四川省高一下学期期末数学试卷
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A. B. C. D.2．设复数z 满足( )A. B. C. D.3．设,,A. B. C. D.4．已知( )5．平面与平面平行的充分条件可以是( )A.内有无穷多条直线都与平行B.直线,,且,C.直线,直线,且,D.内的任何一条直线都与平行6．如图,为直角三角形,,,C 为斜边的中点,P 为线段的中点,则( )7．若圆台侧面展开图扇环的圆心角为,其母线长为2,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,则该圆台的高为( ){}25A x x =∈-<<Z {}24B x x x =<A B = (0,4){1,2,3}{}1-(2,4)-(1i)3i z -=-=2i+2i-12i -12i+0.48a = 1.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭c =a c b <<a b c<<c b a <<c a b<<tan α=α=αβαβm ⊄m β⊄//m α//m βm α⊂n β⊂//m β//n ααβAOB △1OA =2OB =AB OC AP OP ⋅=12180︒A.8．已知函数,若方程有4个不同的根,,,,且,则的值为( )A.3B.0C.2D.6二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A.任意向量,与同向,则B.若向量,且,则A,B,C 三点共线C.若,则与的夹角是锐角,,则在上的投影向量为10．已知函数,满足,且,则( )A.的图象关于C.在上单调递减D.的图象关于点对称11．正方体的棱长为2,已知平面,则关于平面截正方体所得截面的判断正确的是( )A.截面形状可能为正三角形B.平面与平面ABCD 所成二面角的正弦值为C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为三、填空题12．已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数,当时,,则的值为____________．__________.41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x k =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<3412x x x x --a b ba b> PA PB PC λμ=+ 1(01)λμλ+=<<0a b ⋅>a b 6b 3,π4b = a b -()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()f x x 1φ2=-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 13π,012⎛⎫⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1AC α⊥αα()f x 01x <<()2xf x =72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=14．已知三棱锥底面是边长为3的等边三角形,且,当该三棱锥的体积取得最大值时,其外接球的表面积为____________．四、解答题15．已知向量,且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直,求k 的值．16．已知函数的部分图象如下图所示．（1）求函数的解析式．（2）若将函数的图象,求不等式的解集．17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,已知．（1）求B ;（2）若．18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,E ,F 分别为,的中点,G 为线段上一动点,平面．（1）证明：平面平面;（2）当时,证明：平面;（3）若,四面体的体积等于四棱锥的S ABC -SA AB SB ==(1,1a =-()3a b b +⋅= a bka b + a kb -π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x (f x ()g x ()1g x >ABC △2cos 2b C a c =+b =sin A C =c +P ABCD -ABCD PB PC AC PD ⊥ABCD ⊥BDF A E G 3CG AG =//EG BDF 2AD PD =BGEF P ABCD -．19．对于三个实数a,b,k ,若（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”,并说明理由;（2）若,具有“性质k ”,求实数k 的最大值．()()()(22111a b k a b --≥--22x --x ≤≤x cos x参考答案1．答案：B解析：,,所以.故选：B.2．答案：C,.故选：C.3．答案：D解析：因为函数在R 上单调递增,所以,又因为函数在上单调递增,所以,所以.故选：D.4．答案：B解析：依题意,故选：B.5．答案：D解析：对于A,若内有无穷多条直线都与平行,则,平行或相交,故充分性不成立,故A 错误;对于B,如图,在正方体中,平面,平面,{}{}251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-Z {}{}2404B x x x x x =<=<<{1,2,3}A B = ()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+2x y =. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭lg y x =(0,)+∞1lg lg103c =<=c a b <<2222222211cos sin 1tan 2cos2cos sin 1cos sin 1tan 12ααααααααα---=-=====+++αβαβ1111ABCD A B C D -11//C D ABCD 11//C D 11ABB A而平面平面,故充分性不成立,故B 错误;对于C,如图,在正方体中,平面,平面,而平面平面,故充分性不成立,故C 错误;对于D,由面面平行的定义知能推出平面与平面平行,故充分性成立,故D 正确.故选：D.6．答案：B解析：因为,取中点Q ,连接,故选：B.7．答案：C解析：设圆台的上底面的圆心为H ,下底面的圆心为O ,设圆台的母线交于点S ,11ABB A ABCD AB =1111ABCD A B C D -11//A B ABCD //CD 11ABB A 11ABB A ABCD AB =αβ()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14BA ==AO PQ 144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221514164PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-=⎢⎥⎣⎦为圆台的母线,且,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,,所以,由圆台侧面展开图扇环的圆心角为,所以下底面圆的周长为,所以,所以,,在直角梯形中,易求得故选：C.8．答案：A解析：作出函数的图象如下由对称性可知,由图可知,所以,则,,,故选：A.9．答案：BD解析：对于A,向量不能比较大小,故A 错误,对于B,向量且时,由向量共线定理的推论,知A,B,C 三AB 2AB =HA OB ==2=4SB =180︒4π2π4πOB ⋅=2OB =1HA =HABO OH ==41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x +=-434log x =3401x x <<<43log 0x <444344log 0log log x x x ⇒-=>434log 0x x =341x x ∴=34121(2)3x x x x ---=-=PA PB PC λμ=+1(01)λμλ+=<<点共线,故B 正确,对于C,当,同向共线时,,此时夹角不是锐角,故C 错误,,故D 正确.故选：BD 10．答案：BD解析：因为函数函数,满足,所以的图象关于所以,所以,,因为,,即,所以,,所以则,由,可得,所以在上不单调,故C 错误;由,所以的图象关于点对称,故D 正确．故选：BD ．11．答案：ACD解析：如图,在正方体中,连接,,,,a b 0a b a b ⋅=⋅>3π4=-()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin(2)f x x ϕ=+x =πsin(2)3ϕ⨯+=±πk ϕ+=+∈Z ππ6k ϕ=-k ∈Z ()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()sin πsin 2πϕϕ+>+sin 0ϕ<2k n =n ∈Z sin ϕ=π()sin(26f x x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π11π(,)2666x ∈-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-()f x 13π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1A B 1A D BD AC因为平面,平面,则,因为四边形为正方形,则,又因为,,平面,所以,平面,因为平面,则,同理可证,因为,,平面,则平面,所以平面与平面平行或重合,所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形,故A 正确;平面与平面所成二面角正弦值为即为平面与平面所成的角,设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,又平面,又平面,所以,又,,平面,又平面,所以,所以是平面平面与平面所成二面角的平面角,由题意可得,进而可得所以所以平面与平面的1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥ABCD BD AC ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11AA C C BD ⊥11AA C C 1AC ⊂11AA C C 1BD AC ⊥11A B AC ⊥1A B BD B = 1A B BD ⊂1A BD 1AC ⊥1A BD α1A BD 1A BD αABCD 1A BD ABCD AC BD 1OA ABCD AC BD ⊥1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂1AA O 1AO ⊂1AA O 1BD AA ⊥1AOA ∠1A BD ABCD 12A A =12AO AC ==1AO ==111sin AA AOA A O ∠===α当E,F,N,,M,G,H 分别为对应棱的中点时,截面为正六边形,因为E ,H 分别为,的中点,则,因为平面,平面,则平面,同理可得平面,又因为,,平面,则平面平面,所以,平面,此时截面为正六边形,故C 正确;如图设截面为多边形,设,则,则,所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和,所以,因为EFNMGH 1BB 11A B 1//EH A B EH ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD //EH 1A BD //EF 1A BD EH EF E =I EH EF ⊂EFNMGH //EFNMGH 1A BD 1AC ⊥EFNMGH GMEFNH 1A G x =02x ≤≤,)GH ME NF MG HN EF x ======-MN =GMEFNH 1211()()22S GH MN h MN EF h =+⋅++⋅1h ==所以=时,故选：ACD.12．答案：解析：根据题意,是定义在R上周期为2的奇函数,所以故答案为：13．答案：414．答案：解析：依题意,三棱锥的底面面积是个定值,侧面是等边三角形,顶点S到边的距离也是一个定值,所以当该三棱锥的体积取得最大值时,平面平面,取的中点,连接,,N,M分别为正三角形,的中心,所以,,所以为二面角平面角,可得,过N,M分别作平面,平面的垂线,,两垂线交于O,的2h==11)22S x=+-11)22S x=+++-221)x=++=-+1x=maxS=()f x127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2sin301041sin202︒-︒==︒15πS ABC-ABC△SAB ABSAB⊥ABCAB SH CH SAB ABCSH AB⊥CH AB⊥SHC∠S AB C--SH CH⊥SAB ABC NO MO则O 为外接球的球心,由正三角形的性质可求得进而可得易得四边形是正方形,所以由勾股定理可得其外接球的表面积为.故答案为：.（2）或解析：（1）由,得设向量与的夹角为,由,,所以,所以,解得所以向量与（2）由向量向量与互相垂直,得,所以,即,解得或．16．答案：（1）（2）,解析：（1）由图象知,即,又,,所以SH CH ==NH HM ==CM ==OMHN OM =OC ==24π15π=15π1k =1k =-()1,1a =-||a == a b[0,π]θ∈()3a b b +⋅= 2a b b ⋅+= 1a b ⋅= ||||cos 1a b θ⋅= cos θ=a b ka b + a kb -()()·0ka b a kb +-= 2220ka k a b a b kb -⋅+⋅-= 22120k k k -+-=1k =1k =-1π()2sin()26f x x =+ππ(π,π)66k k -+k ∈ZA =8π2π2π33=-=4πT =0ω>4π=ω=1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点,所以,所以,,解得,.又．（2）将函数可得函数,的图象,所以,由,可得,所以所以,,所以,所以不等式的解集为,．（2）2解析：（1）因为余弦定理可得,所以,因为,所以,,2π(,2)32π12π(2sin()2323f ϕ=⨯+=πsin()3ϕ+=π2π2k ϕ+=+k ∈Z 2ππ6k ϕ=+k ∈Z ||ϕ=1π()2sin(26f x x =+(f x ()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+()g x ()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=()1g x >2cos 21x >cos 2x >ππ2π22π33k x k -<<+k ∈Z πππ6k x k -<<+∈Z ()1g x >ππ(π,π66k k -+k ∈Z 222222a b c b a c ab+-⨯=+222a b c ac -+=-2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈B =2sin sin b c B C====sin =sin C =又,由余弦定理得,即,因为,所以.18．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,且O 为的中点,又平面,又平面,所以,因为E 是的中点,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;（2）连接交于点M ,连接,连接,则O 为的中点,因为,的中点,所以M 为所以,又平面,平面,所以平面;（3）由平面,可得,因为E,F 分别为,的中点,sin sin A C =2c =1=2222cos b a c ac B =+-221322a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+,0a c >2a c +=AC BD OE ABCD AC BD ⊥BD PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD PD BD ⊥PB //PD OE OE BD ⊥OE AC O = OE AC ⊂A E G BD ⊥A E G BD ⊂BDF ⊥BDF A E G CE BF EF OM AC 3CG ==PB PC PBC △==//OM GE OM ⊂BDF EG ⊄BDF //EG BDF PD ⊥ABCD 22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==PB PC所以,所以,所以又四面体的体积等于四棱锥,所以点G ,A平面.19．答案：（1）（答案不唯一）,理由见解析.（2）（3）0解析：（1）与2具有“性质1”.当时,即,则2与2具有“性质1”（2）若所以,即,令,,所以,所以,解得即所以因此x 的取值范围,具有“性质k ”,14BEF PEF PBC S S S ==△△△4A PBC A BEF V V --=228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===BGEF P ABCD -A BEF G BEF V --=BEF 34=2a =4{|log x x ≤4log x ≥2a =2a =()()()(22212112212--≥⨯--⨯90>22x x --()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦()22210442104430xxx x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥4xt =0t >2131300t t t t t-++-≥⇒≥2310t t -+≥0t <≤≥04x <≤x ≥4log x ≤4log x ≥4{|log x x ≤4log x ≥x ≤≤x cos x所以,,化简得令,,两边平方得令求导得令,求导得令,解得,当,,在上单调递减;当,,在上单调递增;又因为,所以,因此,即y 在单调递减,当时,y 取最小值为0,进而得到,实数k 的最大值为0.()()()(22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x --≥--x ≤≤x >cos x cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->()()22cos sin sin cos 1sin cos x x k x x xx k ≥--⇒≤sin cos t x x =-[]0,1t ∈sin cos x x =2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭43212,22t t y t t++-=()()()()()33242234422122622t t t t t t t y t t -++--++='=+462551()h t t t t =+--534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-()0h t '=0,1t t ==<t =()0h t '<()h t t =()0h t '>()h t (0)1h =-(1)0h =()0h t <0'<y []0,11t =0k ≤。
四川省成都市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(理科)(解析版)
四川省成都市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(2,1)a =-，则||(a = )AB ．1C ．2D ．5〖解 析〗(2,1)a =-，||41a ∴=+〖答 案〗A 2．22cos sin (88ππ-= )A ．12B ．2C D ．2-〖解 析〗22cos sin cos884πππ-==． 〖答 案〗B3．等差数列{}n a 中，若11a =-，69a =，则公差(d = ) A ．2B ．3C ．4D ．5〖解 析〗在等差数列{}n a 中，若11a =-，69a =， 则公差619(1)2615a a d ---===-． 〖答 案〗A4．若||1a =，||3b =，32a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 〖解 析〗设向量a 与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π，||1a =，||3b =，32a b ⋅=，∴312cos 132||||a b a b θ⋅===⨯，∴3πθ=． 〖答 案〗C5．已知l ，b ，c 为空间中三条不同的直线，α为空间中一个平面，若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，则l 与α的关系是( )A ．l α⊥B ．//l αC ．l 在α内D ．不确定〖解 析〗若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，当b 与c 相交时，l α⊥，故A 正确； 若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，当//b c 时，//l α或l 在α内，故BC 正确． 〖答 案〗D6．tan15tan 45tan 45(︒-︒+︒︒= )AB 2C ． D〖解 析〗tan15tan 45tan 45tan(1545)(1tan15tan 45)tan 45︒-︒︒︒=︒-︒+︒︒︒︒tan(30)(1tan15tan 45)tan 45tan15tan 45)tan 45=-︒+︒︒+︒︒=+︒︒+︒︒tan 45tan 45=︒︒+︒︒=． 〖答 案〗C7．下列说法正确的是（ ） A ．若＜0，则向量与的夹角一定为钝角B ．等比数列前n 项和公式为S n ＝C ．sin15＜cos15D ．圆台（棱台）体积公式为V ＝（S '++S ）h （其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高） 〖解 析〗对于A ，当＜＞＝π时，，故A 错误；对于B ，当q ＝1时，选项中的公式无意义，故B 错误；对于C ，因为15≈859°＝2×360°+139°，故cos15＝cos139°＜0，sin15＝sin139°＞0，故C 错误；对于D ，圆台（棱台）体积公式为V ＝（S '++S ）h （其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高），故D 正确． 〖答 案〗D8．已知α，β都是锐角，若4cos 5β=，12cos()13βα+=，则cos (α= ) A ．865B ．6365C ．3365D ．3365-〖解析〗α，β都是锐角，4cos5β=，12cos()13βα+=，3sin5β∴=，5sin()13βα+==，1245363cos cos()cos()cos sin()sin13513565αβαββαββαβ∴=+-=+++=⨯+⨯=．〖答案〗B9．如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定〖解析〗因为//AD BC，//AD EF，//CB EF∴，所以B，C，F，E四点共面，即BC，EF确定平面BCEF，又P EF∈，B BC∈，故直线BP⊂平面BCEF，又直线FQ，F∈平面BCEF，Q∉平面BCEF，故直线FQ⊂/平面BCEF，又F BP∉，故直线FQ与PB的关系是异面．〖答案〗C10．已知在递减等比数列{}na中，2518a a+=，3432a a⋅=，若1na=，则(n=) A．6B．7C．8D．9〖解析〗在递减等比数列{}na中，253432a a a a⋅=⋅=①，2518a a+=②，216a∴=，52a=，设等比数列{}na的公比为q，则35221168aqa===，解得12q=，651a a q==，6n∴=．〖答 案〗A11．在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，将ABC ∆沿对角线AC 折起，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 A ．36π B ．64πC ．100πD ．与二面角B AC D --的大小有关〖解 析〗如图所示；设矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，则5OA OB OC OD ====；∴三棱锥B ACD -的外接球的半径为5R =，其表面积为22445100S R πππ==⋅=．〖答 案〗C12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，56ADC π∠=，3BCD π∠=，3BE EC =，CD =，BE =，若点F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅的最小值为( )A ．1B ．1516C ．3132D ．2〖解 析〗以B 为原点，BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，连接DE ，则B (0,0)，E 0)，3BE EC =，BE =，CE ∴=23CD =，3BCD π∠=，DE CE ∴⊥，即2DEC π∠=， 得1DE =，6EDC π∠=，过点D 作DG AB ⊥于点G ，则DG BE ==D 1)， 56ADC π∠=，6ADG π∴∠=，1AG ∴=，点(0,2)A ，∴直线AD 的方程为2y -=，即2y =+，由于点F 是边AD 上的动点，不妨设点(,2)F t +，[0t ∈，则(EF t =，2)+，(,2)BF t =+，∴22415((2)(316EF BF t t t ⋅=++=+，[0t ∈，当t =EF BF ⋅取得最小值，为1516．〖答 案〗B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年四川省成都市高一下册学期期末数学试题【含答案】
成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题考试时间120分钟满分150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分12i12i -=+（）A.－1B.i- C.43i 55- D.43i 55+2.化简PA PB AB -+所得的结果是（）A.2ABB.2BAC.0D.PA3.已知4sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35B.35-C.45D.45-4.下列化简不正确的是（）A.1cos82sin 52sin 82cos1282︒︒+︒︒=-B.1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C.223cos 15sin 152︒-︒=D.tan 48tan 7231tan 48tan 72︒+︒=-︒︒5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π3B =，则角A 为（）A.3π4B.π3C.π4D.π4或3π46.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）A.13B.23C.15D.257.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.128.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2πB.πC.2π D.4π二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.已知复数ππsini cos 66z =+，则（）A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z+= D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥B.,a a b b αα⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.,,b a b a βααββ⊥⋂=⊥⇒⊥11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7m n +=12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为62πB.SAC 面积的最大值为32C.圆锥SO 的外接球的表面积为9πD.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知tan 5α=，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=-____________.14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=______.15.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====，底面ABCD 为平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC ⊥，点F 为线段BE 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .19.已知函数()() sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的单调减区间.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =．（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．（注：km 为千米）请从①4BAC π∠=；②()33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题考试时间120分钟满分150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.2i12i -=+（）A.－1B.i- C.43i 55- D.43i 55+B【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5----===-++-，故选：B2.化简PA PB AB -+所得的结果是（）A.2ABB.2BAC.0D.PAC【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.【详解】0PA PB AB PA AB PB P P B B -++=-=-=.故选：C 3.已知4sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A 35B.35-C.45D.45-C【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】由题得3π4cos sin 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：C4.下列化简不正确的是（）A.1cos82sin 52sin 82cos1282︒︒+︒︒=-B.1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C.223cos 15sin 152︒-︒= D.tan 48tan 7231tan 48tan 72︒+︒=-︒︒D【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin 52si 5s 2n82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，223cos 15sin 15cos302︒-︒=︒=，C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan12031tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=--︒︒，D 选项错误.故选：D5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π3B =，则角A 为（）A.3π4B.π3C.π4D.π4或3π4C【分析】由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理sin sin a bA B=，得π2sinsin 23sin 23a B A b===，又a b <，所以A B <，所以A 为锐角，所以π4A =．故选：C ．6.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）A.13B.23C.15D.25B【分析】设球的半径为r ，结合组合体的特征，利用圆柱和球的体积公式，求得圆柱和球的体积，即可求解.【详解】由题意，圆柱的木料内放置了一个可视为球体与木料的底面和侧面都相切，设内切球的半径为r ，可得343V r π=球，2322V r r r ππ=⋅=圆柱，所以23V V =球圆柱.故选：B.7.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.12A【分析】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，分析可知直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，计算出FG 、EF 的长，即可求得EFG ∠的余弦值.【详解】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，因为四边形ABCD 为正方形，则//AB CD 且2AB CD ==，F 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//AF DG 且AFDG =，所以，四边形ADGF 为平行四边形，故//FG AD 且2FG AD ==，因为//A D AD ''，//A D FG ''∴，故直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，AD ⊥ 平面CDD C ''，EG ⊂平面CDD C ''，则AD EG ⊥，故FG EG ⊥，因为222EG CE CG =+=，226EF FG EG ∴=+=，所以，26cos 36FG EFG EF ∠===.因此，直线A D ''与EF 所成角的余弦值是63.故选：A.8.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2π B.πC.2π D.4πB【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得()2cos(2)4f x x π=+，根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设，44()(cos sin )2sin cos cos 2sin 22cos(2)4f x x x x x x x x π=--=-=+，所以最小正周期为22T ππ==.故选：B二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.已知复数ππsini cos 66z =+，则（）A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z +=D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根BCD【分析】把复数化成13i 22z =+，利用复数的意义判断A ；求出z 、||z 判断BC ；利用复数的四则运算计算判断D 作答.【详解】依题意，复数13i 22z =+，复数z 的虚部为32，A 错误；13i 22z =-在复平面内对应的点13(,)22-在第四象限，B 正确；2213||()()122z =+=，1313(i)(i)12222z z +=++-=，则z z z +=，C 正确；22131313131(i)(i)1(i)i+1022222222z z -+=+-++=-+--=，即z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根，D 正确.故选：BCD10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥B.,a a b b αα⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.,,b a b a βααββ⊥⋂=⊥⇒⊥BCD【分析】根据空间中的线与平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.【详解】A ：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A 正确；B ：由a α⊥，a b ⊥r r可得b α∥或者b α⊂，故B 错误；C ：由a α⊂，b β⊂，αβ∥可得a 与b 异面或//a b ，故C 错误；D ：由βα⊥，b αβ= ，a b ⊥r r，当a α⊄时，不能得到a β⊥，只有当a α⊂时，才可以得到a β⊥，故D 错误.故选：BCD11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7m n += BC【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b =，所以，a 在b上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则()2222492319m n m nm n m n +=+=++⋅=++⨯=，D 错.故选：BC.12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为62πB.SAC 面积的最大值为32C.圆锥SO 的外接球的表面积为9πD.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+BCD【分析】对A ：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B ：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C ：根据题意可得圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，结合余弦定理分析运算.【详解】对A ：由题意可知：222,1,3OA OB SO SA SB SC SO OB ======+=，故圆锥SO 的侧面积为π236π⨯⨯=，A 错误；对B ：SAC 面积113sin 33sin sin 222SAC S SA SC ASC ASC ASC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠=∠ ，在SAB △中，2223381cos 023233SA SB AB ASB SA SB +-+-∠===-<⋅⨯⨯，故ASB ∠为钝角，由题意可得：0ASC ASB <∠<∠，故当π2ASC ∠=时，SAC 面积的最大值为33sin 22ASC ∠=，B 正确；对C ：由选项B 可得：1cos 3ASB ∠=-，SAB ∠为钝角，可得222sin 1cos 3SAB SAB ∠=-∠=，由题意可得：圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，设其半径为R ，则2223sin 223AB R ASB ===∠，即32R =；故圆锥SO 的外接球的表面积为234π9π2⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，C 正确；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，如图所示，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，此时π2,2AC BC ACB ==∠=，在SAC ，2224333cos 023223AC SC AS ACS AC SC +-+-∠===>⋅⨯⨯，则ACS ∠为锐角，则26sin 1cos 3ACS ACS ∠=-∠=，在SBC △，则()π6cos cos cos sin 23SCB SCA ACB SCA ACS ⎛⎫∠=∠+∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭，由余弦定理可得22262cos 342327423SB SC BC SC BC SCB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则742SB =+，故SE BE +的最小值为742+，D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知tan 5α=，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=-____________.115-【分析】将分式的分子和分母同时除以2cos α，化简求值即可．【详解】tan 5α =，2224sin 3sin cos 4tan 3tan 425351154cos sin cos 4tan 45ααααααααα++⨯+⨯∴===----故115-14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=______.3【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示可得.【详解】如图，分别以BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，由题意，(0,0),(0,2),(1,2),(3,0)B A D C ，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，所以1(2,1),(,2)2M N ，所以1(2,1),(,2)2BM BN == ，所以121232BM BN ⋅=⨯+⨯= ，故315.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.1002【分析】先求得,AM AN ，再利用余弦定理求得MN .【详解】10031003sin 60,200sin 60AM AM ︒===︒，502502sin 30,1002sin 30AN AN ︒===︒，在三角形AMN 中，由余弦定理得()()22200100222001002cos 45MN =+-⨯⨯⨯︒1002=米.故100216.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====，底面ABCD 为平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.π2【分析】根据已知，结合图形，利用弧长公式、勾股定理、线面垂直计算求解.【详解】如图，连接11D B ，直四棱柱1111ABCD A B C D -，2,1,60AB AD BAD ∠=== ，所以11111112,1,60C D B C B C D ∠===，在111B C D △中，由余弦定理有：22211111111112cos 60D B C D C B C D C B =+-⋅ ，代入数据，解得113D B =，所以222111111D B C B C D +=，即1111D B C B ⊥，又111BB D B ⊥，1111BB C B B = ，所以11D B ⊥平面11BCC B ，在平面11BCC B 上，以点1B 为圆心，作半径为1的圆，交棱11,BB CC 于点1,M C ，得到弧 1MC ，在 1MC 上任取一点与11,B D 都构成直角三角形，根据勾股定理可知弧 1MC 上任取一点到点1D 的长度为2，所以以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为弧 1MC 的长，因为11π2BB C ∠=，所以根据弧长公式有：弧 1MC 的长度为ππ122⨯=.故答案为π2四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．（1）47a b -=（2）7k =-【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值；（2）由已知可得出()()20a b ka b +⋅-=，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数k 的值.【小问1详解】解：因为4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3，则2π1cos 481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以，()()2222224216847a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯-+=.【小问2详解】解：因为()()2a b ka b +⊥-，则()()()222212a b ka b ka k a b b+⋅-=+-⋅- ()161621264161120k k k =---⨯=--=，解得7k =-.18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC⊥，点F 为线段BE 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；（2）连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，由中位线定理可得//FO DE ，再由线面平行的判定定理可得答案.【小问1详解】因为AB ⊥平面BCE ，EC ⊂平面BCE ，所以AB EC ⊥，因为BE EC ⊥，AB BE B = ，、⊂AB BE 平面ABE ，所以CE ⊥平面ABE ；连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，所以O 点为BD 中点，因为点F 为线段BE 的中点，所以//FO DE ，因为FO ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，所以//DE 平面ACF .19.已知函数()()sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的单调减区间.（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Z k ∈（2）π3π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】(1)由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.(2)由题意利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图像变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论.根据函数()()sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像，可得2A =，32π5π4123πω⋅=+，2ω∴=．再根据五点法作图，5ππ2122ϕ⨯+=，π3ϕ∴=-，故有()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．根据图像可得，0π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，是()f x 的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Z k ∈.【小问2详解】先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 212π32ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，解得πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，可得()g x 的减区间为πππ2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈，结合π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，可得()g x 在4π312π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递减区间为π3π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =．（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．（1）证明见解析（2）2【分析】（1）取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ，利用勾股定理证明1AO AO ⊥，易得1AO ⊥平面111A B C ，再根据面面垂直判定定理即可证明；（2）由（1）可证明AO 为三棱柱的高，利用同底等高的椎体与柱体的关系，通过割补法即可求解.【小问1详解】取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ．∵111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，∴11AO B C ⊥，111AO B C ⊥，13AO AO ==．∴1AOA ∠为二面角111A B C A --的平面角．∵16AA =，∴22211A O AO A A +=，∴1AO AO ⊥．因为1AO AO ⊥，111AO B C ⊥，11O AO B C ⋂=，11,AO B C ⊂平面11AB C 所以1AO ⊥平面111A B C ，又1A O ⊂平面111A B C ，∴平面11AB C ⊥平面111A B C ．【小问2详解】111111111112A BB C C ABC A B C A A B C A A B C V V V V ----=-=由（1）知，1AO AO ⊥，11AO B C ⊥．∵111AO B C O ⋂=，11B C ⊂平面111A B C ，1A O ⊂平面111A B C ，∴AO ⊥平面111A B C ．∴AO 为三棱锥111A A B C -的高．∴111111113431334A ABC A B C V S AO -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ．∴四棱锥11A BB C C -的体积为2．21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．（注：km 为千米）请从①4BAC π∠=；②()33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．（1）52km（2）106km 3【分析】（1）选择条件①由正弦定理得32AC =，选择条件②由余弦定理得32AC =，再结合余弦定理可得AD 的长；（2）根据余弦定理结合均值不等式即可求角线段和最大值．【小问1详解】解：若选择条件①，在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即232sin sin 34=AC ππ，解得32AC =；若选择条件②，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠即()()()()2222332323323cos 183=-+-⨯-⨯⋅=AC π解得32AC =；在△ACD 中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅⋅∠，即()()222342322325=+-⨯⨯AD AD 解得52AD =或725=-AD （舍去）∴服务通道AD 的长为52km ．【小问2详解】在△ADE 中，由余弦定理得：2222cos =+-⋅⋅∠AD AE ED AE DE AED ，∴()22252AE ED AE DE =++⋅，即()250AE ED AE ED =+-⋅，∵22AE ED AE ED +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，∴()23504+≤AE ED ，∴1063+≤AE ED （当且仅当563AE ED ==时取等号）∴折线赛道AED 的最大值为106km 3．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.（1）2B π=；（2）()22,+∞；（3）2324-.【分析】（1）由题目条件可证得222sin sin sin A C B +=,可得ABC 为直角三角形，可求出2B π=.（2）由数量积的定义可求得2102c <<，设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则11sin cos sin cos a c θθθθ++=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则()21122,1,211t t a c t t t +==∈--，判断出21y t t =-的单调性，即可得出答案.（3）用PO 分别表示出PM PN ⋅ ，结合均值不等式即可求出答案.【小问1详解】因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-，所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，所以2B π=.【小问2详解】221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< ，所以2102c <<，而221a c +=，所以设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，又因为()22sin cos 12sin cos ,t θθθθ=+=+所以21sin cos 2t θθ-=，所以()2112,1,21t t a c t +=∈-，令()222,1,211t y t t t t ==∈--，因为1t t -在()1,2t ∈上单调递增，所以21y t t =-在()1,2t ∈上单调递减，所以222122y >=-.所以11a c +的取值范围为()22,+∞【小问3详解】ABC 的外接圆的半径为r ，12r OA OC ===，设(),P m n ，则2222214PN PM PO ON PO ==-=-，其中214PO >，所以()2cos ,2cos 1PM PN PM PN PM PN PM PN NPO ⋅=⋅⋅=⋅⋅∠- ，而2222214cos PO PN NPO PO PO -∠==，222114214PO PM PN PO PO ⎛⎫- ⎪⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2213238424PO PO +-≥-=，当且仅当342PO -=取等.所以PM PN ⋅ 的最小值为2324-.关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.。
2024届四川绵阳中学高一数学第二学期期末统考试题含解析
2024届四川绵阳中学高一数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113a =，312S S =，则8a 的值为（ ） A ．137-B ．0C ．137D ．1822．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ( )． A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －6＝03．如图，AB 是圆O 的直径，点C D 、是半圆弧的两个三等分点，AC a =，AD b =，则AO =（ ）A ．b a -B ．12a b - C ．12a b -D ．22b a -4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．tan15tan75︒+︒=（ ） A ．4B ．23C ．1D ．26．已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．直线210mx y --=与直线2310x y 垂直，则m 的值为（ ） A ． 3B ．34-C ．2D ．3-8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A ．23πB ．2πC ．3πD ．π10．某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 830405070根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程为，则的值为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．70二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年四川省凉山州高一下学期期末检测数学试题+答案解析
2023-2024学年四川省凉山州高一下学期期末检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数是实数，则()A.1B.C.D.2.一电线杆CD位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端C的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点B，测得电线杆顶端C的仰角为，则电线杆CD的高度约为米忽略人的身高A. B.C. D.3.某中学高中一年级有800人，高中二年级有640人，高中三年级有560人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为400的样本，则高中二年级被抽取的人数为()A.64B.96C.112D.1284.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则c为()A.1B.2C.3D.1或25.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为()A.2B.C.1D.6.在中，BC边上的中线为AD，点O满足，则()A. B. C. D.7.若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为()A. B. C. D.8.现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为()A. B.2C. D.3二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足，则()A.z的虚部为4B.C.D.10.下列关于平面向量的说法正确的是()A.若，是相反向量，则B.若，是共线的单位向量，则C.若，则向量，共线D.若，则点A，B，C，D必在同一条直线上11.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是()A.图的平均数=中位数=众数B.图的众数<中位数<平均数C.图的众数<平均数<中位数D.图的平均数<中位数<众数12.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点A，B，C，D在同一个平面内，若四边形ABCD 是边长为2的正方形，则()A.该八面体的表面积是B.该八面体的体积是C.直线AE与平面ABCD所成角为D.动点P在该八面体的外接球面上，且，则点P的轨迹的周长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
成都七中高 2026 届高一下期期末考试数学试题一. 单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 若z=2−i ,则|z−z|=（） .A. √2B. 2iC. 2D. 42. 若|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗夹角为60∘ ,且b⃗⃗⊥(a⃗−b⃗⃗) ,则|b⃗⃗|=（）.A. √32B. 1C. √3D. 23. 已知tanα=2,α为锐角,则sin(α+π4)=（） .A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10104. 将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可能为（）.A. 5π12B. π12C. 5π3D. π35. 已知α,β,γ是三个不同的平面, m,n是两条不同的直线,且α∩β=m ,给出下列四个命题: ①若m//n ,则n//α或n//β②若m⊥n ,则n⊥α或n⊥β③若α⊥β , γ⊥β ,则α//γ④若γ∩β=n,m//n ,则γ//α则上述命题中正确的个数为（）.A. 0B. 1C. 2D. 36. 同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子, 则所得点数之差绝对值小于 2 的概率为（）.A. 23B. 59C. 49D. 137. 羌族是中国西部地区的一个古老民族, 被称为“云朵上的民族”, 其建筑颇具特色. 碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑, 一般多建于村寨住房旁. 现有一碉楼, 其主体部分可以抽象成正四棱台ABCD−A1B1C1D1 ,如图,已知该棱台的体积为224 m3,AB=8 m ,A1B1=4 m ,则二面角A1−AB−C的正切值为（）.A. 3B. 3√22 C. √3 D. 328. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a =1,A =60∘ ,设 O,G 分别是 △ABC 的外心和重心,则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16二. 多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 已知 a ⃗⃗=(1,λ),b ⃗=(λ+2,3) ,则（ ）.A. “ λ=1 ” 是 “ a⃗⃗//b ⃗ ” 的必要条件 B. “ λ=−3 ” 是 “ a ⃗⃗//b ⃗ ” 的充分条件 C. “ λ=−12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的必要条件 D. “ λ=12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的充分条件 10. 已知一组样本数据 x 1,x 2,⋯,x 20,(x 1≤x 2≤⋯≤x 20) 下列说法正确的是（ ）.A. 该样本数据的第 60 百分位数为 x 12B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则其平均数大于中位数C. 若样本数据的方差 s 2=120∑x i 220i=1−25 ,则这组样本数据的总和为 100D. 若由 y i =2x i (i =1,2,⋯,20) 生成一组新的数据 y 1,y 2,⋯,y 20 ,则这组新数据的平均值是原数据平均值的 2 倍11. 如图,在长方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 中, AB =BC =2,AA ′=4,N 为棱 C ′D ′ 中点,D ′M =12,P 为线段 A ′B 上一动点,下列结论正确的是（ ）. A. 线段 DP 长度的最小值为 6√55B. 存在点 P ,使 AP +PC =2√3C. 存在点 P ,使 A ′C ⊥ 平面 MNPD. 以 B 为球心, 176 为半径的球体被平面 AB ′C 所截的截面面积为 6π 三. 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.12. 习主席曾提出 “绿水青山就是金山银山” 的科学论断, 为响应国家号召, 农学专业毕业的小李回乡创业, 在自家的田地上种植了 A, B 两种有机生态番茄共 5000 株, 为控制成本,其中 A 品种番茄占 40% . 为估计今年这两种番茄的总产量,小李采摘了 10 株 A 品种番茄与 10 株 B 品种番茄,其中 A 品种番茄总重 17 kg, B 品种番茄总重 23 kg ,则小李今年共可收获番茄约 kg .13. 已知三棱锥 A −BCD,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, △BCD 是面积为 2 的等腰直角三角形,且平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,则三棱锥 A −BCD 的外接球表面积为 .14. 在 △ABC 中, AB ⊥AC,AB =4,AC =3,P 为斜边 BC 上一动点,点 Q 满足 |PQ |=2 ,且 AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 2m +n 的最大值为 .四. 解答题: 本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, O 是 AC 的中点, E 是 AA 1 的中点,点 F 在 AB 上.(I) 当 F 是 AB 的中点时,证明: 平面 EFO// 平面 A 1D 1C ;(II) 当 F 是靠近 B 的三等分点时,求异面直线 FO 与 A 1C 所成角的余弦值.16. (15 分) 2024 年 4 月 26 日, 主题为“公园城市、美好人居” 的世界园艺博览会在四川成都正式开幕, 共建成 113 个室外展园, 涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格, 吸引了全球各地游客前来参观游玩. 现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了 50 名游客, 统计他们的参观时间 (从进入至离开该展园的时长, 单位: 分钟, 取整数),将时间分成[45,55),[55,65),⋯,[85,95]五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(I) 求图中a的值;(II) 由频率分布直方图, 试估计该展园游客参观时间的第 75 百分位数 (保留一位小数);(III) 由频率分布直方图,估计样本的平均数x(每组数据以区间的中点值为代表).17. (15 分) 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛, 并约定规则如下: 在每个回合中, 若发球方赢球, 则得 1 分, 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球, 则双方均不得分, 且下一回合交换发球权; 比赛持续三回合后结束, 若最终甲乙得分相同, 则为平局.,各回合比赛结果相互独立,第一回合由甲发球.已知在每回合中,甲获胜的概率均为23(I) 求甲至少赢 1 个回合的概率;(II) 求第二回合中有选手得分的概率;(III) 求甲乙两人在比赛中平局的概率.18. (17 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a =4,c =2 , asinA +csinC =2bsinB.D 是线段 AC 上的一点,满足 AD =13AC ,过 D 作一条直线分别交射线 BA 、射线 BC 于 M 、N 两点.(I) 求 b ,并判断 △ABC 的形状;(II) 求 BD 的长;(III) 求 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.19. (17 分) 如图,斜三棱柱 A 1B 1C 1−ABC 中, ∠ABC =90∘ ,四边形 ABB 1A 1 是菱形, D 为 AB 中点, A 1D ⊥ 平面 ABC ,点 A 1 到平面 BCC 1B 1 的距离为 √3,AA 1 与 CC 1 的距离为 2 . (I) 求证: CB ⊥ 平面 ABB 1A 1 ;(II) 求 A 1C 与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦值;(III) 若 E,F 分别为 AA 1,AC 的中点,求此斜三棱柱被平面 B 1EF 所截的截面面积.。
四川省达州市2024学年高一年级(春季)下学期期末监测考试数学试题卷
达州市2024年普通高中一年级春季期末监测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(),6a m = ，()1,3b = ，若a b ∥，则m =（）．A ．18-B ．18C ．2D ．2-2．将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件A =“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A 发生的频数为（）．A ．20B ．25C ．50D ．无法确定3．设ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，6b =，1cos 2C =-，则ABC △的面积为（）．A ．B ．C ．12D ．4．已知复数i12iz =--，则z 的虚部为（）．A ．15B ．1i5C ．15-D ．255．下列计算不正确的是（）．A ．1cos 22sin 52sin158cos522︒︒︒︒=--B ．1sin15sin 754︒︒=C ．223cos 75sin 752︒-︒=-D ．tan88tan 4311tan88tan 43︒-︒=+︒︒6．已知()()()35211sin 1,3!5!21!k k x x x x x x k k --*=-+++-⨯+∈∈-R N L L ，其中()()!12321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯L ．若函数()πcos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，10.0083335!≈，10.0001987!≈，结果精确到小数点后4位，则π13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）．A ．0.5394B ．0.8419C ．0.8415D ．0.53987．在某次考试成绩中随机抽取50个，成绩均在[]50,100之间，将这些成绩共分成五组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，由图中数据估计总体的众数和中位数（中位数精确到个位）分别是（）．A ．65，70B ．65，71C ．65，72D ．65，738．已知甲船在小岛B 正东方向4海里的C 处，乙船在小岛B 正南方向3海里的A 处．甲船沿北偏西60︒方向直线航行．若乙船要与甲船会合，则乙船航行的最短里程为（）．A ．32⎛⎫+ ⎪⎝⎭海里B ．22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭海里C ．32⎛⎫-⎪⎝⎭海里D ．4333⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭海里二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知样本数据1x ，2x ，…，n x 的样本平均数为x ，样本方差为()2s x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，这组新样本数据的样本平均数为y ，样本方差为()2s y ，其中()251,2,,i i y x i n =+=L ，则（）．A ．两组样本数据的样本平均数满足25y x =+B ．两组样本数据的样本方差满足()()224s y s x =C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同10．某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件A =“决赛两人来自同一个班”，事件B =“决赛两人来自不同班”，事件C =“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件D =“后进行半决赛两人来自不同班”．则（）．A ．()1P AB ⋃=B ．A 与B 互斥但不对立C ．C 与D 对立D ．()()()()P A P B P C P D +=+11．如图，已知O 是ABC △内部任意一点，BOC △，AOC △，AOB △的面积分别为A S ，B S ，C S ，0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．根据上述结论，则（）．A ．如果4320OA OB OC ++=，那么::2:3:4A B C S S S =B ．如果3277AO AB AC =+，那么::2:3:2A B C S S S =C ．如果O 为ABC △的重心，那么A B CS S S ==D ．如果O 为直角ABC △的内心，且两直角边5BC =，12AC =，那么512130OA OB OC ++=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校用分层随机抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级有学生900人，从中抽取了18人．则该校高中学生总人数是__________人．13．复数1z ，2z 满足π2cos 1lg1253lg 24ei z =++，121z z -=，则2z 的取值范围为__________．14．已知某操场看台上有一个与操场水平面垂直的圆柱，该圆柱上方挂有高5米的电子屏幕，电子屏幕底部到操场水平面的距离为5.75米．某人站立在操场时，他眼睛中心到操场水平面的距离为1.75米，则该人离圆柱距离__________米站立，看电子屏幕底部到顶部的视角（从眼睛中心向物体两端所引射线的夹角）最大．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为提高国民法律意识，某地开通了网上学法考试平台，方便广大群众网上学习法律知识，并且可以通过考试检测自己学习情况．为了解广大群众学习法律知识的情况，在参与考试的男性参考者和女性参考者中各随机抽取10名参考者的考试成绩（满分100分），得分如下：男性参考者考试成绩：70，74，85，84，82，81，92，89，98，95．女性参考者考试成绩：69，71，82，84，75，88，89，87，95，97．（1）求抽取的男性参考者考试成绩的平均数、极差和方差；（2）若规定得分在90分及以上的为成绩优秀，从上述成绩优秀的人员中任取2人，求这2人性别相同的概率．16．（15分）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，图象与x 轴正半轴的第一个交点（从左至右）为5π,06A ⎛⎫⎪⎝⎭，图象与y 轴的交点为()0,1B ．（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）将()f x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象上各点向右平移π4个单位长度，得到()g x 的图象，求()g x 在区间[]0,π上的单调递减区间．17．（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个．（1）求有放回地摸球第二次摸到白球的概率；（2）求不放回地摸球第二次摸到白球的概率；（3）求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率；（4）求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率．18．（17分）已知函数()14f x m n =⋅+，其中πsin ,13m x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin ,sin n x x = ．（1）当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，求()f x 的值域；（2）若存在[]0,x t ∈，使得()40f x ≥成立，求t 的取值范围．19．（17分）如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，12AB =，10AD =，8BD =．（1）求AC 的长；（2）若E 是AD 延长线上一点，当BDE △与CDE △各边长均为整数时，求图中与BCE △相似的三角形的个数．。
成都市2024届数学高一下期末达标测试试题含解析
成都市2024届数学高一下期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（ ）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．303．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 4．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β2，则cosβ＝（） A ．3210B ．210C ．7210 D ．210或7210 5．已知函数f ：R +→R +满足：对任意三个正数x ，y ，z ，均有f （3xyzxy yz zx ++）3f x f y f z ++=（）（）（）.设a ，b ，c 是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（ ）A ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等差数列B ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c ）一定是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c）一定是等比数列 6．已知数列满足，，则的值为（ ） A ．2B ．-3C ．D ．7．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（ ） A ．56B ．2536C ．13D ．11368．以n S ,T n 分别表示等差数列{}{}n b n a ，的前n 项和，若S 73n n nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．214C ．378 D ．239．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80B ．40C ．60D ．2010．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．45二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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四川省高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2020·梧州模拟) 已知向量，则＝（）
A .
B .
C . 4
D . 5
2. （2分）若，则角的终边在（）
A . 第一、二象限
B . 第二、三象限
C . 第一、四象限
D . 第三、四象限
3. （2分） (2015高一上·霍邱期末) 把函数y=sin（5x﹣）的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知平面向量，且，则x的值为（）
A . －3
B . -1
C . 1
D . 3
5. （2分） (2016高三上·海淀期中) 已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）
A . f（x）是偶函数
B . 函f（x）最小值为
C . 是函f（x）的一个周期
D . 函f（x）在（0，）内是减函数
6. （2分） (2016高三上·鹰潭期中) 函数y=cos（4x+ ）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）
A .
B .
C .
D . π
7. （2分）(2018·河北模拟) 已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（）
A . 2
B . 4
C .
D .
8. （2分） (2019高三上·成都月考) 函数的一条对称轴是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2019高三上·茶陵月考) 已知两空间向量（2，cos θ，sin θ），（sin θ，2，cos θ），则与的夹角为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
10. （2分）(2018·株洲模拟) 将函数的图像向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是（）
A . 最小正周期为
B . 图像关于直线对称
C . 图像关于点对称
D . 在上是增函数
二、填空题 (共6题；共7分)
11. （1分） (2020高二上·深圳月考) ，，则 ________.
12. （1分） (2017高二下·营口会考) 已知向量，向量，若，则x=________．
13. （1分）(2020·南京模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，且cos2B+cosB+cos （A﹣C）＝1，则a+2c的最小值为________．
14. （1分） (2020高一下·杭州月考) 已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是________ .
15. （2分） (2020高一下·金华期末) 若是角终边上一点，则 ________；
________.
16. （1分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=________
三、解答题 (共3题；共20分)
17. （5分） (2019高一下·宁波期中) 在中，角、、对应边分别为、、，若
.
（I）求角；
（II）若，求的取值范围.
18. （5分） (2020高一下·东阳期中) 已知，求与的夹角 .
19. （10分）(2020·宝鸡模拟) 在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲
线的极坐标方程
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共6题；共7分)答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共3题；共20分)
答案：17-1、
考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：。