ |min ＝d ＝3.2.若点(4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A.[0,10] B.⎣⎡⎦⎤13，313C.(0,10)D.(－∞，0]∪[10，＋∞)答案 A解析 d ＝|4×4－3a －1|42＋(－3)2＝|15－3a |5≤3，|3a －15|≤15，∴－15≤3a －15≤15,0≤a ≤10.3.若点P 到直线5x －12y ＋13＝0和直线3x －4y ＋5＝0的距离相等，则点P 的坐标应满足的方程是( )A.32x －56y ＋65＝0或7x ＋4y ＝0B.x －4y ＋4＝0或4x －8y ＋9＝0C.7x ＋4y ＝0D.x －4y ＋4＝0 答案 A解析设点P 的坐标为(x ，y )，则根据题意得|5x －12y ＋13|52＋(－12)2＝|3x －4y ＋5|32＋(－4)2，整理得32x －56y＋65＝0或7x ＋4y ＝0.4.分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________. 答案 5解析 d ＝|3－(－2)|＝5.5.与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是___________. 答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.1.应用点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2的前提是直线方程为一般式.特别地，当直线方程A ＝0或B ＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解.2.两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想. 二是直接套用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，其中l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，需注意此时直线l 1与l 2的方程为一般式且x ，y 的系数分别相同.一、选择题1.原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A.1 B. 3 C.2 D.5 答案 D解析由点到直线的距离公式，得d ＝|－5|12＋22＝ 5. 2.两直线x ＋y －2＝0和2x ＋2y －3＝0的距离等于( ) A.22 B.24 C.12D.2 答案 B解析把2x ＋2y －3＝0化为x ＋y －32＝0，由两直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪－2－⎝⎛⎭⎫－3212＋12＝24. 3.已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析由点到直线的距离公式，得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，所以a ＝2－1或a ＝－2－1. 又因为a ＞0，所以a ＝2－1.4.已知两直线3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于( ) A.4 B.21313 C.51326 D.71326答案 D解析因为3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0互相平行，所以－6m ＝－32，所以m ＝4.所以6x ＋my ＋1＝0为6x ＋4y ＋1＝0，即3x ＋2y ＋12＝0.所以两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－3－1232＋22＝7213＝71326.5.已知点A (0,2)，B (2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A解析设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝2 2.由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式，得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t 2＋t －2|＝2，即t 2＋t －2＝2或t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个.6.直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y －6＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0 D.2x ＋3y ＋8＝0答案 D解析方法一设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0，由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋C |22＋32.∴C ＝－6(舍)或C ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0.方法二令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 7.两平行线分别经过点A (5,0)，B (0,12)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A.0<d ≤5 B.0<d ≤13 C.0<d <12 D.5≤d ≤12答案 B解析当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB |＝13，所以0<d ≤13. 二、填空题8.若两平行直线3x －2y －1＝0与6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为______.答案 ±1解析由3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0平行，得32＝－6a ，所以a ＝－4.所以6x －4y ＋c ＝0化为3x －2y ＋c 2＝0.所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或c ＝－6.所以c ＋2a ＝±1.9.已知在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上.若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________. 答案 (－1,0)或⎝⎛⎭⎫53，8解析由|AB |＝5，△ABC 的面积为10，得点C 到直线AB 的距离为4.设C (x,3x ＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x ＝－1或x ＝53.10.若点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是________. 答案 22解析 |OP |的最小值，即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离. d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.11.若实数x ，y 满足关系式x ＋y ＋1＝0，则式子S ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值为______. 答案322解析方法一 ∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到一个定点N (1,1)距离的平方.即为点N 与直线l ：x ＋y ＋1＝0上任意一点M (x ，y )距离的平方.∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝d ＝|1＋1＋1|2＝322. 方法二 ∵x ＋y ＋1＝0，∴y ＝－x －1，∴S ＝x 2＋(－x －1)2－2x －2(－x －1)＋2＝2x 2＋2x ＋5＝ 2(x ＋12)2＋92，∴x ＝－12时，S min ＝92＝322. 三、解答题12.当m 取何值时，直线l 1：5x －2y ＋3m (3m ＋1)＝0与l 2：2x ＋6y －3m (9m ＋20)＝0的交点到直线l 3：4x －3y －12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？解设l 1与l 2的交点为M ，则由⎩⎪⎨⎪⎧5x －2y ＋3m (3m ＋1)＝0，2x ＋6y －3m (9m ＋20)＝0，解得M ⎝⎛⎭⎫3m ，9m 2＋18m 2.设M 到l 3的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪12m －32(9m 2＋18m )－1242＋(－3)2＝110⎣⎡⎦⎤27⎝⎛⎭⎫m ＋592＋473. 故当m ＝－59时，距离最短，且d min ＝4730. 13.已知直线l ：3x －y －1＝0及点A (4,1)，B (0,4)，C (2,0).(1)试在l 上求一点P ，使|AP |＋|CP |最小；(2)试在l 上求一点Q ，使||AQ |－|BQ ||最大.解 (1)如图①，设点C 关于l 的对称点为C ′(a ，b )，则b －0a －2＝－13，且3·a ＋22－b ＋02－1＝0，解得C ′(－1,1)，所以直线AC ′的方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，3x －y －1＝0 得l 与直线AC ′的交点P (23，1)，此时|AP |＋|CP |取最小值为5.(2)如图②，设点B 关于l 的对称点为B ′(m ，n )，则n －4m －0＝－13，且3·m ＋02－n ＋42－1＝0，解得B ′(3,3)，所以直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0得AB ′与l 的交点Q (2,5)，此时||AQ |－|BQ ||取最大值为 5.。

【人教A版】高中数学必修二：第3章《直线与方程》导学案设计(含答案) 第三章 3.1.2

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定[学习目标] 1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.知识点一两条直线平行与斜率的关系1.如图①，设两条不重合的直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；反之，若k 1＝k 2，则l 1∥l2.2.如图②，若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行.思考如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？答不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等. 知识点二两条直线垂直与斜率的关系1.如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直.即k 1k 2＝－1⇒l 1⊥l 2，l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1.2.如图②，若l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直.思考如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？答不一定.若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在.题型一两条直线平行关系的判定与应用例1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行： (1)l 1经过点A (2,3)，B (－4,0)；l 2经过点M (－3,1)，N (－2,2)； (2)l 1的斜率为－12，l 2经过点A (4,2)，B (2,3)；(3)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；(4)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3). 解 (1)k AB ＝3－02－(－4)＝12，k MN ＝2－1－2－(－3)＝1，k AB ≠k MN ，所以l 1与l 2不平行.(2)l 1的斜率k 1＝－12，l 2的斜率k 2＝3－22－4＝－12，即k 1＝k 2，所以l 1与l 2平行或重合.(3)由题意，知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. (4)由题意，知k EF ＝－1－1－2－0＝1，k GH ＝3－42－3＝1，所以l 1与l 2平行或重合.需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线， k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1.所以E ，F ，G ，H 四点共线. 所以l 1与l 2重合.反思与感悟 1.判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等.2.判断斜率是否相等，实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两条直线平行的条件：同位角相等，则两条直线平行.3.在两条直线斜率都存在，且相等的情况下，应注意两条直线是否重合.跟踪训练1 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标.解设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC . 所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4).题型二两条直线垂直关系的判定与应用例2 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40).解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直.(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴.直线l 2的斜率k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴.故l 1⊥l 2.反思与感悟使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.跟踪训练2 已知△ABC 的顶点坐标为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值.解 ∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1. 当AB ⊥BC 时，有k AB ·k BC ＝－1，即－12·(m －1)＝－1，解得m ＝3；当AB ⊥AC 时，有k AB ·k AC ＝－1，即－12·⎝⎛⎭⎫－m ＋13＝－1，解得m ＝－7；当AC ⊥BC 时，有k AC ·k BC ＝－1，即⎝⎛⎭⎫－m ＋13·(m －1)＝－1，解得m ＝±2.综上所述，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为3或－7或±2. 题型三平行与垂直关系的综合应用例3 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接ABCD 四点，试判定图形ABCD 的形状.解由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得 k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行. 又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形.反思与感悟 1.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.2.由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.跟踪训练3 已知点A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求点D 的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列).解设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图所示， ∵k AB ＝3，k BC ＝0，∴k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有x ＝3. 又k AD ＝k BC ，∴y －3x＝0，即y ＝3，此时AB 与CD 不平行，故所求点D 的坐标为(3,3). ②若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， ∵k AD ＝y －3x ，k CD ＝yx －3， ∴y －3x ×3＝－1，y －3x ·yx －3＝－1，即y －3x ＝－13，－13·y x －3＝－1.解得x ＝185，y ＝95，∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎫185，95.综上可知，D 点坐标为(3,3)或⎝⎛⎭⎫185，95.忽略斜率不存在的情况而致误例4 已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值.分析由于A ，B 两点的纵坐标为确定的数，故AB 与x 轴不平行，因而CD 与x 轴不垂直，在求解时要对直线AB 分与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论求解. 解因为A ，B 两点的纵坐标不相等，所以AB 与x 轴不平行.因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，所以－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1.当m ＝－1时，C ，D 两点的纵坐标均为－1，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意. 当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式，得 k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，即2－(m ＋1)·2(m ＋1)m ＋3＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.解后反思本题常见的错误是不分情况讨论，直接利用k AB ·k CD ＝－1求解.由于斜率是倾斜角的正切值，故倾斜角为90°的这种情况一定不要遗漏，这类失误是常犯的错误，一定要注意.1.已知A (1,2)，B (m,1)，直线AB 与直线y ＝0垂直，则m 的值( ) A.2 B.1 C.0 D.－1 答案 B解析直线AB 与x 轴垂直，则点A ，B 横坐标相同，即m ＝1.2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A.－7 B.－1 C.－1或－7 D.133答案 A解析 l 1的斜率为－3＋m 4，纵截距为5－3m4，l 2的斜率为－25＋m ，纵截距为85＋m.又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m＝－4，符合题意.3.若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则有( ) A.α1－α2＝90° B.α2－α1＝90° C.|α2－α1|＝90° D.α1＋α2＝180°答案 C解析两直线垂直则它们的倾斜角的绝对值相差90°.4.过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.以上都不正确答案 A解析过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k 2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直. 5.直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝，y ＝ . 答案－1 7解析 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7.1.两直线平行或垂直的判定方法.2.一、选择题1.已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A.1B.－1C.2D.－2 答案 B解析因为k MN ＝4－(－1)－3－2＝－1，所以若直线PQ 与直线MN 平行，则2m －23－m ＝－1，解得m＝－1.2.直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直答案 D解析方程x 2－3x －1＝0有两个不同实根，且两根之积为－1，即直线l 1，l 2的斜率之积为－1，所以l 1与l 2垂直.3.若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A.－23B.－32C.23D.32答案 A解析因为直线l 与斜率为－23的直线垂直，所以直线l 的斜率为32.所以1－(－1)－a －2－(a －2)＝32，解得a ＝－23.4.已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A.1B.0C.0或2D.0或1 答案 D解析当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥CD .5.若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A.135° B.45° C.30° D.60° 答案 B 解析 k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，k PQ ·k l ＝－1，∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.6.将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A.y ＝－13x ＋13B.y ＝－13x ＋1C.y ＝3x －3D.y ＝13x ＋1答案 A解析将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°后所得直线为y ＝－13x ，再向右平移1个单位，得y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.二、填空题7.已知直线l 1：y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为 . 答案 135°解析因为直线y ＝x 的斜率k 1＝1，所以若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率k ＝－1.所以直线l 2的倾斜角为135°.8.已知l 1的斜率是2，l 2过点A (－1，－2)，B (x,6)，且l 1∥l 2，则log 91x ＝ .答案－12解析因为l 1∥l 2，所以6＋2x ＋1＝2，解得x ＝3.所以log 913＝－12.9.已知点A (1,2)和点B (0,0)，点P 在y 轴上，若∠BAP 为直角，则点P 的坐标为 .答案 (0，52)解析设P (0，y )，则有2－01－0×y －20－1＝－1.所以y ＝52.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，52. 10.已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为 . 答案 (－19，－62)解析设A (x ，y ).∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，∴k AC ·k BH ＝－1，k AB ·k CH ＝－1.又∵k BH ＝1－22－(－3)＝－15，k CH＝3－2－6－(－3)＝－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧k AC＝y －3x ＋6＝5，kAB ＝y －1x －2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62.即点A 的坐标为(－19，－62). 三、解答题11.已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.解由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5. 由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在. 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.12.已知直线l 1经过点A (3，m )，B (m －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，m ＋2). (1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值.解由题意知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－(m ＋2)1－(－2)＝－m3.(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m 3，解得m ＝1或m ＝6，经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2.当k 2＝0时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k 1·k 2＝－1，即－m 3·2－mm －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4，所以当m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l 2.。

高中数学必修二第三章直线与方程导学案

§3.1.1倾斜角与斜率【学习要求】1．理解直线的斜率和倾斜角的概念；2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．【学法指导】通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.【知识要点】1．倾斜角的概念：当直线l与x 轴相交时，我们取作为基准，正向与直线l之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.2．斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示,即.3．倾斜角与斜率的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°<α<180°斜率(范围)0大于0斜率不存在小于0【问题探究】[问题情境]在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．探究点一直线的倾斜角及斜率的概念问题1我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？问题2怎样描述直线的倾斜程度呢？问题3依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？问题4任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？问题5日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？问题6如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？小结我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率．探究点二直线的斜率公式导引有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？问题1如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？图1图2问题2设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？问题3根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？问题4当P2P1的方向向上时，tan α＝y2－y1x2－x1成立吗？为什么？问题5当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？小结经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1.例1如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．小结应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解．跟踪训练1求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）(1,1)，(2,4)；（2）(－3,5)，(0,2)；（3）(2,3)，(2,5)；（4）(3，－2)，(6，－2)．例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4.小结已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点．跟踪训练2已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_______【当堂检测】1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于()A．1 B．4 C．1或3 D．1或43．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x等于()A．1 B．－1 C．0 D．7【课堂小结】1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线.【课后作业】§3.1.2两条直线平行与垂直的判定【学习要求】1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；3．能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．【学法指导】通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合的能力.【知识要点】1．两条直线平行与斜率的关系（1）对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔.（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与垂直，故l1l2.2．两条直线垂直与斜率的关系（1）如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2⇔.（2）如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是．【问题探究】[问题情境]为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一两条直线平行的判定问题1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？问题2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？小结对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．例1已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论．小结判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等．一般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题．跟踪训练1试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．小结熟记斜率公式：k＝y2－y1x2－x1，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.跟踪训练2求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－72)，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形．探究点二两条直线垂直的判定问题1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？问题2已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出问题1 中两直线的斜率k1、k2之间的关系？问题3如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？为什么？问题4对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？小结如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即k1k2＝－1⇒l1⊥l2.例3已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．小结在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解．两条直线垂直与斜率之间的关系：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线斜率为零，另一条斜率不存在．跟踪训练3已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．【当堂检测】1．已知点A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值为()A．2 B．1 C．0 D．－12．已知直线l1的斜率为k1＝2，直线l2的斜率为k2＝－12，则l1与l2 ()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合3．直线l1：x＝1与直线l2：x＝0的位置关系是_______4．已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状．【课堂小结】1．代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l1、l2存在斜率k1、k2，则l1∥l2⇔k1＝k2(其中l1，l2不重合)；若l1、l2可能重合，则k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.2．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行.【课后作业】§3.2.1直线的点斜式方程【学习要求】1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探究出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.【知识要点】1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点P(x，y)的坐标之间的关系．2．直线l经过点P1(x1，y1)，当直线斜率不存在时，直线方程为；当斜率为k时，直线方程为，该方程叫做直线的点斜式方程．3．方程叫做直线的斜截式方程，其中叫做直线在轴上的截距．4．对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔；l1⊥l2⇔.【问题探究】[问题情境]给出一定点P0和斜率k，直线就可以唯一确定了．如果设点P(x，y)是直线上的任意一点，那么，如何建立P和P0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一直线的点斜式方程问题1求直线的方程指的是求什么？问题2如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系？问题3过点P0(x0，y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足问题2中得出的方程吗？为什么？问题4坐标满足方程y－y0＝k(x－x0)的点都在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上吗？为什么？小结由上述问题2和问题3的讨论可知，方程y－y0＝k(x－x0)就是过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．问题5如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程？问题6y轴所在的直线方程是什么？如何求过点P0(x0，y0)且平行于y轴的直线方程？例1直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.小结由点斜式写直线方程时，由于过P(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：（1）斜率存在时方程为y－y0＝k(x－x0)；（2）斜率不存在时，直线方程为x＝x0. 跟踪训练1一条直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．探究点二直线的斜截式方程问题1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？小结我们称b为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程．问题2直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？问题3一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？例2已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？小结已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.跟踪训练2已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．【当堂检测】1．方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线2．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为________．3．写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；（2）经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．【课堂小结】1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0.直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．【课后作业】§3.2.2直线的两点式方程【学习要求】1．掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．【学法指导】通过应用过两点的斜率公式，探究出直线的两点式方程，经历通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的过程，感知事物之间的普遍联系与相互转化，形成用联系的观点看问题的习惯．【知识要点】 1．直线的两点式方程：经过直线上两点p 1(x 1，y 1)，p 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．2．直线的截距式方程：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的． 3．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标公式为【问题探究】 [问题情境]已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在y 轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？探究点一直线的两点式方程导引已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程？问题1 经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？问题2 能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样转化？小结经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？例1 已知直线l 与x 轴的交点为A (a,0)，与y 轴的交点为B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．小结我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋yb＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程．跟踪训练1 三角形的顶点是A (－4,0)，B (3，－3)，C (0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．探究点二直线两点式、截距式方程的应用问题如图所示，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )是线段AB 的中点，如何用A ，B 点的坐标表示M 点的坐标？小结已知P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 2＋x 12，y ＝y 2＋y12，这个公式为线段的中点坐标公式．例2 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．小结当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程；（3）BC 边上的中线AE 所在直线的方程．【当堂检测】 1．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( ) A ．x －3＋y 4＝1 B ．x 3＋y －4＝1 C ．x －3－y 4＝1 D ．x 4＋y－3＝12．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是_________________________3．直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．【课堂小结】1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．点斜式与斜截式要注意斜率不存在的情况．两点式要考虑直线平行于x 轴和垂直于x 轴的情况．截距式要注意两个截距都不为0的条件限制，另外截距相等也包括截距均为零的情况，不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示．2．方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)以及(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)代表的直线范围不同.【课后作业】§3.2.3 直线的一般式方程【学习要求】1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线； 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．【学法指导】通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般式；通过直线方程的五种形式间的相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与相互转化.【知识要点】1．关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B )叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．比较直线方程的五种形式形式方程局限点斜式不能表示k 不存在的直线斜截式不能表示k 不存在的直线【问题探究】[问题情境]前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x ，y 这两个变量，并且x ，y 的次数都是一次的，即它们都是关于x ，y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．探究点一直线的一般式方程问题1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？为什么？问题2 每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？小结直线方程都是关于x ，y 的二元一次方程；关于x ，y 的二元一次图象又都是一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式．问题3 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4 在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合．例1 已知直线经过点A (6，－4)，斜率为－43，求直线的点斜式和一般式方程．小结对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．跟踪训练1 若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，求实数m 的取值范围．探究点二直线方程五种表达形式的转化例2 把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．小结任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了．由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．跟踪训练2 求直线3x ＋2y ＋6＝0的斜截式和截距式方程．探究点三综合问题例3 已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：（1）过点A 和直线l 平行的直线方程；（2）过点A 和直线l 垂直的直线方程．小结一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练3 已知直线l 经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程，并将直线的方程化为一般式．【当堂检测】1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为 ( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过 ( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限3．直线mx ＋y －m ＝0，无论m 取什么实数，它都过点______． 4．求经过点A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．【课堂小结】1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，分别求得直线在y 轴上的截距和在x 轴上的截距；二是移常项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可.【课后作业】§3.3.1 两条直线的交点坐标【学习要求】1．理解直线和直线的交点与相应直线的方程组成的二元一次方程组的解的关系； 2．会求两直线交点坐标以及判断两直线的位置关系．【学法指导】通过两直线交点与两直线方程组解的对应关系，掌握直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置关系的方法，从而认识事物之间的内在联系，学会能够用辩证的观点看问题.【知识要点】1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线，交点坐标为 2311112222的交点的直线：．【问题探究】[问题情境]二元一次方程组的解有三种不同情况(唯一解，无解，无穷多解)，同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况(相交，平行，重合)，本节我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系．探究点一直线的交点与直线的方程组解的关系问题1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？问题2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？问题3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？例1求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0；l2：2x＋y＋2＝0.小结求两直线的交点就是解方程组，如果方程组有一解，说明两直线相交；有无数解，说明两直线重合；无解，说明两直线平行．跟踪训练1求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程：l1：x－2y＋2＝0，l2：2x－y－2＝0.探究点二两条直线的位置关系问题1设两直线为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？问题2如何利用两直线的方程组成的方程组的解来判断两条直线的位置关系？例2判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．（1）l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；（2）l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；（3）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.小结判定两条直线的位置关系有两种方法：（1）通过解两直线对应方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方程能化成同一个方程两直线重合；（2）利用两直线方程的对应系数的比判断两直线的位置关系．跟踪训练2（1）已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，若l1∥l2，求实数m的值；（2）已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0.若l1⊥l2，求实数a的值．探究点三过两直线交点的直线方程问题当λ变化时，方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0表示什么图形？图形有何特点？例3求经过直线l1：x＋3y－4＝0，l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2,3)的直线方程．小结方程x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0无论λ取什么值，它表示的直线都过x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点．跟踪训练3求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．【当堂检测】1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()A．(－1，13) B．(13，1) C．(1，13) D．(－1，－13)2．直线l1：(2－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(2＋1)y＝3的位置关系是()A．平行B．相交C．垂直D．重合3．已知直线l1：(a－2)x＋3y＋a＝0，l2：ax＋(a－2)y－1＝0.当l1⊥l2时，求a的值及垂足的坐标．【课堂小结】1．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．2．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程.【课后作业】§3.3.2两点间的距离【学习要求】1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法；2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．【学法指导】通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想．【知识要点】1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为|P1P2|＝.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝.2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：．第二步：．第三步：．【问题探究】[问题情境]我们已经知道数轴上的两点A、B的距离|AB|＝|x A－x B|，那么如果已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一两点间的距离。

人教A版高中数学必修2 第3章直线与方程【导学案】

1§3.1直线的倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.9091复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination ）.关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tan k α=.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0o α=时，则k ；⑵当090o o α<<时，则k ；⑶当90o α=时，则k ；⑷当090180oα<<时，则k .新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-.探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※典型例题例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30οα=；⑵135οα=；⑶60οα=；⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k =；⑵1k =；⑶k =；⑷k 不存在.例2求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.2※动手试试练1.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.⑴(2,3),(1,4)A B -；⑵(5,0),(4,2)A B -.练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：直线的倾斜角α直线的斜率k直线的斜率公式定义αtan =k 1212x x y y k --=取值[0,180)︒),(+∞-∞)(21x x ≠范围※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列叙述中不正确的是（）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90οD ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2.经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο3.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为().A.1 B.4 C.1或3 D.1或44.直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为角；k 的取值范围.5．已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________.1.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.2.已知直线l 过2211(2,(),(2,())A t B t t t-+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.3§3.2两直线平行与垂直的判定1.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．9598复习1：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率为.2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为,倾斜角为.3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值分别为.4．已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合，则两直线的位置关系.5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m =.复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?二、新课导学：※学习探究问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为，两直线位置关系是.(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，两直线的位置关系是.问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .⑴两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k 注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-※典型例题例1已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA与PQ 的位置关系,并证明你的结论.例2已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使直线CD AB ⊥，且//CB AD .4变式：已知(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，试判断三角形ABC 的形状.※动手试试练1.试确定m 的值，使过点(,1),(1,)A m B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线⑴平行；⑵垂直练2.已知点(3,4)A ，在坐标轴上有一点B ，若2AB k =，求B 点的坐标.三、总结提升：※学习小结：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法正确的是（）.A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2.过点(1,2)A 和点(3,2)B -的直线与直线1y =的位置关系是（）.A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3.经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（）.A ．75-B ．75C ．145-D ．1454.已知三点(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -在同一直线上，则a 的值为.5．顺次连结(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --，所组成的图形是.1.若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=，直线2l 上的点满足2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠，试求a 为何值时，⑴12//l l ；⑵12l l ⊥.2．已知定点(1,3),(4,2)A B -，以,A B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.5§3.2.1直线的点斜式方程1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.101104，找出疑惑之处）复习1．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则；如果12l l ⊥，则.2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为.3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标.4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学：※学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴x 轴所在直线的方程是，y 轴所在直线的方程是.⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是.⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是.问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.新知2：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线?斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※典型例题例1直线过点(1,2)-，且倾斜角为135ο，求直线l 的点斜式和斜截式方程，并画出直线l .变式：⑴直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程；⑵直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程；⑶直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程.例2写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：⑴斜率是2，在y 轴上的距截是－2；⑵斜角是0135，在y 轴上的距截是06变式：已知直线的方程3260x y +-=，求直线的斜率及纵截距.※动手试试练1.求经过点(1,2)，且与直线23y x =-平行的直线方程.练2.求直线48y x =+与坐标轴所围成的三角形的面积.三、总结提升：※学习小结1.直线的方程：⑴点斜式00()y y k x x -=-；⑵斜截式y kx b =+；这两个公式都只能在斜率存在的前提※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（）.A20y ++-B360y +++=C．40x +-=D ．40x +=2.已知直线的方程是21y x +=--，则（）.A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-3.直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（）.A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)--4.直线l 的倾斜角比直线122y =+的倾斜角大45ο，且直线l 的纵截距为3，则直线的方程.5.已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程.1.已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.2.直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.7§3.2.2直线的两点式方程1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.105106，找出疑惑之处）复习1：直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为.2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为.3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学：※学习探究新知1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.问题1：哪些直线不能用两点式表示？例已知直线过(1,0),(0,2)A B -，求直线的方程并画出图象.新知2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程.注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.问题3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※典型例题例1求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程.⑴(2,1),(0,3)A B -；⑵(4,5),(0,0)A B --.例2已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B --，(0,2)C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.8※动手试试练1.求出下列直线的方程，并画出图形.⑴倾斜角为045，在y 轴上的截距为0；⑵在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6；⑶在x 轴上截距是－3，与y 轴平行；⑷在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.三、总结提升：※学习小结1．直线方程的各种形式总结为如下表格：2．中点坐标公式:已知1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线l 过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b 在l上，则b 的值为（）.A ．2003B ．2004C ．2005D ．20062.若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件()A.,,A B C 同号 B.0,0AC BC <<C.0,0C AB =< D.0,0A BC =<3.直线y ax b =+（0a b +=）的图象是()线方程.5.直线21y x =-关于x 轴对称的直线方程，关于y 轴对称的直线方程关于原点对称的方程.1.过点P (2，1）作直线l 交,x y 正半轴于AB 两点，当||||PA PB ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.2.已知一直线被两直线1:460l x y ++=，2l ：3x 560y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式111(,),P x y k11()y y k x x -=-k 存在斜截式bk ，y kx b =+k 存在两点式),(11y x （),22y x 112121y y x x y y x x --=--12x x ≠12y y ≠截距式b a ,1x y a b+=0a ≠0b ≠§3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.一、课前准备：（预习教材P107~P109，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程.⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程.⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是.复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？二、新课导学：※学习探究新知：关于,x y的二元一次方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程0Ax By C++=中，,,A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合.※典型例题例1已知直线经过点(6,4)A-，斜率为12，求直线的点斜式和一般式方程.例2把直线l的一般式方程260x y-+=化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形⑴350x y+-=；⑵145x y-=；⑶20x y+=；⑷7640x y-+=；⑸270y-=.910※动手试试练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴斜率是12-，经过点(8,2)A -；⑵经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-；⑷经过两点12(3,2),(5,4)P P --.练2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线P A 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程三、总结提升：※学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：0Ax By C ++=（A 、B 不全为0）；2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C +=学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --=2.若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（）.A ．1A ≠B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠3.已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=4.直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b +=.5.直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +20-=平行，则m =.课后作业1.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程.§3.1两条直线的交点坐标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.112114，找出疑惑之处）1．经过点(1,2)A -，且与直线210x y +-+垂直的直线.2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※学习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※典型例题例1求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++0=的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=；⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.例2求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例3已知两点(2,1),(4,3)A B -，求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.※动手试试练1.求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.练2.已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.三、总结提升：※学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（）.A ．13(,24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,24-2.两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（）.A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．与n 的值有关3.与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（）.A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2380x y ++=4.光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程.5.已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标.1.直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.2.已知a 为实数，两直线1l ：10ax y ++=，2l ：0x y a +-=相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.§3.3.2两点间的距离1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.115116，找出疑惑之处）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点.2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -=.3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?二、新课导学：※学习探究问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y与原点的距离为OP =.※典型例题例1已知点(8,10),(4,4)A B -求线段AB 的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值.例2证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.※动手试试练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，求证：ABC∆是等腰三角形.练2.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.三、总结提升：※学习小结1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.两点(1,3),(2,5)A B-之间的距离为（）.A．B．CD．32.以点(3,0),(3,2),(1,2)A B C---为顶点的三角形是（）三角形.A．等腰B．等边C．直角D．以上都不是3.直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值（）.A．2-B．2C．1D．1-4.已知点(1,2),A B-，在x轴上存在一点P，使PA PB=，则PA=. 5.光线从点M(－2，3）射到x轴上一点P(1，0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线的方程.1.经过直线23y x=+和320x y-+=3的交点，且垂直于第一条直线.2.已知a为实数，两直线1l：01=++yax，2l：0=-+ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上.§3.3点到直线的距离及两平行线距离1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题117119，找出疑惑之处）复习1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为，AB 间的长度为.复习2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?二、新课导学：※学习探究新知1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l的距离为：d =.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y --0=的距离.问题3：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y +10-=的距离.新知2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.※典型例题例1已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求三角形ABC 的面积.例2求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：46x y +10-=的距离.※动手试试练1.求过点(1,2)A -，且到原点的距离等于2的直线方程.练2．求与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程.三、总结提升：※学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．求点(5,7)P -到直线12530x y +-=的距离（）A ．1B ．0C ．1413D ．28132.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）.A.250x y +-= B.240x y +-=C.370x y +-= D.350x y +-=3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）.A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x y -=D ．0x y -=4.两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离5.在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有条.1．已知正方形的中心为(1,0)G -，一边所在直线的方程为350x y +-=，求其他三边所在的直线方程.2．,A B 两个厂距一条河分别为400m 和100m ，,A B 两厂之间距离500m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供,A B 两厂用水，要使提水站到,A B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？§3.3.3章未复习提高1．掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；2．掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；3．掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用.一．直线的倾斜角与斜率1．倾斜角的定义，倾斜角α的范围，斜率公式k =，或.二．直线的方程1．点斜式：00()y y k x x -=-2．斜截式：y kx b=+3．两点式：112121y y x x y y x x --=--4．截距式：1x ya b+=5．一般式：0Ax By C ++=三．两直线的位置关系1．两直线平行2．两直线相交.⑴两直线垂直，⑵两直线相交3．两直线重合四．距离1．两点之间的距离公式，2．点线之间的距离公式，3．两平行直线之间的距离公式.二、新课导学：※典例分析例1如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.例2已知在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例3求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例5过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.※动手试试练1.设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值.⑴l 在x 轴上的截距为2-；⑵斜率为1-.练2．已知直线l 经过点(2,2)-且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．三、总结提升：※学习小结1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（）.A ．(1,3)-- B.(17,9)-C ．(1,3)-D ．(17,9)-2．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（）.A ．恒过定点(2,3)-B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(2,3)-和(2,3)D ．都是平行直线3．已知点(3,)m到直线40x -=的距离等于1，则m =（）.AB．C．3D3-4．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a =.5．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是.1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=.⑴若12//l l ，试求a 的值；⑵若12l l ⊥，试求a 的值2．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ，⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程；⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围.。

【人教A版】高中数学必修二：第3章《直线与方程》导学案设计(含答案) 第三章 3.2.3

3.2.3 直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面；当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3.反思与感悟 1.一般式化为斜截式的步骤： ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .2.一般式化为截距式的步骤：方法一：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1.方法二：①令x ＝0求直线在y 轴上的截距b ； ②令y ＝0求直线在x 轴上的截距a ； ③代入截距式方程x a ＋yb＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解.故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 题型二直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0. (1)平行；(2)垂直.解当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______. (2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. ①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1. (1)答案 m ≠－3解析若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.反思与感悟已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围. (1)证明直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限， ∴直线l 必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a ≥3. ∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ② 由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.解后反思本题易出现的错误是在由一般式转化为斜截式后，直接得到①式，而忽略了②式.因为本例中斜率已存在且为1，故①式应有意义，所以分母应不为0.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠0答案 D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 2.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝0答案 A解析由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－12答案 B解析由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________. 答案－3或1解析两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合.(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( ) A.45° B.135° C.1 D.－1 答案 B解析直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A.－2 B.2 C.－3 D.3 答案 D解析由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3.3.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A.C ＝0，B >0 B.A >0，B >0，C ＝0 C.AB <0，C ＝0 D.AB >0，C ＝0答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断.4.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.13 D.－13答案 D解析由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A.(3,2) B.(－3,2) C.(－3，－2) D.(3，－2) 答案 A解析由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A.a ≠±1 B.a ≠1，a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠±1，a ≠2 答案 A解析因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )答案 C解析将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 二、填空题8.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝_______. 答案 35解析由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.若直线mx ＋3y －5＝0经过连接点A (－1，－2)，B (3,4)的线段的中点，则m ＝______. 答案 2解析线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是______________. 答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是 (－∞，－12)∪(0，＋∞).11.已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________. 答案 2x ＋3y ＋4＝0解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求. 三、解答题12.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值. (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.第11页共11页。

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高中数学必修2：直线与方程导学案3.1.1直线的倾斜角与斜率一、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围.三、学法指导及要求:1、认真研读教材82---85页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值,斜率的计算公式必须牢记）3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成A.B类题.平行班的A 级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上.四、知识链接：1：一次函数的图象的形状是---（一条直线）2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）3：锐角正切函数的定义--- （对边比邻边）五、学习过程：问题的导入：大家想一下当一高一矮两人抬一根圆木,会出现什么现象？（倾斜）本节课我们就重点研究有关直线的倾斜问题.A问题1：对平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由那些条件确定？（两点）B问题2：一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？（观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？A问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟,记牢倾斜角及范围！α当直线L与x轴垂直时, =A问题4：除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？B问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）【温馨提示】（1）时，斜率不存在。

当时，当的增大而减小；随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2;0 0,0)2(,0 )2,0 (πααααππαααπα===<∈>∈k k k k k k k（2）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角,但不是每一条直线都有,倾斜角为90°的直线没有斜率,在使用斜率来研究直线时,经常要对直线是否有斜率分情形讨论.（3）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的,倾斜角是直接反映这种倾斜程度的,斜率等于倾斜角的正切值,在以后的学习中将体会到,研究直线时,使用斜率常常比使用倾斜角更方便.B 问题6：阅读教材83---84页探究如何由直线上的两点求直线的斜率呢？计算公式如何？（牢记公式）典型例题：A 例1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB 、BC 、CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.B 例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1、 -1、2及-3的直线L 1、L 2、L 3、L 4六、达标训练：A1.如图,图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( )A. k 1< k 2 <k 3B. k 3< k 1 <k 2C. k 3< k 2 <k 1D. k 1< k 3 <k 2 A2、若经过P （－2,m ）和Q （m,4）的直线的斜率为1,则m=（）A 、1B 、4C 、1或3D 、1或4A3、若A （3,－2）,B （－9,4）,C （x,0）三点共线,则x=（）A 、1B 、－1C 、0D 、7 B4、直线经过原点和（－1,1）,则它的倾斜角为（）A 、45°B 、135°C 、45°或135°D 、－45° C5、△ABC 为正三角形,顶点A 在x 轴上,A 在边BC 的右侧,∠BAC 的平分线在x 轴上,求边AB 与AC 所在直线的斜率.C6、若经过点P （1－a ,1＋a ）和Q （3,2a ）的直线的倾斜角为钝角,求实数a 的取值范围.七、小结与反思1,掌握直线的倾斜角、斜率及二者关系,会进行倾斜角、斜率的有关运算.【励志良言】日出唤醒大地,读书唤醒头脑高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:直线的倾斜角与斜率习题课一、学习目标:知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,能用直线的倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。

过程与方法：通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系,实现用代数方法解决几何问题情感态度与价值观：(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、学习重、难点学习重点:两条直线平行和垂直的判定,要求学生能熟练掌握,并灵活运用．学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围三、学法指导及要求:1、认真研读教材82---85页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值,斜率的计算公式必须牢记）3、A:自主学习；B:合作探究；C ：能力提升4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成A.B 类题.平行班的A 级学生完成80％以上B 完成70％～80％C 力争完成60％以上. 四、知识链接： 1.直线的倾斜角的范围： 2. 直线的斜率：3. 过P （1x ,1y ）和Q （2x ,2y ）的直线的斜率公式：当1x =2x 时,直线斜率4.k=0时,直线 x 轴或与x 轴；k>0时,直线的倾斜角为 ,k增大,直线的倾斜角也；k<0时,直线的倾斜角为 ,k 值增大,直线的倾斜角也。

5. l 1∥l 2⇔ ,;l 1⊥l 2⇔ 五、学习过程：题型一：已知两点坐标求直线斜率经过下列两点直线的斜率是否存在,若存在,求其斜率（1） (1,1),(-1,-2) （2） (1,-1),(-2,4) （3） (-2,-3),(-2,3)题型二：求直线的倾斜角设直线L 过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转︒45,得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( )A.︒+45αB.︒-135αC.α-︒135D.[︒-⎢⎣⎡∈︒+∈1354345430αππααπα，为），；当）时，为，当变式：已知直线L 1的倾斜角为α,则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β= 题型三：斜率与倾斜角关系当斜率k 的范围如下时,求倾斜角α的变化范围：1)1(-≥k 1)2(≤k 33)3(≤<-k题型四：利用斜率判定三点共线已知三点A（a,2）,B（5,1）,C（-4,2a）在同一条直线上,求a的值。

题型五：平行于垂直的判定已知A（1,-1）,B（2,2）,C（3,0）三点,求点D的坐标,使直线,CD 且CB//AD.AB题型六：综合应用已知两点A（-3,4）,B（3,2）,过点P（2,-1）的直线L与线段AB有公共点,求直线L的斜率k的取值范围变式：若三点A（3,1）,B(-2,k),C（8,1）能够成三角形,求实数k的取值范围。

六、达标训练：A1.下列命题正确的个数是 ( )1) 若a 是直线L 的倾斜角,则︒<≤︒1800a 2）若k 是直线的斜率,则R k ∈3）任一直线都有倾斜角,但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率,但不一定有倾斜角 A ．1 B.2 C.3 D.4A2.直线L 过(,)a b , (,)b a 两点,其中0,≠≠ab b a 则（）A.L 与x 轴垂直B. L 与y 轴垂直C.L 过原点和一,三象限D.L 的倾斜角为︒135B3.已知点)1,1(),321,1(-+B A ,直线L 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半,则L 的斜率为（） A.1 33.B 3.C D.不存在 B4.直线L 经过二、三、四象限,L 的倾斜角为a,斜率为k,则（） 0sin .>a k A 0cos ..>a k B 0sin .≤a k C 0cos .≤a kD A5.已知直线L 的倾斜角为1312cos ,=a a ,则此直线的斜率为。

B6.若),0(),2,(),5,1(a C a a B a A ---三点共线,则a=C7.已知四边形ABCD 的顶点为)5,2(),3,3(),1,6(),,(D C B n m A ,求m 和n 的值,使四边形ABCD 为直角梯形。

七、小结与反思【励志良言】成功的人找方法,失败的人找借口；要成功就没有借口,要借口就不可能会成功。

高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:3.2.1直线的点斜式方程一、学习目标1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情感态度与价值观:通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养数形结合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。

二、学习重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做好记号。

2、牢记直线的点斜式方程形式,注意适用条件。

3、要求小班、重点班学生全部完成,平行班学生完成A、B类问题。