2021届高三新高考数学小题训练 (12)
2021届高三数学新高考小题狂练(1)(答案解析)
2021届新高考小题狂练（1）-答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】B 【解析】{}2,3,5A =,{}2,5U B =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算. 2. 【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 考点：全称命题与特称命题 3. 【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=：则1z =：故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4. 【答案】C 【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．5. 【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 6. 【答案】A 【解析】分析：先求出A：B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴：y 轴交于A ：B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2：0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 7.【答案】C 【解析】分析：首先根据g ：x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解：将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-：并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时：满足y x a=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-：之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤：即1a ≥-：故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 8. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 【答案】ABD 【分析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项.【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题. 10. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题. 11. 【答案】AC【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB 为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项， 由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤； 即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质，考查学生识图能力，属于中档题. 12. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误；对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤， 故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】16 【解析】 分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意：没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解】由360a b -+=可知36a b -=-：且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ：20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.【综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15.【答案】 (1). 1- (2). 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=：解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±：由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，：222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.【答案】 【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得sin 22x x =-=-代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==，所以()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.。
2021年全国新高考Ⅰ、II卷数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子进行齐次化处理，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（）
【答案】(1).5(2).
【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）对折 次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共 种；
（2）由题意可得 ， ， ， ， ， ，
设 ，
则 ，
两式作差得
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
2021届高三新高考模拟数学试题(解析版)
2021届高三新高考模拟英语试题第一部分阅读(共两节, 满分50分)第一节(共15小题;每小题2. 5分, 满分37. 5分)阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
ABest Cookbooks for KidsBest Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!)◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartWith the help of this best-selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat ! )is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid-friendly recipes. This award-winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid-friendly language.Best for Basic Learner: Better Homes and Gardens New Junior Cookbook◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.This 128-page cookbook has more than 65 kid-friendlyrecipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking. It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools (including pictures), and healthy cooking. It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes.Best Classic: Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls◎Buy on Amazon◎Buy on Target◎Buy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike. The recipes are ideal for children aged 8 to 12. This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation.Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for Kids◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process. The book features 60 plant-based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts.1. Which cookbook can be purchased on Target?A. Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!).B. Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.C. Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls.D. The Help Yourself Cookbook for Kids.2. What can we know about Better Homes and Gardens New Junior Cookbook?A. It is an award-winning cookbook.B. It teaches the kids about kitchen safety.C. It includes 60 plant-based recipes.D. It was published more than 60 years ago.3. What is the similarity between Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!) and The Help Yourself Cookbook for Kids?A. They are both designed for kids aged 6-12.B. They have recipes based on plants.C. They have recipes for whatever you want.D. They explain how to measure ingredients.『语篇解读』本文主要介绍了四本适合孩子们的食谱。
2021年全国统一新高考数学试卷(新高考1卷)含详解
2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = )A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}2．已知2z i =-，则()(z z i +=)A．62i-B．42i-C．62i +D．42i+，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．C．4D．4．下列区间中，函数()7sin(6f x x π=-单调递增的区间是()A．(0,)2πB．(2π，)πC．3(,)2ππD．3(2π，2)π5．已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为()A．13B．12C．9D．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)(sin cos θθθθ+=+)A．65-B．25-C．25D．657．若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则()A．b e a<B．a e b<C．0b a e <<D．0ab e <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，⋯，n y ，其中(1i i y x c i =+=，2，⋯，)n ，c 为非零常数，则()A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则()A．12||||OP OP =B．12||||AP AP =C．312OA OP OP OP ⋅=⋅D．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则()A．点P 到直线AB 的距离小于10B．点P 到直线AB 的距离大于2C．当PBA ∠最小时，||PB =D．当PBA ∠最大时，||PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则()A．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值B．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国新高考2卷数学试题(原卷版)
绝密★启用前 试卷类型： 2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅱ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内，复数213i i--对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,6A =，{}2,3,4,B =则U A C B =（ ）{}(A)3 {}(B)1,6 {}(C)5,6 {}(D)1,33. 若抛物线22(0)y px p =>焦点到直线1y x =+，则p =（ ）(A)1 (B)2 (D)44. 卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为O 半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos ),S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为（ ）(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%5. 正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为（ ）(A)20+ 56(D)3 6. 某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ则下列结论中不正确的是（ ）()A σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大。
()B σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5。
()C σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等。
()D σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等。
7. 若581log 2,log 3,,2a b c ===则（ ） ()A c b a << ()B b a c << ()C a c b << ()D a b c <<8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +是偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）1().02A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()().10B f -= ()().20C f = ()().40D f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学试卷含解析(新高考II)
C. 5,6
【答案】B
【解析】∁ UB = 1,5,6 ,A ∩ ∁ UB = 1,6 , 选 B
D. 1,3
(
)
3. 抛物线 y2 ＝ 2pxp > 0 的焦点到直线 y ＝ x + 1 的距离为 2, 则 p =
A. 1
B. 2
C. 2 2
D. 4
【答案】B
(
)
4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果 . 在卫星导航系统中, 地球静止同步卫星的轨
B. ω(2n + 3) = ω(n) + 1 D. ω(2n - 1) = n
【答案】ACD 【解析】令 n = a0 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 则 2n = 0 ∙ 20 + a0 ⋅ 21 + a1 ⋅ 22 +⋯+ak-1 ⋅ 2k + ak ∙ 2k+1,ω(2n) = 0 + a0 + a1 +⋯+ak = ω(n),A 正确 . 下证明 : 若 n 为偶数 n ∈ N * , 则 ω(n + 1) = ω(n) + 1. 证明 : 因为 n 为偶数, 所以 n = 0 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 则 n + 1 = 1 ⋅ 20 + a1 ⋅ 2 +⋯+ak-1 ⋅ 2k-1 + ak ∙ 2k, 所以 ω(n) = 0 + a1 +⋯+ak,ω(n + 1) = 1 + a1 +⋯+ak = ωn + 1. 选项 B, 取 n = 2 可排除 . 或者 ω(2n + 3) = ω2n + 1 + 1 = ω2n + 1 + 1 = ωn + 1 + 1, 不能保 证与 ω(n) + 1 恒等 .B 错误 . 选项 C,ω(8n + 5) = ω(8n + 4 + 1) = ω(8n + 4) + 1 = ω(2n + 1) + 1 = ω(2n) + 2 = ω(n) + 2;ω(4n + 3) = ω(4n + 2) + 1 = ω(2n + 1) + 1 = ω(n) + 2.C 正确 . 选项 D, ∵ 2n - 1 = 20 + 21 + 22 +⋯+2n-1, ∴ ω(2n - 1) = n. 或者, 当 n ≥ 2 时,ω(2n+1 - 1) = ω22n - 1 + 1 = ω22n - 1 + 1 = ω(2n - 1) + 1. 又 ∵ ω(3) = 2,ω(1) = 1, ∴ ω(3) = ω(1) + 1. 即对 ∀ n ∈ N * 有 ω(2n+1 - 1) = ω(2n - 1) + 1, ∴ ω(2n - 1) 为首项为 1, 公差为 1 的等差数列 . ∴ ω(2n - 1) = n.D 正确 . 故选 ACD.
专题12直线和圆(新高考地区专用)-2021届高三《新题速递·数学》(适用于高考复习)(解析版)
专题12直线和圆姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·河北省尚义县第一中学高二期中）直线)12y x +=-的倾斜角为（ ）A ．30°B ．120°C ．60°D ．150°2．（2020·福建高二期中）已知直线MN 的斜率为4，其中点()1,1N -，点M 在直线1y x =+上，则点M 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（4，5）C ．（2，1）D ．（5，7）3．（2020·吕梁市贺昌中学高二期中）已知直线(2)a x -+1ay -=0与直线2x +3y +5=0平行，a 的值为（ ）A ．-6B ．6C ．45-D ．454．（2020·福建高二期中）两直线1:3260l x y --=，2:3280l x y -+=，则直线1l 关于直线2l 对称的直线方程为（ ）A ．32240x y -+=B ．32100x y --=C ．32200x y --=D ．32220x y -+=5．（2020·安徽宣城·高二期中（文））已知圆C 的方程为222610x y x y +-++=，点P 在圆C 上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值为（ ）A ．3B 3C ．3-D ．26．（2020·湖南高二期中）直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ）A ．9B ．4C ．12D ．147．（2020·安徽宿州·高二期中（理））若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．C D ．8．（2018·安庆市第七中学高二期中（理））设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是（ ）A ．5[,)2+∞ B ．[,)2+∞ C ．[2 D ．5[,5)2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·重庆市万州第二高级中学高二月考）下列说法正确的有（ ）A ．若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B ．直线32y ax a =-+过定点()32，C ．过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-D ．斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±．10．（2020·湖南湘潭一中高二期末）已知直线l ：(2)10mx m y m --+-=，圆C ：22(1)1x y -+=，则下列结论中正确的是（ ）A ．存在m 的一个值，使直线l 经过圆心CB ．无论m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点C ．圆心C 到直线l 的最大距离是22D ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(1)1y x +-=.11．（2020·河北承德第一中学高二月考）圆221:(2cos )(2sin )1C x y θθ-+-=与圆222:1C x y +=，下列说法正确的是（ ）A ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切B ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线C ．当6πθ=时，圆1C 被直线310l x y --=3D ．P ，Q 分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则PQ 的最大值为412．（2020·山东高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知()4,2A -，()2,2B ，点P 满足2PAPB =，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（ ）A ．圆C 的方程是()()224216x y -+-=B ．过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为3π C ．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为155±D ．在直线2y =上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得2PD PE= 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·上海黄浦·格致中学高三期中）如果直线l 将圆：22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，则l 的斜率取值范围是_________.14．（2020·内蒙古包头一中高二期中（文））已知M ，N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则线段MN 的长度为______.15．（2020·淮南第一中学高二期中（理））已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.16．（2020·浙江诸暨中学高二期中）已知直线:l 10mx y m -+-=，则此直线必过定点_________；设直线l 与圆22:(1)5C x y +-=交于,A B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为____________四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·上海徐汇·南洋中学高二期中）已知圆C 的圆心在直线2x -y -3=0上，且圆C 过点(1，6)，(5，2). （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P (3，2)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |=6时，求直线l 的方程.18．（2020·重庆市江津中学校高二月考）已知圆C ：()2234x y -+=，直线l ：()()13130+--+-=m x m y m ．（1）求直线l 所过定点A 的坐标及当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（2）已知点()3,3M ，在直线MC 上存在定点N （异于点M ），满足对圆C 上任一点P 都有PM PN为常数，试求所有满足条件的点N 坐标及该常数． 19．（2020·福建高二期中）已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.20．（2020·浙江台州·高二期中）已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆C 相切于A ，B 两点.（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程；（2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标.21．（2020·山东高二期中）已知点A ，B 关于原点O 对称，点A 在直线0x y +=上，2AB =，圆M 过点A ，B 且与直线10x +=相切，设圆心M 的横坐标为a .（1）求圆M 的半径；（2）已知点()0,1P ，当2a <时，作直线l 与圆M 相交于不同的两点M ，N ，已知直线l 不经过点P ，且直线PM ，PN 斜率之和为1-，求证：直线l 恒过定点.22．（2020·四川高二期中（理））已知圆C ：22(3)(4)16x y ++-=，直线l ：(21)(2)340()m x m y m m R ++---=∈.（1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为m 的值；（2）若0m >，直线l 与圆C 相离，在直线l 上有一动点P ，过P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别13 45.求m的值，并证明直线MN经过定点.为M，N，且cos MPN的最小值为。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅱ)-含解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（新高考Ⅱ）一、单选题（本大题共18小题，共80.0分）1.对于任意x∈[1,2]，不等式x2+mx+1<0恒成立，则实数m取值范围是()A. (−∞,−2)B. (−∞,−52) C. (−2,2) D. (−2,2]2.已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a+2≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A. (−2,1)B. [−1,2]C. (−1,2)D. (0,2]3.已知实数a、b、c满足b+c=6−4a+3a2，c−b=4−4a+a2，则a、b、c的大小关系是()A. c≥b>aB. a>c≥bC. c>b>aD. a>c>b4.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC=a，BC=b，过点C作CD⊥AB交圆周于D，连接OD.作CE⊥OD交OD于E.由CD≥DE可以证明的不等式为()A. √ab≥2aba+b (a>0,b>0) B. a+b2≥√ab(a>0,b>0)C. √a2+b22≥a+b2(a>0,b>0) D. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)5.函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A. a >0，b >0，c <0B. a <0，b >0，c >0C. a <0，b >0，c <0D. a <0，b <0，c <06. 若f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ，则f(2)的值为( )A. 1B. −1C. −32D. 327. 在函数y =|x|(x ∈[−1,1])的图象上有一点P(t,|t|)，此函数与x 轴、直线x =−1及x =t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )A.B.C.D.8. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A.B.C. [0,4]D. [1,3]9. 已知f(x)={(a −3)x +a +2,x <1,−ax 2+x,x ≥1在(−∞,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A. (0,3)B. [12,3)C. [23,3)D. [12,23]10. 已知λ∈R ，函数f(x)={x −2,x ≥λ,x 2+x −2,x <λ,若方程f(x)=0恰有2个实数解，则λ的取值范围是( )A. (−2,1]B. (−2,1]∪(2，+∞)C. (−2,1]∪[2,+∞)D. (−2,1)∪[2，+∞)11. 复数2−i1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 设集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,3,6},B ={2,3,4}，则A⋂(∁U B )=( )A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}13. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点到直线y =x +1的距离为√2，则p =( )A. 1B. 2C. 2√2D. 414. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S =2πr 2(1−cosα)(单位：km 2)，则S 占地球表面积的百分比约为( )A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%15. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )A. 20+12√3B. 28√2C. 563D. 28√2316. 某物理量的测量结果服从正态分布N (10,σ2)，下列结论中不正确的是( )A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等17. 已知a =log 52，b =log 83，c =12，则下列判断正确的是( )A. c <b <aB. b <a <cC. a <c <bD. a <b <c18. 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=0二、多选题（本大题共10小题，共48.0分） 19. 下列说法正确的是( )A. 函数f(x)=log a(2x+1)−1的图象过顶点(0,0)B. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x(x+1)，则当x>0时，f(x)的解析式为f(x)=x−x2(x>0)C. 若函数y=f(x−2020)是奇函数，则y=f(x)的图象关于点(−2020,0)对称D. 函数y=2√x2+2的最小值为220.下列式子，可以是x2<1的一个充分不必要条件的有()A. x<1B. 0<x<1C. −1<x<1D. −1<x<021.下列选项中的两个集合相等的有()A. P={x|x=2n,n∈Z}，Q={x|x=2(n+1),n∈Z}B. P={x|x=2n−1,n∈N∗}，Q={x|x=2n+1,n∈N+}C. P={x|x2−x=0}，Q={x|x=1+(−1)n2,n∈Z}D. P={x|y=x+1}，Q={(x,y)|y=x+1}22.已知a，b∈R∗且a+b=1，那么下列不等式中，恒成立的有()A. ab≤14B. ab+1ab≥174C. √a+√b≤√2D. 1a+12b≥2√223.若x∈R，f(x)是y=2−x2，y=x这两个函数中的较小者，则f(x)()A. 最大值为2B. 最大值为1C. 最小值为−1D. 无最小值24.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)，分析该函数图象的特征，若方程f(x)=0一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是()A. 2<−b2a<3 B. 4ac−b2<0 C. f(2)<0 D. f(3)<025.下列统计量中，能度量样本x1,x2,⋯,x n的离散程度的是()A. 样本x1,x2,⋯,x n的标准差B. 样本x1,x2,⋯,x n的中位数C. 样本x1,x2,⋯,x n的极差D. 样本x1,x2,⋯,x n的平均数26.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是()A. B.C. D.27.已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是()A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切28.设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，其中a i∈{0,1}，记ω(n)=a0+a1+⋯+a k，则()A. ω(2n)=ω(n)B. ω(2n+3)=ω(n)+1C. ω(8n+5)=ω(4n+3)D. ω(2n−1)=n三、单空题（本大题共11小题，共49.0分）29.已知幂函数的图象经过点(3,19)，则这个幂函数的解析式为______ ．30.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(x−1)<f(2)的x的取值范围是______ ．31.若不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，则不等式x2−bx−a<0的解集为______ ．32.已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，则f2(1)+f(2)f(1)+f2(2)+f(4)f(3)+f2(3)+f(6)f(5)+f2(4)+f(8)f(7)+f2(5)+f(10)f(9)的值为______．33.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x−x2，则函数f(x)的解析式为______．34.若f(x)=−x2+2ax与g(x)=2x−3+ax−1在区间[2,4]上都是减函数，则a的取值范围是______．35.已知函数f(x)={x+4x,0<x<4,−x2+10x−20,x≥4,若存在0≤x1<x2<x3< x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是______．36.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为．37.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．38.已知向量a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，|a⃗|=1，|b⃗ |=|c⃗|=2，a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=_______．39.已知函数f(x)=|e x−1|,x1<0,x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|取值范围是_______．四、解答题（本大题共12小题，共140.0分）40.已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}(a≥0)，B={x|(x−1)(x−4)≥0}．(1)当a=2时，求A∪(∁R B)；(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．41.已知函数f(x)=ax+bx 的图象经过点A(1,0)，B(2,−32)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明；(3)求f(x)在区间[12,1]上的值域．42. 已知a >0，b >0，a +b =1，求证：(1)a 2+b 2≥12； (2)1a+1b +1ab≥8．43. 已知函数f(x)=2x 2x 2+1． (1)求f(2)+f(12)，f(3)+f(13)的值； (2)求证：f(x)+f(1x )是定值；(3)求f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)的值．44. 国庆放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量y(单位：千辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小(0<v≤120,c为常数)，当汽车平均速度为时)之间满足的函数关系y=1840vv2+20v+c100千米/小时时，车流量为10千辆/小时．(1)在该时间段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？(2)为保证在该时间段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？45.已知关于x的不等式ax2−x+1−a≤0．(1)当a∈R时，解关于x的不等式；(2)当x∈[2,3]时，不等式ax2−x+1−a≤0恒成立，求a的取值范围．46.记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3=S5,a2a4=S4．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求使S n>a n成立的n的最小值．47.在▵ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．(1)若2sinC=3sinA，求▵ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得▵ABC为钝角三角形⋅若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．48.在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=√5,QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B−QD−A的平面角的余弦值．49.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右焦点为F(√2,0)，且离心率为√63．(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=√3．50.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p i(i=0,1,2,3)．(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．51.已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2+b．(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．①12<a≤e22,b>2a；②0<a<12,b≤2a．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由二次函数的图象和性质可得1+m+1<0且4+2m+1<0，解不等式可得所求范围．【解答】解：任意x∈[1,2]，不等式x2+mx+1<0恒成立，由y=x2+mx+1为开口向上的抛物线，可得1+m+1<0且4+2m+1<0，即为m<−2且m<−5，2，解得m<−52故选：B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了转化思想的应用问题和不等式恒成立的问题，是基础题．根据命题p是假命题，得￢p是真命题，转化为不等式恒成立的问题，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2ax+a+2≤0是假命题，则￢p是真命题，即∀x∈R，x2+2ax+a+2>0恒成立，∴4a2−4(a+2)<0，即a2−a−2<0，解得−1<a<2，∴a的取值范围是(−1,2)．故选C．3.【答案】A【解析】解：由c−b=4−4a+a2=(2−a)2≥0，∴c≥b．再由b+c=6−4a+3a2①c−b=4−4a+a2②①−②得：2b=2+2a2，即b=1+a2．∵1+a2−a=(a−12)2+34>0，∴b=1+a2>a．∴c≥b>a．故选A．把给出的已知条件c−b=4−4a+a2右侧配方后可得c≥b，再把给出的两个等式联立消去c后，得到b=1+a2，利用基本不等式可得b与a的大小关系．本题考查了不等式的大小比较，考查了配方法，训练了基本不等式在解题中的应用，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由射影定理可知CD2=DE⋅OD，即DE=DC2ODaba+b2=2aba+b，由DC≥DE得√ab≥2aba+b，故选：A．根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．本题考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f(0)的符号是解决本题的关键．分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值范围进行判断即可．【解答】解：函数在x =x 0处无意义，由图象x 0>0，所以−c >0，得c <0，f(0)=bc 2>0，∴b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−b a ，即函数的零点x =−b a >0，∴a <0，综上a <0，b >0，c <0，故选：C ． 6.【答案】B【解析】解：∵f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ，∴{f(2)+2f(12)=6,①f(12)+2f(2)=32,②， ①−②×2得−3f(2)=3，∴f(2)=−1，故选：B ．由已知条件得{f(2)+2f(12)=6,①f(12)+2f(2)=32,②，由此能求出f(2)的值． 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．7.【答案】B【解析】解：由题意知，当t >0时，S 的增长会越来越快，故函数S 图象在y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，故选：B ．利用在y 轴的右侧，S 的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的数学思想．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x −2)≤1化为−1≤x −2≤1，即可解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数，若f(1)=−1，则f(−1)=−f(1)=1，又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，−1≤f(x −2)≤1，∴f(1)≤f(x −2)≤f(−1)，∴−1≤x −2≤1，解得：1≤x ≤3，所以x 的取值范围是[1,3]．故选D ．9.【答案】C【解析】解：x <1时，f(x)=(a −3)x +a +2在(−∞,1)递减，则a −3<0，解得：a <3①，x ≥1时，f(x)=−ax 2+x 在[1,+∞)递减，则{a >012a≤1，解得：a ≥12②，当x =1时，2a −1≥−a +1，解得：a ≥23③，综合①②③，a 的取值范围是[23,3)，故选：C ．根据函数在各个区间的性质，结合函数的单调性，求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查常见函数的性质，是一道常规题．10.【答案】B【解析】解：由x−2=0，得x=2，由x2+x−2=0，得x=−2或x=1．则当λ≤−2时，方程f(x)=0仅有一个实数解x=2；当−2<λ≤1时，方程f(x)=0恰有两个实数解x=−2，x=2；当1<λ≤2时，方程f(x)=0恰有三个实数解x=−2，x=1，x=2；当λ>2时，方程f(x)=0恰有两个实数解x=−2，x=1．∴若方程f(x)=0恰有2个实数解，则λ的取值范围是(−2,1]∪(2，+∞)．故选：B．分别求出两段函数的零点，把λ分段，由两段函数在不同区间内的零点个数得答案．本题考查分段函数的应用，考查分类讨论的数学思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的除法以及代数表示及其几何意义，属于基础题．利用复数的除法可化简2−i1−3i，从而可求对应的点的位置．【解答】解：，所以该复数对应的点为(12,12 )，该点在第一象限，故选A．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合交集与补集的混合运算，属于基础题．先根据补集的定义求出∁U B={1,5,6}，再由交集的定义可求A∩(∁U B)．【解答】解：由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}．故选B．13.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式，题目较易．首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值．【解答】解：抛物线的焦点坐标为(p2,0)，其到直线x−y+1=0的距离为d=|p2−0+1|√1+1=√2，解得p=2(p=−6舍去)．故选B．14.【答案】C【解析】【分析】本题重在考查学生对数学知识的理解运用能力和直观想象能力，属于中档题．由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果．【解答】解：如图所示，由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：2πr2(1−cosα)4πr2=1−cosα2=1−64006400+360002≈0.42=42％．故选C．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查了棱台的结构特征与体积的求法，考查了数形结合思想．由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解．【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高ℎ=√22−(2√2−√2)2=√2，下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，所以该棱台的体积V=13ℎ(S1+S2+√S1S2)=13×√2×(16+4+√64)=283√2．故选D．16.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正态分布的相关知识，属于中档题．由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解．【解答】解：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．17.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关键．利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论．【解答】=log82√2<log83=b，即a<c<b．解：a=log52<log5√5=12故选C．18.【答案】B【解析】【分析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题．推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论．【解答】解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知．故选B．19.【答案】BC【解析】解：对于A：函数f(x)=log a(2x+1)−1的图象过顶点(0,−1)，即当x=0时，f(0)=−1，故A错误；对于B：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x(x+1)，则当x>0时，−x<0，所以f(−x)=(−x)(−x+1)，整理得f(x)=x−x2(x>0)，所以f(x)的解析式为f(x)=x−x2(x>0)，故B正确；对于C：函数y=f(x−2020)是奇函数，则y=f(x)的图象关于点(−2020,0)对称，故C正确；对于D：函数y=2√x2+2=√x2+2√x2+2，设√x2+2=t(t≥√2)，所以y=t+1t，y′=1−1t2>0，函数在[√2,+∞)上单调递增，所以y min=√22=3√22，故D错误．故选：BC．直接利用对数函数的性质，函数的奇偶性和关系式的确定，函数的导数与单调性的关系，函数的导数与函数的最值的关系判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：对数函数的性质，函数的奇偶性和关系式的确定，函数的导数与单调性的关系，利用函数的导数求函数的最值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.【答案】BD【解析】解：对于A，x<1时，x2有可能大于1，比如−3<1，(−3)2>1，故A错误；对于B，0<x<1⇒x2<1，故B正确；对于C，−1<x<1⇔x2<1，故C错误．对于D，−1<x<0⇒x2<1，故D正确；故选：BD．对于A，x<1是x2<1的不充分不必要条件；对于B，0<x<1是x2<1的一个充分不必要条件；对于C，−1<x<1是x2<1的充要条件；对于D，−1<x<0是x2<1的一个充分不必要条件．本题考查命题的充分非必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】AC【解析】【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于中档题．【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P=Q；选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q；选项C：集合P={0,1}，集合Q中：当n为奇数时，x=0，当n为偶数时，x=1，所以Q={0,1}，则P=Q；选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q；综上，选项AC表示的集合相等，故选：AC．22.【答案】ABC【解析】解：∵a ，b ∈R ∗且a +b =1，∴a +b =1≥2√ab ，即ab ≤14，当且仅当a =b =12时，等号成立，即选项A 正确； 令t =ab ，则t ∈(0,14]，∴y =ab +1ab =t +1t 在t ∈(0,14]上单调递减， ∴当t =14时，y 取得最小值，为174，即ab +1ab ≥174，故选项B 正确；∵(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2×√14=2， ∴√a +√b ≤√2，即选项C 正确； ∵1a +12b=(1a+12b)⋅(a +b)=1+12+b a+a 2b≥32+2√b a⋅a 2b=32+√2，当且仅当b a =a2b 时，等号成立，即选项D 错误． 故选：ABC ．选项A ，由a +b ≥2√ab ，得解；选项B ，令t =ab ，则y =ab +1ab =t +1t ，再结合对勾函数的图象与性质，可得解； 选项C ，由(√a +√b)2=a +b +2√ab ，再根据选项A 的推导，得解； 选项D ，由“乘1法”，可得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和对勾函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．23.【答案】BD【解析】解：作出函数y =2−x 2，y =x 的图象如图， 则f(x)的图象为图中实线部分，由图可知，当x =1时，f(x)取最大值为1，无最小值．故选：BD．由题意作出函数f(x)的图象，数形结合得答案．本题考查函数的最值及其求法，考查数形结合的解题思想，是基础题．24.【答案】BCD【解析】解：由题意做出f(x)=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象如：该抛物线开口向上，与x轴在(−∞,2)，(3,+∞)上各有一个交点．故：△=b2−4ac>0；f(2)<0；f(3)<0．又该二次函数的对称轴除了不能落在[2,3]之间外，可以取任意值，故A选项错误．故选：BCD．结合题意做出函数f(x)的图象，据图分析即可．本题考查二次函数的图象与性质，即函数的零点、函数图象与x轴的交点、函数对应方程的根之间的关系．属于中档题．25.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了离散程度与集中趋势的相关知识，属于基础题．判断所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项．【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC．26.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了空间中两直线的位置关系以及垂直的判定，考查了数形结合思想和直观想象能力．根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误．【解答】解：设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接AC，易知MN//AC，且MN、AC、OP在同一平面内，由图可知直线OP与AC相交且不垂直，故MN⊥OP不成立，故A错误．对于B，如图(2)所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM−NADT可得SN⊥平面NADT，而OQ⊂平面NADT，故SN⊥OQ，而SN∩NT=N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ⋂PQ=Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．对于C，如图(3)，连接BD，则BD//MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．对于D，如图(4)，取AM′的中点G，连接PG，OG，M′N′，则MN//M′N′，PG=√2，OG=√3，PO=√5，则PO2=PG2+OG2，PG⊥OG，根据三角形的性质可知PO与PG不垂直，故PO,MN不垂直，故D错误．故选BC．27.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解．【解答】解：圆心C(0,0)到直线l的距离d=r 2√a2+b2，若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2，所以d=2√a2+b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以d=2√a2+b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l上，则a2+b2−r2=0即a2+b2=r2，所以d=2√a2+b2=|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD．28.【答案】ACD【解析】【分析】本题重在对新定义进行考查，合理分析所给条件是关键，属于拔高题．利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误．【解答】解：对于A选项，n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，ω(n)=a0+a1+⋯+ a k，则2n=a0⋅21+a1⋅22+⋯+a k−1⋅2k+a k⋅2k+1，ω(2n)=a0+a1+⋯+a k=ω(n)，A选项正确；对于B选项，取n=2，2n+3=7=1⋅20+1⋅21+1⋅22，∴ω(7)=3，而2=0⋅20+1⋅21，则ω(2)=1，即ω(7)≠ω(2)+1，B选项错误；对于C选项，8n+5=a0⋅23+a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3+5=1⋅20+1⋅22+a0⋅23+ a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3，所以，ω(8n+5)=2+a0+a1+⋯+a k，4n+3=a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2+3=1⋅20+1⋅21+a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2，所以，ω(4n+3)=2+a0+a1+⋯+a k，因此，ω(8n+5)=ω(4n+3)，C选项正确；对于D选项，2n−1=20+21+⋯+2n−1，故ω(2n−1)=n，D选项正确．故选ACD．29.【答案】y=x−2【解析】解：设幂函数的解析式为y=xα，α∈R，∵图象经过点(3,19)，∴3α=19，∴α=−2，∴这个幂函数的解析式为y=x−2；故答案为：y=x−2．设出幂函数的解析式，由图象过点(3,19)，求出这个幂函数的解析式．本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题，是基础题．30.【答案】(−1,3)【解析】解：因为f(x)为偶函数，所以f(x−1)<f(2)可化为f(|x−1|)<f(2)，又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|x−1|<2，解得−1<x<3，所以x的取值范围是(−1,3)．故答案为：(−1,3)．利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式即可求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属于基础题．31.【答案】(2,3)【解析】【分析】不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，可得−12，−13是一元二次方程ax2−bx−1=0的两个实数根，且a<0.利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．【解答】∵不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，∴−12，−13是一元二次方程ax2−bx −1=0的两个实数根，且a <0． ∴{−12−13=b a−12×(−13)=−1aa <0，解得a =−6，b =5． 则不等式x 2−bx −a <0化为x 2−5x +6<0，即(x −2)(x −3)<0，解得2<x <3． ∴不等式x 2−bx −a <0的解集为(2,3)． 故答案为：(2,3)．32.【答案】30【解析】解：由f(p +q)=f(p)f(q)， 令p =q =n ，得f 2(n)=f(2n)． 原式=2f 2(1)f(1)+2f(4)f(3)+2f(6)f(5)+2f(8)f(7)2f(10)f(9)++=2f(1)+2f(1)f(3)f(3)+2f(1)f(5)f(5)+2f(1)f(7)f(7)+2f(1)f(9)f(9)=10f(1)=30， 故答案为：30题中条件：f(p +q)=f(p)f(q)，利用赋值法得到f(n+1)f(n)=2和f(2n)=f 2(n)，后化简所求式子即得．本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．33.【答案】f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0【解析】解：根据题意，当x <0时，−x >0，则f(−x)=(−x)−(−x)2=−x −x 2， 又由f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)=x +x 2， 故f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0，故答案为：f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0．根据题意，当x <0时，−x >0，求出f(−x)的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．34.【答案】(1,2]【解析】解：∵f(x)=−x2+2ax与g(x)=2x−3+ax−1=2+a−1x−1在区间[2,4]上都是减函数，∴{a≤2a−1>0，解得，1<a≤2．故答案为：(1,2]．由已知结合二次函数与反比例函数的单调性的性质可求．本题主要考查了二次函数与反比例函数的单调性的应用，属于基础试题．35.【答案】(96,100)【解析】解：令f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，(4<t<5)，则方程x+4x=t的两根为x1，x2，由x+4x=t得x2−tx+4=0，故由韦达定理可知：x1x2=4，根据抛物线f(x)=−x2+10x−20的对称性可知x3+x4=10(4<x3<5)，所以x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10−x3)=−4(x3−5)2+100，由于4<x3<5，故96<−4(x3−5)2+100<100，故答案为：(96,100)．令f(x)=t，再分段解方程，利用根与系数的关系即可求解．本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了根与系数的关系，属于基础题．36.【答案】y=±√3x【解析】【分析】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题．由双曲线离心率公式可得b2a2=3，再由渐近线方程即可得解．【解答】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，所以e=√c2a2=√a2+b2a2=2，所以b2a2=3，所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√3x．故答案为：y=±√3x．37.【答案】f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)【解析】【分析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题．根据幂函数的性质可得所求的f(x)．【解答】解：取f(x)=x4，则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，满足①，f′(x)=4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)=4x3的定义域为R，又f′(−x)=−4x3=−f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③．故答案为：f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)38.【答案】−92【解析】【分析】本题考查了向量数量积的运算，合理转化是关键，属于中档题．由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=0，展开化简后可得结果．【解答】解：由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+c⃗2+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=9+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=0，因此，a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=−92．故答案为：−92．39.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查学生利用导数研究函数的能力，考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题，属于拔高题．结合导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线斜率及两点间距离公式可得|AM|=√1+e2x1⋅|x1|，|BN|=√1+e2x2⋅|x2|，化简即可得解．【解答】解：由题意，f(x)=|e x−1|={1−e x,x<0e x−1,x≥0，则f′(x)={−e x,x<0e x,x⩾0,所以点A(x1,1−e x1)和点B(x2,e x2−1)，k AM=−e x1,k BN=e x2，所以−e x1⋅e x2=−1,x1+x2=0，所以AM:y−1+e x1=−e x1(x−x1),M(0,e x1x1−e x1+1)，所以|AM|=√x12+(e x1x1)2=√1+e2x1⋅|x1|，同理|BN|=√1+e2x2⋅|x2|，所以|AM||BN|=√1+e2x1⋅|x1|√1+e2x2⋅|x|=√1+e2x11+e2x2=√1+e2x11+e−2x1=e x1∈(0,1)故答案为：(0,1)．40.【答案】解：(1)当a =2时，A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|x ≤1或x ≥4}∴∁R B ={x|1<x <4}， ∴A ∪(∁R B)={x|0≤x ≤4}；(2)A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a ≥0)，B ={x|x ≤1或x ≥4} 若A ∩B =⌀则{2−a >12+a <4，解得a <1 ∴a 的取值范围为[0,1)．【解析】(1)求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行计算即可． (2)根据A ∩B =⌀，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．41.【答案】解：(1)∵f(x)的图象过A(1,0)，B(2,−32)，∴{a +b =02a +b 2=−32，解得{a =−1b =1， ∴f(x)=−x +1(2)函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=(−x 1+1x 1)−(−x 2+1x 2)=(x 2−x 1)+x 2−x 1x 1x 2=(x 2−x 1)(x 1x 2+1)x 1x 2由x 1，x 2∈(0,+∞)得，x 1x 2>0，x 1x 2+1>0． 由x 1<x 2得，x 2−x 1>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数．(3)由(2)知，函数f(x)=−x +1x 在[12,1]上为减函数， ∴f(x)min =f(1)=0，f(x)max =f(12)=32， ∴f(x)的值域是[0,32]．【解析】(1)将A ，B 两点坐标代入解析式可得关于a ，b 的方程组，解之即可； (2)函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数，利用单调性的定义证明即可； (3)由函数的单调性求得函数的最值，即可求得值域．本题主要考查函数解析式的求法，函数单调性的判断与证明，函数值域的求法，属于中档题．42.【答案】证明：(1)a >0，b >0，a +b =1，可得a +b ≥2√ab ，即有0<ab ≤14，当且仅当a =b =12时，取得等号， 所以a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12． (2)由(1)可知1ab ≥4， 即有1a +1b +1ab =2ab ≥8， 当且仅当a =b =12时，取得等号．【解析】(1)a >0，b >0，a +b =1，由基本不等式可得0<ab ≤14，由a 2+b 2=(a +b)2−2ab 即可得证；(2)由(1)得1ab ≥4，即可得证．本题主要考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，属于中档题．43.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2x 2x 2+1． ∴f(2)+f(12)=2×44+1+2×1414+1=85+25=2，f(3)+f(13)=2×99+1+2×1919+1=2．(2)证明：∵f(x)=2x 2x 2+1，∴f(x)+f(1x )=f(x)=2x2x 2+1+2×1x 21x 2+1=2x 2x 2+1+21+x 2=2． ∴f(x)+f(1x )是定值2． (3)∵f(x)+f(1x )是定值2．∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)=21+1+2019×2 =4039．【解析】(1)分别把f(x)=2x 2x 2+1中所有的x 都换成2，12，3，13，能求出f(2)+f(12)和f(3)+f(13)的值． (2)把f(x)=2x 2x 2+1中的x 分别换成x ，1x ，能证明f(x)+f(1x )是定值2．(3)由f(x)+f(1x )是定值2，能求出f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．44.【答案】解：(1)由题意可知：10=1840×100 1002+2000+c ，解得c =6400，所以y =1840v v 2+20v+6400=1840v+6400v+20≤2√v⋅v+20=1840180=929，当且仅当v =6400v，即v =80时取等号，所以当汽车的平均速度为80时车流量最大； (2)由题意可知：1840v v 2+20v+6400≥10，即v 2−164v +6400≤0，解得64≤v ≤100，所以当64≤v ≤100时，在该时间段内车流量至少为10千辆/小时．【解析】(1)首先根据题意求出c 的值，再利用基本不等式即可求解；(2)根据题意建立不等式关系，解不等式即可求解．本题考查了函数的实际应用问题，涉及到基本不等式求最值以及一元二次不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．45.【答案】解：(1)不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0，当a =0时，不等式化为x −1≥0，解得x ≥1， 当a <0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a)≥0，解得x ≤1−a a，或x ≥1；。
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( ) B. 已知 X N , 2 ，当 不变时， 越大， X 的正态密度曲线越矮胖
C. 若在平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则平面 // 平面
D. 若平面 ⊥ 平面 ，直线 m ⊥ ， n//m ，则 n//
10.已知函数 f ( x) = sin x + cos x （ ）
A. 4
B. 3 4
C. 3
D. 2 3
4.在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字 母 a 代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（ ）
A. 20 20
B. 21 20
C. 20 21
5.函数
y
=
sin
2x
+
2sin 2x 2x −1
A. 8 27
B. 2 27
C. 4 9
D. 1 3
8.已知线段 AB 是圆 C : x2 + y2 = 4 的一条动弦，且 AB = 2 3 ，若点 P 为直线 x + y − 4 = 0 上的任意一
点，则 PA + PB 的最小值为（ ）
A. 2 2 −1
B. 2 2 +1
C. 4 2 − 2
14.四张卡片上分别写有数字 3、4、5、6，甲、乙、丙、丁四名同学各取走一张，若甲、乙两名同学卡片上
的数字都是偶数，甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于 9，则______同学卡片上的数字最小．
15.已知 ( x +1)4 ( x + b) = x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 ，其中 a4 = 13，则 b = ______．
C. 第三象限
【答案】A
【解析】
z
=
C. 3,5,9
D. 3, 7
2.已知复数 z 满足 z (2 + 3i) = 13 ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
( ) ( ) 3.已知向量 a = 2 ， b = 1， a + b a − 3b = 1 ，则向量 a 与向量 b 的夹角为（ ）
AF1 = BF2 = 2 AF2 ，则（ ）
A. AF1B = F1AB
B. 双曲线的离心率 e = 33 3
C. 双曲线的渐近线方程为 y = 2 6 x 3
D. 原点 O 在以 F2 为圆心， AF2 为半径的圆上
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知数列an 中， a1 = 1， an+1 = an + n ，则 a6 = ______．
D. 4 2 + 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.下列命题正确的是（ ）
A. 在独立性检验中，随机变量 K 2 的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小
的图像大致是（
）D. 21 21A.B.C.D.
6.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247 年）．该书第二章为“天时类”，收录
了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天
池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺
C. 3,5,9
D. 3, 7
【答案】D
【解析】因为 A = 1,3,5,7，所以 B = y y = 2x +1, x A = 3, 7,11,15，因此 A B = 3, 7 .
2.已知复数 z 满足 z (2 + 3i) = 13 ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
A. 2 为 f ( x) 的周期
B. 对于任意 x R ，函数 f ( x) 都满足 f ( + x) = f ( − x)
C.
函数
f
(
x
)
在
4
,
上单调递减
D. f ( x) 的最小值为 − 2
11.关于函数 f ( x) = a ln x + 2 ，下列判断正确的是（ ）
x
A. 函数 f ( x) 图像在点 x =1 处的切线方程为 (a − 2) x − y − a + 4 = 0
二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1 尺=10 寸）时，平地降雨量是（ ）
A. 9 寸
B. 7 寸
C. 8 寸
D. 3 寸
7.某部队在演习过程中，用悬挂的彩旗来表达行动信号，每个信号都由从左到右排列的 4 面彩旗组成，有红、
黄、蓝三种颜色的彩旗．若从所有表达的信号中任选一种，则这种信号中恰有 2 面红色旗子的概率为（ ）
2021 届高三新高考数学小题训练（12）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A = 1,3,5,7， B = y y = 2x +1, x A ，则 A B = （ ）
A. 1,3,5, 7,9,11,15 B. 1,3,5, 7
2021 届高三新高考数学小题训练（12）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A = 1,3,5,7， B = y y = 2x +1, x A，则 A B = （ ）
A. 1,3,5,7,9,11,15 B. 1,3,5, 7
的 B. x = 2 是函数 f (x)的一个极值点 a
C. 当 a = 1时， f ( x) ln 2 +1
D.
当 a = −1时，不等式
f
(2x −1) −
f
(
x)
0
的解集为
1 2
,1
12.已知双曲线 C 左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，若
16.在棱长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中， M ， N ， Q 分别为棱 A1B1 ， B1C1 ， BB1 的中点，点 P 为
棱 CC1 上的动点，则VP−MNQ 的最大值为______，若点 P 为棱 CC1 的中点，三棱锥 M − PQN 的顶点在同一
个球面上，则该球的表面积为______．