抽象代数习题
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ).A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（ )个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( ）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、(N,≤）B、(Z，≥）C、（｛2,3,4，6,12},|(整除关系））D、 (P（A）,⊆）5、设S3＝{（1)，（12），(13),（23），（123），(132）},那么,在S3中可以与(123）交换的所有元素有（ )A、（1)，(123)，（132)B、12），(13)，（23)C、（1），(123）D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是-———--——的，每个元素的逆元素是-----———的.2、如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元，则()[]=-aff1----—---—-。
3、区间［1，2]上的运算},{min baba=的单位元是--—-———.4、可换群G中｜a｜=6，｜x|=8,则|ax|=—-————————。
5、环Z8的零因子有 --—-——-----—--——-——-———。
6、一个子群H的右、左陪集的个数——--———-——。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的—--—-----.8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的—-——-—-----。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为-———-—-—.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。
A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。
5、环Z8的零因子有 -------------- 。
&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。
抽象代数自选题
自选题目：1、设G 是一个群，证明：（1）在G 中，阶大于2的元素的个数一定是偶数；（2）在G 中，阶等于2的元素的个数与G 的阶有相反的奇偶性。
2、证明：6阶交换群是循环群3、设N G ≤，且[]:2,G N =证明N G 。
4、设M ，N 是群G 的正规子群，证明：（1）MN NM =；（2）MN 是G 的正规子群；（3）若{}MN ,.M N e M N N ⋂=∀∈∈那么与同构，且mn=nm,m M,n5、设p 是一个素数，G 是p 的方幂阶的群，试证G 的非正规子群的个数一定的p 的倍数。
6、证明148阶群G 不是单群。
7、设p 是素数，则2p 阶群G 是Abel 群。
8、设G 是2p q 阶群，p ，q 为不同素数。
证明：G 不是单群。
9、设1G ，2G 分别为1n ，2n 阶循环群，证明：1221G G n n ⇔ .10、若群中元素a 的阶为m ，元素b 的阶为n ，则当ab ba =且(),1m n =时，有 ab mn =，即ab a b =.11、设群中元素a 的阶为n ，证明()(),,s t a a s n t n =⇔=.12、设H ，G 是群的两个正规子群，且二者的交为{}e ，证明：H 与G 中的元素相乘时可换.13、设H 是包含在群G 的中心内的一个子群，证明：当G H 是循环群时，G 是交换群.14、证明：3n ≥时2n -个3轮换()()()123,12412n 是n A 的一组生成元。
15、证明：同构意义下，6阶群只有6 与3S .16、设p 为素数，证明：2p 阶群G 为Abel 群.17、若G 是由a , b 生成的群，且b ba 32a =e ，4,3==b a ，证明：G 为Abel 群。
18、设f ：G →H 是群同态，若g 是G 的一个有限阶元。
试证: f(g)的阶整除g 的阶。
19、证明：任意一个群G ，都不能被它的两个真子群覆盖。
20、设M ◁G , N ◁G 。
抽象代数
近世代数练习题一、填空题1、设集合A={1,2,3,⋯,m}，B={1,2,3,⋯,n}，是正整数n m ,，集合B A ⨯含有 个元素。
2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。
3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个4、n 次对称群n S 的阶是 。
5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。
6、设R 是模2n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2x 在R 里有个根。
7、由13=x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。
8、一个 环是域。
9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。
10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。
二、选择题1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ）。
332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC132231:→→→σD2、下列说法错误的是（ ）域是除环A域是整环B 可交换除环是域C可交换整环是域D3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。
奇数A 偶数B 0C 整数D4、下列环中不是除环的是（ ）整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()()=+++11352x xx （ ）。
()1A()12+xB()135++x xC()2235+++x x xD6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ）αασ→:A2:αατ→Bααρ-→:C ααδ→:D7、设22⨯R是数域R 上的一切22⨯矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则以下矩阵可作为环22⨯R的零因子的是（ ）。
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)=x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x +C. 245x x ++D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B )A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。
大三数学抽象代数精选题目
大三数学抽象代数精选题目一、群论1. 给定一个群G，证明其单位元素是唯一的。
证明：设e和e'都是群G的单位元素，即对任意的g∈G，有eg=ge=g和e'g=ge'=g。
则有：e=g⁻¹g= (e'g⁻¹)g=e'(g⁻¹g)=e'。
因此，群G的单位元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明：G中任意元素的逆元素也在G中。
证明：设g∈G，由群的定义可知，存在一个元素g'∈G使得gg'=g'g=e （其中e为群G的单位元素）。
因此，g'是g的逆元素。
由此可见，G中任意元素的逆元素也在G中。
二、环论1. 证明：对于任意整数n，Zn（整数环Z中模n的剩余类）构成一个环。
证明：（1）封闭性：对于任意的a、b∈Zn，a=b(mod n)，即a与b同余(mod n)，那么a+b和ab与b+a(mod n)以及ab(mod n)也是模n的剩余类，因此Zn对于加法和乘法运算均封闭。
（2）结合律：由于Zn对于加法和乘法运算均封闭，结合性显然成立。
（3）加法单位元：对于任意的a∈Zn，a+0=a=0+a(mod n)，其中0为模n的零元。
（4）加法逆元：对于任意的a∈Zn，存在一个元素b∈Zn使得a+b=b+a=0(mod n)，即b为a的加法逆元。
（5）乘法单位元：对于任意的a∈Zn，a×1=a=1×a(mod n)，其中1为模n的单位元。
（6）乘法交换律：由于Zn对于乘法运算封闭，交换律显然成立。
综上所述，Zn构成一个环。
2. 证明：交换环中存在无零因子的元素。
证明：设R是一个交换环，如果存在a、b∈R且ab=0，则可以得出结论a=0或b=0。
首先，如果a≠0，则对于任意的r∈R，有ra≠0（否则，若存在r∈R 使得ra=0，则可得ra=r(ab)=(ra)b=0，与假设矛盾），那么有ra=b(ab)=0，即b=0。
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( ).A、2阶B、3 阶Ｃ、4 阶Ｄ、 6 阶2、设G是群，Ｇ有( ）个元素，则不能肯定Ｇ是交换群。
A、４个B、5个C、6个D、7个３、有限布尔代数的元素的个数一定等于( ).Ａ、偶数Ｂ、奇数 C、4的倍数 D、２的正整数次幂４、下列哪个偏序集构成有界格( )Ａ、（N,≤) B、（Ｚ,≥）C、（{２,3,４，6，12｝，|（整除关系)）Ｄ、 (P(Ａ），⊆）5、设S3=｛(１)，（12)，(1３）,(2３),(１23）,(1３2)},那么，在S3中可以与（1２3)交换的所有元素有( )A、(１）,(1２3）,(1３２）B、12),（1３）,(2３）C、（1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共１0小题，每空３分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--—---——的，每个元素的逆元素是—-—-—--—的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1－———-———-—．3、区间［１，2]上的运算},{min baba=的单位元是-—--——－。
4、可换群Ｇ中|ａ|＝6,|ｘ｜=8,则|ａx｜=—－—-——-———。
5、环Z８的零因子有—--———-———-—--————－--—-。
6、一个子群H的右、左陪集的个数—－-—－——--—。
7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的———－——-—-。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为Ｒ的—－—--————-—。
9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n=,那么m 与n 存在整除关系为——--－—--.三、解答题（本大题共3小题，每小题１0分，共３0分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?２、S 1,S 2是A 的子环，则S １∩S 2也是子环。
抽象代数习题精选精解
抽象代数习题精选精解抽象代数是数学中的一个分支，研究的是抽象的代数结构及其属性。
这里列举一些抽象代数习题，希望对于初学者来说有所帮助。
一、环与域1. 求证：整数环中有无限多个素元。
解答：先定义若 $p$ 是素数，则 $p$ 是一个整数环中的素元。
现在假设整数环中只有有限个素元 $p_1,p_2,\ldots,p_n$。
令$P=p_1p_2\cdots p_n + 1$，则 $P$ 不是素数，且 $P$ 是整数环中的元素。
根据算术基本定理，$P$ 可以表示为若干素元的积，但由于 $P$ 不是素数，所以 $P$ 不能表示为 $p_1,p_2,\ldots,p_n$ 的积。
这就与 $p_1,p_2,\ldots,p_n$ 是整数环中所有的素元矛盾了。
所以整数环中有无限多个素元。
2. 证明：有限域的元素个数必须是素数幂。
解答：设 $F$ 是一个有限域，则 $F$ 必须有一个加法单位元$0$ 和一个乘法单位元 $1$。
$F$ 的乘法群是一个阶数为 $q-1$ 的循环群，其中 $q$ 是 $F$ 中的元素个数。
由于 $q-1$ 是素数幂，所以 $q$ 必须是素数幂。
也就是说，有限域的元素个数必须是素数幂。
二、群1. 证明：任何一个群都存在唯一的单位元。
解答：设 $G$ 是一个群，$g$ 是 $G$ 中的任意元素。
取$e_1=e_2g$，其中 $e_1,e_2$ 是 $G$ 的单位元。
由于 $G$ 是群，我们可以通过左乘和右乘来证明$e_2=e_1$。
假设$e_2\neq e_1$，则 $ge_1=ge_2$，且 $e_1g=e_2g$。
左乘 $g^{-1}$ 可以得到$e_1=e_2$，这与假设不符。
所以，$e_2=e_1$，即 $G$ 中存在唯一的单位元。
2. 设 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，证明：$|H|$ 整除 $|G|$。
解答：由拉格朗日定理得$|G|=|H|(G:H)$。
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1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？2. 代数结构〈I ，+〉与〈N ，·〉是否同构？3. 设X 为集合，证明〈P （X ），∩〉与〈P （X ），∪〉是同构的。
4. 求出〈N 6，+6〉的所有自同态。
1. 给定代数结构〈I ，+，·〉，定义I 上的二元关系R 为：i R j 当且仅当 | i | = | j | ,关于加法运算 +，R 是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？2. 设R 是N 3上的等价关系。
若R 关于 +3具有代换性质，则R 关于·3也一定具有代换性质。
求出N 3上的一个等价关系S ，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。
3. 试确定I 上的下述关系R 是否为〈I ，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x ＜0∧y ＜0＝∨(x ≥0∧y ≥0)； b) x R y 当且仅当 | x ·y |＜10；c) x R y 当且仅当 (x = 0∧y = 0)∨(x ≠0∧y ≠0)； d) x R y 当且仅当 x ≥ y 。
第二章2. 在以下给出的N 上的关系R 中，哪些是么半群〈N ，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。
a ) aRb 当且仅当 a －b 是偶数。
b ) aR b 当且仅当 a ＞b 。
c ) aR b 当且仅当 存在r ∈I 使a = 2 r ·b 。
d ) aR b 当且仅当 10整除a －b 。
3. 设〈S ，*〉是半群，a ∈S ，在S 上定义二元运算·如下：x ·y = x * a * y ， x ，y ∈S证明〈S ，·〉也是半群。
4. 设〈M ，*〉是么半群且＃M ≥2。
证明M 中不存在有左逆元的左零元。
5. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R a a T R b a b a S |000,,|00，·为矩阵的乘法运算。
证明： 1)〈S ，·〉为么半群； 2)〈T ，·〉为么半群； 3)〈T ，·〉是〈S ，·〉的子半群，但〈T ，·〉不是〈S ，·〉的子么半群。
9. 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。
定理2.2.5 设〈G ，*〉为群。
若k ∈I 且a ∈G 的阶为n ，则a k = e 当且仅当 n ｜k 。
定理2.2.6 设〈G ，*〉为群且a ∈G 。
若k ∈I 且a 的阶为n ，则a k 的阶为 n /（k ，n ）。
推论 设〈G ，*〉为群。
若a ∈G ，则a 与a －1的阶相同。
定理2.2.7设〈G，*〉为交换群且a，b∈G。
若a的阶为m，b的阶为n且（m，n）=1，则ab的阶为mn。
定理2.2.8有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并且不超过＃G 。
习题2.22. 设〈G，*〉是群，u∈G，定义G上的二元运算·如下：a·b = a* u－1 * b，a，b∈G证明〈G，·〉也是群。
3. 设〈G，*〉为群，如果对任意a∈G均有a2 = e，则〈G，*〉为交换群。
4. 设〈G，*〉为群，证明〈G，*〉是交换群，当且仅当对任意a，b∈G，均有(ab)2 = a2 b2。
5. 设〈G，*〉为群，且对任意a，b∈G均有(ab)3 = a3b3且(ab)5 = a5b5。
证明〈G，*〉为交换群。
5.设〈G，*〉是群，a，b∈G，a不是G的么元且a4b = ba5。
证明ab≠ba。
6.证明每个元素都可约的有限半群是群。
7.证明有限多个群的积代数结构仍是群。
10. 设〈G，*〉是群，a，b，c∈G。
证明1)a和b－1ab的阶相同；2)ab和ba的阶相同；3)abc，bca和cab的阶相同。
11. 有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。
12. 证明〈N n－{0}，·n〉是群，当且仅当n为素数。
13. 设d，m∈I+ 。
证明d是m的因子当且仅当d是〈N m，＋m〉中某元素的阶。
14. 求下列群中每个元素的阶：1)〈N5，＋5〉；2)〈N12，＋12〉；3)〈N7－{0}，·7〉；4)〈N13－{0}，·13〉。
定理2.3.2若H为群G的非空子集，则H≤G，当且仅当对任意a, b∈H皆有a * b－1∈H。
定理2.3.3若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭，则H≤G。
定理2.3.5设f是群G1到G2的群同态，e i 为G i的幺元（i = 1, 2）。
i）f (e1) = e2 。
ii）若a∈G1，则f (a－1 ) = ( f (a ) )－1 。
iii）若H≤G1，则f [H]≤G2 。
iv）若f为群单同态且a∈G1，则a的阶与 f (a ) 的阶相同。
习题2.31.找出下列各群的所有子群。
a) 〈N12，+12〉；b) 〈N5，+5〉；c) 〈N7－{0}，·7〉；d ) 〈N 11－{0}，·11〉。
2. 求下列各群上的自同态。
1) 〈N 8，+8〉； 2) 〈N 6，+ 6〉； 3) 〈N 5－{0}，·5〉； 4) 〈N 7－{0}，·7〉。
3. 设f 是群〈G 1，*〉到〈G 2，·〉的群同态，a ∈G 1 。
a 与f (a ) 的阶一定相同吗？证明你的断言。
4. 设H 1和H 2是群G 的子群，证明H 1∩H 2 也是G 的子群。
H 1∪H 2是G 的子群吗？证明你的断言。
5. 设H 是群G 的非空子集，并且H 中每个元素的阶都有限，则H 为G 的子群的充分必要条件是H 关于G 的乘法封闭。
6. 设f 和g 均为群G 1到G 2的群同态，令H = { a ∈G 1 | f (a ) = g (a ) }证明H 是G 1的子群。
7. 设G 是群，H 和K 是G 的子群。
a ) HK 和KH 必为G 的子群吗？试证明或给出反例；b ) HK 是G 的子群，当且仅当HK ＝KH 。
8. 设〈G ，*〉是群，令C (G ) = { x ∈G | 若y ∈G ，则x * y = y * x }证明C (G ) 是G 的子群。
C (G ) 称为 群G 的中心。
9. 设H 为群G 的子群，a ∈G ，令aHa －1 = { aha －1 | h ∈H }证明aHa －1 是G 的子群。
aHa －1 称为H 的共轭子群。
10. 设H 为群G 的子群，令N (H ) = {a ∈G | aHa －1 = H }证明N (H ) 是G 的子群。
N (H ) 称为H 的正规化子。
11. 群G 的自同构是从G 到G 的同构。
证明G 的所有自同构的集合关于函数的合成运算构成群。
12. 设G 是有限群，H 是G 的子群，a ∈G 。
证明存在最小正整数m 使a m ∈H ，且m 是a 的阶n 的因子。
13. 设a 是群G 的阶为n 的元素，H 是G 的子群。
证明：如果a m ∈H 且 (m ，n ) =1，则a ∈H 。
2. 求下列置换：a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13424321 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛12344321 b) 3136254654321⎪⎪⎭⎫⎝⎛c) (1 2 3 4 5) (2 3 4) d) (3 6 2) (1 5) (4 2)e) 1435612654321-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f) (1 2 4 6 5 7)－23. 将下列置换表示为无公共元素的循环的乘积：a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543216654321 b) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛37516427654321 c) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛6153724989876543214. 除么元外，每个元素的阶都是2的四阶群称为克莱因（Klein ）四元群。
a) 列出克莱因四元群的运算表； b) 找出克莱因四元群的所有子群； c) 找出与克莱因四元群同构的置换群。
5. 指出下列群是否为循环群？若是循环群，则给出其一个生成元： 1) 有理数加群〈Q ，+〉；2) 正有理数乘法群〈Q+ ，·〉； 3) 〈G n ，·〉，其中G n = {x | x ∈C 且x n =1}，n 为正整数，·为复数的乘法。
4) 〈I ，*〉，其中a * b = a + b －2，a ，b ∈I 。
6. 设G 为群，a ，b ∈G ，a 的阶为素数p 且a ∉(b )。
证明 (a )∩(b ) = {e }。
8. 设H = (a m )，K = (a n ) 是循环群G = (a ) 的两个子群，且d = [m ，n ]。
证明H ∩K ＝ (a d )。
9. 任一无限群必有无穷多个子群。
10. 证明循环群的子群必为循环群。
11. 证明无限循环群恰有两个生成元。
12. 无限循环群的子群除{e }外均为无限循环群。
13. 设存在代数结构〈G ，·〉到〈G ′，*〉的满同态，如果〈G ，·〉是循环群，则〈G ′，*〉也是循环群。
14. 设G 是无限循环群，G ′是任意循环群。
证明存在G 到G ′的满同态。
定理2.5.4（拉格朗日定理） 如果H 是有限群G 的子群，则＃H 整除 ＃G ，并且＃G = ＃H ·［G ∶H推论1 有限群G 的每个元素的阶整除G 推论2例4 若将同构的群视为一个群，则只存在两个4阶群，并且都是交换群。
例5 若H 和K 是群G 的子群且K △G ，则H ∩K △H定理2.5.6 设H △G ，则G 关于H 的陪集关系R 是G 定理2.5.7 设H 为群〈G ，·〉的不变子群，则〈G ，·〉关于H 的陪集关系的商代数结构 〈G / H ，⊙〉是群，并称为G 关于H 的商群。
其中对任意a ·H ，b ·H ∈G / H ， (a ·H ) ⊙ (b ·H ) = (a ·b )·H 。
定理2.5.8 设R 是群〈G ，·〉上的同余关系，则［e ］R △G ，并且R 是G 关于［e ］R的陪定义2.5.3 设f 是群G 1到G 2的群同态，集合 {g ∈G 1｜f (g ) = 2G e } 称为f 的同态核，记为Ke r f ，其中2G e 为G 2的幺元。
定理 2.5.9 设f ：G1 →G2 i) Ke r f △G １ii) f 是内射 当且仅当 Ke r f = {1G e }定理2.5.10 （群第一同构定理） 设f 是群〈G 1 ，·〉到〈G 2 ，*〉的群同态，则商群〈G 1 / Ke r f ，⊙〉同构于〈 f ［G １］，*这只是定理1.5.2定理2.5.12 若H ，K 是群G 的有限子群，则｜H K ｜=｜H ｜·｜K ｜/｜H ∩K ｜。