第7章第4讲基本不等式

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高考数学一轮复习专题7_4 基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(讲)

第04节基本不等式及其应用【考纲解读】【知识清单】基本不等式1、如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 对点练习【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则 + 的最小值为（） A. 3+2B. 3+2C. 7D. 11【答案】A【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥ （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号）即()()()8a b b c c a abc +++≥.【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立．【领悟技法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【触类旁通】【变式一】求证:47(3)3a a a +≥>-考点2 利用基本不等式求最值【2-1】【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）. 【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2））【答案】D【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得： 2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：a∵a ＜0，∴-（4a4a故选：D ．【2-3】【2018有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（） A. ()1,+∞ B. C. ()2,+∞ D. ()0,1【答案】C【领悟技法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋ax(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【触类旁通】【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈的两个零点为1x ， 2x ，若122x x +≤，则（）A. 1a ≥B. 1b ≤C. 22a b +≥D. 22a b +≤ 【答案】B【解析】12x x +≥=，所以2≤ ，则1b ≤ ，故选择B.【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则为（）【答案】A考点3 基本不等式的实际应用【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（）A.6B.4 D.【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB =，AE y =．AB EB AE =+y ≥，即≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．【3-3】 (2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【领悟技法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【触类旁通】【变式】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】(1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100])．y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．【易错试题常警惕】易错典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．[错解] 错解一：因为对a >0，恒有a ＋1a≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)≥4，所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2－2xyxy＝(2xy ＋xy )－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)．易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．。

不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习

常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋－nn＝＝2－，1，解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.

第4讲基本不等式与柯西不等式

)
x＋2y 2 解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤( )， 2 ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去) ∴x＋2y 的最小值为 4(当且仅当 x＝2y＝2 时取等号)．
答案：B
变式训练2
(2012· 山西四校第一次联考)设 x、y∈R，a>1，b>1，若 a ＝b 2 1 ＝2，a＋ b＝4，则x＋y的最大值为( A．4 B．3 C．2 ) D．1
x
y
解析：依题意得 4＝a＋ b≥2 a· b(当且仅当 a＝ b时，等 2 号成立)，则 a b≤4，a b≤16，又 x＝loga2，y＝logb2，所以 x＋
2
1 2 1 2 ＝2log2a＋log2b＝log2(a b)≤log216＝4，即＋的最大值是 4， y x y 故选 A.
答案：A
探究三：应用基本不等式证明不等式
1 1 [例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋ )(1＋ )≥9. a b
证明：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， a＋b 1 b 所以 1＋＝1＋＝2＋ . a a a 1 a 同理 1＋＝2＋ . b b 1 1 所以(1＋a)(1＋b) b a ＝(2＋a)· b) (2＋ b a ＝5＋2(a＋b)≥5＋4＝9. 1 1 1 所以(1＋ )(1＋ )≥9(当且仅当 a＝b＝时等号成立)． a b 2
变式训练1
1 1 设 a、b 均为正实数，求证：a2＋b2＋ab≥2 2.
证明：由于 a、b 均为正实数， 1 1 所以a2＋b2≥2 1 1 2 a2·2＝ab， b
1 1 当且仅当a2＝b2时等号成立， 2 又因为＋ab≥2 ab 2 · ab＝2 2， ab

不等式性质和基本不等式

第七章不等式知识网络.第1讲不等关系与不等式★ 知识梳理 ★1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；0>-⇔>b a b a ； 0<-⇔<b a b a ； 0=-⇔=b a b a ．2．不等式的性质：（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔< （2）传递性:,a b b c >>⇒，a c >（3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>⇔>-推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc < 推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *∈≥(5) 可开方(正):0a b >>⇒>(,2)n N n *∈≥第4讲基本不等式★ 知识梳理 ★1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立.2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>).3.拓展：若0,0a b >>时,2112a b a b+≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热点考点题型探析★考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值例1 . 已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y+=，构造均值不等式解析：∵2828()1()()28y xx y x y x y x y x y+=+⋅=+⋅+=+++,0,0x y >>,∴280,0y xx y>>1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y=时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．题型2. 当和a b +为定值时, 求积ab 最大值例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy 转化成lgxy 考虑．解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121⋅⋅=≤32431212=⎪⎭⎫⎝⎛+y x ，∴lgx+lgy=lgxy ≤lg3 ．由⎪⎩⎪⎨⎧==+>>y x y x y x 4312430,0 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ．【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一．考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体. [解析] Q 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立. 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形. 例2. 已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：∵ a>0，b>0， ∴b b a +≥a b b a 22=⋅，a ab +≥b a ab 22=⋅，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．解析2. abb b a a b a b a a b ba +++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+)(≥ab b a 2++ 2)(b a +=．∴ab ba +≥b a +．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路． “分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用．这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．6.已知函数12()f x a x=-+，若02≥+x x f )(在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围。

(浙江专用)高考数学第七章不等式4第4讲基本不等式高效演练分层突破

第4讲基本不等式[基础题组练] 1．当x ＞0时，函数f (x )＝22x有( )x ＋1A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值22 1≤ 2＝1. 分析：选B.f (x )＝x ＋x2x · 1x1当且仅当x ＝x ，x ＞0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.22ab2．设非零实数a ，b ，则“a ＋b ≥2ab ”是“b ＋a ≥2”成立的( )A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件22222ab分析：选B.因为a ，b ∈R 时，都有a ＋b －2ab ＝(a －b )≥0，即a ＋b ≥2ab ，而b ＋a22ab≥2?ab >0，所以“a ＋b ≥2ab ”是“b ＋a ≥2”的必需不充分条件．3．(2020·嘉兴期中)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为()A ．3B ．4 9 11 C.2D.2分析：选B.因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，所以x＋2＋x ＋2y 2－8≥0，y2设x ＋2y ＝t ＞0，12所以t ＋4t －8≥0，所以t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4. 4．若log 4 (3 a ＋4)＝log 2ab ，则 a ＋ b 的最小值是( )bA ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋43D ．7＋4 3分析：选D.由题意得ab ＞0， a ＞0， 3＋4＞0，所以b ＞0.ab又log(3a ＋4b )＝log2ab ，4所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，4 3 即3a ＋4b ＝ab ，故a ＋b ＝1.所以＋＝(＋) 4 33a 4b＋b ＝7＋＋a bab aba3 a 4≥7＋2b ·a ＝7＋43.3a 4bD.当且仅当b ＝a 时取等号．应选2a b5．不等式x＋x <b ＋a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是()A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2ab2分析：选C.依据题意，因为不等式x ＋x <b ＋a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则xa ba ba b2＋x <b ＋a min ，因为b ＋a ≥2 b ·a ＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x ＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．6．(2020·绍兴市高三教课质量议论1 221)若正数a ，b 满足：＋＝1，则－1＋－2的最a bab小值为()3 2 A ．2B.2C. 5D ．1＋3224122a2 1分析：选A.由a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，得b ＝a －1>0，所以a －1>0，所以a －1＋b －22＋1＝ 2＋ a －12 · a －1 2 a －112 同＝a － 2 ≥2a －＝2，当且仅当＝ 2 和＋＝1 a －12a11 2a －1 ab－1－2a时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以21a －1＋b －2的最小值为2，应选A.7．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则 ab 的最大值为________．分析：由基本不等式得 a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤a ＋b2＝2114，当且仅当a ＝b ＝2时取到等号．1 答案：2458．(2020·嘉兴期中)已知0＜x ＜4，则x (5－4x )的最大值是________．5 分析：因为0＜x ＜4，所以0＜5－4x ＜5，114＋5－ 4 x 2 255所以x (5－4x )＝4·4x (5－4x )≤4·2＝16，当且仅当x ＝8时取等号，故最25大值为16.25答案：16xy9．(2020·温州市瑞安市高考模拟 )若x ＞0，y ＞0，则x ＋2y ＋x 的最小值为________．分析：设 y ＝t ＞0，则 x ＋ y 1 ＋t ＝1 1 1 1 1＋2t x x ＋2y x ＝ 2t 1＋2t ＋(2 t ＋1)－≥2 1＋2t ×1＋ 2 2 2 112－1y－2＝ 2－2，当且仅当t ＝2 ＝x 时取等号．答案：2－12a 2＋110．(2020·宁波十校联考)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c ＞1，则(2ab －1)·c2＋ c －1的最小值为________．分析：因为a ＋b ＝1，a 2＋1a 2＋（a ＋b ）2所以2ab －1＝2ab－1＝a ＋b≥2a ·b ＝2，b 2ab 2a当且仅当a＝ b 即 a ＝ 2－1，＝2－2时取等号，b 2aba 2＋122 1所以(2ab －1)·c ＋c －1≥ 2c ＋c －1＝2(c －1＋c －1＋1)≥3 2，当且仅当 c ＝2时取等号．答案：3 211．已知x >0， >0，且2＋8 y － xy ＝0，求y x(1) xy 的最小值；(2) x ＋y 的最小值．8 2解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＋y ＝1，82 828又x >0，y >0，则 1＝x ＋y ≥2 x ·y ＝xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.8 2(2) 由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＋y ＝1，8 2则x ＋y ＝x ＋y ·(x ＋y )2x8y 2x 8y ＝10＋y ＋ x ≥10＋2 y ·x ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.12. 行驶中的汽车，在刹车时因为惯性作用，要连续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速 v (km/h)满足以下关系：nvv 2＝＋s 100 4006＜s 1＜8， (n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据以以下图，此中14＜s 2＜17.(1) 求n 的值；(2) 要使刹车距离不超出12.6m ，则行驶的最大速度是多少？解：(1)由试验数据知，1＝ 2 ＋4， 2＝ 7 ＋ 49 ，s5ns10n426＜n ＋4＜8，5所以49714＜10n ＋4＜17，5＜n ＜10，解得5 95 .2＜n ＜14 又n ∈N ，所以n ＝6.(2)由(1) 知，s ＝ 3v ＋v 2，v ≥0.50 400 3vv 2依题意，s ＝＋≤12.6，50 400即v 2＋24v －5040≤0，解得－84≤v ≤60. 因为v ≥0，所以0≤v ≤60. 故行驶的最大速度为60km/h.[综合题组练]1. 以以下图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC两边分别交于 M ，N → → → →两点，且AM ＝xAB ，AN ＝yAC ，则x ＋2y 的最小值为()1A ．2B.33＋2 23C.3D.4→21→→ 1→1→1→ 1→分析：选 C.由已知可得AG ＝3×2(AB ＋AC )＝3AB ＋3AC ＝3x AM ＋3y AN ，又M 、G 、N 三点1 1 11 11 112yx 3＋22 共线，故3＋3 y ＝1，所以＋＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·x ＋y ·3＝3 3＋x ＋y ≥ 3xxy (当且仅当x ＝ 2y 时取等号)．应选C.2．已知 x >0，>0，2＋＝1，若4 2＋ y 2＋ xy －<0恒成立，则的取值范围是( )yx yxmmA ．(－1，0)∪17B. 17，＋∞，＋∞16161717C. 16，2D. 1，16分析：选 B.4x 2＋y 2＋xy －m <0恒成立，即 m >4x 2＋y 2＋ xy 恒成立．因为x >0，y >0，212x ＋y ＝1，所以1＝2x ＋y ≥22xy ，所以0<xy ≤4 (当且仅当 2x ＝y ＝2时，等号成立)．因为4x 2＋y 2＋ xy ＝(2x ＋y )2－4xy ＋xy ＝1－4xy ＋xy ＝－4xy －1 2 ＋17，所以 4x 2＋y 28 1617 17＋ xy 的最大值为16，故m >16，选B.3．(2020·杭州学军中学考试 )已知a ＜b ，若二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x恒成立，则M ＝a＋2＋4 c 的最小值为________．bb －a分析：由条件知a ＞0， b－＞0.由题意得＝ 2－4ac ≤0，解得c≥b 2，所以＝ab4aMb 2a ＋2b ＋4c a ＋2b ＋4·4aa 2＋2ab ＋b 2 [2a ＋（b －a ）]2（b －a ）2＋4a （b －a ）＋4a 2 b －a≥b －a＝a （b －a ）＝a （b －a ）＝a （b －a ）b －a4ab －a4a＝ a ＋b －a ＋4≥2a ·b －a ＋4＝4＋4＝8，当且仅当b ＝3a 时等号成立，所以M 的最小值为8.答案：8a 2＋2b 24．(2020·浙江省名校联考)已知a ＞0，b ＞－1，且a ＋b ＝1，则a ＋b ＋1的最小值为____________．分析： a 2＋2 b 2 2 （b ＋1）2－2（b ＋1）＋1 2 1＋＝a ＋＋ b ＋ 1 ＝a ＋＋b ＋1－2＋，又a ＋ a b ＋ 1 a ab ＋1 2 1 2 12 1 a ＋13 b ＋1 ＝1，＞0，＋1＞0，所以 a ＝＋＋＋＋1－2＋＝＋＋ a ＋ 2＝＋ b abab ＋1a b 1b ＋122 a b＋2（ a 3 b ＋1 a 3＋22 b ＋1 a ＋1）≥2＋2 a · 2（＋1）＝2 ，当且仅当＝ 2（＋1）即a ＝4－bbab2 2，b ＝22－3时取等号，所以a 2＋2b 23＋2 2＋的最小值为2.ab ＋1答案：3＋2 225．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；11(2) x ＋y 的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．2x ＋5y ＝20，x ＝5，所以有解得2x ＝5y ，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2) 因为x >0，y >0，11 11 2x ＋5y 1 5y 2x 所以x ＋y ＝x ＋y · 20 ＝207＋x ＋y ≥15y 2x 7＋210 207＋2x ·y＝ 20.5y 2x当且仅当x ＝y 时，等号成立．2x ＋5y ＝20，x ＝ 1010－203 ，由 5 y 2解得＝ x，20－410 x yy ＝3.1 17＋2 10所以x ＋y 的最小值为 20 .6. (2020·义乌模拟)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ 开拓为水果园种植桃树，已知角A 为 120°，AB ，AC 的长度均大于200米，此刻界限 AP ，AQ 处建围墙，在 PQ 处围篱笆笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为 200米，如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高 1.5米，造价均为每平方米 100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使篱笆笆用料最省？解：设＝ x 米，＝米．APAQy1 33 x ＋y2(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝2xy ·sin120°＝ 4xy .所以S ≤42 ＝2500 3.x ＝y ，当且仅当x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”．(2) 由题意得100×(x ＋1.5y )＝20000，即x ＋1.5y ＝200.要使篱笆笆用料最省，只需222 2 2 2 2－其长度PQ 最短，所以PQ ＝x＋y －2xy cos120 °＝x ＋y ＋xy ＝(200－1.5y ) ＋y ＋(200＝ 2＋＝8002120000400 ，当＝ 800 时，有1.5y )y 1.75y1.75y 400y 400007737PQ最小值 200 212007 ，此时x ＝.7。

基本不等式及恒成立问题 - 解析版

基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值；答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________．答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3．求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。

答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。

知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。

（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。

需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。

【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。

答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

第4讲基本不等式

第4讲基本不等式[学生用书P114]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4. ( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2，2] B.[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．R 解析：选C .当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2. 当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C .(教材习题改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80 B.77 C ．81D ．82解析：选C .18＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤9，即xy ≤81. 若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．解析：因为xy ＝1，所以y ＝1x ，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝22.即x 2＋2y 2的最小值为22. 答案：2 2若f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a ＝________．解析：f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立，所以a ＝3. 答案：3利用基本不等式求最值(高频考点) [学生用书P114]利用基本不等式求最值是高考考查的重点，很少单独命题，常与函数的最值、导数、解析几何等综合考查，主要命题角度有：(1)通过配凑法利用基本不等式求最值； (2)通过常数代换法利用基本不等式求最值； (3)通过消元法利用基本不等式求最值．[典例引领]角度一通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．【答案】 (1)23(2)1 (3)23＋2角度二通过常数代换法利用基本不等式求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4. 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．【答案】 41.若本例条件不变，求⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值．解：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．2．若将本例条件改为a ＋2b ＝3，如何求解1a ＋1b 的最小值．解：因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号．角度三通过消元法利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【解析】法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ，又因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.即x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6(1)利用基本不等式求最值的两种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． (2)条件最值的求法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．[注意] (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[通关练习]1．已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1，所以8x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy＝18，当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.答案：182．若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝x ＋1x ＋1－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 3．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．解析：由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 答案：5利用基本不等式解决实际问题 [学生用书P115][典例引领]某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【解】 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，所以2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[通关练习]经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．解：(1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎫4＋1t (120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20.559＋140t－4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1，20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20，30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1，30]时，W (t )的最小值为441万元．基本不等式的综合应用(高频考点)[学生用书P116]基本不等式的综合应用也是高考考查的重点，多为选择题或填空题，难度适中，主要命题角度有：(1)与其他知识交汇的最值问题； (2)求参数值或最值范围．[典例引领]角度一与其他知识交汇的最值问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9 B.8 C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋bc ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)A (2)92角度二求参数值或最值范围(1)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．(2)不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36.(2)根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min，因为a b ＋b a ≥2a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．【答案】 (1)36 (2)(－2，1)求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[通关练习]1．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．3 B.4 C ．6D ．8解析：选B .(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4.2．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋2xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：2基本不等式转化的功能基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．基本不等式的应用技巧(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．(3)对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a >0，b > 0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a >0，b >0)．变形有ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．应用基本不等式解题时应注意3点(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”，忽视哪一个都可能致误．(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况，应考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性．[学生用书P295(单独成册)]1．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1 B.最大值1 C ．最小值2D ．最大值2解析：选B .f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D .1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C .对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C .3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R <P <Q B.Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <Q解析：选C .因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .因为a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，所以R >Q ，所以P <Q <R ，故选C .4．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1 B.2 C ．3D ．4解析：选A .因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1. 5．一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( ) A .L 28B.L 24C .L 22D ．L 2解析：选A .设菜园的长为x ，宽为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ，因为x ＋2y ≥22xy . 所以xy ≤（x ＋2y ）28＝L 28.当且仅当x ＝2y ＝L 2，即x ＝L 2，y ＝L4时，S max ＝L 28，故选A .6．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．答案：837．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________．解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：38．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．解析：因为2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，所以2x ＋y ≤12，所以2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.答案：(－∞，－2]9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0，所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.1．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4D ．52解析：选B .将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B .2．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( )A ．1 B.94 C ．9D ．16解析：选B .1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4（a ＋1）b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，故选B .3．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．解析：设a ＋1＝m ，b ＋3＝n ，则m ，n 均大于零，因为m 2＋n 2≥2mn ，所以2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2，所以m ＋n ≤2·m 2＋n 2，所以a ＋1＋b ＋3≤2·a ＋1＋b ＋3 ＝32，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时“＝”成立，所以所求最大值为32. 答案：3 24．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >1，b >2)的最大值为5，则1a －1＋4b －2的最小值为________．解析：由约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0，作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x －y －2＝0，解得A (1，1)．由z ＝ax ＋by (a >1，b >2)，得y ＝－a b x ＋zb，由图可知，z max ＝a ＋b ＝5. 可得a －1＋b －2＝2.所以1a －1＋4b －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋4b －2(a －1＋b －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋b －2a －1＋4（a －1）b －2 ≥12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b －2a －1×4（a －1）b －2＝92.当且仅当b ＝2a 时等号成立，并且a ＋b ＝5，a >1，b >2即a ＝53，b ＝103时上式等号成立．所以1a －1＋4b －2的最小值为92.答案：925．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y 的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥ 120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.6．某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解：(1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，所以利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y ＞0，即30n －n 2－81＞0，所以n 2－30n ＋81＜0，解得3＜n ＜27(n ∈N *)，所以从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n －（81＋n 2）n ＝30－81n －n ＝30－⎝⎛⎭⎫81n ＋n ≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)，当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。

高三数学第一轮复习 04：基本不等式

高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。

2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。

4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。

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第4讲基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (3)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y ＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋axy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y ＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即ab 的最大值为14.故选B.2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案 D解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .下面比较a 2＋b 2与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .故各式中最大的是a ＋b .3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π) C ．y ＝4e x ＋e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1) 答案 C解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x＋4sin x (0<x <π)取得最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；D 中由0<x <1，则log 3x ∈(－∞，0)，y ＝log 3x ＋log x 3＝log 3x ＋1log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x＋1e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x ，即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C.4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C 解析y＝12(a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝22时取“＝”号，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________．答案 92解析当a ＝－6或a ＝3时，(3－a )(a ＋6)＝0；当－6<a <3时，(3－a )(a ＋6)≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．故(3－a)(a＋b)(－6≤a≤3)的最大值为92.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一利用基本不等式求最值角度1利用配凑法求最值例1(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13 B.12C.34 D.23答案 B解析∵0<x<1，∴x·(3－3x)＝13·3x·(3－3x)≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x＋3－3x22＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时，x(3－3x)取得最大值．故选B.(2)设x>0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________．答案0解析y＝x＋22x＋1－32＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＋1x＋12－2≥2⎝⎛⎭⎪⎫x＋12·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋12＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．[即时训练] 1.设a ，b 均大于0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析 ∵(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋ 2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)，又2(a ＋1)(b ＋3)≤a ＋1＋b ＋3＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时取“＝”， ∴(a ＋1＋b ＋3)2≤18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.(2)已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8答案 D解析因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b ，即a ＝32，b ＝14时取等号，所以2a －1＋1b 的最小值是8，故选D.常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．(4)利用基本不等式求解最值．[即时训练] 2.(2020·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb 2的最大值为( )A ．8B ．2 C.18 D.16答案 C解析因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以acb 2＝ac (2a ＋c )2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca ＋4≤124a c ·c a ＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立，即ac b 2的最大值为18.故选C.(2)已知x >54，则函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值为________．答案 5解析令4x －5＝t ，则x ＝t ＋54(t >0)，∴y ＝t 2＋3t ＋1t ＝t ＋1t ＋3(t >0)，又t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1时，取“＝”)，∴y 的最小值为5.通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3ba 的最小值为________．答案 6解析因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3ba 的最小值是6.考向二求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立． ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴(a ＋1)2≥9.∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B. (2)当0<m <12时，若1m ＋21－2m≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2,0)∪(0,4] B ．[－4,0)∪(0,2] C ．[－4,2] D ．[－2,4] 答案 D解析因为0<m <12，所以m (1－2m )＝12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋(1－2m )22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8.又1m ＋21－2m≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围．[即时训练] 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，又(a ＋b )2ab ＝a b ＋b a ＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.故x ＋3y 的最小值为6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.故选C. 考向三基本不等式的实际应用例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x －1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品的销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x －1450－250＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 则当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x ＝1200－200＝1000⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝10000x ，即x ＝100时取等号，则当x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)， ∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．学科素养培优（十三）两次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ，由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a >b >0，求a 2＋16b (a －b )的最小值．解 ∵a >b >0，∴a －b >0. ∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 24. ∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16.当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16b (a －b )的最小值为16.课时作业1．(2019·河北保定统考)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值1 B ．有最小值1 C ．有最大值12 D ．有最小值12答案 C解析因为x >0，y >0，x ＋2y ＝2，所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12.2．若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为9.3．(2019·长春质量监测一)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16答案 B解析由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24x y ·y x ＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，即x ＋y 的最小值为9.故选B.4．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由a >b >0得，a 2＋b 2>2ab ，即ab <a 2＋b22；但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.5．(2019·河北石家庄模拟)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为( )A.43B.53C.54 D ．2答案 D解析因为30＝4x 2＋9y 2＋3xy ≥236x 2y 2＋3xy ，即30≥15xy ，所以xy ≤2，当且仅当4x 2＝9y 2，即x ＝3，y ＝233时等号成立．故xy 的最大值为2.6．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 ∵ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故m ＋n 的最小值为4.故选B.7．(2019·秦皇岛模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案 A解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2－1＋3x －1＝(x －1)(x ＋1)＋3x －1＝x ＋1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2(当且仅当x ＝1＋3时取“＝”)，即函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是23＋2.故选A.8．(2019·陕西咸阳质检)已知x ＋y ＝3，则2x ＋2y 的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．3 2 D ．4 2答案 D解析因为2x >0,2y >0，x ＋y ＝3，所以由基本不等式得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝42，当且仅当2x ＝2y ，即x ＝y ＝32时等号成立，即2x ＋2y 的最小值是4 2.故选D.9．(2019·湖南长沙模拟)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 C解析由1a ＋2b ＝ab ，知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.故选C.10．(2019·郑州质检)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[1,4]B ．[2，＋∞)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)答案 A解析因为a ＋b ＋1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ＝5，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以a ＋b＝51＋1ab≤51＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时等号成立，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，解得1≤a ＋b ≤4.11．(2019·合肥市高三调研)已知a >b >0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为( ) A.3102 B ．4 C ．23 D ．3 2答案 D解析因为a >b >0，所以a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋8a ＋b ＋a －b ＋2a －b ≥(a ＋b )·8a ＋b＋(a －b )·2a －b＝22＋2＝32，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8a ＋b ，a －b ＝2a －b ，即a ＝322，b ＝22时等号成立，所以a ＋4a ＋b ＋1a －b 的最小值为3 2.故选D.12．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16答案 D 解析32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.13．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为________．答案 92解析 (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy＝2＋5xy .∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝4，∴4≥22xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)， ∴2xy ≤4，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92. 故(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为92.14．(2020·北京朝阳区摸底)已知x>1，且x－y＝1，则x＋1y的最小值是________．答案 3解析∵x>1且x－y＝1，∴y＝x－1>0，∴x＋1y ＝x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2(x－1)·1x－1＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)．∴x＋1y的最小值为3.15．已知x，y都是非负实数，且x＋y＝2，则8(x＋2)(y＋4)的最小值为________．答案12解析∵x，y都是非负实数，且x＋y＝2，∴x＋2＋y＋4＝8，∴8≥2(x＋2)(y＋4)，即1(x＋2)(y＋4)≥116，当且仅当x＝2，y＝0时取等号，则8(x＋2)(y＋4)≥816＝12，即8(x＋2)(y＋4)的最小值为12.16．(2019·湖北八校联考)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则a b2＋1的最大值为________．答案 2解析∵正数a，b满足2a2＋b2＝3，∴a b2＋1＝22×2a b2＋1≤22×12(2a2＋b2＋1)＝24×(3＋1)＝2，当且仅当2a＝b2＋1，即a＝1，b＝1时，等号成立．故a b2＋1的最大值为 2.17．(2019·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式1x＋3y＝2.(1)求xy的最小值；(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．解(1)2＝1x ＋3y≥23xy，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.(2)3x＋y＝12(3x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋3y＝12⎝⎛⎭⎪⎫6＋9xy＋yx≥12⎝⎛⎭⎪⎫6＋29xy·yx＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.18．(2019·郑州模拟)若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解(1)因为a>0，b>0，且1a ＋1b＝ab，所以ab＝1a ＋1b≥21ab，所以ab≥2，当且仅当a＝b＝2时取等号．因为a3＋b3≥2(ab)3≥223＝42，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)可知，2a＋3b≥22a·3b＝26ab≥43>6，故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立．。