第7章第4讲 基本不等式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4讲 基本不等式
基础知识整合
1．重要不等式
a 2＋
b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；
(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立；
(3)其中a ＋b
2叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．
3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，
那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，
那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 2
4.(简记：“和定积最大”)
1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )； (3)⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b
2
2(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)．
以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y ＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax
y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.
(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y ＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
a x ＋
b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y
≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2
.
1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22
答案 B
解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝1
2时等号成立，即ab 的最大值为1
4.故选B.
2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案 D
解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .下面比较a 2＋b 2与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2 3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4 x B ．y ＝sin x ＋4 sin x (0 解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x ＋4 sin x (0 log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x ＋1 e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x ，即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C. 4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 答案 C 解 析 y ＝ 12 (a ＋ b ) ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＋4b ＝ 1 2 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥ 9 2 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C. 5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛ ⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.7 2 C ．4 D.92 答案 C 解析 原式＝x 2 ＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝22时取“＝”号， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________． 答案 92